粒子水平方向加速度a运动，时间t后做了多少功，使用了多少能量，使用相对论计算，不要考虑非相对论近似

问题重述

我们需要计算一个粒子在水平方向以加速度 \( a \) 运动，经过时间 \( t \) 后，外界对粒子做了多少功，以及使用了多少能量。要求使用相对论计算，不考虑非相对论近似。

相对论中的运动学

首先，我们需要明确在相对论中，加速度 \( a \) 的含义。在经典力学中，加速度是速度对时间的一阶导数。但在相对论中，我们需要区分固有加速度（proper acceleration）和坐标加速度（coordinate acceleration）。

  • 固有加速度 \( \alpha \)：这是在粒子瞬时静止参考系中测量的加速度。这是一个不变量，即在任何惯性系中观察，固有加速度的值相同。

  • 坐标加速度 \( a \)：这是在某个固定惯性系中测量的加速度，即 \( a = \frac{dv}{dt} \)，其中 \( v \) 是粒子在该惯性系中的速度。

通常，问题中提到的“加速度 \( a \)”如果没有特别说明，可以理解为固有加速度。因此，我们假设 \( a \) 是固有加速度 \( \alpha \)。

相对论运动方程

对于一个粒子在一直线上以恒定固有加速度 \( \alpha \) 运动，其速度和位置随时间的变化可以通过相对论运动方程来描述。

在瞬时静止参考系中，粒子的加速度为 \( \alpha \)。在实验室系中，粒子的速度 \( v \) 和时间 \( t \) 的关系可以通过以下方式得到：

固有加速度 \( \alpha \) 与坐标加速度 \( a = \frac{dv}{dt} \) 的关系为： \[ \alpha = \gamma^3 a = \gamma^3 \frac{dv}{dt} \] 其中，\( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \) 是洛伦兹因子。

这个关系可以通过四维加速度与三维加速度的关系推导出来。解这个微分方程可以得到速度 \( v \) 作为时间 \( t \) 的函数。

解运动方程

从 \( \alpha = \gamma^3 \frac{dv}{dt} \)，可以分离变量： \[ \alpha , dt = \gamma^3 , dv = \frac{dv}{(1 - v^2/c^2)^{3/2}} \]

积分两边： \[ \int_0^t \alpha , dt’ = \int_0^v \frac{dv’}{(1 - v’^2/c^2)^{3/2}} \] \[ \alpha t = \frac{v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \] （这里右边的积分可以通过变量替换 \( u = v/c \) 来计算。）

因此： \[ \alpha t = \frac{v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \] 解这个方程得到 \( v \)： \[ v(t) = \frac{\alpha t}{\sqrt{1 + (\alpha t / c)^2}} \]

能量和功的计算

在相对论中，粒子的总能量 \( E \) 为： \[ E = \gamma m c^2 \] 其中 \( m \) 是静质量。

初始时 \( t = 0 \)，\( v = 0 \)，\( \gamma = 1 \)，初始能量： \[ E_0 = m c^2 \]

在时间 \( t \) 时，\( \gamma \) 为： \[ \gamma(t) = \sqrt{1 + \left(\frac{\alpha t}{c}\right)^2} \] 因此，能量： \[ E(t) = \gamma(t) m c^2 = m c^2 \sqrt{1 + \left(\frac{\alpha t}{c}\right)^2} \]

外界对粒子做的功 \( W \) 等于粒子能量的增加： \[ W = E(t) - E_0 = m c^2 \left( \sqrt{1 + \left(\frac{\alpha t}{c}\right)^2} - 1 \right) \]

功率

功率 \( P \) 是功对时间的导数： \[ P = \frac{dW}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ m c^2 \left( \sqrt{1 + \left(\frac{\alpha t}{c}\right)^2} - 1 \right) \right] \] \[ P = m c^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (\alpha t / c) (\alpha / c)}{\sqrt{1 + (\alpha t / c)^2}} \] \[ P = m \alpha \cdot \frac{\alpha t}{\sqrt{1 + (\alpha t / c)^2}} \] \[ P = m \alpha v(t) \]

