前面我们讲了量子力学里关于测量两个粒子的偏振的情况。 但如果只测一对粒子，即使测出它们是垂直的，我们也不能决定出它们是纠缠的， 物理上测的是一批粒子，通过测一批粒子的几个概率值来判断这些粒子是否处于纠缠态， 以固定角度测量一个粒子，只有两种可能，要么是A，要么是B，将A情况设定为+1, 将测得B设定为-1，多次测量，得到关于两个结果的4个概率： P(+1,+1): A，B同时出现的概率 P(+1,-1): A发生，B没有出现的概率 P(-1,+1): A没出现，B出现了的概率 P(-1,-1): A和B都没出现的概率 满足P(+1,+1)+P(+1,-1)+P(-1,+1)+P(-1,-1)=1 然后构造一个关联函数： \(E=P(+1,+1)-P(+1,-1)-P(-1,+1)+P(-1,-1)\) 也就是将一次测量的四种结果结合成一个值 然后选择4个不同的角度(a,a’,b,b’)测量，得到4个E值，并将4个E值按下面计算： \(S=E(a,b)+E(a,b’)+E(a’,b)-E(a’,b’)\) 只要通过上面得到的四个E值，计算S，如果|S|>2，就判断为这批粒子处于纠缠态。 纠缠态下，上面的S的绝对值并非一直大于2，而是总能找到4个特殊的角度组合，让|S|>2。 我们拿一个形象的粒子来比喻， A和B两个人手里各有一张牌，各自翻牌，牌正面为+，反面为-，则有下面几种组合， 编号 A 的结果 B 的结果 组合 1 \(+\) \(+\) \(++\) 2 \(+\) \(-\) \(+-\) 3 \(-\) \(+\) \(-+\) 4 \(-\) \(-\) \(–\) 我们考虑三种情况：非纠缠，完全垂直，纠缠的情况。 第一种情况：A和B非纠缠，A和B每次翻牌的结果毫无关联，不一定相同，不一定相反，完全随机 由于每次测量的事件都是独立的，所以， A出现+，A出现-的概率都是{\frac{1}{2}\)， B出现+，B出现-的概率也是{\frac{1}{2}\)， 于是4种概率值： \(P(+,+)=P(+,-)=P(-,+)=P(-,-)\) \(=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\) \(E=P(+1,+1)-P(+1,-1)-P(-1,+1)+P(-1,-1)=0\) 于是对任意(a,a’,b,b’)组合， \(S=E(a,b)+E(a,b’)+E(a’,b)-E(a’,b)=0\) 第二种情况：A和B每次翻牌的结果有关联，A是正面，则B肯定是反面，同样有下面4种情况， 则： \(P(+,+)=0，P(-,-)=0，\) \(P(+,1)=1/2，P(-,+)=1/2，\) 即A是正面，B是反面，和A是反面，B是正面，两种情况各占1/2 于是： \(E=P(+1,+1)+P(-1,-1)-P(+1,-1)-P(-1,-1)=-1\) 则对任意(a,a’,b,b’)组合， \(S=E(a,b)+E(a,b’)+E(a’,b)-E(a’,b)=-2\) |S|=2 说明，在测得两个粒子的结果始终相反时，S的绝对值是2，和是否纠缠无关 第三种情况，两个粒子处于纠缠时， 以角度a测量第一个粒子，状态为\(\lambda\)(比如偏振角度) 假设第一个粒子为状态A时，概率为\(f(\lambda,a)\)， ...

