分析两个坐标的同时性，坐标O和O’，O’沿x轴相对于O速度v运动，有一点p，p的位置在O坐标为(-x, y)，x>0，y>0，在O’中的坐标为(0, y)，p向着O的原点发射一束光，当光到达O的原点时，O’的原点也正好到达O的原点，我们可以说p发光这个事件，对O和O’来说是同时的，或者说经历的时间是相同的，但光经过的距离O的距离是O‘的距离的1/sqrt{1-v^2/c^2}倍，也就是在O看来，如果两个坐标使用同一事件标记时间，那么O’上是有尺缩效应的，是否可以这么说。验证过程中，不要使用洛伦兹变换
问题重述
我们有两个惯性坐标系 \( O \) 和 \( O’ \)，其中 \( O’ \) 以恒定速度 \( v \) 沿 \( x \)-轴相对于 \( O \) 运动。点 \( p \) 的坐标在 \( O \) 中为 \( (-x, y) \)（\( x > 0 \), \( y > 0 \)），在 \( O’ \) 中为 \( (0, y) \)。点 \( p \) 向 \( O \) 的原点发射一束光，当光到达 \( O \) 的原点时，\( O’ \) 的原点也正好到达 \( O \) 的原点。我们需要分析：
- \( p \) 发光的事件在 \( O \) 和 \( O’ \) 中是否是同时的（或经历的时间是否相同）。
- 光从 \( p \) 到 \( O \) 的原点的距离在 \( O \) 和 \( O’ \) 中的关系，是否可以由此说明 \( O’ \) 存在尺缩效应。
关键假设和已知条件
- 光速不变原理：光在真空中的速度 \( c \) 在所有惯性系中相同。
- \( O’ \) 的运动：\( O’ \) 以速度 \( v \) 沿 \( x \)-轴运动，因此在 \( O \) 中，\( O’ \) 的原点位置为 \( x = v t \)（假设 \( t = 0 \) 时两原点重合）。
- 点 \( p \) 的坐标：
- 在 \( O \) 中：\( (-x, y) \)。
- 在 \( O’ \) 中：\( (0, y) \)。这意味着在发光时刻，\( p \) 位于 \( O’ \) 的 \( y \)-轴上。
发光事件的时空坐标
设 \( p \) 在 \( O \) 中于时刻 \( t_1 \) 发光，事件坐标为 \( (t_1, -x, y) \)。
在 \( O’ \) 中，\( p \) 的 \( x’ \)-坐标为 0，因此 \( O’ \) 的原点在发光时刻的位置可以通过以下关系确定：
在 \( O \) 中，\( O’ \) 的原点位置为 \( x = v t \)。在发光时刻 \( t_1 \)，\( O’ \) 的原点位于 \( x = v t_1 \)。
点 \( p \) 在 \( O \) 中的 \( x \)-坐标为 \( -x \)，而在 \( O’ \) 中为 0，因此：
\[ \text{Distance between } p \text{ and } O’\text{’s origin in } O \text{ at } t_1: \quad | -x - v t_1 | = x + v t_1 \]
由于 \( p \) 在 \( O’ \) 中 \( x’ = 0 \)，这意味着 \( p \) 与 \( O’ \) 的原点在 \( x \)-方向上的距离在 \( O’ \) 中为 0。因此，在 \( O \) 中，\( p \) 与 \( O’ \) 的原点的 \( x \)-距离 \( x + v t_1 \) 对应于 \( O’ \) 中的 0。这表明 \( t_1 \) 必须满足：
\[ x + v t_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad t_1 = -\frac{x}{v} \]
因此，发光时刻在 \( O \) 中为 \( t_1 = -x/v \)。
光传播到 \( O \) 的原点
光从 \( (-x, y) \) 传播到 \( (0, 0) \) 的距离为：
\[ d = \sqrt{x^2 + y^2} \]
光速为 \( c \)，因此传播时间为：
\[ \Delta t = \frac{d}{c} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{c} \]
光到达 \( O \) 的原点的时刻为：
\[ t_2 = t_1 + \Delta t = -\frac{x}{v} + \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{c} \]
\( O’ \) 的原点到达 \( O \) 的原点
\( O’ \) 的原点在 \( O \) 中的运动方程为 \( x = v t \)。它到达 \( O \) 的原点（\( x = 0 \)）的时刻为 \( t = 0 \)。
根据题意，光到达 \( O \) 的原点时 \( O’ \) 的原点也到达 \( O \) 的原点，因此：
\[ t_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{x}{v} + \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{c} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{c} = \frac{x}{v} \]
解得：
\[ \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{c x}{v} \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 = \frac{c^2 x^2}{v^2} \quad \Rightarrow \quad y^2 = x^2 \left( \frac{c^2}{v^2} - 1 \right ) \]
因此：
\[ y = x \sqrt{ \frac{c^2}{v^2} - 1 } = x \sqrt{ \frac{c^2 - v^2}{v^2} } = \frac{x}{v} \sqrt{c^2 - v^2} \]
发光事件在 \( O’ \) 中的时间
我们需要验证发光事件在 \( O’ \) 中的时间 \( t’_1 \)。由于不使用洛伦兹变换，我们通过物理关系推导。
在 \( O’ \) 中，\( p \) 的坐标为 \( (0, y) \)，且 \( O’ \) 的原点以速度 \( -v \) 运动（因为 \( O \) 以 \( -v \) 运动相对 \( O’ \)）。发光时，\( O \) 的原点在 \( O’ \) 中的位置为 \( x’ = -v t’_1 \)。
