点电荷的库伦势的积分公式, \delta^3(r’)是什么物理意义，q\delta^3(r’)/|r-r’|又是什么意义

1. 理解点电荷的库仑势公式

首先，我们来看给定的库仑势的积分表达式：

\[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{q , \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} , d^3\mathbf{r}’ \]

这是一个计算位于某点的点电荷在空间任意点 \(\mathbf{r}\) 处产生的电势的公式。为了理解这个公式，我们需要分解其中的各个部分。

2. 三维狄拉克δ函数 \(\delta^3(\mathbf{r}’)\)

定义：

三维狄拉克δ函数 \(\delta^3(\mathbf{r}’)\) 是三个一维狄拉克δ函数的乘积：

\[ \delta^3(\mathbf{r}’) = \delta(x’) \delta(y’) \delta(z’) \]

其中，\(\mathbf{r}’ = (x’, y’, z’)\) 是位置矢量。

物理意义：

狄拉克δ函数是一种广义函数（或称为分布），它在除原点以外的所有点都为零，但在原点处“无限大”，且满足：

\[ \int_{\text{全空间}} \delta^3(\mathbf{r}’) , d^3\mathbf{r}’ = 1 \]

在物理学中，\(\delta^3(\mathbf{r}’)\) 用于描述在空间某一点（这里是原点）的“点源”或“点量”。例如：

  • 点电荷：电荷密度集中在一点。
  • 点质量：质量密度集中在一点。
  • 瞬时冲击：时间上的瞬间作用。

在本题中，\(\delta^3(\mathbf{r}’)\) 表示电荷密度集中在原点 \(\mathbf{r}’ = 0\)。

3. \(q \delta^3(\mathbf{r}’)\) 的物理意义

电荷密度：

电荷密度 \(\rho(\mathbf{r}’)\) 描述的是单位体积内的电荷量。对于点电荷 \(q\) 位于原点的情况，其电荷密度可以表示为：

\[ \rho(\mathbf{r}’) = q \delta^3(\mathbf{r}’) \]

这是因为：

  • 在原点 \(\mathbf{r}’ = 0\)，电荷密度“无限大”（因为电荷集中在无限小的体积内）。

  • 在其他地方 \(\mathbf{r}’ \neq 0\)，电荷密度为零。

  • 积分全空间：

    \[ \int \rho(\mathbf{r}’) , d^3\mathbf{r}’ = q \int \delta^3(\mathbf{r}’) , d^3\mathbf{r}’ = q \]

    这正好是总电荷量。

因此，\(q \delta^3(\mathbf{r}’)\) 表示位于原点的点电荷 \(q\) 的电荷密度。

4. \(\frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\) 的物理意义

现在来看被积函数中的 \(\frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\)。

库仑势的一般表达式：

对于连续的电荷分布 \(\rho(\mathbf{r}’\)，空间某点 \(\mathbf{r}\) 的电势 \(\phi(\mathbf{r})\) 由以下积分给出：

\[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} , d^3\mathbf{r}’ \]

这个公式表示：每个小体积元 \(d^3\mathbf{r}’\) 中的电荷 \(\rho(\mathbf{r}’) d^3\mathbf{r}’\) 对电势的贡献是 \(\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\rho(\mathbf{r}’) d^3\mathbf{r}’}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\)，然后对所有空间积分得到总电势。

点电荷的情况：

对于点电荷 \(q\) 位于原点，\(\rho(\mathbf{r}’) = q \delta^3(\mathbf{r}’)\)，因此：

\[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} , d^3\mathbf{r}’ \]

被积函数的解释：

\(\frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\) 可以理解为：

  • \(\delta^3(\mathbf{r}’)\) 限制了积分只在 \(\mathbf{r}’ = 0\) 处有贡献。

  • 因此，\(|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|\) 在 \(\mathbf{r}’ = 0\) 时为 \(|\mathbf{r}| = r\)（即观察点到原点的距离）。

  • 所以积分实际上只计算 \(\mathbf{r}’ = 0\) 处的贡献：

    \[ \int \frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} , d^3\mathbf{r}’ = \frac{q}{|\mathbf{r} - 0|} = \frac{q}{r} \]

因此，电势为：

\[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r} \]

