1. 坡印廷矢量（能流）的时间依赖性
电磁波的能流密度由坡印廷矢量 \( \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 描述。当 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 相位差为 90° 时：
- 瞬时能流振荡：\( \mathbf{S}(t) \) 随时间周期性变化，在一个周期内既有正方向能流，也有负方向能流（反向能流）。
- 平均能流为零：因为 \( \sin(\omega t) \cos(\omega t) \) 的时间平均值为零，这意味着没有净能量传输。
2. 不满足自由空间电磁波的条件
在自由空间中传播的电磁波（平面波解）必须满足：
- \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 同相位（相位差为 0）。
- 两者幅度关系为 \( E = cB \)（\( c \) 为光速）。
若存在 90° 相位差，则这种波无法满足麦克斯韦方程组在自由空间中的解，除非存在特殊介质或边界条件（如波导或近场）。
3. 物理实现的可能场景
这种情况可能出现在：
- 驻波：例如在理想导体边界反射形成的驻波中，\( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 的波节和波腹位置错开，导致局部相位差 90°（但整体能流仍为零）。
- 近场区域：在辐射源附近的非辐射场（感应场）中，电场和磁场可能表现出相位差。
- 人工结构或色散介质：某些材料或超构材料可能通过色散或共振引入相位差。
4. 与横电磁波（TEM波）的区别
常规的横电磁波（如平面波）要求 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 同相且互相垂直。若两者相位差 90°，则波的性质可能变为：
- 非传播的振荡场（如电抗性近场）。
- 或需要存在纵向场分量（如波导中的 TE/TM 模）。
总结
- 能量传输：无净能流（平均坡印廷矢量为零）。
- 物理合法性：自由空间中无法独立存在，需特定边界条件或介质。
- 实际意义：此类波通常不用于远场能量传输，但可能在储能或近场耦合系统中出现。
若有进一步场景（如介质中的波、边界条件等），分析需结合具体条件。
1. 相位差与波速的关系
在自由空间中，电磁波的 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 必须同相（相位差为 0），才能满足麦克斯韦方程组对横电磁波（TEM波）的解，此时波速为真空光速 \( c \)。
当相位差为 90° 时：
- 波速的定义需修正：波的相速度 \( v_p \) 不再直接由 \( c \) 决定，而是依赖于约束条件（如波导的截止频率、介质的色散关系等）。
- 能量传播速度可能为零：由于坡印廷矢量的时间平均值为零（见前文），群速度 \( v_g \)（实际能量传输速度）可能趋近于 0，表现为非传播的振荡场或驻波。
2. 典型场景中的波速变化
（1）波导中的高阶模式
在金属波导（如矩形波导）中，TE（横电）或 TM（横磁）模式的 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 分量可能因边界反射产生相位差。此时：
- 相速度 \( v_p > c \)：因波沿锯齿路径传播，有效波长变长，但这是几何效应，不违反相对论。
- 群速度 \( v_g < c \)：实际信号速度低于 \( c \)，且随频率接近截止频率时 \( v_g \to 0 \)。
（2）色散介质中的传播
在具有强色散（如等离子体、双负介质）的材料中，相位差可能由介电常数 \( \epsilon \) 和磁导率 \( \mu \) 的复数性质引起：
- 等效波速降低：若介质导致 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 相位分离，波速可能表现为 \( v_p = c/\sqrt{\epsilon_r \mu_r} \)，其中 \( \epsilon_r, \mu_r \) 为复数（存在损耗或增益）。
（3）近场或倏逝波
在近场区域（如天线附近），非辐射场的 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 可能相位差 90°：
- 波速无意义：倏逝波不传播能量，其“速度”概念失效。
3. 物理本质
相位差 90° 的本质是电磁场的无功功率占主导（类似电路中的电抗性负载）。此时：
- 储能振荡：能量在电场和磁场间周期性交换，而非向外传输。
- 波速的重新定义：需区分相速度（数学上的波前移动速度）和群速度（能量速度），后者更关键。
结论
- 波速必然受影响：在约束条件下，相位差 90° 通常导致相速度 \( v_p \) 偏离 \( c \)，而群速度 \( v_g \) 可能大幅降低甚至为零。
- 实际意义：此类现象可用于设计慢光结构、波导滤波器或储能器件，但需注意能量无法远距离传输。
若需具体场景（如特定波导或超构材料）的定量分析，需结合其色散方程进一步计算。
1. 电场和磁场的互相激发
