一维静电场Klein-Gordon方程 vs. 康普顿散射（电子撞击势垒）的能量-动量关系对比
1. 一维静电场中的Klein-Gordon方程
Klein-Gordon方程描述**自旋-0粒子（如π介子）**在静电场 \( V(x) \) 中的相对论量子行为。其能量-动量关系为：
\[ (E - V(x))^2 = c^2 p^2 + m^2 c^4 \] 其中：
- \( E \) = 粒子总能量（相对论能量）
- \( p \) = 粒子动量
- \( m \) = 粒子静质量
- \( V(x) \) = 静电势能（如势垒 \( V_0 \)）
守恒关系：
- 能量守恒：\( E \) 恒定（静电场不随时间变化）。
- 动量守恒：在势垒区域 \( V(x) \neq 0 \)，动量 \( p \) 会变化，但总能量 \( E \) 仍守恒。
势垒穿透（Klein隧穿）：
- 当 \( E < V_0 \)，经典力学禁止穿透，但K-G方程仍允许解： \[ p = \pm \sqrt{(E - V_0)^2 - m^2 c^4} / c \] 若 \( (E - V_0)^2 < m^2 c^4 \)，动量 \( p \) 为虚数（隧穿效应）。
2. 康普顿散射（电子撞击势垒）
康普顿散射描述光子与电子的弹性碰撞，动量-能量守恒为： \[ E_\gamma + E_e = E_\gamma’ + E_e’ \] \[ \vec{p}_\gamma + \vec{p}e = \vec{p}\gamma’ + \vec{p}_e’ \] 其中：
- \( E_\gamma = \hbar \omega \)（入射光子能量）
- \( E_e = \sqrt{p_e^2 c^2 + m^2 c^4} \)（电子初始能量）
- 带撇 \( ’ \) 表示散射后量。
若电子处于势垒 \( V(x) \) 中（如原子核库仑势），Dirac方程给出： \[ (E_e - V(x))^2 = c^2 p_e^2 + m^2 c^4 \] 类似K-G方程，但适用于自旋-1/2粒子。
对比：
| 物理量 | Klein-Gordon方程（静电场） | 康普顿散射（电子+势垒） |
|---|---|---|
| 能量守恒 | \( (E - V(x))^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 \) | \( E_\gamma + E_e = E_\gamma’ + E_e’ \) |
| 动量守恒 | 在势垒区 \( p \) 变化（虚数解可能） | \( \vec{p}_\gamma + \vec{p}e = \vec{p}\gamma’ + \vec{p}_e’ \) |
| 势能影响 | \( V(x) \) 直接耦合到能量项 | 光子能量 \( \hbar \omega \) 影响电子动能 |
| 隧穿效应 | Klein隧穿（\( E < V_0 \) 仍可能穿透） | 无直接隧穿，但高能光子可激发电子 |
3. 关键区别
-
粒子类型：
- K-G方程：自旋-0粒子（标量场）。
- 康普顿散射：自旋-1/2电子（需Dirac方程）+ 光子（电磁场）。
-
势能耦合方式：
- K-G方程：\( (E - V)^2 \) 形式（非线性）。
- 康普顿散射：光子能量直接加在电子动能上（\( E_e = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} + V \) 近似）。
-
动量守恒表现：
- K-G方程：势垒导致动量 \( p \) 可能变虚（隧穿）。
- 康普顿散射：光子动量转移给电子，\( \vec{p}e’ = \vec{p}e + \vec{p}\gamma - \vec{p}\gamma’ \)。
4. 结论
- Klein-Gordon方程 的 \( (E - V)^2 \) 形式导致相对论势垒穿透（Klein隧穿）。
- 康普顿散射 的动量-能量守恒描述光子-电子弹性碰撞，若电子受势垒 \( V(x) \)，需结合Dirac方程分析。
- 两者都体现相对论量子力学中能量-动量的非线性耦合，但适用场景不同（静电场 vs. 光子散射）。
1. 相对论性能量-动量关系