这正是点电荷的库仑势。

5. 为什么需要δ函数？

连续与离散：

在连续电荷分布的情况下，电荷密度 \(\rho(\mathbf{r}’)\) 是平滑的函数。但对于点电荷，电荷集中在无限小的点，传统的函数无法描述这种“无限大”的密度。δ函数提供了一种数学工具，能够精确描述这种极限情况。

数学上的严谨性：

δ函数允许我们将点电荷的密度表示为 \(\rho(\mathbf{r}’) = q \delta^3(\mathbf{r}’)\)，从而可以统一地用连续分布的积分公式来处理点电荷的情况。这使得数学表达更加简洁和通用。

6. 具体计算示例

让我们具体计算一下给定的积分：

\[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} , d^3\mathbf{r}’ \]

根据δ函数的性质：

\[ \int f(\mathbf{r}’) \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{a}) , d^3\mathbf{r}’ = f(\mathbf{a}) \]

这里 \(f(\mathbf{r}’) = \frac{q}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\)，且 \(\mathbf{a} = 0\)，所以：

\[ \int \frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} , d^3\mathbf{r}’ = \frac{q}{|\mathbf{r} - 0|} = \frac{q}{r} \]

因此：

\[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r} \]

7. 推广到任意位置的点电荷

如果点电荷 \(q\) 不在原点，而是位于 \(\mathbf{r}_0\)，那么电荷密度为：

\[ \rho(\mathbf{r}’) = q \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_0) \]

电势为：

\[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{q \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} , d^3\mathbf{r}’ = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|} \]

这与我们的物理直觉一致：点电荷在 \(\mathbf{r}_0\) 处的电势与距离 \(|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|\) 成反比。

8. 物理意义的总结

  • \(\delta^3(\mathbf{r}’)\)：表示一个位于原点的“点源”或“点量”。在电荷密度的语境下，它表示电荷集中在原点。
  • \(q \delta^3(\mathbf{r}’)\)：表示位于原点的点电荷 \(q\) 的电荷密度。
  • \(\frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\)：这是被积函数，结合δ函数后，表示点电荷 \(q\) 在距离 \(r\) 处产生的电势的贡献。积分后得到熟悉的点电荷电势公式。

9. 可能的误区与澄清

误区1：δ函数是普通函数

δ函数不是传统意义上的函数，它在数学上属于广义函数或分布。它不能像普通函数那样逐点取值，而是通过积分来定义。

误区2：\(\delta^3(\mathbf{r}’)\) 的维度

三维δ函数的单位是体积的倒数（\([L]^{-3}\)），因为：

\[ \int \delta^3(\mathbf{r}’) , d^3\mathbf{r}’ = 1 \quad \text{（无量纲）} \]

而 \(d^3\mathbf{r}’\) 的单位是 \([L]^3\)，所以 \(\delta^3(\mathbf{r}’)\) 的单位是 \([L]^{-3}\)。

因此，\(q \delta^3(\mathbf{r}’)\) 的单位是电荷除以体积（即电荷密度），与 \(\rho(\mathbf{r}’)\) 一致。

误区3：\(\frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\) 的直接解释

单独看 \(\frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\) 可能不太直观，因为它结合了δ函数和距离的反比。重要的是它在积分中的作用：δ函数筛选出 \(\mathbf{r}’ = 0\) 的点，此时分母变为 \(|\mathbf{r}|\)。

10. 数学与物理的结合

在物理学中，δ函数是一种强大的工具，用于将离散的点源（如点电荷、点质量）纳入连续的数学框架中。通过使用δ函数，我们可以：

  • 统一处理连续分布和离散点源。
  • 利用积分和微分的形式理论（如泊松方程 \(\nabla^2 \phi = -\rho/\epsilon_0\) 对于点电荷的解）。
  • 简化计算，避免对点源的单独处理。

11. 进一步的应用

格林函数：

在数学物理中，\(\frac{1}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\) 是拉普拉斯算子的格林函数。δ函数出现在泊松方程中：

\[ \nabla^2 \phi(\mathbf{r}) = -\frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0} \]

对于点电荷 \(\rho(\mathbf{r}) = q \delta^3(\mathbf{r})\)，解为：

\[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r} \]