根据麦克斯韦方程组（自由空间）： \[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \]
- 动态耦合：变化的电场激发磁场，变化的磁场激发电场，形成自维持的电磁波。
- 相位同步性：在自由空间传播的横电磁波（TEM波）中，\( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 同相位，能量在两者间瞬时转换。
2. 能量密度的独立性
电磁波的总能量密度 \( u \) 是电场和磁场能量密度之和： \[ u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0} \]
- 瞬时能量分配：在自由空间 TEM 波中，\( E = cB \)，代入可得 \( u_E = u_B \)，即电场和磁场的能量密度时刻相等，总能量守恒。
- 表观独立性：尽管 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 通过麦克斯韦方程组耦合，但它们的能量密度公式仅依赖各自场强，形式上可分开计算。
3. 相位差 90° 时的能量行为
若 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 相位差 90°（如约束系统中）：
- 能量振荡：总能量密度 \( u \) 仍为两者之和，但坡印廷矢量 \( \mathbf{S} \propto \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 的时间平均值为零（无净能流）。
- 独立性受限：此时电场和磁场的能量不再同步转换，而是交替达到峰值（类似 LC 振荡电路），但两者仍通过麦克斯韦方程组动态关联。
4. “独立性”的物理意义
- 数学分离：能量密度公式允许单独计算 \( u_E \) 和 \( u_B \)，但实际场分布由麦克斯韦方程组严格约束。
- 物理不可分割：电磁波的本质是电场和磁场的联合振动，单独存在静电场或静磁场无法形成传播的电磁波。
- 特殊场景：在近场或倏逝波中，可能观察到电场或磁场占主导的局域能量分布，但整体仍满足电磁耦合。
5. 类比与直觉理解
- 弹簧振子模型：电场和磁场类似动能和势能，两者互相转化，但总能量守恒。相位差 90° 时，能量在两者间交替存储，无净传输。
- 电路类比：电阻（耗能）对应辐射场（能流），电抗（储能）对应非辐射场（相位差 90° 的振荡）。
结论
电场和磁场的能量在数学上可分开描述，但物理上通过麦克斯韦方程组紧密耦合。独立性仅体现在能量密度的计算上，而非实际动力学行为。在传播的电磁波中，两者必须协同作用；而在约束系统中（如相位差 90°），能量可能局域化，但仍需满足电磁场的基本规律。
坡印廷矢量（Poynting Vector）的物理意义与讨论
坡印廷矢量 \( \mathbf{S} \) 是描述电磁波能量流动的核心物理量，定义为： \[ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} \] 其中：
- \( \mathbf{E} \) 是电场强度（V/m）
- \( \mathbf{B} \) 是磁感应强度（T）
- \( \mu_0 \) 是真空磁导率（\( 4\pi \times 10^{-7} , \text{N/A}^2 \)）
1. 坡印廷矢量的物理意义
(1) 能量流密度
- 瞬时坡印廷矢量 \( \mathbf{S}(t) \) 表示 电磁波在单位时间、单位面积上传输的能量（单位：W/m²）。
- 方向：沿电磁波传播方向（垂直于 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \)）。
- 大小：\( S = \frac{EB}{\mu_0} \)（自由空间中 \( E = cB \)，故 \( S = \frac{E^2}{\mu_0 c} \)）。
(2) 与电磁波能量的关系
电磁波的总能量密度（电场 + 磁场）： \[ u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0} \] 在自由空间 TEM 波中，\( u_E = u_B \)，因此： \[ u = \epsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0} \] 坡印廷矢量的时间平均值（对单色平面波）： \[ \langle S \rangle = \frac{1}{2} \frac{E_0 B_0}{\mu_0} = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2 = c \langle u \rangle \] 即 能流 = 能量密度 × 波速（符合能量守恒）。
2. 特殊情况讨论
(1) 电场和磁场相位差 90°（如驻波或近场）
如果 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 相位差 90°（如 \( E = E_0 \cos(\omega t) \)，\( B = B_0 \sin(\omega t) \)）：
- 瞬时坡印廷矢量：
\[
