\[ (x - vt’)^2 + y^2 + z^2 = c^2(t - t’)^2 \]
接下来，将方程整理为关于 \(t\) 的表达式。将右边展开并移项得到：
\[ c^2(t - t’)^2 = (x - vt’)^2 + y^2 + z^2 \]
两边同时除以 \(c^2\) 并开平方：
\[ t - t’ = \frac{1}{c} \sqrt{(x - vt’)^2 + y^2 + z^2} \]
将 \(t’\) 移到右边，得到 \(t\) 的表达式：
\[ t = t’ + \frac{1}{c} \sqrt{(x - vt’)^2 + y^2 + z^2} \]
因此，方程的最终解为：
\[ \boxed{t = t’ + \frac{1}{c} \sqrt{(x - vt’)^2 + y^2 + z^2}} \]
\[ (x - vt’)^2 + y^2 + z^2 = c^2(t - t’)^2 \]
展开并整理成关于 \(t’\) 的二次方程：
\[ (v^2 - c^2)t’^2 + 2(c^2 t - xv)t’ + (x^2 + y^2 + z^2 - c^2 t^2) = 0 \]
应用二次方程求根公式 \(t’ = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}\)，其中系数为：
\[ A = v^2 - c^2, \quad B = 2(c^2 t - xv), \quad C = x^2 + y^2 + z^2 - c^2 t^2 \]
代入并化简后，得到：
\[ t’ = \frac{c^2 t - xv \pm c\sqrt{(x - vt)^2 + (1 - v^2/c^2)(y^2 + z^2)}}{c^2 - v^2} \]
根据物理意义的因果性要求（如 \(v=0\) 时退化为经典解），选择负号。最终解为：
\[ \boxed{t’ = \frac{c^2 t - xv - c\sqrt{(x - vt)^2 + (1 - \frac{v^2}{c^2})(y^2 + z^2)}}{c^2 - v^2}} \]
最终推导结果：
根据给定的时间关系式： \[ t = t’ + \frac{1}{c} \sqrt{(x-vt’)^2 + y^2 + z^2} \]
我们可以得到： \[ x - vt = (x - vt’) - \frac{v}{c} \sqrt{(x-vt’)^2 + y^2 + z^2} \]
详细推导步骤：
-
展开 \( x - vt \) 表达式： \[ x - vt = x - v\left(t’ + \frac{1}{c} \sqrt{(x-vt’)^2 + y^2 + z^2}\right) \] \[ = x - vt’ - \frac{v}{c} \sqrt{(x-vt’)^2 + y^2 + z^2} \]
-
引入符号简化： 令： \[ R = \sqrt{(x-vt’)^2 + y^2 + z^2} \] \[ \Delta t = t - t’ = \frac{R}{c} \] 因此表达式可简化为： \[ x - vt = (x - vt’) - v \cdot \Delta t \]
物理意义解释：
- \( x - vt’ \)：表示在运动参考系（速度为 \( v \)）中观测到的位置坐标
- \( v \cdot \Delta t \)：表示由于参考系运动在时间 \( \Delta t \) 内产生的位移
- \( x - vt \)：表示在静止参考系中观测到的位置坐标
验证推导的正确性：
从原关系式： \[ \Delta t = \frac{R}{c} \] 代入： \[ x - vt = (x - vt’) - v \cdot \frac{R}{c} \] 这与我们推导的结果完全一致。
特殊情况验证：
当 \( v = 0 \)（静止参考系）时： \[ x - vt = x \] \[ (x - vt’) - v \cdot \Delta t = x \] 结果一致，验证了公式的正确性。
结论：
您需要的最终表达式为： \[ \boxed{x - vt = (x - vt’) - \frac{v}{c} \sqrt{(x-vt’)^2 + y^2 + z^2}} \]
或者用时间差表示： \[ \boxed{x - vt = (x - vt’) - v \cdot \Delta t} \]
其中 \( \Delta t = t - t’ = \frac{\sqrt{(x-vt’)^2 + y^2 + z^2}}{c} \)。
问题重述
给定：
- \( R = \sqrt{(x - vt’)^2 + y^2 + z^2} \)