电子的 总能量（静能 + 动能）在相对论中由下式给出： \[ E = \sqrt{p^2 c^2 + E_0^2} \] 其中：
- \( E_0 = m c^2 \) 是电子的静能（\( m \) 是静质量），
- \( p \) 是电子动量，
- \( c \) 是光速。
2. 电子撞击势垒 \( V \) 时的能量守恒
假设势垒 \( V \) 是一个 固定势能（不携带自身动量，如静电场势垒），电子经过势垒时，其 总能量 会改变： \[ E_{\text{初始}} - V = E_{\text{最终}} \] 即： \[ \sqrt{p^2 c^2 + E_0^2} - V = \sqrt{p’^2 c^2 + E_0^2} \] （这里 \( V \) 是 势能，所以取负号表示电子进入势垒后总能量降低。）
3. 动量守恒
由于势垒 不携带动量（假设势垒固定），电子的动量在进入势垒后可以改变： \[ p \neq p’ \] （动量守恒仅要求 系统总动量守恒，但由于势垒固定，电子动量可以自由变化。）
4. 正确的守恒方程
将能量守恒方程平方： \[ \left( \sqrt{p^2 c^2 + E_0^2} - V \right)^2 = p’^2 c^2 + E_0^2 \] 展开左边： \[ p^2 c^2 + E_0^2 + V^2 - 2 V \sqrt{p^2 c^2 + E_0^2} = p’^2 c^2 + E_0^2 \] 消去 \( E_0^2 \)： \[ p^2 c^2 + V^2 - 2 V \sqrt{p^2 c^2 + E_0^2} = p’^2 c^2 \] 整理得： \[ p’^2 c^2 = p^2 c^2 + V^2 - 2 V \sqrt{p^2 c^2 + E_0^2} \] 或： \[ p’ = \sqrt{p^2 + \frac{V^2}{c^2} - \frac{2 V}{c^2} \sqrt{p^2 c^2 + E_0^2}} \]
5. 对比你的公式
你给出的公式： \[ (E_0 + p^2 c^2 - V)^2 = p’^2 c^2 + E_0^2 \] 不正确，因为：
- \( E_0 + p^2 c^2 \) 不是电子的总能量（总能量是 \( \sqrt{p^2 c^2 + E_0^2} \)）。
- 正确的能量守恒应该是 总能量 \( E \) 减去势能 \( V \)，而不是直接相加。
6. 物理意义
- 如果 \( V = 0 \)，则 \( p’ = p \)（动量不变）。
- 如果 \( V > 0 \)，电子进入势垒后 动能降低，动量 \( p’ \) 减小。
- 如果 \( V \) 很大，可能导致 \( p’^2 < 0 \)，即 虚数动量（隧穿效应，类似Klein隧穿）。
7. 特殊情况：初始动量 \( p = 0 \)（电子静止）
若电子初始静止（\( p = 0 \)），则： \[ \sqrt{0 + E_0^2} - V = \sqrt{p’^2 c^2 + E_0^2} \] \[ E_0 - V = \sqrt{p’^2 c^2 + E_0^2} \] 平方后： \[ E_0^2 + V^2 - 2 E_0 V = p’^2 c^2 + E_0^2 \] \[ p’^2 c^2 = V^2 - 2 E_0 V \] 若 \( V > 2 E_0 \)，则 \( p’^2 < 0 \)，意味着 电子无法进入该势垒（Klein隧穿可能发生）。
8. 结论
✅ 正确的能量-动量守恒方程： \[ \left( \sqrt{p^2 c^2 + E_0^2} - V \right)^2 = p’^2 c^2 + E_0^2 \] 或： \[ p’ = \sqrt{p^2 + \frac{V^2}{c^2} - \frac{2 V}{c^2} \sqrt{p^2 c^2 + E_0^2}} \]
问题回顾
在康普顿散射中，如果入射光子被电子完全吸收（即没有散射光子，只有电子获得能量和动量），为什么这会导致动量和能量无法同时守恒？
1. 康普顿散射的标准过程
在正常的康普顿散射中：
- 入射光子（能量 \( E_\gamma = h \nu \)，动量 \( p_\gamma = \frac{h \nu}{c} \)）与静止电子（静能 \( E_0 = m_e c^2 \)，初始动量 \( p_e = 0 \)）碰撞。