但 \( p \) 在 \( O’ \) 中 \( x’ = 0 \)，因此 \( p \) 与 \( O \) 的原点在 \( O’ \) 中的 \( x’ \)-距离为 \( |0 - (-v t’_1)| = v t’_1 \)。
在 \( O \) 中，\( p \) 与 \( O \) 的原点的 \( x \)-距离为 \( x \)，因此存在尺缩效应：
\[ v t’_1 = \frac{x}{\gamma} \quad \text{where} \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \]
因此：
\[ t’_1 = \frac{x}{\gamma v} \]
而在 \( O \) 中，\( t_1 = -x/v \)。因此：
\[ t’_1 = \frac{x}{\gamma v} = \frac{x \sqrt{1 - v^2/c^2}}{v} = \frac{x}{v} \sqrt{1 - v^2/c^2} \]
而 \( t_1 = -x/v \)，因此 \( t’_1 \neq t_1 \)，除非 \( \gamma = 1 \)（即 \( v = 0 \)），否则发光事件在 \( O \) 和 \( O’ \) 中不是同时的。
光传播距离的比较
在 \( O \) 中，光传播距离为 \( \sqrt{x^2 + y^2} \)。
在 \( O’ \) 中，\( p \) 的坐标为 \( (0, y) \)，\( O \) 的原点在发光时刻的 \( x’ \)-坐标为 \( -v t’_1 \)，光传播到 \( O \) 的原点时 \( O \) 的原点移动。
光在 \( O’ \) 中传播的距离：
初始时（发光时刻）：
- \( p \): \( (0, y) \)
- \( O \) 的原点: \( (-v t’_1, 0) \)
光到达 \( O \) 的原点时，\( O \) 的原点在 \( O’ \) 中移动了 \( v \Delta t’ \)，其中 \( \Delta t’ \) 是光传播时间在 \( O’ \) 中。
光传播路径的 \( x’ \)-方向距离：从 \( 0 \) 到 \( -v t’_1 + v \Delta t’ \)。 \( y \)-方向距离：\( y \)。
光速为 \( c \)，因此：
\[ \sqrt{ ( -v t’_1 + v \Delta t’ )^2 + y^2 } = c \Delta t’ \]
这是一个关于 \( \Delta t’ \) 的方程，可以解出 \( \Delta t’ \)。
但更简单的是利用时间膨胀和尺缩效应：
在 \( O \) 中，光传播时间为 \( \Delta t = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{c} = \frac{x}{v} \)。
在 \( O’ \) 中，时间膨胀：
\[ \Delta t’ = \gamma \Delta t = \gamma \frac{x}{v} \]
光传播距离在 \( O’ \) 中为 \( c \Delta t’ = c \gamma \frac{x}{v} \)。
而在 \( O \) 中，光传播距离为 \( \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{c x}{v} \)。
因此，距离比为：
\[ \frac{ \text{Distance in } O’ }{ \text{Distance in } O } = \frac{ c \gamma x / v }{ c x / v } = \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \]
即 \( O’ \) 中的距离是 \( O \) 中的 \( \gamma \) 倍，或者说 \( O \) 中的距离是 \( O’ \) 中的 \( 1/\gamma \) 倍。
尺缩效应的体现
尺缩效应是指沿运动方向的长度在静止系中测量会缩短。这里 \( p \) 到 \( O \) 的原点的 \( x \)-方向距离在 \( O \) 中为 \( x \)，在 \( O’ \) 中为 \( x’ = \gamma x \)（因为 \( O’ \) 认为 \( O \) 的尺缩）。
但更准确的是：
在 \( O’ \) 中，\( p \) 的 \( x’ = 0 \)，\( O \) 的原点在发光时刻的 \( x’ = -v t’_1 = -\frac{x}{\gamma} \)，因此 \( x \)-方向距离为 \( \frac{x}{\gamma} \)。
而在 \( O \) 中，\( x \)-方向距离为 \( x \)，因此：
\[ x’ = \frac{x}{\gamma} \quad \Rightarrow \quad x = \gamma x’ \]
即 \( O \) 中测量的距离 \( x \) 是 \( O’ \) 中测量的 \( x’ \) 的 \( \gamma \) 倍，这意味着 \( O’ \) 中的长度看起来比 \( O \) 中短（尺缩）。
结论
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同时性：
- 发光事件在 \( O \) 和 \( O’ \) 中不是同时的。在 \( O \) 中发光时刻为 \( t_1 = -x/v \)，在 \( O’ \) 中为 \( t’_1 = \frac{x}{\gamma v} \)。
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光传播距离：
- 在 \( O \) 中，光传播距离为 \( \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{c x}{v} \)。
- 在 \( O’ \) 中，光传播距离为 \( c \Delta t’ = c \gamma \frac{x}{v} \)。
- 因此，\( O’ \) 中的距离是 \( O \) 中的 \( \gamma \) 倍，即 \( O \) 中的距离是 \( O’ \) 中的 \( 1/\gamma \) 倍。
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尺缩效应：
- 这种距离关系反映了尺缩效应。在 \( O \) 看来，\( O’ \) 沿运动方向的长度收缩为 \( 1/\gamma \) 倍。
因此，可以认为在 \( O \) 看来，\( O’ \) 存在尺缩效应。
坐标O'相对于O水平运动，O'在O的左边，速度为v，O'发出一束光，当O'和O的原点重合时，光到达P，光在O'中经过的时间为t'，而如果O坐标在原点发射一束光到P，到达P的时间为t，能否求出t和t'的关系。不使用洛伦兹变换。各点图形关系如下：
-------------p
-O'---O--