- \( R’ = \sqrt{(x - vt)^2 + \frac{y^2 + z^2}{\gamma^2}} \)，其中 \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)
求证： \[ R’ = R - \frac{(x - vt’)v}{c} \]
证明步骤
第一步：明确变量关系
从原方程： \[ t = t’ + \frac{1}{c} \sqrt{(x - vt’)^2 + y^2 + z^2} = t’ + \frac{R}{c} \]
因此： \[ t - t’ = \frac{R}{c} \] \[ x - vt = x - v\left(t’ + \frac{R}{c}\right) = (x - vt’) - \frac{vR}{c} \]
第二步：展开 \( R’ \) 的表达式
\[ R’ = \sqrt{(x - vt)^2 + \frac{y^2 + z^2}{\gamma^2}} \] 代入 \( x - vt \)： \[ R’ = \sqrt{\left[(x - vt’) - \frac{vR}{c}\right]^2 + \frac{y^2 + z^2}{\gamma^2}} \] 展开平方项： \[ R’ = \sqrt{(x - vt’)^2 - \frac{2vR(x - vt’)}{c} + \frac{v^2R^2}{c^2} + \frac{y^2 + z^2}{\gamma^2}} \]
注意到 \( R^2 = (x - vt’)^2 + y^2 + z^2 \)，所以： \[ y^2 + z^2 = R^2 - (x - vt’)^2 \] 代入： \[ R’ = \sqrt{(x - vt’)^2 - \frac{2vR(x - vt’)}{c} + \frac{v^2R^2}{c^2} + \frac{R^2 - (x - vt’)^2}{\gamma^2}} \]
第三步：利用 \( \gamma \) 的关系
\[ \frac{1}{\gamma^2} = 1 - \frac{v^2}{c^2} \] 因此： \[ \frac{R^2 - (x - vt’)^2}{\gamma^2} = \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)\left(R^2 - (x - vt’)^2\right) \] 展开： \[ = R^2 - (x - vt’)^2 - \frac{v^2R^2}{c^2} + \frac{v^2(x - vt’)^2}{c^2} \]
代入回 \( R’ \)： \[ R’ = \sqrt{(x - vt’)^2 - \frac{2vR(x - vt’)}{c} + \frac{v^2R^2}{c^2} + R^2 - (x - vt’)^2 - \frac{v^2R^2}{c^2} + \frac{v^2(x - vt’)^2}{c^2}} \] 简化： \[ R’ = \sqrt{-\frac{2vR(x - vt’)}{c} + R^2 + \frac{v^2(x - vt’)^2}{c^2}} \] \[ = \sqrt{R^2 - \frac{2vR(x - vt’)}{c} + \frac{v^2(x - vt’)^2}{c^2}} \] \[ = \sqrt{\left(R - \frac{v(x - vt’)}{c}\right)^2} \] \[ = R - \frac{v(x - vt’)}{c} \]
最终结论
因此，我们证明了： \[ \boxed{R’ = R - \frac{(x - vt’)v}{c}} \]
物理意义
- \( R \) 是静止参考系中测量的距离。
- \( R’ \) 是运动参考系中测量的距离（考虑了长度收缩效应）。
- 该结果表明，运动参考系中的距离 \( R’ \) 比静止参考系中的距离 \( R \) 小 \( \frac{(x - vt’)v}{c} \)，这与相对论中的长度收缩和时间延迟效应一致。
对 \( f(t’) = t’ + \frac{1}{c} \sqrt{(x - v t’)^2 + y^2 + z^2} \) 关于 \( t’ \) 求导
步骤 1：明确函数结构
函数由两部分组成：
- 线性部分：\( t’ \)
- 非线性部分：\( \frac{1}{c} \sqrt{(x - v t’)^2 + y^2 + z^2} \)
步骤 2：逐项求导
-
对 \( t’ \) 求导： \[ \frac{d}{dt’} (t’) = 1 \]
-
对根号部分求导： 设 \( u = (x - v t’)^2 + y^2 + z^2 \)，则 \( \sqrt{u} = u^{1/2} \)。 使用链式法则： \[ \frac{d}{dt’} \left( \frac{1}{c} \sqrt{u} \right) = \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot \frac{du}{dt’} \]