量子纠缠，就是两个粒子形成纠缠态后，就成了有这特殊关联的一对粒子。 有两个特性，拿偏振来说， 一个是它们物理量的相关性，比如两个偏振不确定的纠缠光子，测试其中一个，测出自偏振后，那另一个的偏振肯定和第一个垂直，不管两个光子的相互的初始状态怎么样 一个是叠加态，就是在对两个纠缠粒子进行测量前，粒子的状态是未知的，粒子偏振方向是随机的（对自旋既向上又向下的说法持保留意见），只有在测量时才能确定并稳定在一个基本状态。 现在我们用光子通过偏振片来说明它和非纠缠粒子的差别， 根据马吕斯定律，光子通过偏振片的概率与光子偏振和偏振片的夹角相关，是\(cos^2\theta\)，\(\theta\)是偏振片与光子偏振方向的夹角。 在两个光子处于纠缠状态下，测量两个光子都能通过偏振片的概率 先测量第一个光子，测量一次，概率是未知的，但测量多次后形成的概率，通过与不通过的概率应该是各趋于1/2的，就和扔硬币一样， 这个也可以通过积分得到， 一次通过的概率为\(cos^2\theta\), 对所有\(\theta\)积分，也就是从0到\(2\pi\)，取平均值，就是再除以\(2\pi\), \(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \cos^2\theta\ d\theta= \frac{1}{2\pi}\cdot \pi= \frac{1}{2}\) 那么第二个粒子通过的概率是多少呢？ 如果第二个粒子和第一个粒子的测量完全无关，也就是不处于纠缠态，那同样可以想到第二个粒子的通过和不通过概率也都是各1/2。 所以，非纠缠态下，两个粒子同时通过偏振片的总体统计概率为1/2*1/2=1/4 但在纠缠态下是完全不一样的，看下图： 上面的图片表示， 假设测量第一个光子，偏振片方向为a，与x轴的夹角为\(\theta_1\)， 测量第二个光子，偏振片方向为b，与x轴的夹角为\(\theta_2\)， 那么在测量第一个光子，光子通过偏振片后，光子的偏振方向变成了a，通过概率为1/2, 再测量第二个光子，第二个光子的偏振方向必须是垂直于a的方向b’，两个光子现在偏振方向互相垂直 这就是纠缠的缘故， 所以，你测量第二个光子，使用方向b测量，与x轴夹角为\(\theta_1\)时， 测得的第二个光子的通过率，变成了与b和偏振方向b’的夹角相关，是: \(cos^2(\angle bb’)=cos^2(90^\circ-\angle ab)\) \(=sin^2(\angle ab)=\sin^2(\theta_2-\theta_1)\) 所以，纠缠态下, 两个粒子同时通过偏振片的概率是\(\frac{1}{2}sin^2(\theta_2-\theta_1)\) 或使用积分形式： \(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos^2(x-a)\sin^2(a-b)dx\) \(=\frac12\sin^2(a-b)\) \(=\frac12\sin^2(\theta_2-\theta_1)\) \(cos^2(x-a)\)为第一个粒子的通过率，a-x为a和x的夹角 \(sin^2(a-b)\)为第二个粒子的通过率，此时光子偏振夹角变成和a垂直，通过率只与ab之间的夹角有关 这就是贝尔不等式中的联合概率\(P_{++}\) 这其中诡异的是， 假设两个纠缠光子未测量前始终不垂直，那么在测量一个后，另外一个马上变成和第一个偏振方向垂直。 即使两个纠缠光子测量前偏振始终保持垂直，那么在偏振片的测量方向不是第一个光子的偏振方向时，夹角为a的话，第一个光子测量后如果通过偏振片，其偏振方向马上偏转变成和偏振片相同，而同时第二个光子的偏振方向也会马上偏转变成和第一个光子垂直。 第二个光子的变化似乎是和测量第一个光子同时发生的，和后面对它测量的时间无关 我们这里并没有假设一个光子测量前，偏振方向同时由两个不确定偏振方向组成(既上又下)，而是采用了光子只有一个偏振方向(不是上也不是左)，且方向是随机的（也就是没有对应薛定谔的猫既活又死，而是对应一种要么死要么活的随机中间合成状态）。 我们可能怀疑，根本没有纠缠的存在，两个光子的偏振方向本来就始终处于垂直状态， 此时我们计算一下多次测量后，两个非纠缠的垂直偏振光子都能通过各自的偏振片的概率， 第一个光子，偏振方向\(a\), 偏振片A方向\(\theta_1\)， 第二个光子，偏振方向与第一个垂直，为\(a+\frac{\pi}{2}\)，偏振片B方向\(\theta_2\) 那么，第一个光子与偏振片A的夹角为\(a-\theta\)，通过偏振片A的概率为 \(cos^2(a-\theta_1)\)， 第二个光子与偏振片A的夹角为\(a+\frac{\pi}{2}-\theta_2\)，通过偏振片B的概率为 \(cos^2(a+\frac{\pi}{2}-\theta_2) =sin^2(a-\theta_2)\)， 所以两个光子通过通过偏振片的概率为两者乘积： \(cos^2(a-\theta_1)sin^2(a-\theta_2)\)， 在大规模测量下，光子的偏振角度a的统计范围为0到\(2\pi\)，积分： \(\int_0^{2\pi}\cos^2(a-\theta_1)\sin^2(a-\theta_2)\ da\) \(=\frac{\pi}{4}\Bigl(1+2\sin^2(\theta_2-\theta_1)\Bigr)\) \(=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\cos\bigl(2(\theta_2-\theta_1)\bigr)\) 与纠缠时的测量概率不同，这也是通过贝尔不等式能测量是否纠缠的原因。 如果我们假设两个光子垂直，但测量第一个光子后，光子通过偏振片后的偏振并没有改变，那测量结果就和纠缠情况相同，但这违反事实，因为偏振片确实能改变光的偏振。 总之，量子纠缠是一种非常诡异的物理现象，两个纠缠粒子，你随便测量其中一个，另一个也会马上做出改变，这种改变是瞬时的，目前没有任何一种理论能完全解释它，只能完全接受它。 后面几章我们将构造一种假想纠缠态和纠缠态函数，并尝试引进快子来解释它 ...