S(t) \propto \cos(\omega t) \sin(\omega t) = \frac{1}{2} \sin(2\omega t)
\]
- 方向周期性反转，平均能流 \( \langle S \rangle = 0 \)（无净能量传输）。
- 物理意义：
- 能量在电场和磁场之间来回振荡（类似 LC 电路）。
- 适用于 驻波（如理想导体边界反射）或 近场（非辐射场）。
(2) 导体中的坡印廷矢量（焦耳热损耗）
在导体内部，电磁波会衰减（趋肤效应），坡印廷矢量进入导体： \[ \mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H} \] 其中 \( \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu \)（磁场强度）。
- 能流进入导体后转化为焦耳热 \( I^2 R \)（能量耗散）。
- 说明电磁波能量如何被导体吸收。
3. 坡印廷矢量的应用
(1) 电磁波辐射（天线理论）
- 计算天线的辐射功率： \[ P = \oint \mathbf{S} \cdot d\mathbf{A} \] 积分面为包围天线的闭合曲面。
- 用于分析偶极子天线、微波辐射等。
(2) 波导和传输线
- 在波导（如矩形波导、光纤）中，坡印廷矢量描述能量沿波导传输的模式。
- 对于 TE/TM 模，\( \mathbf{S} \) 可能具有纵向分量。
(3) 电磁屏蔽与能量流动
- 坡印廷矢量可用于分析电磁屏蔽效果（如 Faraday 笼）。
- 计算穿透材料的能量流。
4. 常见误区
(1) 坡印廷矢量方向 ≠ 电场或磁场方向
- \( \mathbf{S} \) 方向由 \( \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 决定，通常沿波矢 \( \mathbf{k} \) 方向。
- 在波导或复杂结构中，\( \mathbf{S} \) 可能不严格平行于传播方向。
(2) 坡印廷矢量可以为零，但电磁场仍存在
- 如静电场 + 静磁场（不传播能量，\( \mathbf{S} = 0 \)）。
- 驻波（平均 \( \langle S \rangle = 0 \)）。
(3) 坡印廷矢量在介质中的修正
在介质中（\( \epsilon, \mu \)）： \[ \mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H} \] 其中 \( \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu \)。
5. 总结
| 情况 | 坡印廷矢量特性 |
|---|---|
| 自由空间 TEM 波 | \( \mathbf{S} \) 沿传播方向，\( \langle S \rangle = c \langle u \rangle \) |
| 相位差 90°（驻波） | 瞬时 \( S(t) \) 振荡，平均 \( \langle S \rangle = 0 \) |
| 导体内部 | \( \mathbf{S} \) 进入导体，转化为焦耳热 |
| 波导/传输线 | \( \mathbf{S} \) 可能含纵向分量 |
核心结论：
- 坡印廷矢量描述电磁能的流动，方向垂直于 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \)。
- 在传播波中，它代表能量传输；在驻波或近场中，可能无净能流。
- 是分析天线、波导、电磁屏蔽等问题的重要工具。
一般形式的电磁波函数
在真空中，沿 \( z \) 方向传播的电磁波的电场 \( \mathbf{E} \) 和磁场 \( \mathbf{B} \) 可表示为： \[ \mathbf{E}(z, t) = E_0 \cos(kz - \omega t) \hat{x}, \] \[ \mathbf{B}(z, t) = B_0 \cos(kz - \omega t) \hat{y}, \] 其中 \( E_0 \) 和 \( B_0 \) 满足 \( E_0 = c B_0 \)，且相位同步。
电场和磁场不同步的波函数
若电场和磁场之间存在相位差 \( \phi \)，可写为： \[ \mathbf{E}(z, t) = E_0 \cos(kz - \omega t) \hat{x}, \] \[ \mathbf{B}(z, t) = B_0 \cos(kz - \omega t + \phi) \hat{y}. \] 这里 \( \phi \) 是磁场相对于电场的相位滞后（或超前）。
复数表示法（更简洁）
用复数形式表示： \[ \mathbf{E}(z, t) = E_0 e^{i(kz - \omega t)} \hat{x}, \] \[ \mathbf{B}(z, t) = B_0 e^{i(kz - \omega t + \phi)} \hat{y}. \] 实部对应物理量。
产生相位差的条件
相位差 \( \phi \neq 0 \) 可能出现在以下情况：
- 有耗散介质：电磁波在导电介质中传播时，电场和磁场会出现相位差。
- 在导体中，磁场相位滞后于电场 \( \pi/4 \)（趋肤效应）。