- 光子被散射，电子获得动量和能量：
- 散射光子：能量 \( E_\gamma’ = h \nu’ \)，动量 \( p_\gamma’ = \frac{h \nu’}{c} \)（方向改变）。
- 反冲电子：能量 \( E_e’ \)，动量 \( p_e’ \)。
能量守恒： \[ E_\gamma + E_0 = E_\gamma’ + E_e’ \]
动量守恒（矢量守恒）： \[ \vec{p}\gamma = \vec{p}\gamma’ + \vec{p}_e’ \]
2. 假设光子被完全吸收（无散射光子）
如果光子被电子完全吸收（即 \( E_\gamma’ = 0 \)，\( p_\gamma’ = 0 \)），则：
- 电子获得光子的全部能量和动量：
- 能量守恒： \[ E_\gamma + E_0 = E_e’ \]
- 动量守恒： \[ \vec{p}_\gamma = \vec{p}_e’ \]
（1）能量关系
电子的相对论总能量： \[ E_e’ = \sqrt{(p_e’ c)^2 + E_0^2} \] 代入能量守恒： \[ E_\gamma + E_0 = \sqrt{(p_\gamma c)^2 + E_0^2} \] 由于 \( p_\gamma = \frac{E_\gamma}{c} \)，代入得： \[ E_\gamma + E_0 = \sqrt{E_\gamma^2 + E_0^2} \]
（2）动量关系
光子动量完全转移给电子： \[ p_e’ = p_\gamma = \frac{E_\gamma}{c} \]
3. 矛盾出现
我们计算 \( E_\gamma + E_0 = \sqrt{E_\gamma^2 + E_0^2} \)：
- 两边平方： \[ (E_\gamma + E_0)^2 = E_\gamma^2 + E_0^2 \] \[ E_\gamma^2 + 2 E_\gamma E_0 + E_0^2 = E_\gamma^2 + E_0^2 \] \[ 2 E_\gamma E_0 = 0 \]
- 由于 \( E_\gamma \neq 0 \) 且 \( E_0 \neq 0 \)，上式 不可能成立！
4. 物理原因
-
能量守恒要求电子吸收光子后，总能量必须满足相对论性能量-动量关系： \[ E_e’ = \sqrt{(p_e’ c)^2 + E_0^2} \] 但直接吸收光子会导致： \[ E_e’ = E_\gamma + E_0 > \sqrt{E_\gamma^2 + E_0^2} \] 这意味着电子的能量 超过了其相对论极限，违背了相对论动力学。
-
动量守恒虽然可以满足（\( p_e’ = p_\gamma \)），但 能量无法同时守恒，因为：
- 光子是零静质量粒子，其能量全部来自动量（\( E_\gamma = p_\gamma c \)）。
- 电子有静质量，其能量必须满足 \( E_e’ \geq E_0 \)，且严格大于 \( \sqrt{p_e’^2 c^2 + E_0^2} \) 时才可能吸收光子，但这是不可能的。
5. 唯一可能的例外
唯一可能让光子被“完全吸收”的情况是：
- 电子处于束缚态（如原子中的电子），此时 原子核会吸收部分反冲动量，使得总能量-动量守恒。
- 但在自由电子情况下，无法同时满足能量和动量守恒，因此康普顿散射必须产生散射光子。
6. 结论
✅ 自由电子无法完全吸收光子，因为：
- 能量守恒要求 \( E_\gamma + E_0 = \sqrt{E_\gamma^2 + E_0^2} \)，但这是数学矛盾（除非 \( E_\gamma = 0 \)）。
- 动量守恒虽然可以满足，但电子的相对论能量-动量关系禁止这种吸收。
❌ 如果强行假设光子被完全吸收，则必须违反能量或动量守恒之一，因此康普顿散射 必须 有散射光子存在。
正确的相对论势垒问题能量-动量关系
是的，你的公式 基本正确，但需要明确各物理量的定义。我们系统推导一下：
1. 问题设定
- 电子初始总能量：\( E = \sqrt{p_0^2 c^2 + E_0^2} \)（含动能和静能）
- 静能：\( E_0 = m c^2 \)
