坐标系O’相对于坐标系O以速度v沿着x坐标轴运动，当O和O’的原点重合时，在空中有一个点p, 位于x>0,y>0处，p点此时发出一圈光，光到O’原点时间为t’，到O的原点的时间为t，求t和t’的关系

坐标系与事件描述

设有两个惯性坐标系 \( O \) 和 \( O’ \)，其中 \( O’ \) 相对于 \( O \) 以速度 \( v \) 沿 \( x \) 轴正方向运动。当 \( O \) 和 \( O’ \) 的原点重合时（即 \( t = t’ = 0 \)），空间中的点 \( P \) 位于 \( (x, y, 0) \)，其中 \( x > 0 \)，\( y > 0 \)。此时，点 \( P \) 发出一圈光信号。光信号传播到 \( O’ \) 的原点的时间为 \( t’ \)，传播到 \( O \) 的原点的时间为 \( t \)。求 \( t \) 和 \( t’ \) 之间的关系。

在 \( O \) 系中的计算

在 \( O \) 系中，点 \( P \) 的坐标固定为 \( (x, y, 0) \)。光信号从 \( P \) 发出后，以光速 \( c \) 向各个方向传播。光信号到达 \( O \) 的原点 \( (0, 0, 0) \) 的时间 \( t \) 满足：

\[ \text{传播距离} = \sqrt{x^2 + y^2} = c t \]

因此，

\[ t = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{c} \]

在 \( O’ \) 系中的计算

在 \( O’ \) 系中，\( O’ \) 的原点以速度 \( v \) 沿 \( x \) 轴运动。光信号从 \( P \) 发出后，到达 \( O’ \) 的原点的时间 \( t’ \) 满足：

在 \( O \) 系中，\( O’ \) 的原点在时间 \( t’ \) 时的位置为 \( (v t’, 0, 0) \)。光信号从 \( P \) 发出后到达 \( O’ \) 的原点的传播距离为：

\[ \sqrt{(x - v t’)^2 + y^2} = c t’ \]

平方两边：

\[ (x - v t’)^2 + y^2 = c^2 t’^2 \]

展开并整理：

\[ x^2 - 2 v x t’ + v^2 t’^2 + y^2 = c^2 t’^2 \]

\[ (v^2 - c^2) t’^2 - 2 v x t’ + (x^2 + y^2) = 0 \]

解这个关于 \( t’ \) 的二次方程：

\[ t’ = \frac{2 v x \pm \sqrt{4 v^2 x^2 - 4 (v^2 - c^2)(x^2 + y^2)}}{2 (v^2 - c^2)} \]

简化判别式：

\[ \Delta = 4 v^2 x^2 - 4 (v^2 - c^2)(x^2 + y^2) = 4 [c^2 (x^2 + y^2) - v^2 y^2] \]

因此，

\[ t’ = \frac{2 v x \pm 2 \sqrt{c^2 (x^2 + y^2) - v^2 y^2}}{2 (v^2 - c^2)} = \frac{v x \pm \sqrt{c^2 (x^2 + y^2) - v^2 y^2}}{v^2 - c^2} \]

由于 \( v^2 - c^2 < 0 \)，选择减号以确保 \( t’ > 0 \)：

\[ t’ = \frac{v x - \sqrt{c^2 (x^2 + y^2) - v^2 y^2}}{v^2 - c^2} = \frac{\sqrt{c^2 (x^2 + y^2) - v^2 y^2} - v x}{c^2 - v^2} \]

使用洛伦兹变换

另一种方法是利用洛伦兹变换。在 \( O \) 系中，光信号到达 \( O’ \) 原点的事件坐标为 \( (v t’, 0, 0, t’) \)。将其转换到 \( O’ \) 系中：

\[ t’’ = \gamma \left(t’ - \frac{v (v t’)}{c^2}\right) = \gamma t’ \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = \frac{t’}{\gamma} \]

但 \( t’’ \) 是光到达 \( O’ \) 原点的时间，即 \( t’’ = t’ \)，因此：

\[ t’ = \frac{t’}{\gamma} \]

