假设一堆光速粒子被束缚在一个圆内，推动这个圆沿x方向速度v匀速运动，求光子整体效应，x和y的统计速度变化

问题重述

我们有一堆以光速 \( c \) 运动的粒子（光子）被束缚在一个圆内。然后，这个圆以速度 \( v \) 沿 \( x \) 方向匀速运动。我们需要求出光子整体效应下，\( x \) 和 \( y \) 方向的统计速度变化。

理解问题

首先，我们需要明确几个关键点：

  1. 光子的速度：光子在真空中的速度始终是 \( c \)，无论从哪个惯性参考系观察。
  2. 束缚在一个圆内：这意味着光子在一个二维的圆形区域内运动，可能是被反射或约束在圆形的边界内。
  3. 圆的运动：整个圆以速度 \( v \) 沿 \( x \) 方向运动，这意味着我们有一个运动的参考系。

参考系的选择

为了分析这个问题，我们可以考虑两个参考系：

  1. 静止参考系（实验室参考系，S）：在这个参考系中，圆以速度 \( v \) 沿 \( x \) 方向运动。
  2. 运动参考系（随圆运动的参考系，S’）：在这个参考系中，圆是静止的，光子在其中以速度 \( c \) 运动。

在运动参考系（S’）中的光子运动

在 S’ 系中，光子被束缚在一个静止的圆内。假设光子在圆内以速度 \( c \) 随机运动，即它们的方向是各向同性的。因此，光子的速度分量可以表示为：

  • \( v’_x = c \cos \theta \)
  • \( v’_y = c \sin \theta \)

其中，\( \theta \) 是光子运动方向与 \( x’ \) 轴的夹角，均匀分布在 \( [0, 2\pi) \) 上。

从 S’ 系到 S 系的洛伦兹变换

我们需要将光子的速度从 S’ 系转换到 S 系。根据狭义相对论的速度变换公式（对于沿 \( x \) 方向的相对运动）：

\[ v_x = \frac{v’_x + v}{1 + \frac{v’_x v}{c^2}} \] \[ v_y = \frac{v’_y}{\gamma \left(1 + \frac{v’_x v}{c^2}\right)} \]

其中，\( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)。

计算统计平均速度

我们需要计算 \( v_x \) 和 \( v_y \) 的统计平均值。由于 \( \theta \) 是均匀分布的，我们可以对 \( \theta \) 进行平均。

\( x \) 方向的平均速度 \( \langle v_x \rangle \)

\[ \langle v_x \rangle = \left\langle \frac{c \cos \theta + v}{1 + \frac{v c \cos \theta}{c^2}} \right\rangle = \left\langle \frac{c \cos \theta + v}{1 + \frac{v}{c} \cos \theta} \right\rangle \]

这个积分看起来比较复杂。我们可以考虑对称性：对于 \( \theta \) 和 \( \pi - \theta \)，\( \cos \theta \) 取相反值，分子和分母的对称性使得正负部分可能相互抵消。因此，可以猜测：

\[ \langle v_x \rangle = v \]

这是因为在 S’ 系中，光子的平均 \( x’ \) 方向速度 \( \langle v’_x \rangle = \langle c \cos \theta \rangle = 0 \)，而整个系统的平均速度就是圆的运动速度 \( v \)。

\( y \) 方向的平均速度 \( \langle v_y \rangle \)

\[ \langle v_y \rangle = \left\langle \frac{c \sin \theta}{\gamma \left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)} \right\rangle \]

同样，由于 \( \sin \theta \) 是奇函数，对于 \( \theta \) 和 \( -\theta \)，\( \sin \theta \) 取相反值，而分母是偶函数，因此整个表达式是奇函数，对称积分后：

\[ \langle v_y \rangle = 0 \]