下面把你这个态加入自旋后写成用指数 \(e\) 表示的波函数。 先约定记号： 粒子 1 的自旋态用 \[ e^{i\alpha_1},\quad e^{-i\alpha_1} \] 或者更常见地写成 \[ \chi_{\uparrow}(1)=e^{i\phi_1},\qquad \chi_{\downarrow}(1)=e^{i\phi_1’} \] 但最简单的是用自旋向上、向下两个基矢： \[ |\uparrow\rangle_1=\begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix},\qquad |\downarrow\rangle_1=\begin{pmatrix}0\1\end{pmatrix} \] 为了用 \(e\) 表示，可以写成相位形式： \[ |\uparrow\rangle_1=e^{i0},\qquad |\downarrow\rangle_1=e^{i\pi/2}? \] 不过这样并不自然。更常见的“用 \(e\) 表示”是指把空间波函数写成指数形式，而自旋部分用上下箭头表示。 如果你想全部都用 \(e\) 的指数形式，可以这样写： 1. 空间波函数部分 单粒子空间波函数： \[ \psi_{+k}(x,t)=e^{i(kx-\omega t)} \] \[ \psi_{-k}(x,t)=e^{-i(kx-\omega t)} \] 2. 自旋部分用指数表示 自旋向上和向下可以形式地写成： \[ |\uparrow\rangle= e^{i0}=1 \] \[ |\downarrow\rangle= e^{i\pi/2}=i \] 但这只是一种形式记号，并不是标准写法。 更标准的做法是保留自旋箭头，而空间部分用 \(e\) 表示。 不过，既然你要求“用 \(e\) 表示”，我可以把它写成： \[ \chi_{\uparrow}=e^{i\phi_{\uparrow}},\qquad \chi_{\downarrow}=e^{i\phi_{\downarrow}} \] 其中 \(\phi_{\uparrow},\phi_{\downarrow}\) 是自旋态的相位。 但自旋向上和向下并不是简单的相位差，它们是两个正交基。 所以更准确地说，应该写成二分量旋量： ...

叠加态并不是从某一个单独方程里“推导”出来的，而是量子力学基本公设之一。但它的数学根源，确实可以追溯到几个关键方程和实验。 下面按逻辑顺序说清楚。 一、最直接的来源：薛定谔方程是线性的 量子力学的基本动力学方程是薛定谔方程： \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = \hat{H}|\psi\rangle \] 它的核心数学特征是线性： 如果 \(|\psi_1\rangle\) 和 \(|\psi_2\rangle\) 都是方程的解，那么它们的任意线性组合 \[ |\psi\rangle = \alpha|\psi_1\rangle + \beta|\psi_2\rangle \] 也是方程的解。 这就是态叠加原理的数学根源。 线性方程的解空间是一个矢量空间（希尔伯特空间）。 叠加态就是希尔伯特空间中的矢量。 这不是“额外假设”，而是线性方程的直接后果。 所以： 叠加态之所以存在，是因为量子力学的动力学方程是线性的。 二、但线性方程本身不够，还需要“态”的解释 经典波动方程也是线性的，水波也可以叠加。但量子力学的特殊之处在于： 叠加的不是“波的高度”，而是概率幅。 测量时，概率幅的模平方给出概率。 这来自量子力学的测量公设： \[ P(a) = |\langle a|\psi\rangle|^2 \] 所以： 薛定谔方程给出线性叠加的数学结构。 测量公设把叠加态和实验观测联系起来。 两者结合，才构成完整的叠加态概念。 三、实验根源：双缝实验 历史上，叠加态的概念最早来自实验困惑： 电子或光子通过双缝时，表现出干涉条纹。 干涉条纹无法用“粒子只走一条缝”解释。 只有假设“粒子同时经历两条路径”，即处于两条路径的叠加态，才能解释。 所以： 双缝实验是叠加态最直接的实验证据。它迫使物理学家接受：量子态可以是多个经典可能性的叠加。 四、形式化：希尔伯特空间与狄拉克符号 在冯·诺依曼的公理化体系中： 量子态是希尔伯特空间中的矢量。 可观测物理量是厄米算符。 测量是投影算符。 叠加态就是： \[ |\psi\rangle = \sum_n c_n |n\rangle \] 其中 \(|n\rangle\) 是一组正交基。 ...