这与经典力学中功率 \( P = F v \) 的形式一致，其中 \( F = m \alpha \)（因为固有加速度 \( \alpha \) 对应的是在静止系中的力 \( F = m \alpha \)）。

使用的能量

“使用的能量”可以理解为外界提供给系统的总能量，这部分能量转化为粒子的动能和静能。因此，使用的能量就是 \( E(t) - E_0 \)，即功 \( W \)。

总结

  • 功 \( W \)： \[ W = m c^2 \left( \sqrt{1 + \left(\frac{\alpha t}{c}\right)^2} - 1 \right) \]

  • 使用的能量： 与功相同，即 \( W \)。

  • 速度 \( v(t) \)： \[ v(t) = \frac{\alpha t}{\sqrt{1 + (\alpha t / c)^2}} \]

验证非相对论极限

在非相对论极限下，\( \alpha t \ll c \)： \[ \sqrt{1 + \left(\frac{\alpha t}{c}\right)^2} \approx 1 + \frac{1}{2} \left(\frac{\alpha t}{c}\right)^2 \] \[ W \approx m c^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{\alpha^2 t^2}{c^2} - 1 \right) = \frac{1}{2} m \alpha^2 t^2 \] 而 \( v \approx \alpha t \)，所以 \( W \approx \frac{1}{2} m v^2 \)，即经典动能，验证了我们的相对论结果在低速下的正确性。

如果 \( a \) 是坐标加速度

如果问题中的 \( a \) 是坐标加速度（即实验室系中的 \( dv/dt \)），那么我们需要重新考虑。通常在相对论中，恒定坐标加速度会导致速度最终超过光速，这是不可能的，因此恒定坐标加速度的情况在相对论中不常见。更常见的是恒定固有加速度。因此，之前的假设 \( a \) 为固有加速度是合理的。

最终答案

假设 \( a \) 为粒子的固有加速度，则在时间 \( t \) 后：

  1. 外界对粒子做的功 \( W \)： \[ W = m c^2 \left( \sqrt{1 + \left(\frac{a t}{c}\right)^2} - 1 \right) \]

  2. 使用的能量： 与功相同，即 \( W \)。

  3. 粒子的速度 \( v(t) \)： \[ v(t) = \frac{a t}{\sqrt{1 + \left(\frac{a t}{c}\right)^2}} \]

其中：

  • \( m \) 是粒子的静质量，
  • \( c \) 是光速，
  • \( a \) 是固有加速度，
  • \( t \) 是运动时间。

假使粒子为电荷q，静止时电场E_0=库伦电场，电荷加速度为a，经过时间t，计算静止时的电场能量，加速时间t后辐射的总电磁场能量，加速时间t后总的电磁场能量。

问题重述

我们有一个电荷 \( q \)，初始时静止，其静电场为库仑电场 \( \mathbf{E}_0 \)。电荷以恒定加速度 \( a \) 运动，经过时间 \( t \) 后，需要计算：

  1. 静止时的电场能量（即初始的静电场能量）。
  2. 加速时间 \( t \) 后辐射的总电磁场能量。
  3. 加速时间 \( t \) 后总的电磁场能量（即静电场能量加上辐射场能量）。

1. 静止时的电场能量

电荷 \( q \) 静止时，其电场为库仑电场： \[ \mathbf{E}_0(\mathbf{r}) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{r}}{r^3} \]

静电场的能量密度为： \[ u_{\text{elec}} = \frac{\epsilon_0}{2} |\mathbf{E}_0|^2 = \frac{\epsilon_0}{2} \left( \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \right)^2 = \frac{q^2}{32 \pi^2 \epsilon_0 r^4} \]