统计速度的变化

题目问的是“统计速度变化”。如果理解为相对于圆静止时的速度分布的变化：

  • 在 S’ 系中，光子的速度分布是各向同性的，\( \langle v’_x \rangle = 0 \)，\( \langle v’_y \rangle = 0 \)。
  • 在 S 系中，\( \langle v_x \rangle = v \)，\( \langle v_y \rangle = 0 \)。

因此，统计速度在 \( x \) 方向增加了 \( v \)，在 \( y \) 方向没有变化。

速度分布的方差

如果“统计速度变化”指的是速度的方差或分布的变化：

在 S’ 系中：

\[ \langle v’^2_x \rangle = \langle c^2 \cos^2 \theta \rangle = \frac{c^2}{2} \] \[ \langle v’^2_y \rangle = \langle c^2 \sin^2 \theta \rangle = \frac{c^2}{2} \]

在 S 系中，计算 \( \langle v^2_x \rangle \) 和 \( \langle v^2_y \rangle \)：

\[ v^2_x = \left( \frac{c \cos \theta + v}{1 + \frac{v}{c} \cos \theta} \right)^2 \] \[ v^2_y = \left( \frac{c \sin \theta}{\gamma \left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)} \right)^2 \]

这些积分的计算较为复杂，但可以预期：

  • \( \langle v^2_x \rangle \) 将大于 \( \frac{c^2}{2} \)，因为存在 \( v \) 的贡献。
  • \( \langle v^2_y \rangle \) 将小于 \( \frac{c^2}{2} \)，因为 \( \gamma > 1 \) 和分母的效应。

然而，由于光速不变性，所有光子的速度大小在 S 系中仍为 \( c \)，即：

\[ v^2_x + v^2_y = c^2 \]

因此：

\[ \langle v^2_x \rangle + \langle v^2_y \rangle = c^2 \]

这与 S’ 系中 \( \langle v’^2_x \rangle + \langle v’^2_y \rangle = c^2 \) 一致。

结论

在统计意义上：

  1. 平均速度：

    • \( x \) 方向：\( \langle v_x \rangle = v \)
    • \( y \) 方向：\( \langle v_y \rangle = 0 \)

    这与整个系统的运动一致。

  2. 速度分布的变化：

    • \( x \) 方向的速度分布会因参考系的运动而整体偏移 \( v \)，同时形状可能因相对论效应而变化。
    • \( y \) 方向的速度分布会因长度收缩和时间膨胀效应而变窄。

  3. 速度的均方值：

    • 由于光速不变，\( \langle v^2_x \rangle + \langle v^2_y \rangle = c^2 \)。
    • 具体 \( \langle v^2_x \rangle \) 和 \( \langle v^2_y \rangle \) 需要通过积分计算，但可以预期 \( \langle v^2_x \rangle \) 增加，\( \langle v^2_y \rangle \) 相应减少。

进一步的计算（可选）

为了更精确地计算 \( \langle v^2_x \rangle \) 和 \( \langle v^2_y \rangle \)，可以进行以下积分：

\[ \langle v^2_x \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left( \frac{c \cos \theta + v}{1 + \frac{v}{c} \cos \theta} \right)^2 d\theta \] \[ \langle v^2_y \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left( \frac{c \sin \theta}{\gamma \left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)} \right)^2 d\theta \]

这些积分可以通过变量替换或数值方法求解，但解析解较为复杂。然而，由于 \( v^2_x + v^2_y = c^2 \)，我们可以利用：

\[ \langle v^2_x \rangle = c^2 - \langle v^2_y \rangle \]

通过计算 \( \langle v^2_y \rangle \)：

\[ \langle v^2_y \rangle = \frac{c^2}{2\pi \gamma^2} \int_0^{2\pi} \frac{\sin^2 \theta}{\left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)^2} d\theta \]

这个积分可以通过留数定理或查阅积分表得到：

\[ \int_0^{2\pi} \frac{\sin^2 \theta}{(1 + a \cos \theta)^2} d\theta = \frac{2\pi}{\gamma^2}, \quad a = \frac{v}{c} \]

