我们看定态的薛定谔方程： \(\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)\right]\psi=E\psi\) 它来自经典能量关系： \(\frac{p^2}{2m}+V(x)=E\) 把 \(p\) 换成算符： \(p\to \hat p=-i\hbar\frac{d}{dx}\) 所以： \(p^2\to -\hbar^2\frac{d^2}{dx^2}\) 即可得到薛定谔定态方程。 这个波函数的疑问在于： 这个波函数的工作原理是什么？ 为什么换成算符如此有效？ 我们从谐振子方程来出发，探讨这个问题。 经典谐振子的波动方程： \(\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\) 分离变量后空间部分： \(\phi’’+\frac{\omega^2}{c^2}\phi=0\) 解为： \(\phi(x)=C\cos(kx)+D\sin(kx)\) 而量子谐振子的薛定谔定态方程为： \(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac12 m\omega^2x^2\psi=E\psi\) 对比前面的方程，我们发现量子谐振子的方程比经典方程多了个\(\frac12 m\omega^2x^2\)项。 说明经典的方程是自由方程，并不是衰减模式的方程。 我们再看两者的p和\(p^2\)是什么 经典的： \(p_c (x)=mv=\pm m\omega\sqrt{A^2-x^2}\) \(p_c^2 (x)=m^2\omega^2(A^2-x^2)\) 量子谐振子的基态波函数: \(\psi_0(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}\) 动量算符作用在基态上: \(\hat p\psi_0=i m\omega x\psi_0\) 动量平方算符作用在基态上: \(\hat p^2\psi_0=-\hbar^2\psi_0’’\) \(=-\hbar^2\left(\frac{m^2\omega^2}{\hbar^2}x^2-\frac{m\omega}{\hbar}\right)\psi_0\) \(=\left(\hbar m\omega-m^2\omega^2x^2\right)\psi_0\) \(\hat p^2 =\hbar m\omega-m^2\omega^2x^2\) 我们对比前面的p和\(\hat p\)， 似乎p对应的是\(\sqrt{A^2-x^2}=y\), \(\hat p\)仅对应x 所以我们似乎可以觉得出，\(\hat p\)中隐藏了y方向的内容。 让经典的能量等于量子的能量： 经典的能量\(E=\frac{1}{2} m\omega^2A^2\) 量子的基态能量\(E_0=\frac{\hbar\omega}{2}\) 让\(E=E_0\)可得： ...

角动量\(\vec L=\vec r\times\vec p\) 角动量算符： \(\hat{\vec L} = \hat{\vec r} \times \hat{\vec p}\) \(\hat L_x = \hat y \hat p_z - \hat z \hat p_y\) \( = -i\hbar\left(y\frac{\partial}{\partial z} - z\frac{\partial}{\partial y}\right)\) \(\hat L_y = \hat z \hat p_x - \hat x \hat p_z\) \( = -i\hbar\left(z\frac{\partial}{\partial x} - x\frac{\partial}{\partial z}\right)\) \(\hat L_z = \hat x \hat p_y - \hat y \hat p_x\) \( = -i\hbar\left(x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial x}\right)\) ...

在前面的不确定性原理的证明中，得到一个不等式， \(\sqrt{\displaystyle \int |xf|^2 dt} \sqrt{\displaystyle \int |f’|^2 dt} \ge \frac{1}{2}\displaystyle \int |f|^2 dt \) 设： \(a=\sqrt{\displaystyle\int |xf|^2 dt}\), \(b=\sqrt{\displaystyle\int |f’|^2 dt}\), \(c=\sqrt{\displaystyle\int |xf-f’|^2 dt}\)， 可计算得到： \(c^2=a^2+b^2-\left[t|f|^2\right]_{-\infty}^{+\infty}+\displaystyle \int |f|^2dt\) \(xf^2\)远处快速衰减为0时， \(c^2=a^2+b^2+\displaystyle \int |f|^2dt\) 上面满足范数的三角不等式： \(a+b \ge c\) 于是有 \((a+b)^2 \ge c^2 =a^2+b^2+\displaystyle \int |f|^2dt\) 即可得： \(a b \ge \frac{1}{2}\displaystyle \int |f|^2dt\) 我们考虑边界不趋于0，\(tf^2\)和\(f^2\)积分项完全抵消的情况，两者相等 设\(f=g(t)e^{-iwt}\)， 则: \(a^2=\displaystyle \int t^2g^2dt\) \(b^2=\displaystyle \int (g’)^2dt+\omega^2\int g^2dt\) \(c^2=a^2+b^2+\displaystyle \int g^2dt-\left[tg^2\right]_{\text{边界}}\) 如果积分区间是 \([0,T]\)： \(\left[tg^2\right]_{\text{边界}}=Tg^2(T)-0\cdot g^2(0)=Tg^2(T)\) 于是要抵消后面两项，则要求： \(\displaystyle \int_0^T g^2dt=Tg^2(T)\) ...