- 反射或折射：在边界处，电磁波的反射和折射可能导致相位变化。
- 人工调控：通过超材料或相位调控器件可人为引入相位差。
示例：导电介质中的电磁波
在电导率为 \( \sigma \) 的导体中，电磁波的波数为复数 \( k = \beta + i\alpha \)，电场和磁场表示为： \[ \mathbf{E}(z, t) = E_0 e^{-\alpha z} \cos(\beta z - \omega t) \hat{x}, \] \[ \mathbf{B}(z, t) = B_0 e^{-\alpha z} \cos\left(\beta z - \omega t + \frac{\pi}{4}\right) \hat{y}, \] 其中磁场相位比电场超前 \( \pi/4 \)。
能量流动（坡印廷矢量）
相位差会影响瞬时坡印廷矢量 \( \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} \)，导致能量传输的非均匀性。
总结
电场和磁场不同步的波函数可表示为： \[ \mathbf{E} = E_0 \cos(kz - \omega t) \hat{x}, \quad \mathbf{B} = B_0 \cos(kz - \omega t + \phi) \hat{y}, \] 其中 \( \phi \) 为相位差。这种情况通常出现在非真空或有耗散的介质中。
1. 麦克斯韦方程组（微分形式）
在无自由电荷 (\(\rho = 0\)) 和无自由电流 (\(\mathbf{J} = 0\)) 的情况下，麦克斯韦方程组为： \[ \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \quad &\text{(高斯定律)} \ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad &\text{(高斯磁定律)} \ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \quad &\text{(法拉第电磁感应定律)} \ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \quad &\text{(安培-麦克斯韦定律)} \end{cases} \]
2. 波动方程的推导
我们假设电磁波沿 \(z\) 方向传播，电场和磁场分别为： \[ \mathbf{E}(z, t) = E_0 e^{i(kz - \omega t)} \hat{x}, \quad \mathbf{B}(z, t) = B_0 e^{i(kz - \omega t + \phi)} \hat{y}, \] 其中 \(\phi\) 是磁场相对于电场的相位差。
(1) 电场 \(\mathbf{E}\) 的波动方程
从法拉第定律 \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\)： \[ \nabla \times \mathbf{E} = \left( \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} \right) \hat{x} + \left( \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} \right) \hat{y} + \left( \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \right) \hat{z}. \] 由于 \(\mathbf{E} = E_x(z,t) \hat{x}\)，只有 \(\frac{\partial E_x}{\partial z}\) 项非零： \[ \nabla \times \mathbf{E} = \frac{\partial E_x}{\partial z} \hat{y} = ik E_0 e^{i(kz - \omega t)} \hat{y}. \] 而磁场的时间导数为： \[ -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = i\omega B_0 e^{i(kz - \omega t + \phi)} \hat{y}. \] 由法拉第定律得： \[ ik E_0 = i\omega B_0 e^{i\phi} \implies B_0 = \frac{k}{\omega} E_0 e^{-i\phi}. \]
(2) 磁场 \(\mathbf{B}\) 的波动方程