这表明 \(\frac{1}{4\pi |\mathbf{r}|}\) 是 \(\nabla^2\) 的“逆”在三维空间的表现。

多极展开：

对于更复杂的电荷分布，可以将 \(\rho(\mathbf{r}’)\) 展开为多极矩（单极、偶极、四极等），其中点电荷对应于单极项。

12. 总结

  • \(\delta^3(\mathbf{r}’)\)：三维狄拉克δ函数，表示位于原点的点源。
  • \(q \delta^3(\mathbf{r}’)\)：位于原点的点电荷 \(q\) 的电荷密度。
  • \(\frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\)：在电势积分中，筛选出点电荷在 \(\mathbf{r}’ = 0\) 处的贡献，最终给出点电荷的电势 \(\frac{q}{4\pi\epsilon_0 r}\)。

通过δ函数，我们能够用连续的数学形式精确描述离散的点电荷，这是理论物理中常用的强大工具。

q\delta ^3(r’)/|r-r’| 表示在r’处的点电荷q，在r处产生的电势 ?

问题重述

我们需要明确表达式 \(\frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\) 的物理意义，特别是提问者问：“这是否表示在 \(\mathbf{r}’\) 处的点电荷 \(q\) 在 \(\mathbf{r}\) 处产生的电势？”

直接回答

是的，\(\frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\) 可以理解为：位于 \(\mathbf{r}’\) 处的点电荷 \(q\) 在观测点 \(\mathbf{r}\) 处产生的电势的“贡献密度”。
不过需要特别注意以下几点：

详细解释

1. \(\delta^3(\mathbf{r}’)\) 的作用

  • \(\delta^3(\mathbf{r}’)\) 是三维狄拉克δ函数，表示点源位于 \(\mathbf{r}’\)。
  • 它的性质是： \[ \int \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{a}) , d^3\mathbf{r}’ = 1 \quad \text{且} \quad \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{a}) = 0 \quad \text{当} \quad \mathbf{r}’ \neq \mathbf{a}. \]
  • 因此，\(q \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{a})\) 表示位于 \(\mathbf{r}’ = \mathbf{a}\) 的点电荷 \(q\) 的电荷密度。

2. \(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\) 的作用

  • 这是库仑势的距离衰减因子，表示点电荷的电势与距离成反比。
  • 对于位于 \(\mathbf{r}’\) 的点电荷 \(q\)，其在 \(\mathbf{r}\) 处的电势为： \[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}. \]

3. \(\frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\) 的完整意义

  • 单独看 \(\frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\)，它是一个“被积函数”，描述的是：
    • 如果电荷密度是 \(q \delta^3(\mathbf{r}’)\)（即点电荷 \(q\) 位于 \(\mathbf{r}’\)），
    • 那么它对 \(\mathbf{r}\) 处电势的贡献密度是 \(\frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\)。
  • 但直接说“它表示电势”不完全准确，因为：
    • 电势需要通过积分计算： \[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} , d^3\mathbf{r}’ = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{|\mathbf{r}|} \quad \text{(若电荷在原点)}. \]
    • 只有积分后才是实际的电势值。

4. 物理意义的总结

  • \(\frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\) 的物理意义是：
    • “位于 \(\mathbf{r}’\) 的点电荷 \(q\) 对 \(\mathbf{r}\) 处电势的贡献密度”。
    • 它是一个数学工具，用于通过积分计算实际电势。
  • 严格来说：
    • 单独 \(\frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\) 不是电势，而是电势积分中的被积函数。
    • 积分后 \(\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\) 才是电势。

5. 类比：点质量的重力势

  • 类似地，质量为 \(m\) 的质点位于 \(\mathbf{r}’\)，其对 \(\mathbf{r}\) 处重力势的贡献密度为： \[ \frac{m \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}. \]
  • 积分后得到重力势： \[ \Phi(\mathbf{r}) = -G \frac{m}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}. \]

6. 常见误解澄清

  • 误解1：认为 \(\frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\) 直接是电势。
    • 纠正：它是电势的“贡献密度”，需积分后才是电势。
  • 误解2：忽略 \(\delta^3(\mathbf{r}’)\) 的筛选作用。
    • 纠正：\(\delta^3(\mathbf{r}’)\) 确保电荷仅在 \(\mathbf{r}’\) 处存在。