这显然矛盾，说明直接应用洛伦兹变换需要更谨慎的处理。

更简洁的关系

设 \( \theta \) 为点 \( P \) 在 \( O \) 系中与 \( x \) 轴的夹角，即：

\[ \cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad \sin \theta = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \]

在 \( O \) 系中：

\[ t = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{c} \]

在 \( O’ \) 系中：

\[ t’ = \frac{\sqrt{\gamma^2 x^2 + y^2} - \gamma v x / c}{c} \]

代入 \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \)，\( \beta = \frac{v}{c} \)：

\[ t’ = \frac{\sqrt{\frac{x^2}{1 - \beta^2} + y^2} - \frac{v x}{c \sqrt{1 - \beta^2}}}{c} \]

进一步整理：

\[ t’ = \frac{\sqrt{\frac{x^2 + y^2 (1 - \beta^2)}{1 - \beta^2}} - \frac{\beta x}{\sqrt{1 - \beta^2}}}{c} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2 (1 - \beta^2)} - \beta x}{c \sqrt{1 - \beta^2}} \]

注意到 \( \sqrt{x^2 + y^2} = c t \)，因此：

\[ t’ = \frac{\sqrt{c^2 t^2 - \beta^2 y^2} - \beta x}{c \sqrt{1 - \beta^2}} \]

但 \( y = c t \sin \theta \)，\( x = c t \cos \theta \)，因此：

\[ t’ = \frac{\sqrt{c^2 t^2 - \beta^2 c^2 t^2 \sin^2 \theta} - \beta c t \cos \theta}{c \sqrt{1 - \beta^2}} = \frac{c t \sqrt{1 - \beta^2 \sin^2 \theta} - \beta c t \cos \theta}{c \sqrt{1 - \beta^2}} \]

简化：

\[ t’ = t \cdot \frac{\sqrt{1 - \beta^2 \sin^2 \theta} - \beta \cos \theta}{\sqrt{1 - \beta^2}} \]

最终关系

因此，\( t \) 和 \( t’ \) 之间的关系为：

\[ t’ = t \cdot \frac{\sqrt{1 - \beta^2 \sin^2 \theta} - \beta \cos \theta}{\sqrt{1 - \beta^2}}, \quad \beta = \frac{v}{c} \]

其中 \( \theta \) 是点 \( P \) 在 \( O \) 系中与 \( x \) 轴的夹角，满足：

\[ \cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad \sin \theta = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \]

特殊情况验证

当 \( y = 0 \)（即 \( \theta = 0 \)）时：

\[ t’ = t \cdot \frac{\sqrt{1 - 0} - \beta \cdot 1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = t \cdot \frac{1 - \beta}{\sqrt{1 - \beta^2}} = t \cdot \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}} \]

这与相对论中的时间膨胀和多普勒效应一致，验证了结果的正确性。

不使用洛伦兹变换，求t和t’的关系，提示：它们的垂直距离相同，利用这个建立关系式

问题重述

我们有两个惯性坐标系 \( O \) 和 \( O’ \)，其中 \( O’ \) 以速度 \( v \) 沿 \( x \) 轴相对于 \( O \) 运动。当 \( O \) 和 \( O’ \) 的原点重合时（即 \( t = t’ = 0 \)），空间中的点 \( P \)（位于 \( x > 0, y > 0 \)）发出一圈光信号。光信号到达 \( O \) 的原点的时间为 \( t \)，到达 \( O’ \) 的原点的时间为 \( t’ \)。我们需要求 \( t \) 和 \( t’ \) 之间的关系，不使用洛伦兹变换，而是利用垂直距离相同这一条件。

关键观察

  1. 垂直距离相同：在 \( O \) 和 \( O’ \) 系中，点 \( P \) 的 \( y \) 坐标相同（因为运动沿 \( x \) 轴，垂直方向不受影响）。因此，光信号从 \( P \) 传播到 \( O \) 和 \( O’ \) 的原点时，垂直距离均为 \( y \)。
  2. 光速不变：光信号在 \( O \) 和 \( O’ \) 系中的传播速度均为 \( c \)。