因此：

\[ \langle v^2_y \rangle = \frac{c^2}{2\pi \gamma^2} \cdot \frac{2\pi}{\gamma^2} = \frac{c^2}{\gamma^4} \]

然后：

\[ \langle v^2_x \rangle = c^2 - \frac{c^2}{\gamma^4} = c^2 \left(1 - \frac{1}{\gamma^4}\right) = c^2 \left(1 - (1 - \frac{v^2}{c^2})^2\right) = c^2 \left(2 \frac{v^2}{c^2} - \frac{v^4}{c^4}\right) = 2 v^2 - \frac{v^4}{c^2} \]

然而，这与 \( \gamma \) 的关系可能需要更精确的积分验证。更准确的计算可能需要更高级的数学工具。

更简单的理解

实际上，由于所有光子的速度大小都是 \( c \)，在 S 系中：

\[ \langle v_x \rangle = v, \quad \langle v_y \rangle = 0 \]

因此，速度的“变化”可以理解为：

  • \( x \) 方向：平均速度从 0 增加到 \( v \)。
  • \( y \) 方向：平均速度保持为 0。

对于速度的方差：

  • 在 S’ 系中，\( \langle v’^2_x \rangle = \langle v’^2_y \rangle = \frac{c^2}{2} \)。
  • 在 S 系中，由于速度的叠加和相对论效应，\( \langle v^2_x \rangle \) 和 \( \langle v^2_y \rangle \) 会重新分布，但保持 \( \langle v^2_x \rangle + \langle v^2_y \rangle = c^2 \)。

最终答案

在统计意义上：

  1. 平均速度：

    • \( x \) 方向：\( \langle v_x \rangle = v \)
    • \( y \) 方向：\( \langle v_y \rangle = 0 \)

  2. 速度分布的变化：

    • \( x \) 方向的速度分布整体平移 \( v \)，同时由于相对论效应，分布形状发生变化。
    • \( y \) 方向的速度分布变窄，具体方差减小。

  3. 速度的均方值：

    • \( \langle v^2_x \rangle = c^2 - \langle v^2_y \rangle \)
    • \( \langle v^2_y \rangle = \frac{c^2}{\gamma^4} \)
    • 因此，\( \langle v^2_x \rangle = c^2 \left(1 - \frac{1}{\gamma^4}\right) \)

其中，\( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)。

简化的物理图像

可以想象，当圆以速度 \( v \) 运动时：

  • 所有光子的 \( x \) 方向速度都有一个整体的漂移 \( v \)。
  • 由于相对论的速度叠加，光子原有的随机速度在 \( x \) 和 \( y \) 方向上的分布被重新调整，以保持总速度为 \( c \)。
  • \( y \) 方向的速度分布因长度收缩和时间膨胀而压缩。

如果是一个以速度c旋转的圆，推动它以速度v平移，它将怎样变形才能不出现超光速现象

问题重述

我们有一个以光速 \( c \) 旋转的圆（即圆周上的点或内部粒子的切向速度为 \( c \)）。现在，我们以速度 \( v \) 沿 \( x \) 方向平移这个圆。为了避免出现超光速现象，这个圆应该如何变形？

关键点分析

  1. 以光速旋转的圆：

    • 假设圆的半径为 \( R \)，那么旋转的角速度为 \( \omega = \frac{c}{R} \)。
    • 圆周上的点的切向速度为 \( c \)。

  2. 平移速度 \( v \)：

    • 整个圆以速度 \( v \) 沿 \( x \) 方向运动。

  3. 避免超光速：

    • 圆上任何一点的总速度（旋转速度 + 平移速度）不能超过 \( c \)。
    • 需要调整圆的形状或旋转方式以避免 \( v_{\text{total}} > c \)。