7. 数学验证

对位于 \(\mathbf{r}’ = \mathbf{a}\) 的点电荷 \(q\)： \[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{q \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{a})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} , d^3\mathbf{r}’ = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{|\mathbf{r} - \mathbf{a}|}. \] 这正是点电荷的电势公式，验证了表达式的正确性。

结论

  • \(\frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\) 表示：位于 \(\mathbf{r}’\) 的点电荷 \(q\) 对 \(\mathbf{r}\) 处电势的贡献密度。
  • 实际电势需要通过积分计算： \[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} , d^3\mathbf{r}’ = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{|\mathbf{r}|} \quad \text{(若电荷在原点)}. \]
  • 提问者的理解基本正确，但需注意它是“贡献密度”而非电势本身。

为什么不直接写出\delta函数的形式

为什么不直接写出δ函数的形式？

在点电荷的电势公式中，我们使用三维狄拉克δ函数（\(\delta^3(\mathbf{r}’)\)）来表示点电荷的电荷密度分布。你可能会问：既然δ函数只在\(\mathbf{r}’=0\)处有贡献，为什么不直接去掉积分和δ函数，直接写出电势的最终表达式\(\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{|\mathbf{r}|}\)？

这个问题可以从以下几个角度来理解：

1. 数学形式的一致性

在静电学中，电势 \(\phi(\mathbf{r})\) 是由电荷密度分布 \(\rho(\mathbf{r}’)\) 通过积分得到的： \[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} , d^3\mathbf{r}’. \]

  • 对于连续电荷分布（如球体、平面等），\(\rho(\mathbf{r}’)\) 是一个普通的函数，积分是必要的。
  • 对于点电荷，\(\rho(\mathbf{r}’)\) 用δ函数表示：\(\rho(\mathbf{r}’) = q \delta^3(\mathbf{r}’)\)。

为什么保留积分和δ函数？

  • 为了保持数学形式的统一性，使得点电荷和连续电荷分布可以用同一个公式描述。
  • 如果直接写 \(\phi(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 |\mathbf{r}|}\)，就无法体现它是从更一般的积分公式推导出来的。

2. δ函数的物理意义

δ函数的本质是**“点源”的数学描述**，它使得我们可以：

  • 用积分形式统一处理点电荷和连续分布电荷。
  • 在更复杂的问题中（如多个点电荷、运动电荷、电磁场理论），δ函数能方便地表示局域化的源。

举例：

  • 如果电荷分布在多个点 \(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \dots\)，电荷密度可以写成： \[ \rho(\mathbf{r}’) = \sum_i q_i \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_i). \] 这时，积分公式仍然适用： \[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_i \frac{q_i}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|}. \] 如果去掉δ函数，这种统一性就丢失了。

3. 更高级物理理论的兼容性

在更高级的物理理论（如电动力学、量子场论）中，δ函数是描述局域化相互作用的标准工具。例如：

  • 在麦克斯韦方程中，点电荷的电流密度用δ函数表示。
  • 在量子力学中，点势阱用δ函数势描述。

如果一开始就抛弃δ函数，后续的理论推广会变得困难。

4. 计算上的便利

虽然对于单个点电荷，直接写 \(\phi(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 |\mathbf{r}|}\) 更简单，但在以下情况下，δ函数形式更有优势：

  • 格林函数方法：在求解泊松方程 \(\nabla^2 \phi = -\rho/\epsilon_0\) 时，δ函数是点源的数学表示，而 \(\frac{1}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\) 是格林函数。
  • 多极展开：对于复杂电荷分布，可以用δ函数表示高阶多极矩（如偶极矩、四极矩等）。

5. 物理直觉 vs. 数学严格性

  • 物理直觉：对于单个点电荷，直接写 \(\phi(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 |\mathbf{r}|}\) 更直观。
  • 数学严格性：δ函数形式能保证数学上的自洽性，特别是在涉及分布理论（如广义函数）时。

总结

| 直接写 \(\phi(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 |\mathbf{r}|}\) | 用δ函数形式 \(\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{q \delta^3(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} d^3\mathbf{r}’\) | |—————————————————————-|————————————————————————————————| | 简单直观，适合单个点电荷 | 统一描述点电荷和连续分布 | | 无法推广到复杂电荷分布 | 适用于多电荷系统、格林函数方法、多极展开等 | | 缺乏数学严格性 | 符合分布理论，适用于更高级物理问题 |