- 电子进入势垒区域后，势能降低 \( V \)（即势垒为 \( -V \)）
- 进入势垒后电子总能量：\( E’ = E - V \)
- 进入势垒后动量：\( p \)
2. 相对论能量-动量关系
在势垒内，电子的总能量 \( E’ \) 和动量 \( p \) 仍满足： \[ (E’)^2 = (p c)^2 + E_0^2 \] 代入 \( E’ = E - V \)： \[ (E - V)^2 = (p c)^2 + E_0^2 \] 这是 完全正确 的表达式，与你给出的公式一致。
3. 关键点说明
-
能量守恒：
- 电子进入势垒后，总能量减少 \( V \)（因为势能 \(-V\) 是负值，相当于势阱）。
- 初始总能量 \( E \) 是相对论总能量（含静能 \( E_0 \) 和动能）。
-
动量变化：
- 动量 \( p \) 会因势垒作用而改变，但关系式 \( (E - V)^2 = (p c)^2 + E_0^2 \) 必须成立。
-
静能 \( E_0 \) 的作用：
- 静能始终包含在总能量中，即使电子被加速或减速，\( E_0 \) 不变。
4. 对比经典情况
- 经典力学（非相对论）：
动能 \( T = \frac{p^2}{2m} \)，势垒导致 \( T \to T - V \)，但无法处理 \( V > T \) 的情况（隧穿需量子力学）。 - 相对论量子力学：
通过 \( (E - V)^2 = p^2 c^2 + E_0^2 \) 自然包含隧穿效应（如 \( E - V < E_0 \) 时 \( p \) 为虚数）。
5. 特殊情况验证
(1) 无势垒（\( V = 0 \)）
\[ E^2 = p^2 c^2 + E_0^2 \] 即标准的相对性能量-动量关系，验证公式正确。
(2) 极端势垒（\( V \gg E \)）
若 \( V \) 很大，使得 \( E - V < E_0 \)，则： \[ p^2 c^2 = (E - V)^2 - E_0^2 < 0 \] 动量 \( p \) 为虚数，对应 Klein隧穿（量子隧穿的相对论版本）。
6. 常见错误辨析
- 错误写法：\( E^2 - V^2 = p^2 c^2 + E_0^2 \)
❌ 混淆了势能 \( V \) 和能量-动量关系。 - 正确写法：\( (E - V)^2 = p^2 c^2 + E_0^2 \)
✅ 明确势能是总能量的偏移。
7. 结论
✅ 你给出的公式 完全正确： \[ (E - V)^2 = (p c)^2 + E_0^2 \] 其中：
- \( E = \sqrt{p_0^2 c^2 + E_0^2} \)（初始总能量），
- \( V \) 为势垒深度（势能 \(-V \)），
- \( p \) 是势垒内动量，
- \( E_0 \) 是静能。
该公式统一描述了相对论电子在势垒中的能量-动量行为，包括经典加速、减速和量子隧穿效应。
能量守恒关系应该是： \[ E_{\text{初始}} - V = E_{\text{电子最终}} + \Delta E \] 其中：
- \(E_{\text{初始}}\) 是电子的初始总能量，
- \(V\) 是势垒的势能（正值，势垒为 \(-V\) 表示电子势能降低），
- \(E_{\text{电子最终}}\) 是电子穿过势垒后的总能量，
- \(\Delta E\) 是额外损失或获得的能量（例如辐射损失或外界能量注入）。
电子的相对论总能量与动量关系为： \[ E_{\text{电子最终}} = \sqrt{p^2 c^2 + E_0^2} \] 因此，能量守恒方程为： \[ E_{\text{初始}} - V = \sqrt{p^2 c^2 + E_0^2} + \Delta E \]
求解动量 \(p\)
将方程整理： \[ \sqrt{p^2 c^2 + E_0^2} = E_{\text{初始}} - V - \Delta E \] 两边平方： \[ p^2 c^2 + E_0^2 = (E_{\text{初始}} - V - \Delta E)^2 \] 解得动量 \(p\)： \[ p = \frac{1}{c} \sqrt{(E_{\text{初始}} - V - \Delta E)^2 - E_0^2} \]
物理讨论
-