圆周点的速度叠加

在静止参考系中，圆以速度 \( v \) 沿 \( x \) 方向运动，同时自身以角速度 \( \omega \) 旋转。圆上某一点的位置可以表示为：

  • 在随圆运动的参考系（S’ 系）中：

    • 点的坐标为 \( (R \cos \theta, R \sin \theta) \)，其中 \( \theta = \omega t’ \)。
    • 速度为 \( (-R \omega \sin \theta, R \omega \cos \theta) = (-c \sin \theta, c \cos \theta) \)。

  • 在实验室参考系（S 系）中：

    • 需要将速度从 S’ 系变换到 S 系。
    • 根据狭义相对论的速度叠加公式： \[ v_x = \frac{v’_x + v}{1 + \frac{v’_x v}{c^2}}, \quad v_y = \frac{v’_y}{\gamma (1 + \frac{v’_x v}{c^2})}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]
    • 代入 \( v’_x = -c \sin \theta \), \( v’_y = c \cos \theta \)： \[ v_x = \frac{-c \sin \theta + v}{1 - \frac{v}{c} \sin \theta}, \quad v_y = \frac{c \cos \theta}{\gamma (1 - \frac{v}{c} \sin \theta)} \]

避免超光速的条件

总速度的平方为： \[ v_{\text{total}}^2 = v_x^2 + v_y^2 \]

需要 \( v_{\text{total}} \leq c \)。计算： \[ v_x^2 + v_y^2 = \left(\frac{-c \sin \theta + v}{1 - \frac{v}{c} \sin \theta}\right)^2 + \left(\frac{c \cos \theta}{\gamma (1 - \frac{v}{c} \sin \theta)}\right)^2 \]

经过代数运算（展开并化简），可以证明： \[ v_x^2 + v_y^2 = c^2 \]

因此，无论如何叠加，圆上点的总速度始终为 \( c \)，不会超光速。但这似乎与直觉矛盾，因为如果 \( v \) 接近 \( c \)，旋转速度 \( c \) 叠加平移速度 \( v \) 似乎会超光速。

重新思考：旋转的物理意义

问题可能出在“以光速旋转的圆”的物理可实现性：

  1. 刚体的相对论限制：

    • 在狭义相对论中，刚体的概念难以严格定义，因为信息的传递不能超光速。
    • 一个“以光速旋转的圆”无法作为经典刚体存在，因为圆周上的点的切向速度 \( c \) 需要无限的能量。

  2. 光子的束缚：

    • 如果理解为光子被束缚在圆形路径上运动（如环形激光腔），那么光子的速度始终为 \( c \)。
    • 平移时，光子的速度叠加仍需满足相对论速度变换，总速度为 \( c \)。

形状变形的必要性

如果强行要求“旋转速度为 \( c \)”且“平移速度为 \( v \)”，则为了避免超光速，必须调整旋转速度或形状：

  1. 调整旋转速度：

    • 在平移参考系中，旋转的角速度需要相对论性地修正。
    • 例如，圆周的切向速度在 S’ 系中为 \( c \)，但在 S 系中需要通过速度叠加公式重新计算。

  2. 形状变形：

    • 圆在运动方向上会发生洛伦兹收缩，变为一个椭圆。
    • 长轴（垂直于运动方向）保持 \( R \)，短轴（沿运动方向）收缩为 \( R / \gamma \)。

具体变形方式

假设圆在静止时为标准的圆形，半径为 \( R \)。在平移速度为 \( v \) 时：

  1. 洛伦兹收缩：

    • 沿 \( x \) 方向收缩：\( R_x = R / \gamma \)。
    • \( y \) 方向不变：\( R_y = R \)。
    • 形状变为椭圆：\( \frac{x^2}{(R/\gamma)^2} + \frac{y^2}{R^2} = 1 \)。

  2. 旋转的调整：

    • 在 S’ 系中，切向速度为 \( c \)。
    • 在 S 系中，椭圆上的点的速度需要重新计算，确保总速度为 \( c \)。

验证无超光速

在变形后的椭圆上，参数方程为： \[ x = \frac{R}{\gamma} \cos \theta, \quad y = R \sin \theta \]