因此，虽然对于简单问题可以直接写出电势，但δ函数形式更具普适性和数学严谨性，是更通用的表达方式。

势函数积分是如何从d^3r’转换到dt’的？ 在电动力学中，势函数的积分从空间积分（\(d^3\mathbf{r}’\)）转换到时间积分（\(dt’\)）通常出现在涉及运动电荷或推迟势（retarded potentials）的情况下。这种转换的核心在于推迟时间（retarded time）的概念和洛伦兹协变性的要求。以下是详细的逐步解释：

1. 静态场的库仑势（空间积分）

对于静态点电荷 \(q\) 固定在 \(\mathbf{r}’\)，电势由空间积分给出： \[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} d^3\mathbf{r}’ = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}, \] 其中 \(\rho(\mathbf{r}’) = q \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_0)\)。此时仅需对电荷分布的空间坐标积分。

2. 运动电荷与推迟势（引入时间）

当电荷 \(q\) 运动时，电磁场的扰动以光速 \(c\) 传播，观测点 \(\mathbf{r}\) 在时间 \(t\) 感受到的是电荷在推迟时间 \(t’ = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’(t’)|}{c}\) 的状态。此时：

  • 电荷的位置 \(\mathbf{r}’(t’)\) 和速度 \(\mathbf{v}(t’)\) 均依赖于 \(t’\)。
  • 推迟势的积分需同时考虑空间和时间。

推迟势的表达式

标势 \(\phi\) 和矢势 \(\mathbf{A}\) 的推迟势形式为： \[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}’, t’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} \delta\left(t’ - t + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c}\right) d^3\mathbf{r}’ dt’, \] \[ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}’, t’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} \delta\left(t’ - t + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c}\right) d^3\mathbf{r}’ dt’. \]

关键步骤：利用δ函数消去时间积分

狄拉克δ函数 \(\delta(t’ - t + |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|/c)\) 强制 \(t’ = t - |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|/c\)，从而将时间积分转换为对空间坐标的约束： \[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}’, t - |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|/c)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} d^3\mathbf{r}’. \]

3. 点电荷情况：从 \(d^3\mathbf{r}’\) 到 \(dt’\) 的转换

对于运动点电荷 \(q\)，其电荷密度为： \[ \rho(\mathbf{r}’, t’) = q \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_q(t’)), \] 电流密度为： \[ \mathbf{J}(\mathbf{r}’, t’) = q \mathbf{v}(t’) \delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_q(t’)). \] 将 \(\rho\) 和 \(\mathbf{J}\) 代入推迟势积分，利用δ函数性质：

标势的转换

\[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_q(t’))}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} \delta\left(t’ - t + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c}\right) d^3\mathbf{r}’ dt’. \]

  1. 先对 \(d^3\mathbf{r}’\) 积分，δ函数筛选出 \(\mathbf{r}’ = \mathbf{r}_q(t’)\)： \[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)|} \delta\left(t’ - t + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)|}{c}\right) dt’. \]
  2. 定义推迟时间 \(t_{\text{ret}} = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}q(t{\text{ret}})|}{c}\)，δ函数要求 \(t’ = t_{\text{ret}}\)。
  3. 利用δ函数的变量替换公式： \[ \delta(f(t’)) = \frac{\delta(t’ - t_{\text{ret}})}{|df/dt’|{t’=t{\text{ret}}}}, \] 其中 \(f(t’) = t’ - t + |\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)|/c\)，导数为： \[ \frac{df}{dt’} = 1 - \frac{\mathbf{v}(t’) \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’))}{c |\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)|}. \]
  4. 最终标势为： \[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}q(t{\text{ret}})| \cdot \left(1 - \frac{\mathbf{v}(t_{\text{ret}}) \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}q(t{\text{ret}}))}{c |\mathbf{r} - \mathbf{r}q(t{\text{ret}})|}\right)} \right]. \]

物理意义

  • 积分从 \(d^3\mathbf{r}’\) 转换到 \(dt’\) 的关键在于：
    1. δ函数将空间坐标 \(\mathbf{r}’\) 绑定到电荷轨迹 \(\mathbf{r}_q(t’)\)。
    2. 时间δ函数进一步将积分变量从 \(t’\) 约束到推迟时间 \(t_{\text{ret}}\)。
  • 最终结果（李纳-维谢尔势）显式依赖于电荷的推迟位置和速度。