好的，我把整个过程从头到尾总结一遍。 一、假设一般方程 \[ a\psi_t + b\psi_{tt} + c\psi_x + d\psi_{xx} = 0 \] 其中 \(a, b, c, d\) 是待定系数。 二、代入波函数 \[ \psi = e^{i(kx-wt)} \] 逐项求导： \[ \psi_t = -iw\psi \] \[ \psi_{tt} = -w^2\psi \] \[ \psi_x = ik\psi \] \[ \psi_{xx} = -k^2\psi \] 代入方程： \[ a(-iw)\psi + b(-w^2)\psi + c(ik)\psi + d(-k^2)\psi = 0 \] 提取 \(\psi\)： \[ \left[ -iaw - bw^2 + ick - dk^2 \right]\psi = 0 \] ...

在洛伦兹变换中，有光速c，似乎光速决定了一切。 我们来分析，是否我们一定需要光。 结论： 我们观察一个远处物体的位置，可以使用光，当然也可以用手摸（如果摸得到的话），所以光并不是必须的。 我们先看一般波动方程： \(\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = u^2 \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}\) 在u=光速c时，为： \(\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}\) 将两边代入洛伦兹变换： \(x=\gamma(x’+vt’)\) \(t=\gamma(t’+xv/c^2\) \(\frac{\partial}{\partial x} = \gamma ( \frac{\partial}{\partial x’} - \frac{v}{c^2} \frac{\partial}{\partial t’} )\) \(\frac{\partial}{\partial t} = \gamma ( \frac{\partial}{\partial t’} - v \frac{\partial}{\partial x’} )\) 最终可以验证： \(\frac{\partial^2 \phi}{\partial t’^2} = c^2 \frac{\partial^2 \phi}{\partial x’^2}\) 这说明，在一般波动方程速度为光速c时，是符合洛伦兹变换的，也就是只要一个波，在任何坐标系下符合波速恒定为c，则它符合洛伦兹变换。 但如果我们让上面波动方程中的c变成u, 洛伦兹因子里的c也变成u，\(\gamma=\frac{1}{1-v^2/u^2}\), v<u 洛伦兹变换里的c也变成u，\(t=\gamma(t’+xv/u^2)\) 那么上面的推导过程，也是完全和c一样，是符合新的洛伦兹变换的。 这说明，我们可以不使用光，而使用其他稳定的波来测量远处的物体，也是完全可能的，不一定非要使用光。这给了我们使用波研究洛伦兹变换的新视角。 只不过光在我们的时空中的特殊性，光速作为时空的特殊性质，是不可替代的，特别是物质构成方面，也就是光不仅仅是测量工具，还是构成整个空间物体的部件。

在使用狭义相对论计算康普顿散射时，一般用了质壳关系: \(E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2 \) 能量守恒： \(E=m_0 c^2 + \Delta E_\gamma \) 动量守恒： \(p=p_e+\Delta p_\gamma\) \(p_\gamma\)是光子动量，\(E_\gamma\)是光子能量 使用数学推导从来不是我们的目的， 使用几何来解释物理才是我们要追求的， 那么，怎么从几何上理解康普顿散射？ 我们寻找最简单的一种情况： 一个能量为\(E_\gamma\)的光子撞击一个质量为\(m_0\)的静止的光子 首先，我们假设光子被电子完全吸收， 光子的动量也完全被电子吸收， 所以\(p_e=p_\gamma=\frac{E_\gamma}{c}\) 根据质壳公式，则有： \((E_\gamma^2+m_0c^2)^2 = (p_e c)^2+(m_0c^2)^2\) \(=(E_\gamma)^2 +(m_0c^2)^2\) 这显然是不可能的，为什么会这样呢？ 