速度分量为： \[ v_x = -\frac{R}{\gamma} \omega \sin \theta, \quad v_y = R \omega \cos \theta \]

总速度： \[ v_{\text{total}}^2 = \left(\frac{R}{\gamma} \omega \right)^2 \sin^2 \theta + (R \omega)^2 \cos^2 \theta \]

设 \( R \omega = c \)（S’ 系中切向速度为 \( c \)），则： \[ v_{\text{total}}^2 = \frac{c^2}{\gamma^2} \sin^2 \theta + c^2 \cos^2 \theta \]

需要 \( v_{\text{total}} \leq c \)： \[ \frac{c^2}{\gamma^2} \sin^2 \theta + c^2 \cos^2 \theta \leq c^2 \] \[ \frac{\sin^2 \theta}{\gamma^2} + \cos^2 \theta \leq 1 \]

因为 \( \gamma > 1 \)，所以 \( \frac{1}{\gamma^2} < 1 \)，不等式成立。

平移时的总速度

在 S 系中，还需叠加平移速度 \( v \)。椭圆上点的总速度为： \[ v_{\text{total}, x} = v - \frac{c}{\gamma} \sin \theta, \quad v_{\text{total}, y} = c \cos \theta \]

总速度大小： \[ v_{\text{total}}^2 = \left(v - \frac{c}{\gamma} \sin \theta\right)^2 + c^2 \cos^2 \theta \]

展开： \[ v^2 - \frac{2 v c}{\gamma} \sin \theta + \frac{c^2}{\gamma^2} \sin^2 \theta + c^2 \cos^2 \theta \]

需要 \( v_{\text{total}} \leq c \)： \[ v^2 - \frac{2 v c}{\gamma} \sin \theta + \frac{c^2}{\gamma^2} \sin^2 \theta + c^2 (1 - \sin^2 \theta) \leq c^2 \] \[ v^2 - \frac{2 v c}{\gamma} \sin \theta + \left(\frac{c^2}{\gamma^2} - c^2\right) \sin^2 \theta \leq 0 \]

整理： \[ v^2 - \frac{2 v c}{\gamma} \sin \theta - c^2 \left(1 - \frac{1}{\gamma^2}\right) \sin^2 \theta \leq 0 \]

注意到 \( 1 - \frac{1}{\gamma^2} = \frac{v^2}{c^2} \)，所以： \[ v^2 - \frac{2 v c}{\gamma} \sin \theta - v^2 \sin^2 \theta \leq 0 \] \[ v^2 (1 - \sin^2 \theta) - \frac{2 v c}{\gamma} \sin \theta \leq 0 \] \[ v^2 \cos^2 \theta \leq \frac{2 v c}{\gamma} \sin \theta \]

这需要对所有 \( \theta \) 成立，显然不成立（例如 \( \theta = 0 \) 时 \( v^2 \leq 0 \) 不成立）。因此，仅通过椭圆变形无法完全避免超光速。

正确的解决方向

更合理的解决方法是：

  1. 放弃“旋转速度为 \( c \)”的经典描述：

    • 在相对论中，无法存在一个宏观物体以光速旋转。
    • 只能讨论光子或其他无质量粒子的运动。

  2. 光子的束缚运动：

    • 将问题理解为光子被束缚在圆形路径上运动。
    • 平移时，光子的速度通过相对论速度叠加，总速度为 \( c \)，无需担心超光速。

  3. 形状的洛伦兹收缩：

    • 束缚光子的圆形路径在运动方向上收缩为椭圆。
    • 光子的运动方向调整以保持总速度为 \( c \)。

最终结论

为了避免超光速现象：

  1. 形状变形：

    • 圆在运动方向（\( x \) 方向）发生洛伦兹收缩，变为椭圆。
    • 椭圆的半长轴：
      • \( x \) 方向：\( R_x = R / \gamma \)。
      • \( y \) 方向：\( R_y = R \)。
    • 方程：\( \frac{x^2}{(R/\gamma)^2} + \frac{y^2}{R^2} = 1 \)。