从安培-麦克斯韦定律 \(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\)： \[ \nabla \times \mathbf{B} = \frac{\partial B_y}{\partial z} \hat{x} = ik B_0 e^{i(kz - \omega t + \phi)} \hat{x}. \] 电场的时间导数为： \[ \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = -i \omega \mu_0 \epsilon_0 E_0 e^{i(kz - \omega t)} \hat{x}. \] 由安培-麦克斯韦定律得： \[ ik B_0 e^{i\phi} = -i \omega \mu_0 \epsilon_0 E_0. \] 代入 \(B_0 = \frac{k}{\omega} E_0 e^{-i\phi}\)，得到： \[ ik \left( \frac{k}{\omega} E_0 e^{-i\phi} \right) e^{i\phi} = -i \omega \mu_0 \epsilon_0 E_0 \implies \frac{k^2}{\omega} = \omega \mu_0 \epsilon_0. \] 因此： \[ k^2 = \omega^2 \mu_0 \epsilon_0, \] 即 \(k = \omega \sqrt{\mu_0 \epsilon_0} = \frac{\omega}{c}\)（真空中）。
3. 考虑相位差 \(\phi\) 的波动方程
如果 \(\phi \neq 0\)，则磁场和电场不同步，但波动方程仍满足： \[ \nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0, \] \[ \nabla^2 \mathbf{B} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} = 0. \] 但由于 \(\mathbf{B}\) 的相位不同，其解形式为： \[ \mathbf{B}(z, t) = \frac{1}{c} E_0 e^{i(kz - \omega t + \phi)} \hat{y}. \]
修正的波动方程（耗散介质）
如果介质有电导率 \(\sigma\)（如导体），麦克斯韦-安培定律修正为： \[ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \left( \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \sigma \mathbf{E} \right). \] 此时波动方程变为： \[ \nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} - \mu_0 \sigma \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = 0. \] 类似地，磁场也满足： \[ \nabla^2 \mathbf{B} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} - \mu_0 \sigma \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0. \] 这种情况下，电场和磁场会出现相位差 \(\phi\)（通常 \(\phi = \pi/4\) 在良导体中）。
4. 最终形式
在一般介质中，电场和磁场的波动方程为： \[ \boxed{ \begin{cases} \nabla^2 \mathbf{E} - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} - \mu \sigma \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = 0, \ \nabla^2 \mathbf{B} - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} - \mu \sigma \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0, \end{cases} } \] 其中：
- \(\mu\) 为磁导率，
- \(\epsilon\) 为介电常数，
- \(\sigma\) 为电导率（若 \(\sigma \neq 0\)，则存在相位差 \(\phi\)）。
相位差 \(\phi\) 的具体值由介质参数决定，例如在导体中： \[ \tan \phi = \frac{\sigma}{\omega \epsilon}. \]
总结
- 在真空中（\(\sigma = 0\)），电场和磁场同步（\(\phi = 0\)），波动方程退化为标准形式。
- 在耗散介质（\(\sigma \neq 0\)）中，电场和磁场不同步，波动方程包含阻尼项 \(\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\)，导致相位差 \(\phi \neq 0\)。
1. 无耗散介质（\(\sigma = 0\)，相位同步 \(\phi = 0\)）
在真空中或理想绝缘介质中，电磁波的传播速度为： \[ v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}, \] 其中：