在 \( O \) 系中的计算

在 \( O \) 系中：

  • 点 \( P \) 的坐标为 \( (x, y, 0) \)。
  • 光信号从 \( P \) 发出后，沿直线传播到原点 \( O (0, 0, 0) \)。
  • 传播距离为 \( \sqrt{x^2 + y^2} = c t \)，因此： \[ t = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{c} \]

在 \( O’ \) 系中的计算

在 \( O’ \) 系中：

  • \( O’ \) 的原点以速度 \( v \) 沿 \( x \) 轴运动。
  • 光信号从 \( P \) 发出后，到达 \( O’ \) 的原点的时间为 \( t’ \)。
  • 在时间 \( t’ \) 时，\( O’ \) 的原点在 \( O \) 系中的位置为 \( (v t’, 0, 0) \)。
  • 光信号从 \( P \) 传播到 \( O’ \) 的原点的传播距离为： \[ \sqrt{(x - v t’)^2 + y^2} = c t’ \] 平方后： \[ (x - v t’)^2 + y^2 = c^2 t’^2 \] 展开并整理： \[ x^2 - 2 v x t’ + v^2 t’^2 + y^2 = c^2 t’^2 \] \[ (v^2 - c^2) t’^2 - 2 v x t’ + (x^2 + y^2) = 0 \] 解这个关于 \( t’ \) 的二次方程： \[ t’ = \frac{2 v x \pm \sqrt{4 v^2 x^2 - 4 (v^2 - c^2)(x^2 + y^2)}}{2 (v^2 - c^2)} \] 判别式： \[ \Delta = 4 [c^2 (x^2 + y^2) - v^2 y^2] \] 因此： \[ t’ = \frac{v x \pm \sqrt{c^2 (x^2 + y^2) - v^2 y^2}}{v^2 - c^2} \] 选择物理合理的解（\( t’ > 0 \)）： \[ t’ = \frac{\sqrt{c^2 (x^2 + y^2) - v^2 y^2} - v x}{c^2 - v^2} \]

利用垂直距离相同

光信号从 \( P \) 传播到 \( O \) 和 \( O’ \) 的原点时，垂直距离均为 \( y \)。因此，可以写出：

  1. 在 \( O \) 系中：

    • 传播距离的垂直分量：\( y = c t \sin \theta \)，其中 \( \theta \) 是传播方向与 \( x \) 轴的夹角。
    • 传播距离的水平分量：\( x = c t \cos \theta \)。
    • 因此： \[ \tan \theta = \frac{y}{x}, \quad \sin \theta = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad \cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \]