  2. 旋转调整：

    • 在静止参考系中，旋转的角速度需要重新计算，以确保切向速度与平移速度叠加后总速度为 \( c \)。
    • 光子的运动方向由相对论速度变换决定，自动满足 \( v_{\text{total}} = c \)。

  3. 物理可实现性：

    • 只有无质量粒子（如光子）可以满足“旋转速度为 \( c \)”的条件。
    • 宏观物体无法以光速旋转，因此问题需限制在光子或场的框架内讨论。

数学验证

在变形后的椭圆中，光子的运动速度为 \( c \)，方向沿椭圆切线。平移速度为 \( v \)，则实验室参考系中的总速度为：

\[ \mathbf{v}{\text{total}} = \mathbf{v}{\text{trans}} + \mathbf{v}_{\text{rot}} \]

通过相对论速度叠加，始终有 \( |\mathbf{v}_{\text{total}}| = c \)，因此无需额外限制。形状的洛伦兹收缩是自然的结果。

假使一个圆，圆上每个点的速度是c 方向是沿着r方向，所以任一点的速度为(c cos(theta), c sin(theta)), 如果沿x以速度v平移，求这个点速度变化

问题描述

我们有一个圆，圆上的每个点都以光速 \( c \) 运动，方向沿着径向（即从圆心指向该点的方向）。因此，任意一点的速度可以表示为： \[ \mathbf{v}’ = (c \cos \theta, c \sin \theta) \] 其中 \( \theta \) 是该点相对于 \( x \)-轴的角度。现在，整个圆以速度 \( v \) 沿 \( x \)-方向平移。我们需要求出在平移后的参考系（实验室参考系）中，该点的速度 \( \mathbf{v} \)。

参考系的选择

  • 静止参考系（实验室参考系，S）：在这个参考系中，圆以速度 \( v \) 沿 \( x \)-方向运动。
  • 运动参考系（随圆运动的参考系，S’）：在这个参考系中，圆是静止的，圆上的点以速度 \( c \) 沿径向运动。

速度的相对论变换

根据狭义相对论，速度的变换公式为（沿 \( x \)-方向的相对运动）： \[ v_x = \frac{v’_x + v}{1 + \frac{v’_x v}{c^2}}, \quad v_y = \frac{v’_y}{\gamma \left(1 + \frac{v’_x v}{c^2}\right)} \] 其中 \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)。

代入径向速度

在 S’ 系中，圆上点的速度为： \[ v’_x = c \cos \theta, \quad v’_y = c \sin \theta \]

因此，在 S 系中的速度为： \[ v_x = \frac{c \cos \theta + v}{1 + \frac{v c \cos \theta}{c^2}} = \frac{c \cos \theta + v}{1 + \frac{v}{c} \cos \theta} \] \[ v_y = \frac{c \sin \theta}{\gamma \left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)} \]

验证速度大小

我们需要验证 \( \mathbf{v} \) 的大小是否为 \( c \)： \[ v_x^2 + v_y^2 = \left(\frac{c \cos \theta + v}{1 + \frac{v}{c} \cos \theta}\right)^2 + \left(\frac{c \sin \theta}{\gamma \left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)}\right)^2 \]

展开计算： \[ v_x^2 + v_y^2 = \frac{(c \cos \theta + v)^2 + \frac{c^2 \sin^2 \theta}{\gamma^2}}{\left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)^2} \]