不确定性原理的证明，最普遍的就是傅里叶变换的证明时间和频谱的关系： \(\Delta t \Delta w \ge \frac{1}{2}\) 我们从它的证明过程中，来寻找它成立的原因。 ==简略证明过程== 证明过程中得到了： \((\Delta t)^2 = \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} t^2 |f(t)|^2 dt\) \((\Delta \omega)^2 = \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \omega^2 |F(\omega)|^2 d\omega\) \( = 2\pi \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} |f’(t)|^2 dt\) 还有： \(\left( \displaystyle \int t^2 |f(t)|^2 dt \right) \left( \int |f’(t)|^2 dt \right) \ge \left| \int t f(t) f’(t)^* dt \right|^2 \) \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} t f(t) f’(t)^* dt= \frac{1}{2} \int t \cdot \frac{d}{dt}|f(t)|^2 dt\) \(=\frac{1}{2}(\left[ t |f(t)|^2 \right]_{-\infty}^{\infty} - \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt)\) ...

t(f(t))的含义是什么 在傅里叶变换和不确定性原理的讨论中，表达式 \[ t f(t) \] 的含义是函数 \(f(t)\) 乘以自变量 \(t\)，也就是逐点相乘得到的新函数： \[ g(t) = t f(t) \] 它的含义可以从几个角度理解： 1. 逐点相乘 对于每一个 \(t\)，把函数值 \(f(t)\) 乘以这个 \(t\)： \[ g(t) = t \cdot f(t) \] 例如： 若 \(f(t) = e^{-t^2}\)，则 \(t f(t) = t e^{-t^2}\) 若 \(f(t) = \cos t\)，则 \(t f(t) = t \cos t\) 2. 在积分中的含义 在不确定性原理的证明里，出现的是： \[ \int_{-\infty}^{\infty} t f(t) \overline{f’(t)} , dt \] 这里的 \(t f(t)\) 表示被积函数的一部分：用 \(t\) 对 \(f(t)\) 加权。 ...

傅里叶变换中，f(t)=cos(2t)+cos(5t)，求F(w) 好的，我们先一步步推导这个傅里叶变换问题。题目给出的是： \[ f(t) = \cos(2t) + \cos(5t) \] 要求它的傅里叶变换 \( F(\omega) \)。 第一步：回顾常用傅里叶变换公式 常用的傅里叶变换对（采用角频率 \(\omega\) 定义）是： \[ \mathcal{F}\{\cos(\omega_0 t)\} = \pi [\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)] \] 注意这里假设傅里叶变换定义为： \[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} , dt \] 第二步：对每一项应用公式 对于 \(\cos(2t)\)： 这里 \(\omega_0 = 2\)，所以： \[ \mathcal{F}\{\cos(2t)\} = \pi [\delta(\omega - 2) + \delta(\omega + 2)] \] 对于 \(\cos(5t)\)： 这里 \(\omega_0 = 5\)，所以： \[ \mathcal{F}\{\cos(5t)\} = \pi [\delta(\omega - 5) + \delta(\omega + 5)] \] ...