4. 为什么需要这种转换？

  • 因果性：电磁场以光速传播，观测点感受到的是电荷的历史状态。
  • 协变性：四维势 \((\phi/c, \mathbf{A})\) 需满足洛伦兹变换，推迟势是相对论性理论的非瞬时相互作用体现。
  • 运动电荷的场：直接计算运动电荷的场需考虑推迟效应，而 \(dt’\) 积分能自然包含速度依赖项（如 \(\mathbf{v}(t_{\text{ret}})\)）。

5. 总结：转换步骤

  1. 从静态到动态：静态电荷仅需空间积分；运动电荷需引入推迟时间 \(t’ = t - |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|/c\)。
  2. δ函数的双重作用：
    • \(\delta^3(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_q(t’))\) 将积分变量 \(\mathbf{r}’\) 绑定到电荷轨迹。
    • \(\delta(t’ - t + |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|/c)\) 将时间 \(t’\) 约束到推迟时间。
  3. 变量替换：利用δ函数的导数将 \(d^3\mathbf{r}’ dt’\) 积分化简为对 \(t’\) 的单重积分，最终得到显式表达式。

数学补充：δ函数的变量替换

若 \(\delta(f(t’))\) 有单根 \(t’ = t_{\text{ret}}\)，则： \[ \int \delta(f(t’)) g(t’) dt’ = \frac{g(t_{\text{ret}})}{|df/dt’|{t’=t{\text{ret}}}}. \] 此公式在推迟势积分中至关重要，用于处理 \(t’\) 的约束条件。

\(f(t’) = t’ - t + |\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)|/c 的求导过程 在推导推迟势（retarded potential）时，关键的一步是对函数 \( f(t’) = t’ - t + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)|}{c} \) 求导，以计算狄拉克δ函数 \(\delta(f(t’))\) 的变量替换系数。以下是详细的求导过程：

1. 函数定义

设观测点为 \(\mathbf{r}\)，观测时间为 \(t\)，点电荷 \(q\) 的运动轨迹为 \(\mathbf{r}_q(t’)\)（\(t’\) 是源时间）。定义： \[ f(t’) = t’ - t + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)|}{c}, \] 其中 \(|\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)|\) 是观测点与电荷在时间 \(t’\) 时的距离。

2. 求导目标

我们需要计算 \( \frac{df(t’)}{dt’} \)，用于δ函数的变量替换： \[ \delta(f(t’)) = \frac{\delta(t’ - t_{\text{ret}})}{\left| \frac{df}{dt’} \right|{t’=t{\text{ret}}}}, \] 其中 \( t_{\text{ret}} \) 是推迟时间，满足 \( f(t_{\text{ret}}) = 0 \)。

3. 展开距离项

距离 \( |\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)| \) 可显式写为： \[ |\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)| = \sqrt{(\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)) \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’))}. \]

4. 对 \( t’ \) 求导

对 \( f(t’) \) 逐项求导： \[ \frac{df}{dt’} = \frac{d}{dt’}\left( t’ - t \right) + \frac{1}{c} \frac{d}{dt’} |\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)|. \]

  • 第一项：\( \frac{d}{dt’}(t’ - t) = 1 \)（因为 \( t \) 是常数）。
  • 第二项需要对距离求导。

距离项的导数

设 \(\mathbf{R}(t’) = \mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)\)，则： \[ \frac{d}{dt’} |\mathbf{R}(t’)| = \frac{d}{dt’} \sqrt{\mathbf{R}(t’) \cdot \mathbf{R}(t’)}. \] 使用链式法则： \[ \frac{d}{dt’} |\mathbf{R}| = \frac{1}{2|\mathbf{R}|} \cdot \frac{d}{dt’} (\mathbf{R} \cdot \mathbf{R}) = \frac{1}{2|\mathbf{R}|} \left( 2\mathbf{R} \cdot \frac{d\mathbf{R}}{dt’} \right). \] 由于 \(\frac{d\mathbf{R}}{dt’} = -\frac{d\mathbf{r}_q(t’)}{dt’} = -\mathbf{v}(t’)\)（电荷速度），因此： \[ \frac{d}{dt’} |\mathbf{R}| = \frac{\mathbf{R}}{|\mathbf{R}|} \cdot (-\mathbf{v}(t’)) = -\frac{\mathbf{R} \cdot \mathbf{v}(t’)}{|\mathbf{R}|}. \] 还原符号 \(\mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)\)： \[ \frac{d}{dt’} |\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)| = -\frac{(\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)) \cdot \mathbf{v}(t’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)|}. \]