计算 \( \frac{du}{dt’} \)： \[ u = (x - v t’)^2 + \text{常数项} \] \[ \frac{du}{dt’} = 2(x - v t’) \cdot (-v) = -2v(x - v t’) \]
因此： \[ \frac{d}{dt’} \left( \frac{1}{c} \sqrt{u} \right) = \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (-2v)(x - v t’) = -\frac{v(x - v t’)}{c \sqrt{u}} \] 注意到 \( \sqrt{u} = \sqrt{(x - v t’)^2 + y^2 + z^2} = R \)，所以： \[ \frac{d}{dt’} \left( \frac{1}{c} \sqrt{u} \right) = -\frac{v(x - v t’)}{c R} \]
步骤 3：合并结果
将两部分导数相加： \[ \frac{df}{dt’} = 1 - \frac{v(x - v t’)}{c R} \]
最终导数
\[ \boxed{ \frac{df}{dt’} = 1 - \frac{v(x - v t’)}{c \sqrt{(x - v t’)^2 + y^2 + z^2}} } \]
物理意义
- 第一项 \( 1 \)：表示时间 \( t’ \) 的直接变化率。
- 第二项：描述了运动 (\( v \)) 和空间位置 (\( x, y, z \)) 对时间变化的修正，体现了相对论中时空的耦合效应。
如果需要进一步简化或讨论特定情况（如 \( y = z = 0 \)），可以继续展开！
计算 \( c^2(t-t’) - v(x-vt’) \) 并代入 \( t’ \) 的表达式
我们从给定的关系式出发：
-
原始方程： \[ t = t’ + \frac{R}{c}, \quad \text{其中} \quad R = \sqrt{(x-vt’)^2 + y^2 + z^2} \]
-
解出的 \( t’ \) 表达式： \[ t’ = \frac{c^2 t - x v - c \sqrt{(x-vt)^2 + (1-\frac{v^2}{c^2})(y^2+z^2)}}{c^2 - v^2} \]
目标：计算 \( c^2(t-t’) - v(x-vt’) \)
第一步：展开表达式
\[ c^2(t-t’) - v(x-vt’) = c^2 t - c^2 t’ - v x + v^2 t’ \] \[ = c^2 t - v x + (v^2 - c^2) t’ \]
第二步：代入 \( t’ \) 的表达式
将 \( t’ \) 的表达式代入： \[ = c^2 t - v x + (v^2 - c^2) \left( \frac{c^2 t - x v - c \sqrt{(x-vt)^2 + (1-\frac{v^2}{c^2})(y^2+z^2)}}{c^2 - v^2} \right) \]
注意到 \( v^2 - c^2 = -(c^2 - v^2) \)，所以： \[ = c^2 t - v x - \left[ c^2 t - x v - c \sqrt{(x-vt)^2 + (1-\frac{v^2}{c^2})(y^2+z^2)} \right] \] \[ = c^2 t - v x - c^2 t + x v + c \sqrt{(x-vt)^2 + (1-\frac{v^2}{c^2})(y^2+z^2)} \] \[ = c \sqrt{(x-vt)^2 + (1-\frac{v^2}{c^2})(y^2+z^2)} \]
最终结果：
\[ \boxed{c^2(t-t’) - v(x-vt’) = c \sqrt{(x-vt)^2 + \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)(y^2+z^2)}} \]
验证：
这与我们之前计算 \( c(t-t’) - v(x-vt’) \) 的结果一致，只是多了一个 \( c \) 的因子。这表明原问题中可能是 \( c(t-t’) - v(x-vt’) \) 的计算。
物理意义：
这个结果表示：
- 左边是光传播时间 \( c^2(t-t’) \) 减去运动引起的位移 \( v(x-vt’) \)
- 右边是考虑了相对论长度收缩效应后的空间距离乘以光速 \( c \)
- 该等式验证了洛伦兹变换下时空间隔的不变性