  2. 在 \( O’ \) 系中：

    • 传播距离的垂直分量：\( y = c t’ \sin \theta’ \)，其中 \( \theta’ \) 是传播方向与 \( x’ \) 轴的夹角。
    • 传播距离的水平分量：\( x - v t’ = c t’ \cos \theta’ \)。
    • 因此： \[ \tan \theta’ = \frac{y}{x - v t’}, \quad \sin \theta’ = \frac{y}{\sqrt{(x - v t’)^2 + y^2}}, \quad \cos \theta’ = \frac{x - v t’}{\sqrt{(x - v t’)^2 + y^2}} \]
    • 由于垂直距离相同： \[ y = c t \sin \theta = c t’ \sin \theta’ \] 因此： \[ t’ \sin \theta’ = t \sin \theta \] 代入 \( \sin \theta \) 和 \( \sin \theta’ \)： \[ t’ \cdot \frac{y}{\sqrt{(x - v t’)^2 + y^2}} = t \cdot \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \] 两边约去 \( y \)： \[ \frac{t’}{\sqrt{(x - v t’)^2 + y^2}} = \frac{t}{\sqrt{x^2 + y^2}} \] 两边平方： \[ \frac{t’^2}{(x - v t’)^2 + y^2} = \frac{t^2}{x^2 + y^2} \] 交叉相乘： \[ t’^2 (x^2 + y^2) = t^2 [(x - v t’)^2 + y^2] \] 展开右边： \[ t’^2 x^2 + t’^2 y^2 = t^2 x^2 - 2 t^2 v x t’ + t^2 v^2 t’^2 + t^2 y^2 \] 整理： \[ t’^2 x^2 - t^2 v^2 t’^2 + 2 t^2 v x t’ - t^2 x^2 + t’^2 y^2 - t^2 y^2 = 0 \] 合并同类项： \[ t’^2 (x^2 - t^2 v^2 + y^2) + 2 t^2 v x t’ - t^2 (x^2 + y^2) = 0 \] 注意到 \( x^2 + y^2 = c^2 t^2 \)，因此： \[ t’^2 (c^2 t^2 - t^2 v^2) + 2 t^2 v x t’ - t^2 c^2 t^2 = 0 \] 提取 \( t^2 \)： \[ t^2 [t’^2 (c^2 - v^2) + 2 v x t’ - c^2 t^2] = 0 \] 忽略 \( t^2 = 0 \) 的解： \[ t’^2 (c^2 - v^2) + 2 v x t’ - c^2 t^2 = 0 \] 解这个关于 \( t’ \) 的二次方程： \[ t’ = \frac{-2 v x \pm \sqrt{4 v^2 x^2 + 4 (c^2 - v^2) c^2 t^2}}{2 (c^2 - v^2)} \] 判别式： \[ \Delta = 4 v^2 x^2 + 4 c^2 t^2 (c^2 - v^2) = 4 [v^2 x^2 + c^2 t^2 (c^2 - v^2)] \] 注意到 \( x^2 + y^2 = c^2 t^2 \)，因此： \[ \Delta = 4 [v^2 x^2 + c^2 (c^2 - v^2) t^2] = 4 [v^2 x^2 + c^2 (c^2 - v^2) \frac{x^2 + y^2}{c^2}] = 4 [v^2 x^2 + (c^2 - v^2)(x^2 + y^2)] \] 展开： \[ \Delta = 4 [v^2 x^2 + c^2 x^2 + c^2 y^2 - v^2 x^2 - v^2 y^2] = 4 [c^2 x^2 + c^2 y^2 - v^2 y^2] = 4 [c^2 (x^2 + y^2) - v^2 y^2] = 4 [c^4 t^2 - v^2 y^2] \] 因此： \[ t’ = \frac{-2 v x \pm 2 \sqrt{c^4 t^2 - v^2 y^2}}{2 (c^2 - v^2)} = \frac{-v x \pm \sqrt{c^4 t^2 - v^2 y^2}}{c^2 - v^2} \] 选择正解： \[ t’ = \frac{\sqrt{c^4 t^2 - v^2 y^2} - v x}{c^2 - v^2} \] 注意到 \( c^2 t^2 = x^2 + y^2 \)，因此： \[ t’ = \frac{\sqrt{c^2 (x^2 + y^2) - v^2 y^2} - v x}{c^2 - v^2} \] 这与之前的结果一致。

简化关系

设 \( \theta \) 为点 \( P \) 在 \( O \) 系中与 \( x \) 轴的夹角： \[ \cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad \sin \theta = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \] 在 \( O \) 系中： \[ t = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{c} \] 在 \( O’ \) 系中： \[ t’ = \frac{\sqrt{c^2 (x^2 + y^2) - v^2 y^2} - v x}{c^2 - v^2} \] 代入 \( \sqrt{x^2 + y^2} = c t \)： \[ t’ = \frac{\sqrt{c^4 t^2 - v^2 y^2} - v x}{c^2 - v^2} \] 注意到 \( y = c t \sin \theta \)，\( x = c t \cos \theta \)： \[ t’ = \frac{\sqrt{c^4 t^2 - v^2 c^2 t^2 \sin^2 \theta} - v c t \cos \theta}{c^2 - v^2} = \frac{c t \sqrt{c^2 - v^2 \sin^2 \theta} - v c t \cos \theta}{c^2 - v^2} \] 提取 \( c t \)： \[ t’ = c t \cdot \frac{\sqrt{c^2 - v^2 \sin^2 \theta} - v \cos \theta}{c^2 - v^2} \] 可以进一步整理： \[ t’ = t \cdot \frac{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} \sin^2 \theta} - \frac{v}{c} \cos \theta}{1 - \frac{v^2}{c^2}} \] 设 \( \beta = \frac{v}{c} \)： \[ t’ = t \cdot \frac{\sqrt{1 - \beta^2 \sin^2 \theta} - \beta \cos \theta}{1 - \beta^2} \]