综合导数

将距离导数代入： \[ \frac{df}{dt’} = 1 + \frac{1}{c} \left( -\frac{(\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)) \cdot \mathbf{v}(t’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)|} \right). \] 整理后得到： \[ \frac{df}{dt’} = 1 - \frac{(\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)) \cdot \mathbf{v}(t’)}{c |\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)|}. \]

5. 物理意义

导数 \(\frac{df}{dt’}\) 的表达式描述了：

  1. “1”：时间本身的线性变化。
  2. 第二项：电荷运动对距离变化的贡献，投影到观测方向 \((\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’))\)。
    • 若电荷朝向观测点运动（\(\mathbf{v}\) 与 \(\mathbf{r} - \mathbf{r}_q\) 同向），该项为正，减小 \(\frac{df}{dt’}\)。
    • 若电荷远离观测点运动，该项为负，增大 \(\frac{df}{dt’}\)。

6. 在推迟势中的应用

在推迟势积分中，δ函数 \(\delta(f(t’))\) 的变量替换要求：

\[ \int \delta(f(t’)) g(t’) dt’ = \frac{g(t_{\text{ret}})}{\left| \frac{df}{dt’} \right|{t’=t{\text{ret}}}}, \]

其中 \( t_{\text{ret}} \) 满足 \( f(t_{\text{ret}}) = 0 \)。因此：

\[ \left. \frac{df}{dt’} \right|{t’=t{\text{ret}}} = 1 - \frac{(\mathbf{r} - \mathbf{r}q(t{\text{ret}})) \cdot \mathbf{v}(t_{\text{ret}})}{c |\mathbf{r} - \mathbf{r}q(t{\text{ret}})|}. \]

这一因子出现在李纳-维谢尔势（Liénard-Wiechert potential）的分母中，反映了运动电荷的“多普勒效应”或“辐射压缩”效应。

7. 最终表达式

对于运动点电荷的标势：

\[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left. \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)| \left( 1 - \frac{(\mathbf{r} - \mathbf{r}q(t’)) \cdot \mathbf{v}(t’)}{c |\mathbf{r} - \mathbf{r}q(t’)|} \right)} \right|{t’=t{\text{ret}}}. \]

总结

  1. 求导过程：
    • 距离项 \(|\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t’)|\) 的导数包含电荷速度的投影。
    • 最终导数 \(\frac{df}{dt’}\) 是“1”减去速度投影与光速的比值。
  2. 物理意义：
    • 导数反映了电荷运动对信号传播时间的修正。
    • 该修正在推迟势中表现为分母的“相对论性因子”，决定了场的增强或减弱。

相当于和原来的t’的位置比，倾斜了\(v/c\)

证明势函数，在r_q为0时，和r_q不为0时，电荷总量不变 为了证明势函数在电荷位置 \(\mathbf{r}_q = 0\) 和 \(\mathbf{r}_q \neq 0\) 时电荷总量不变，我们需要从电荷密度的定义和势函数的积分表达式出发，验证电荷总量的守恒性。以下是详细的证明步骤：

1. 电荷密度的定义

对于点电荷 \(q\) 位于位置 \(\mathbf{r}_q\)，其电荷密度 \(\rho(\mathbf{r}, t)\) 用三维狄拉克δ函数表示为： \[ \rho(\mathbf{r}, t) = q , \delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t)), \] 其中 \(\mathbf{r}_q(t)\) 是电荷随时间 \(t\) 的运动轨迹。

电荷总量的计算

电荷总量 \(Q\) 是全空间对电荷密度的积分： \[ Q = \int_{\text{全空间}} \rho(\mathbf{r}, t) , d^3\mathbf{r}. \] 将 \(\rho(\mathbf{r}, t)\) 代入： \[ Q = q \int \delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t)) , d^3\mathbf{r} = q, \] 无论 \(\mathbf{r}_q(t)\) 是否为 0，积分结果始终为 \(q\)。因此，电荷总量与电荷位置无关。