在前面贝尔不等式的分析中，我们构造了两个联合概率函数： 局域性的情况， \(P(a,b)=\displaystyle \int f(\lambda, a)g(\lambda, b) d\lambda\) 有 \(|P(a,b)| \le 2 \) 非局域性的情况， \(P’(a,b)=\displaystyle \int f(\lambda, a)g(\lambda, a, b) d\lambda\) 有 \(|P’(a,b)| \le 4 \) 目前量子力学里认为， 测试第一个粒子，以条件a测试，则测试后第二个粒子会马上做出反应，变成和条件a垂直，是马上变化，和距离、时间无关 如果存在一个隐变量，就出现上面局域性的函数P，可以证明P的绝对值小于等于2，第二个粒子的测量，与a无关。 但这个过程，忽略了一个方面，就是可能a就是那个隐变量，a就是两个粒子都相关的初始化条件，虽然a变来变去。 如果假设\(\lambda\)和a都是两个粒子的隐变量，它们的测量结果，由初始化参数\(\lambda\)和a共同决定，即存在一种作用，包括参数\(\lambda\),a，我们称其为\(\psi(\lambda,a)\)，两个粒子的测量结果由\(\lambda\)和a共同决定并且是唯一决定，那么上面的联合概率函数就变成了 \(P(a,b)=\displaystyle \int f(\psi(\lambda, a))g(\psi(\lambda+\frac{\pi}{2}+c,a), b)) d\lambda\) c是随机常数，上面的等式，对任意a,c成立。 此时就是一个非局域性概率函数。 上面的式子的测量含义，我们可以这样理解， 对第一个粒子的测量结果，由\((\lambda,a)\)决定， 对第二个粒子的测量结果，由\((\lambda+c,a,b)\)决定， c是任意常数，表示粒子偏振方向随机变化，但这显然可能有问题，所以我们目前假设c=0，即粒子在生成以后，偏振方向就不变，或者两个光子的偏振方向关系保持不变，这在纠缠光子的实验中确实是这样的。 在量子情况下，粒子要么通过，要么不通过，没有通过半个粒子的情况， 所以，上面的测量解释就是： 如果在角度a测量第一个粒子，如果它通过了，那么第二个粒子在角度a下，必然不通过。在角度b通过的概率，就是要基于a，是与a相关的，这是偏振测量里第二个粒子概率与(b-a)相关的原因。 所以，上面的解释简化为一点： 纠缠的两个粒子，在任意角度下，只能通过一个粒子。 即\(f(\lambda,a)\)只能为+1或-1，而且第二个粒子在b=a时，\(g(\lambda,a,b)\)的值对应着-1和+1，和f完全相反，也就是f是+1时，g必须是-1, f是-1时，g必须是+1。 在非纠缠时，两个偏振垂直的光子，f的值也是+1或-1，g的值也是+1或-1，但g的值与a无关，即使b=a，f为+1时，g的值可能是-1也可能是+1，与f的值无关。 这和概率波的解释是等价的，粒子测量后出现某种结果的概率是固定的。 问题的核心，应该还是和马吕斯定律有关。马吕斯定律是经典的，而在单量子的情况下，它仍然适应，但背后机理已经完全不同。经典情况下，使用了电场的投影来解释它，但在单量子情况下，是不使用的。单量子要么完全通过偏振片，要么不通过偏振片，即使是角度接近90度，水平方向的电场分量极小的情况下，它也有可能通过，最终大量光子的统计结果与马吕斯定律相同。 所以，关键是要找出量子情况下的马吕斯定律，在测量角度确定，而还有一个参数比如相位也确定的时候，对固定的偏振片参数，我们可以计算出这个光子是否通过偏振片。 这显然涉及到光子和电子的相互作用机制，其中还有一个我们没发现的参数，它导致了整个量子力学的随机性，概率解释。尝试寻找这个参数和其动力学模型，在这个参数和测量角度确认的情况下，我们能计算出光子是否通过，而不是只知道测量大量光子的概率。 扩展前面的\(\psi\)函数，引入一个未知隐变量x， \(\psi(\lambda,a,x)\)， \(P(a,b)=\displaystyle \int f(\psi(\lambda, a, x))g(\psi(\lambda+\frac{\pi}{2},a,x), b)) d\lambda\) 表示在确切知道\(\lambda,a,x\)时，就掌握了光子的所有状态信息，和测量无关。 这就把量子纠缠的测量后的概率问题，转变为了两个量子的初始值和作用机制上

我们先考虑局域性，两个粒子的测量结果，只和测量时各自的测量设置(比如角度)有关，两个设置互不相干，即用任何设置a测量第一个粒子，都不影响第二个粒子的测量值 两个粒子的测量的设置参数（比如偏振片角度）分别为a，b 两个粒子的测量结果，a和b没有相关性， 设粒子拥有两种状态+1,-1， 第一个粒子测得+1的概率为\(f(\lambda,a)\)，测得-1的概率为\(1-f(\lambda,a)\) 第二个粒子测得+1的概率为\(g(\lambda,b)\)，测得-1的概率为\(1-g(\lambda,b)\)，与a无关 f,g的值范围为0到1 两个粒子测量的联合概率就是得到的两个概率的乘积，然后对所有\(\lambda\)参数积分， 则测得第一个粒子和第二个粒子同时为+1的联合概率，写作： \(P_{++}=\int f(\lambda,a)g(\lambda,b)d\lambda\) 测得第一个粒子为+1，第二个粒子为-1的联合概率： \(P_{+-}=\int f(\lambda,a)(1-g(\lambda,b)) d\lambda\) 测得第一个粒子为-1，第二个粒子为+1的联合概率： \(P_{-+}=\int (1-f(\lambda,a))g(\lambda,b) d\lambda \) 测得第一个粒子为-1，第二个粒子为-1的联合概率： \(P_{- -}=\int (1-f(\lambda,a))(1-g(\lambda,b)) d\lambda \) 上面的积分，没有除以总和，假设了\(\lambda\)自己的积分为1. 对上面4种概率构造一个综合值E，作为对四种概率的一次性总计算： \(E(a,b)=P_{++}-P_{+-}-P_{-+}+P{–}\) \(=\int\Bigl[f g - f(1-g) - (1-f)g + (1-f)(1-g)\Bigr]d\lambda\) \(=\int\bigl[4f(\lambda,a)g(\lambda,b)-2f(\lambda,a)-2g(\lambda,b)+1\bigr]d\lambda\) \(=\int (2f(\lambda,a)-1)(2g(\lambda,b)-1) d\lambda \) \(=\int F(\lambda,a)G(\lambda,b) d\lambda \) 其中\(F=2f-1\), \(G=2g-1\)： 然后再构造最后一个值，用来计算四次测量的结果： \(|S|=E(a,b)+E(a,b’)+E(a’,b)-E(a’,b’)\) 表示四个设置(角度)a,b,a’,b’的四个组合的测量结果， |S|为四次测量组合的一个值，则上面的|S|计算后为 \(|S|=\displaystyle \int \Bigl[F(\lambda,a)G(\lambda,b)\) \( +F(\lambda,a)G(\lambda,b’)\) \( +F(\lambda,a’)G(\lambda,b)\) \( -F(\lambda,a’)G(\lambda,b’))\Bigr]d\lambda\) 省略\(\lambda\)方便查看： \(|S|=\displaystyle \int [F(a)G(b)+G(b)G(b’)+F(a’)G(b)-G(b)G(b’)] d\lambda\) 由于\( -1 \le F \le 1, -1 \le G \le 1\)， ...