动量 \(p\) 为实数的条件： \[ (E_{\text{初始}} - V - \Delta E)^2 \geq E_0^2 \]
- 若 \(E_{\text{初始}} - V - \Delta E \geq E_0\)： \[ E_{\text{初始}} - V - \Delta E \geq E_0 \quad \Rightarrow \quad E_{\text{初始}} \geq E_0 + V + \Delta E \] 此时电子可以经典地穿过势垒。
- 若 \(E_{\text{初始}} - V - \Delta E \leq -E_0\)： \[ E_{\text{初始}} - V - \Delta E \leq -E_0 \quad \Rightarrow \quad E_{\text{初始}} \leq -E_0 + V + \Delta E \] 这种情况通常无物理意义（除非 \(V + \Delta E > E_0 + E_{\text{初始}}\)）。
-
特殊情况：
- 无能量变化（\(\Delta E = 0\)）： \[ p = \frac{1}{c} \sqrt{(E_{\text{初始}} - V)^2 - E_0^2} \] 若 \(E_{\text{初始}} - V \geq E_0\)，电子可穿过势垒；否则可能隧穿（\(p\) 为虚数）。
- 能量损失（\(\Delta E > 0\)）： 电子需要更高的初始能量 \(E_{\text{初始}}\) 才能穿过势垒。
- 能量增益（\(\Delta E < 0\)）： 电子更容易穿过势垒（等效于势垒变低）。
最终答案
电子穿过势垒 \(-V\) 并伴随能量变化 \(\Delta E\) 后的动量 \(p\) 为： \[ p = \frac{1}{c} \sqrt{(E_{\text{初始}} - V - \Delta E)^2 - E_0^2} \] 其中：
- \(E_{\text{初始}} = \sqrt{p_0^2 c^2 + E_0^2}\)（初始总能量，\(p_0\) 为初始动量），
- \(V\) 是势垒的势能（正值），
- \(\Delta E\) 是额外能量变化（可正可负），
- \(E_0 = m c^2\) 是电子静能。
适用条件： \[ (E_{\text{初始}} - V - \Delta E)^2 \geq E_0^2 \] 否则 \(p\) 为虚数，对应量子隧穿效应。
问题描述
电子穿过势垒时，发生部分反射和部分透射，产生：
- 反射部分：能量 \( E_r \)，动量 \( p_r \)
- 透射部分：能量 \( E_t \)，动量 \( p_t \)
- 势垒高度为 \( -V \)（即电子势能降低 \( V \)）
要求建立能量和动量守恒方程。
1. 能量守恒
初始电子总能量 \( E_i \) 应等于反射、透射和势垒作用后的总能量： \[ E_i = E_r + E_t - V \] 其中：
- \( E_i = \sqrt{p_i^2 c^2 + E_0^2} \)（初始电子总能量，\( p_i \) 为初始动量）
- \( E_r = \sqrt{p_r^2 c^2 + E_0^2} \)（反射电子总能量）
- \( E_t = \sqrt{p_t^2 c^2 + E_0^2} \)（透射电子总能量）
- \( V \) 是势垒的势能（电子进入势垒后势能降低 \( V \)，故总能量减少 \( V \)）
2. 动量守恒
动量是矢量，需考虑方向。假设：
- 入射方向为 \( +x \)，反射方向为 \( -x \)，透射方向为 \( +x \) 则动量守恒方程为： \[ p_i = -p_r + p_t \] （反射动量 \( p_r \) 方向相反）
3. 方程整理
(1) 能量守恒方程
\[ \sqrt{p_i^2 c^2 + E_0^2} = \sqrt{p_r^2 c^2 + E_0^2} + \sqrt{p_t^2 c^2 + E_0^2} - V \]
(2) 动量守恒方程
\[ p_i + p_r = p_t \]
4. 物理意义
- 反射和透射共存：
势垒导致电子波函数分裂为反射和透射部分，两者能量和动量需同时守恒。 - 势垒作用：