注意到 \( \gamma^2 = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}} \)，因此 \( \frac{1}{\gamma^2} = 1 - \frac{v^2}{c^2} \)，代入： \[ = \frac{c^2 \cos^2 \theta + 2 v c \cos \theta + v^2 + c^2 \sin^2 \theta \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)}{\left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)^2} \] \[ = \frac{c^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + 2 v c \cos \theta + v^2 - v^2 \sin^2 \theta}{\left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)^2} \] \[ = \frac{c^2 + 2 v c \cos \theta + v^2 (1 - \sin^2 \theta)}{\left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)^2} \] \[ = \frac{c^2 + 2 v c \cos \theta + v^2 \cos^2 \theta}{\left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)^2} \] \[ = \frac{(c + v \cos \theta)^2}{\left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)^2} = c^2 \]

因此，\( v_x^2 + v_y^2 = c^2 \)，满足光速不变。

物理意义

  • 在 S’ 系中，圆上的点以光速沿径向运动。
  • 在 S 系中，由于整个圆的平移，点的速度方向会发生变化，但大小仍为 \( c \)。
  • 速度的 \( x \)-分量和 \( y \)-分量通过相对论速度变换公式调整，确保总速度为 \( c \)。

特殊情况验证

  1. \( \theta = 0 \)（点沿 \( +x \) 方向运动）： \[ v_x = \frac{c + v}{1 + \frac{v}{c}} = c, \quad v_y = 0 \] 这与相对论的速度叠加一致（光速与任何速度叠加仍为光速）。

  2. \( \theta = \pi \)（点沿 \( -x \) 方向运动）： \[ v_x = \frac{-c + v}{1 - \frac{v}{c}} = \frac{v - c}{1 - \frac{v}{c}} = \frac{-(c - v)}{1 - \frac{v}{c}} = -c \] \[ v_y = 0 \] 同样满足 \( v_x^2 + v_y^2 = c^2 \)。

  3. \( \theta = \pi/2 \)（点沿 \( +y \) 方向运动）： \[ v_x = \frac{0 + v}{1 + 0} = v \] \[ v_y = \frac{c}{\gamma} \] 检查： \[ v_x^2 + v_y^2 = v^2 + \frac{c^2}{\gamma^2} = v^2 + c^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = v^2 + c^2 - v^2 = c^2 \] 同样满足。

结论

在实验室参考系（S 系）中，圆上任意一点的速度为： \[ v_x = \frac{c \cos \theta + v}{1 + \frac{v}{c} \cos \theta}, \quad v_y = \frac{c \sin \theta}{\gamma \left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)} \] 其中 \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)。该速度的大小始终为 \( c \)，满足光速不变原理。

假使一个圆，在O’坐标系上，圆上每个点的速度是c 方向是沿着r方向，所以任一点的速度为(c cos(theta), c sin(theta)), 如果O’沿x以相对于O坐标系以速度v平移，求O坐标系内圆的这个点的速度

问题重述

我们有一个圆，在 \( O’ \) 坐标系中，圆上的每个点都以光速 \( c \) 沿径向运动。因此，任意一点的速度在 \( O’ \) 系中为： \[ \mathbf{v}’ = (c \cos \theta, c \sin \theta) \] 其中 \( \theta \) 是该点相对于 \( x’ \)-轴的角度。现在，\( O’ \) 坐标系以速度 \( v \) 沿 \( x \)-方向相对于 \( O \) 坐标系运动。我们需要求出在 \( O \) 坐标系中，该点的速度 \( \mathbf{v} \)。

参考系和坐标变换

  • \( O’ \) 坐标系：圆静止，点以光速 \( c \) 沿径向运动。
  • \( O \) 坐标系：\( O’ \) 以速度 \( v \) 沿 \( x \)-方向运动，因此圆整体以速度 \( v \) 沿 \( x \)-方向运动。

我们需要将 \( O’ \) 系中的速度 \( \mathbf{v}’ \) 变换到 \( O \) 系中的速度 \( \mathbf{v} \)。

相对论速度变换公式

对于沿 \( x \)-方向的相对运动，速度变换公式为： \[ v_x = \frac{v’_x + v}{1 + \frac{v’_x v}{c^2}}, \quad v_y = \frac{v’_y}{\gamma \left(1 + \frac{v’_x v}{c^2}\right)} \] 其中 \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)。

