前面的证明五不好理解，我们改进一下。
在任意一个坐标系内，从原点发射一束光，到达三维坐标轴上任意一点\((x,y,z)\),满足：
\((ct)^2=x^2+y^2+z^2 \)
如果坐标系O’沿着x轴方向相对于坐标系O以匀速\(v\)运动，那么在两个坐标系原点重合时，发射一束光，那么，由于在y和z方向上没有相对运动，所以y，z方向上光走的距离是相同的，假设光到达点\((x,y,z)\)时，O坐标系测得时间为t, O’测得时间为t’，那么必然有：
\((ct)^2-x^2=(ct’)^2-x’^2 \)
x和x’为光在O和O’坐标系的x轴上的坐标值(投影值)。
我们知道，光走了t距离时，坐标O’的原点\(x’=0\)，而在O上看来，O’的原点在\(x=vt\)，也就是光在O和O’上的x坐标上的投影是\(vt\)和0，(O’坐标觉得自己走了\(vt’\)距离)，如下图：
于是根据前面的等式，我们可以得到：
\( (ct)^2 - (vt)^2 =(ct’)^2 -0^2 \)
于是得到：
\(t =\gamma t’ \)
于是有：
\( vt =\gamma vt’ \)
上面的等式说明，光在O坐标系内的x方向走了\(vt\)，那么在O’上走的距离为\( vt’=vt/\gamma \)，由于t是连续的，那么在两个坐标上的任意一点，我们可以肯定，使用同一束光测量的同一个位置，O上的x投影值始终是O’上值的\( \gamma \)倍。
那么我们在O’上寻找一个点，相对于O’原点的坐标为\(x’\)，如上图。同样O和O’重合时发射一束光，光在O’坐标系到\(x’\)时，走了\(x’+vt’\)的距离，对应着O坐标系上的\(x\)值，前面我们得出了两个坐标值始终为\( \gamma \)倍关系，所以必然有
\( x=\gamma(x’+vt’) \)。