总静电场能量为能量密度对整个空间的积分： \[ W_{\text{static}} = \int u_{\text{elec}} , dV = \int_0^\infty \frac{q^2}{32 \pi^2 \epsilon_0 r^4} \cdot 4 \pi r^2 , dr = \frac{q^2}{8 \pi \epsilon_0} \int_0^\infty \frac{1}{r^2} , dr \]

然而，这个积分在 \( r \to 0 \) 和 \( r \to \infty \) 时是发散的：

  • 在 \( r \to 0 \) 时，\( \frac{1}{r^2} \) 发散（对应点电荷的自能发散问题）。
  • 在 \( r \to \infty \) 时，积分收敛（因为 \( \int \frac{1}{r^2} , dr \) 收敛）。

实际上，点电荷的静电场能量是无穷大的，这是经典电动力学的固有困难（需要通过重整化或量子场论解决）。通常我们会忽略自能发散问题，或者考虑电荷有一定大小（如经典电子半径），但这里我们暂时忽略自能问题，认为静电场能量是固定的（尽管严格来说是无穷大）。

2. 加速时间 \( t \) 后辐射的总电磁场能量

加速运动的电荷会辐射电磁波（即辐射场）。辐射场的能量可以通过坡印廷矢量计算。

辐射场的电场和磁场

对于一个非相对论性加速电荷（\( a t \ll c \)），辐射场的电场和磁场为（忽略高阶相对论效应）： \[ \mathbf{E}{\text{rad}} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 c^2} \frac{\mathbf{a}{\perp}}{r} \] \[ \mathbf{B}{\text{rad}} = \frac{\mu_0 q}{4 \pi c} \frac{\mathbf{a} \times \mathbf{\hat{r}}}{r} \] 其中 \( \mathbf{a}{\perp} \) 是加速度的横向分量（垂直于 \( \mathbf{\hat{r}} \)），\( \mathbf{a}_{\perp} = \mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{\hat{r}}}) \mathbf{\hat{r}} \)。

对于直线运动（假设 \( \mathbf{a} \) 沿 \( z \) 轴），\( \mathbf{a}_{\perp} = a \sin \theta , \mathbf{\hat{\theta}}} \)，其中 \( \theta \) 是 \( \mathbf{r} \) 与 \( \mathbf{a} \) 的夹角。

坡印廷矢量

坡印廷矢量 \( \mathbf{S} \) 表示能流密度： \[ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E}{\text{rad}} \times \mathbf{B}{\text{rad}}} \] 代入辐射场的表达式： \[ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \left( \frac{q a \sin \theta}{4 \pi \epsilon_0 c^2 r} \mathbf{\hat{\theta}}} \right) \times \left( \frac{\mu_0 q a \sin \theta}{4 \pi c r} \mathbf{\hat{\phi}}} \right) \] \[ \mathbf{S} = \frac{q^2 a^2 \sin^2 \theta}{16 \pi^2 \epsilon_0 c^3 r^2} \mathbf{\hat{r}}} \]

辐射功率

单位时间内通过球面的总辐射功率 \( P \) 为： \[ P = \oint \mathbf{S} \cdot d\mathbf{A} = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \frac{q^2 a^2 \sin^2 \theta}{16 \pi^2 \epsilon_0 c^3 r^2} \cdot r^2 \sin \theta , d\theta , d\phi \] \[ P = \frac{q^2 a^2}{16 \pi^2 \epsilon_0 c^3} \cdot 2 \pi \int_0^\pi \sin^3 \theta , d\theta \] \[ \int_0^\pi \sin^3 \theta , d\theta = \frac{4}{3} \] \[ P = \frac{q^2 a^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \]

这是著名的拉莫尔公式（Larmor formula），描述非相对论性加速电荷的辐射功率。

总辐射能量

如果加速度 \( a \) 是恒定的，持续时间为 \( t \)，则总辐射能量为： \[ W_{\text{rad}}} = P \cdot t = \frac{q^2 a^2 t}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \]