代入径向速度

在 \( O’ \) 系中，点的速度为： \[ v’_x = c \cos \theta, \quad v’_y = c \sin \theta \]

因此，在 \( O \) 系中的速度为： \[ v_x = \frac{c \cos \theta + v}{1 + \frac{v c \cos \theta}{c^2}} = \frac{c \cos \theta + v}{1 + \frac{v}{c} \cos \theta} \] \[ v_y = \frac{c \sin \theta}{\gamma \left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)} \]

验证速度大小

我们需要验证 \( \mathbf{v} \) 的大小是否为 \( c \)： \[ v_x^2 + v_y^2 = \left(\frac{c \cos \theta + v}{1 + \frac{v}{c} \cos \theta}\right)^2 + \left(\frac{c \sin \theta}{\gamma \left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)}\right)^2 \]

展开计算： \[ v_x^2 + v_y^2 = \frac{(c \cos \theta + v)^2 + \frac{c^2 \sin^2 \theta}{\gamma^2}}{\left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)^2} \]

注意到 \( \gamma^2 = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)，因此 \( \frac{1}{\gamma^2} = 1 - \frac{v^2}{c^2} \)，代入： \[ = \frac{c^2 \cos^2 \theta + 2 v c \cos \theta + v^2 + c^2 \sin^2 \theta \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)}{\left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)^2} \] \[ = \frac{c^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + 2 v c \cos \theta + v^2 - v^2 \sin^2 \theta}{\left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)^2} \] \[ = \frac{c^2 + 2 v c \cos \theta + v^2 (1 - \sin^2 \theta)}{\left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)^2} \] \[ = \frac{c^2 + 2 v c \cos \theta + v^2 \cos^2 \theta}{\left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)^2} \] \[ = \frac{(c + v \cos \theta)^2}{\left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)^2} = c^2 \]

因此，\( v_x^2 + v_y^2 = c^2 \)，满足光速不变。

物理意义

  • 在 \( O’ \) 系中，圆上的点以光速沿径向运动。
  • 在 \( O \) 系中，由于 \( O’ \) 的运动，点的速度方向会变化，但大小仍为 \( c \)。
  • 速度的 \( x \)-分量和 \( y \)-分量通过相对论速度变换调整，确保总速度为 \( c \)。

特殊情况验证

  1. \( \theta = 0 \)（点沿 \( +x’ \) 方向运动）： \[ v_x = \frac{c + v}{1 + \frac{v}{c}} = c, \quad v_y = 0 \] 这与相对论的速度叠加一致（光速与任何速度叠加仍为光速）。

  2. \( \theta = \pi \)（点沿 \( -x’ \) 方向运动）： \[ v_x = \frac{-c + v}{1 - \frac{v}{c}} = \frac{v - c}{1 - \frac{v}{c}} = \frac{-(c - v)}{1 - \frac{v}{c}} = -c \] \[ v_y = 0 \] 同样满足 \( v_x^2 + v_y^2 = c^2 \)。

  3. \( \theta = \pi/2 \)（点沿 \( +y’ \) 方向运动）： \[ v_x = \frac{0 + v}{1 + 0} = v \] \[ v_y = \frac{c}{\gamma} \] 检查： \[ v_x^2 + v_y^2 = v^2 + \frac{c^2}{\gamma^2} = v^2 + c^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = v^2 + c^2 - v^2 = c^2 \] 同样满足。

结论

在 \( O \) 坐标系中，圆上任意一点的速度为： \[ v_x = \frac{c \cos \theta + v}{1 + \frac{v}{c} \cos \theta}, \quad v_y = \frac{c \sin \theta}{\gamma \left(1 + \frac{v}{c} \cos \theta\right)} \] 其中 \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)。该速度的大小始终为 \( c \)，满足光速不变原理。