势垒 \( -V \) 降低电子总能量，但反射和透射电子仍需满足 \( E = \sqrt{p^2 c^2 + E_0^2} \)。 - 隧穿效应：
若 \( E_i - V < E_0 \)，透射动量 \( p_t \) 可能为虚数，表示量子隧穿。
5. 特殊情况
(1) 完全透射（无反射）
- \( p_r = 0 \), \( E_r = E_0 \)
能量守恒： \[ \sqrt{p_i^2 c^2 + E_0^2} - V = \sqrt{p_t^2 c^2 + E_0^2} \] 动量守恒： \[ p_i = p_t \] 此时要求 \( V = 0 \)，否则矛盾（说明完全透射需无势垒）。
(2) 完全反射（无透射）
- \( p_t = 0 \), \( E_t = E_0 \)
能量守恒： \[ \sqrt{p_i^2 c^2 + E_0^2} = \sqrt{p_r^2 c^2 + E_0^2} - V \] 动量守恒： \[ p_i = -p_r \] 解得： \[ V = 2 \left( \sqrt{p_i^2 c^2 + E_0^2} - E_0 \right) \] 即势垒 \( V \) 需足够大才能实现完全反射。
6. 一般解法
需联立求解非线性方程组： \[ \begin{cases} \sqrt{p_i^2 c^2 + E_0^2} = \sqrt{p_r^2 c^2 + E_0^2} + \sqrt{(p_i + p_r)^2 c^2 + E_0^2} - V \ p_t = p_i + p_r \end{cases} \] 通常需数值方法或近似（如低能极限 \( E \approx E_0 + \frac{p^2}{2m} \)）。
7. 结论
能量-动量守恒方程： \[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{能量守恒：} \quad \sqrt{p_i^2 c^2 + E_0^2} = \sqrt{p_r^2 c^2 + E_0^2} + \sqrt{p_t^2 c^2 + E_0^2} - V \ &\text{动量守恒：} \quad p_i = -p_r + p_t \end{aligned} } \]
- 反射和透射比例由势垒高度 \( V \) 和初始能量 \( E_i \) 决定。
- 若 \( V \) 较大，反射增强；若 \( E_i \gg V \)，透射主导。
问题回顾
在Klein-Gordon方程中，我们得到反射和透射电子的动量表达式： \[ p_r = \sqrt{E^2 - E_0^2}, \quad p_t = \sqrt{(E - V)^2 - E_0^2} \] 其中：
- \( E \) 是电子初始总能量，
- \( E_0 = m c^2 \) 是电子静能，
- \( V \) 是势垒高度（势能为 \(-V\)）。
我们需要验证这些表达式是否满足能量和动量守恒，并讨论其物理意义。
1. 能量守恒验证
电子的总能量在势垒前后应满足： \[ E = E_r + E_t - V \] 假设反射和透射电子的能量分别为： \[ E_r = \sqrt{p_r^2 c^2 + E_0^2}, \quad E_t = \sqrt{p_t^2 c^2 + E_0^2} \] 代入 \( p_r \) 和 \( p_t \)： \[ E_r = \sqrt{(\sqrt{E^2 - E_0^2})^2 c^2 + E_0^2} = \sqrt{E^2 - E_0^2 + E_0^2} = E \] \[ E_t = \sqrt{(\sqrt{(E - V)^2 - E_0^2})^2 c^2 + E_0^2} = \sqrt{(E - V)^2 - E_0^2 + E_0^2} = |E - V| \] 因此，能量守恒方程为： \[ E = E + |E - V| - V \]
- 若 \( E > V \)： \[ E = E + (E - V) - V \implies E = 2E - 2V \implies E = 2V \] 这意味着 仅当 \( E = 2V \) 时能量守恒成立，否则矛盾。
- 若 \( E < V \)： \[ E = E + (V - E) - V \implies E = 0 \] 无物理意义。
结论：