3. 加速时间 \( t \) 后总的电磁场能量

总电磁场能量包括两部分：

  1. 静电场能量 \( W_{\text{static}}} \)（尽管严格来说是无穷大，但通常忽略自能问题）。
  2. 辐射场能量 \( W_{\text{rad}}} \)。

因此： \[ W_{\text{total}}} = W_{\text{static}}} + W_{\text{rad}}} \] 由于 \( W_{\text{static}}} \) 是常数（或无穷大），而 \( W_{\text{rad}}} \) 是随时间增加的辐射能量。

相对论修正

如果加速度 \( a \) 较大或时间 \( t \) 较长（\( a t \sim c \)），则需要考虑相对论效应。此时辐射功率的拉莫尔公式需要修正为李纳-维谢尔势（Liénard-Wiechert potentials）的形式。相对论性辐射功率为： \[ P = \frac{q^2 \gamma^6}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \left( a^2 - \left| \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{a}}{c} \right|^2 \right) \] 对于直线运动（\( \mathbf{v} \parallel \mathbf{a} \)）： \[ P = \frac{q^2 \gamma^6 a^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \] 其中 \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \)，\( v \) 是电荷的速度。

速度与时间的关系

对于恒定固有加速度 \( \alpha \)（即粒子在瞬时静止系中的加速度），速度 \( v \) 与时间 \( t \) 的关系为： \[ v(t) = \frac{\alpha t}{\sqrt{1 + (\alpha t / c)^2}} \] \[ \gamma(t) = \sqrt{1 + (\alpha t / c)^2} \] 坐标加速度 \( a = \frac{dv}{dt} = \frac{\alpha}{(1 + (\alpha t / c)^2)^{3/2}} \)

辐射功率

将 \( a \) 和 \( \gamma \) 代入： \[ P = \frac{q^2 \gamma^6 a^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} = \frac{q^2 \alpha^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \] （因为 \( \gamma^6 a^2 = \alpha^2 \)）

因此，相对论情况下，辐射功率仍然是 \( \frac{q^2 \alpha^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \)，与固有加速度 \( \alpha \) 的平方成正比。

总辐射能量

\[ W_{\text{rad}}} = P \cdot t = \frac{q^2 \alpha^2 t}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \]

总结

  1. 静止时的电场能量：

    • 静电场能量密度 \( u_{\text{elec}} = \frac{q^2}{32 \pi^2 \epsilon_0 r^4} \)。
    • 总静电场能量 \( W_{\text{static}}} \) 是发散的（点电荷自能问题），通常忽略或视为常数。

  2. 加速时间 \( t \) 后辐射的总电磁场能量：

    • 非相对论情况（\( a t \ll c \)）： \[ W_{\text{rad}}} = \frac{q^2 a^2 t}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \]
    • 相对论情况（恒定固有加速度 \( \alpha \)）： \[ W_{\text{rad}}} = \frac{q^2 \alpha^2 t}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \]

  3. 加速时间 \( t \) 后总的电磁场能量： \[ W_{\text{total}}} = W_{\text{static}}} + W_{\text{rad}}} \] （\( W_{\text{static}}} \) 是常数或无穷大，\( W_{\text{rad}}} \) 是辐射能量。）

补充说明

  • 如果问题中的 \( a \) 是坐标加速度（实验室系中的 \( dv/dt \)），则需要通过 \( \alpha = \gamma^3 a \) 转换为固有加速度 \( \alpha \)。
  • 辐射能量是从电荷运动中损失的能量，需要通过外力做功补充以维持恒定加速度。
  • 静电场能量的发散问题在经典电动力学中无法避免，通常在实际问题中关注的是辐射能量的变化。

所有的W等于多少的等式没有正常显示

问题描述：

电荷 \( q \) 初始静止，静电场为库仑场 \( \mathbf{E}_0 \)。电荷以恒定加速度 \( a \) 运动，经过时间 \( t \) 后，计算：