前面我们讲了量子力学里关于测量两个粒子的偏振的情况。 但如果只测一对粒子，即使测出它们是垂直的，我们也不能决定出它们是纠缠的， 物理上测的是一批粒子，通过测一批粒子的几个概率值来判断这些粒子是否处于纠缠态， 以固定角度测量一个粒子，只有两种可能，要么是A，要么是B，将A情况设定为+1, 将测得B设定为-1，多次测量，得到关于两个结果的4个概率： P(+1,+1): A，B同时出现的概率 P(+1,-1): A发生，B没有出现的概率 P(-1,+1): A没出现，B出现了的概率 P(-1,-1): A和B都没出现的概率 满足P(+1,+1)+P(+1,-1)+P(-1,+1)+P(-1,-1)=1 然后构造一个关联函数： \(E=P(+1,+1)-P(+1,-1)-P(-1,+1)+P(-1,-1)\) 也就是将一次测量的四种结果结合成一个值 然后选择4个不同的角度(a,a’,b,b’)测量，得到4个E值，并将4个E值按下面计算： \(S=E(a,b)+E(a,b’)+E(a’,b)-E(a’,b’)\) 只要通过上面得到的四个E值，计算S，如果|S|>2，就判断为这批粒子处于纠缠态。 纠缠态下，上面的S的绝对值并非一直大于2，而是总能找到4个特殊的角度组合，让|S|>2。 我们拿一个形象的粒子来比喻， A和B两个人手里各有一张牌，各自翻牌，牌正面为+，反面为-，则有下面几种组合， 编号 A 的结果 B 的结果 组合 1 \(+\) \(+\) \(++\) 2 \(+\) \(-\) \(+-\) 3 \(-\) \(+\) \(-+\) 4 \(-\) \(-\) \(–\) 我们考虑三种情况：非纠缠，完全垂直，纠缠的情况。 第一种情况：A和B非纠缠，A和B每次翻牌的结果毫无关联，不一定相同，不一定相反，完全随机 由于每次测量的事件都是独立的，所以， A出现+，A出现-的概率都是{\frac{1}{2}\)， B出现+，B出现-的概率也是{\frac{1}{2}\)， 于是4种概率值： \(P(+,+)=P(+,-)=P(-,+)=P(-,-)\) \(=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\) \(E=P(+1,+1)-P(+1,-1)-P(-1,+1)+P(-1,-1)=0\) 于是对任意(a,a’,b,b’)组合， \(S=E(a,b)+E(a,b’)+E(a’,b)-E(a’,b)=0\) 第二种情况：A和B每次翻牌的结果有关联，A是正面，则B肯定是反面，同样有下面4种情况， 则： \(P(+,+)=0，P(-,-)=0，\) \(P(+,1)=1/2，P(-,+)=1/2，\) 即A是正面，B是反面，和A是反面，B是正面，两种情况各占1/2 于是： \(E=P(+1,+1)+P(-1,-1)-P(+1,-1)-P(-1,-1)=-1\) 则对任意(a,a’,b,b’)组合， \(S=E(a,b)+E(a,b’)+E(a’,b)-E(a’,b)=-2\) |S|=2 说明，在测得两个粒子的结果始终相反时，S的绝对值是2，和是否纠缠无关 第三种情况，两个粒子处于纠缠时，以偏振为例子 假设第一个粒子偏振方向与x轴角度为\(\lambda\)，第一个偏振片与x角度为a, 第二个偏振片与x轴角度为b ...