直接假设 \( p_r = \sqrt{E^2 - E_0^2} \) 和 \( p_t = \sqrt{(E - V)^2 - E_0^2} \) 不满足能量守恒，除非 \( E = 2V \)。
2. 动量守恒验证
动量守恒要求： \[ p_i = -p_r + p_t \] 假设初始动量 \( p_i = \sqrt{E^2 - E_0^2} \)，则： \[ \sqrt{E^2 - E_0^2} = -\sqrt{E^2 - E_0^2} + \sqrt{(E - V)^2 - E_0^2} \] 解得： \[ 2 \sqrt{E^2 - E_0^2} = \sqrt{(E - V)^2 - E_0^2} \] 两边平方： \[ 4 (E^2 - E_0^2) = (E - V)^2 - E_0^2 \] 展开： \[ 4 E^2 - 4 E_0^2 = E^2 - 2 E V + V^2 - E_0^2 \] 整理： \[ 3 E^2 + 2 E V - V^2 - 3 E_0^2 = 0 \] 这是关于 \( E \) 的二次方程，解为： \[ E = \frac{-2 V \pm \sqrt{4 V^2 + 12 (V^2 + 3 E_0^2)}}{6} \] 仅当 \( E \) 和 \( V \) 满足特定关系时成立，否则动量守恒矛盾。
3. 正确的Klein-Gordon方程解
在Klein-Gordon方程中，反射和透射系数需通过波函数连续性条件求解。设入射波、反射波和透射波形式为： \[ \psi(x) = \begin{cases} A e^{i p_i x / \hbar} + B e^{-i p_r x / \hbar}, & x < 0 \quad \text{(入射 + 反射)} \ C e^{i p_t x / \hbar}, & x > 0 \quad \text{(透射)} \end{cases} \] 边界条件（\( x = 0 \) 处波函数和导数连续）给出： \[ A + B = C, \quad p_i A - p_r B = p_t C \] 解得反射系数 \( R = |B/A|^2 \) 和透射系数 \( T = |C/A|^2 \)，且 \( R + T = 1 \)。
动量关系：
- 入射和反射动量：\( p_i = p_r = \sqrt{E^2 - E_0^2} \)
- 透射动量：\( p_t = \sqrt{(E - V)^2 - E_0^2} \)
但此时 能量守恒已隐含在边界条件中，无需额外验证。
4. 物理意义
- \( E > V + E_0 \)：
- \( p_t \) 为实数，电子可经典透射。
- 反射和透射比例由势垒高度 \( V \) 决定。
- \( E_0 < E < V + E_0 \)：
- \( p_t \) 为虚数，发生量子隧穿（指数衰减透射波）。
- Klein隧穿（\( V > 2 E_0 \)）：
即使 \( E < V \)，透射概率仍显著（相对论效应）。
5. 修正后的动量表达式
正确的反射和透射动量应通过边界条件确定，而非直接假设。若势垒区域为 \( -V \)，则：
- 入射和反射动量：
\[ p_i = p_r = \sqrt{E^2 - E_0^2} \] - 透射动量：
\[ p_t = \sqrt{(E - V)^2 - E_0^2} \] 但需满足边界条件 \( A + B = C \) 和 \( p_i (A - B) = p_t C \)，解得： \[ \frac{B}{A} = \frac{p_i - p_t}{p_i + p_t}, \quad \frac{C}{A} = \frac{2 p_i}{p_i + p_t} \]
6. 结论
- 直接假设 \( p_r \) 和 \( p_t \) 的表达式一般不满足能量-动量守恒，除非 \( E = 2V \)。
- 正确解法需通过Klein-Gordon方程的波函数匹配确定 \( p_r \) 和 \( p_t \)，此时： \[ p_r = p_i = \sqrt{E^2 - E_0^2}, \quad p_t = \sqrt{(E - V)^2 - E_0^2} \] 但反射和透射系数 \( B/A \) 和 \( C/A \) 需满足边界条件。