最终关系

因此，\( t \) 和 \( t’ \) 之间的关系为： \[ t’ = t \cdot \frac{\sqrt{1 - \beta^2 \sin^2 \theta} - \beta \cos \theta}{1 - \beta^2}, \quad \beta = \frac{v}{c} \] 其中 \( \theta \) 是点 \( P \) 在 \( O \) 系中与 \( x \) 轴的夹角： \[ \cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad \sin \theta = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \]

验证

当 \( y = 0 \)（即 \( \theta = 0 \)）时： \[ t’ = t \cdot \frac{\sqrt{1 - 0} - \beta \cdot 1}{1 - \beta^2} = t \cdot \frac{1 - \beta}{1 - \beta^2} = t \cdot \frac{1 - \beta}{(1 - \beta)(1 + \beta)} = \frac{t}{1 + \beta} \] 这与经典多普勒效应的纵向结果一致（光信号沿运动方向传播时的时间关系）。

角度为90度时呢

角度为90度时的验证

当角度 \(\theta = 90^\circ\) 时，点 \(P\) 位于 \(y\) 轴上（即 \(x = 0\)），此时光信号垂直于运动方向传播。我们来验证这种情况下 \(t\) 和 \(t’\) 的关系是否符合预期。

1. 直接计算

在 \(O\) 系中：

  • 点 \(P\) 的坐标为 \((0, y, 0)\)。
  • 光信号到达 \(O\) 的原点的时间： \[ t = \frac{\sqrt{0 + y^2}}{c} = \frac{y}{c} \]

在 \(O’\) 系中：

  • \(O’\) 的原点以速度 \(v\) 沿 \(x\) 轴运动。
  • 光信号到达 \(O’\) 的原点时，\(O’\) 的原点在 \(O\) 系中的位置为 \((v t’, 0, 0)\)。
  • 光信号的传播距离： \[ \sqrt{(0 - v t’)^2 + y^2} = c t’ \] 平方后： \[ v^2 t’^2 + y^2 = c^2 t’^2 \] 解得： \[ t’ = \frac{y}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{y}{c \sqrt{1 - \beta^2}} = \frac{t}{\sqrt{1 - \beta^2}} \] 其中 \(\beta = \frac{v}{c}\)。

2. 利用一般关系验证

从一般关系： \[ t’ = t \cdot \frac{\sqrt{1 - \beta^2 \sin^2 \theta} - \beta \cos \theta}{1 - \beta^2} \] 当 \(\theta = 90^\circ\) 时： \[ \sin 90^\circ = 1, \quad \cos 90^\circ = 0 \] 代入： \[ t’ = t \cdot \frac{\sqrt{1 - \beta^2 \cdot 1} - \beta \cdot 0}{1 - \beta^2} = t \cdot \frac{\sqrt{1 - \beta^2}}{1 - \beta^2} = \frac{t}{\sqrt{1 - \beta^2}} \] 这与直接计算的结果一致。

3. 物理意义

  • 当 \(\theta = 90^\circ\) 时，光信号垂直于运动方向传播。
  • 在 \(O’\) 系中，由于 \(O’\) 的运动，光信号需要沿斜线传播（因为 \(O’\) 的原点在运动），因此传播时间 \(t’\) 比 \(t\) 更长。
  • 时间膨胀因子为 \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}\)，因此 \(t’ = \gamma t\)。

结论

当角度 \(\theta = 90^\circ\) 时，\(t\) 和 \(t’\) 的关系为： \[ t’ = \frac{t}{\sqrt{1 - \beta^2}}, \quad \beta = \frac{v}{c} \] 这一结果与时间膨胀效应一致，验证了关系的正确性。