2. 势函数的电荷守恒性

势函数（如标势 \(\phi\)）与电荷密度的关系由泊松方程描述： \[ \nabla^2 \phi(\mathbf{r}, t) = -\frac{\rho(\mathbf{r}, t)}{\epsilon_0}. \] 我们需要证明，无论 \(\mathbf{r}_q\) 是否为 0，势函数对应的电荷总量 \(Q\) 始终为 \(q\)。

静态点电荷的势函数

  • 当 \(\mathbf{r}_q = 0\)： \[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{|\mathbf{r}|}, \quad \rho(\mathbf{r}) = q , \delta^3(\mathbf{r}). \] 直接验证： \[ \nabla^2 \phi = -\frac{q}{\epsilon_0} \delta^3(\mathbf{r}) \implies \rho(\mathbf{r}) = q , \delta^3(\mathbf{r}). \] 电荷总量： \[ Q = \int q , \delta^3(\mathbf{r}) , d^3\mathbf{r} = q. \]

  • 当 \(\mathbf{r}_q \neq 0\)： \[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_q|}, \quad \rho(\mathbf{r}) = q , \delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}_q). \] 验证： \[ \nabla^2 \phi = -\frac{q}{\epsilon_0} \delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}_q) \implies \rho(\mathbf{r}) = q , \delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}_q). \] 电荷总量： \[ Q = \int q , \delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}_q) , d^3\mathbf{r} = q. \]

运动点电荷的推迟势

对于运动电荷，推迟势的电荷密度为： \[ \rho(\mathbf{r}, t) = q , \delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}q(t{\text{ret}})), \] 其中 \(t_{\text{ret}} = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}q(t{\text{ret}})|}{c}\)。电荷总量仍为： \[ Q = \int q , \delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}q(t{\text{ret}})) , d^3\mathbf{r} = q. \]

3. 关键点总结

  1. δ函数的筛选性质：
    • \(\delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}_q)\) 的积分恒为 1，与 \(\mathbf{r}_q\) 的位置无关。
  2. 电荷总量的不变性：
    • 只要电荷密度形式为 \(q , \delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}_q)\)，积分结果始终为 \(q\)。
  3. 势函数的物理意义：
    • 势函数仅反映电荷分布对场的影响，不改变电荷总量。

4. 数学严谨性验证

广义函数的性质

狄拉克δ函数是广义函数，其核心性质是： \[ \int \delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{a}) f(\mathbf{r}) , d^3\mathbf{r} = f(\mathbf{a}), \] 对于 \(f(\mathbf{r}) = 1\)，积分结果为 1。因此： \[ \int q , \delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}_q) , d^3\mathbf{r} = q \cdot 1 = q. \]

坐标变换的不变性

即使对坐标系进行平移（如设 \(\mathbf{r}’ = \mathbf{r} - \mathbf{r}_q\)），δ函数的积分性质保持不变： \[ \int q , \delta^3(\mathbf{r}’) , d^3\mathbf{r}’ = q. \]

5. 结论

  • 电荷总量守恒：无论点电荷位于 \(\mathbf{r}_q = 0\) 还是 \(\mathbf{r}_q \neq 0\)，电荷密度积分 \(Q = q\) 恒成立。
  • 势函数的角色：势函数的形式（如 \(\frac{1}{|\mathbf{r}|}\) 或 \(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_q|}\)）仅影响场的空间分布，不改变电荷总量。
  • 运动电荷的推广：即使电荷运动，推迟势的电荷密度积分仍满足 \(Q = q\)，符合电荷守恒定律。

附：运动电荷的推迟势电荷密度

对于运动电荷，电荷密度为： \[ \rho(\mathbf{r}, t) = q , \delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}q(t{\text{ret}})). \] 由于推迟时间 \(t_{\text{ret}}\) 依赖于 \(\mathbf{r}\) 和 \(t\)，但δ函数的积分性质保证： \[ \int \rho(\mathbf{r}, t) , d^3\mathbf{r} = q \int \delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}q(t{\text{ret}})) , d^3\mathbf{r} = q. \] 这表明电荷总量在运动情况下依然守恒。