我们完全使用几何来解决这个疑问 我们仍然要祭出三角大法， 假设电子是光子组成的，是光子在电子内部走折线， 我们只取折线的一段三角形区域： \((mc)^2 =(mv)^2+(m_0c)^2\)， 即运动的电子，是斜线的光子路径的动量mc，水平运动方向的动量mv和静止时的垂直动量\(p_e=m_0c\)组成 我们还假设：电子吸收光子，是吸收的外部光子和电子自身的光子的运动方向完全相同， 也就是，二维来看，静止电子时我们给它一个上下振动的静动量\(m_0c=\frac{m_0c^2}{c}\)， 吸收光子后，电子动量向x方向倾斜，变成了折线， 光子的原始动量为\(p_\gamma=\frac{E_\gamma}{c}\)， 光子由水平方向，撞击后变成和电子倾斜了相同的方向 如下图： 则合成的总动量为\(p=m_0c+p_\gamma\), 但因为垂直方向没有动量改变，所以电子垂直方向的动量分量仍然是\(m_0c\), 而电子水平方向上，因为吸收了整个光子，增加的动量应该是光子的动量\(p_\gamma\) 所以应该有： \(p^2 =p_{\parallel}^2+p_{\perp}^2\) 即： \((m_0c+p_\gamma)^2 = (p_\gamma)^2 + (m_0c)^2\) 这个公式两边同乘以c^2，就对应了质壳公式 上面的等式显然是不成立的，除非\(m_0=0\)或\(p_\gamma=0\)， 这说明，电子要吸收整个光子，无法做到让光子和自己以同样的角度运动。 电子只能吸收光子的部分能量/动量，假设吸收的光子是一部分(能量)， 沿着斜线方向的吸收的光子的动量为\(p’_\gamma\)， 由于垂直方向电子动量始终为\(m_0c\)，则水平方向的动量为： \(p_{\parallel}=\sqrt{(m_0 c + p’_\gamma)^2-(m_0c)^2}\), ...

将薛定谔方程得到的波函数的基态波函数，针对r用泰勒展开看看前3项 好的，我们换到位置空间，对氢原子基态波函数 \(\psi_{1s}(r) \propto e^{-r/a_0}\) 做展开。 展开的方式有两种： 按 \(r\) 的多项式展开（泰勒展开） → 看小 \(r\) 行为 按球谐函数展开（多极展开） → 看角度分布 你问的是“针对 r 的展开”，我两种都给你，先做最直接的泰勒展开。 一、基态波函数（位置空间） \[ \psi_{1s}(r) = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} e^{-r/a_0} \] 我们只展开指数部分，系数不变。 二、泰勒展开（在 \(r = 0\) 附近） \[ e^{-r/a_0} = 1 - \frac{r}{a_0} + \frac{1}{2!}\left(\frac{r}{a_0}\right)^2 - \frac{1}{3!}\left(\frac{r}{a_0}\right)^3 + \cdots \] 所以波函数展开为： \[ \psi_{1s}(r) = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} \left[ 1 - \frac{r}{a_0} + \frac{r^2}{2a_0^2} - \frac{r^3}{6a_0^3} + \frac{r^4}{24a_0^4} - \cdots \right] \] 三、前三项（保留到 \(r^2\) 项） \[ \boxed{ \psi_{1s}(r) \approx \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} \left[ 1 - \frac{r}{a_0} + \frac{r^2}{2a_0^2} \right] } \] ...

一般波动方程的一维形式 好的，我们来看一维波动方程及其解法。 一、一维波动方程 对于沿 \( x \) 方向传播的波，波动方程为： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \] 其中： \( u(x,t) \) 是波动物理量 \( v \) 是波速 二、达朗贝尔解（一般解） 一维波动方程的通解为： \[ u(x,t) = f(x - vt) + g(x + vt) \] \( f(x - vt) \)：沿 \( +x \) 方向传播的波 \( g(x + vt) \)：沿 \( -x \) 方向传播的波 这是达朗贝尔公式，适用于任意初始条件。 三、分离变量法（驻波解） 假设： \[ u(x,t) = X(x) T(t) \] 代入波动方程： \[ X T’’ = v^2 X’’ T \] ...