  1. 静止时的电场能量 \( W_{\text{static}} \)
  2. 加速时间 \( t \) 后辐射的总电磁场能量 \( W_{\text{rad}} \)
  3. 加速时间 \( t \) 后总的电磁场能量 \( W_{\text{total}} \)

1. 静止时的电场能量 \( W_{\text{static}} \)

电荷 \( q \) 静止时，其电场为库仑场： \[ \mathbf{E}0(\mathbf{r}) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{\hat{r}}}{r^2} \] 静电场能量密度： \[ u{\text{elec}} = \frac{\epsilon_0}{2} |\mathbf{E}0|^2 = \frac{q^2}{32 \pi^2 \epsilon_0 r^4} \] 总静电场能量为： \[ W{\text{static}} = \int_{\text{全空间}} u_{\text{elec}} , dV = \frac{q^2}{8 \pi \epsilon_0} \int_0^\infty \frac{1}{r^2} , dr \] 但积分在 \( r \to 0 \) 时发散（点电荷自能问题），因此严格来说： \[ W_{\text{static}} \to \infty \quad \text{(经典发散)} \] 通常在物理问题中，我们只关心 能量变化，因此可以忽略这个无限大常数。

2. 加速时间 \( t \) 后辐射的总电磁场能量 \( W_{\text{rad}} \)

加速电荷会辐射电磁波，其辐射功率由 拉莫尔公式（Larmor formula） 给出： \[ P = \frac{q^2 a^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \] 其中：

  • \( a \) 是电荷的 固有加速度（在瞬时静止系中的加速度）。
  • 如果 \( a \) 是实验室系中的坐标加速度，需转换为固有加速度 \( \alpha = \gamma^3 a \)。

（1）非相对论情况（\( a t \ll c \)）

辐射功率： \[ P = \frac{q^2 a^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \] 总辐射能量： \[ W_{\text{rad}} = P \cdot t = \frac{q^2 a^2 t}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \]

（2）相对论情况（恒定固有加速度 \( \alpha \)）

辐射功率仍为： \[ P = \frac{q^2 \alpha^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \] 总辐射能量： \[ W_{\text{rad}} = \frac{q^2 \alpha^2 t}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \]

3. 加速时间 \( t \) 后总的电磁场能量 \( W_{\text{total}} \)

总电磁场能量 = 静电场能量 + 辐射场能量： \[ W_{\text{total}} = W_{\text{static}} + W_{\text{rad}} \] 由于 \( W_{\text{static}} \) 是常数（或无限大），通常我们只关心 辐射部分： \[ W_{\text{total}} \approx W_{\text{rad}} = \frac{q^2 \alpha^2 t}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \]

最终答案

  1. 静止时的电场能量： \[ W_{\text{static}} = \infty \quad \text{(点电荷自能发散)} \]
  2. 加速时间 \( t \) 后辐射的总电磁场能量：
    • 非相对论（\( a t \ll c \)）： \[ W_{\text{rad}} = \frac{q^2 a^2 t}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \]
    • 相对论（恒定固有加速度 \( \alpha \)）： \[ W_{\text{rad}} = \frac{q^2 \alpha^2 t}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \]
  3. 加速时间 \( t \) 后总的电磁场能量： \[ W_{\text{total}} = W_{\text{static}} + W_{\text{rad}} \approx W_{\text{rad}} \] （因为 \( W_{\text{static}} \) 是常数，通常只计算辐射部分。）

关键点总结

  • 静电场能量 是无限大的（点电荷自能问题），通常忽略。
  • 辐射能量 由拉莫尔公式计算，与 \( a^2 t \) 成正比。
  • 相对论情况 需使用 固有加速度 \( \alpha \)（实验室系加速度 \( a \) 需转换）。
  • 总电磁场能量 主要贡献来自辐射部分，静电场部分不变。

这样，所有公式均已正确显示，并涵盖了非相对论和相对论情况。