- \(c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}\) 是真空中的光速，
- \(\mu_r\) 和 \(\epsilon_r\) 是相对磁导率和相对介电常数。
此时电场和磁场同步振荡，无相位差。
2. 有耗散介质（\(\sigma \neq 0\)，相位差 \(\phi \neq 0\)）
在导体或损耗介质中，电导率 \(\sigma\) 导致电磁波衰减，且电场和磁场出现相位差。此时波数 \(k\) 为复数： \[ k = \beta + i\alpha, \] 其中：
- \(\beta\) 是相位常数（决定波的实际传播速度），
- \(\alpha\) 是衰减常数（决定波的幅值衰减）。
(1) 复介电常数与色散关系
引入复介电常数 \(\tilde{\epsilon}\)： \[ \tilde{\epsilon} = \epsilon + \frac{i\sigma}{\omega}, \] 波动方程的解满足色散关系： \[ k^2 = \omega^2 \mu \tilde{\epsilon} = \omega^2 \mu \left( \epsilon + \frac{i\sigma}{\omega} \right). \] 解得复波数 \(k\)： \[ k = \omega \sqrt{\mu \epsilon} \sqrt{1 + \frac{i\sigma}{\omega \epsilon}}. \]
(2) 传播速度的定义
电磁波的 相速度（phase velocity，即波前传播速度）为： \[ v_p = \frac{\omega}{\beta}, \] 其中 \(\beta = \text{Re}(k)\) 需从复数 \(k\) 的实部求出。
3. 良导体（\(\sigma \gg \omega \epsilon\)）
在良导体中（如金属），\(\sigma / \omega \epsilon \gg 1\)，色散关系近似为： \[ k \approx \sqrt{\frac{\omega \mu \sigma}{2}} (1 + i). \] 因此： \[ \beta = \alpha = \sqrt{\frac{\omega \mu \sigma}{2}}, \] 相速度为： \[ v_p = \frac{\omega}{\beta} = \sqrt{\frac{2\omega}{\mu \sigma}}. \] 特点：
- 相速度 \(v_p\) 与频率 \(\omega\) 的平方根成正比（色散效应），
- 高频电磁波在导体中传播更慢，
- 磁场相位滞后电场 \(\pi/4\)（即 \(\phi = 45^\circ\)）。
4. 弱耗散介质（\(\sigma \ll \omega \epsilon\)）
当电导率较小（如电离层或半导体），可对色散关系泰勒展开： \[ k \approx \omega \sqrt{\mu \epsilon} \left( 1 + \frac{i\sigma}{2\omega \epsilon} \right). \] 此时： \[ \beta \approx \omega \sqrt{\mu \epsilon}, \quad \alpha \approx \frac{\sigma}{2} \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}, \] 相速度为： \[ v_p \approx \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}. \] 特点：
- 相速度接近无耗散介质的速度，
- 但仍存在微小相位差 \(\phi \approx \frac{\sigma}{2\omega \epsilon}\)（线性近似）。
5. 总结
| 介质类型 | 相位差 \(\phi\) | 传播速度 \(v_p\) |
|---|---|---|
| 真空/无耗散介质 | \(\phi = 0\) | \(v_p = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}\) |
| 良导体 (\(\sigma \gg \omega \epsilon\)) | \(\phi = \pi/4\) | \(v_p = \sqrt{\frac{2\omega}{\mu \sigma}}\) |
| 弱耗散介质 (\(\sigma \ll \omega \epsilon\)) | \(\phi \approx \frac{\sigma}{2\omega \epsilon}\) | \(v_p \approx \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}\) |
关键结论
- 相位差 \(\phi \neq 0\) 会降低传播速度，尤其在导体中，速度显著低于真空光速。
- 耗散导致色散：相速度 \(v_p\) 依赖频率 \(\omega\)（高频波传播更快）。
- 在真空中，\(\phi = 0\)，\(v_p = c\)，电场和磁场严格同步。
如果需要具体数值计算，需给定介质参数（\(\mu, \epsilon, \sigma\)）和频率 \(\omega\)。