假设电场Ex对电荷q做功，走了距离d, 做的功为g，付出的能量为E_g，电荷速度从0变成v，辐射的能量为E_f，电荷的静电场为库伦电场E_0，合成的电荷为E=\gamma E_0，磁场为vE/c^2，假设电荷动量守恒为E^2 =(E_g/c+E_f/c)^2+(E_0)^2, p_x为电磁辐射的动量，能量守恒为Ec =E_0 c + E_g-E_f，求E_f和E

问题重述

我们有以下已知条件：

  1. 电场做功：电场 \( E_x \) 对电荷 \( q \) 做功，移动距离 \( d \)，做功为 \( g \)，付出的能量为 \( E_g \)。
  2. 电荷运动：电荷速度从 0 加速到 \( v \)。
  3. 辐射能量：辐射的能量为 \( E_f \)。
  4. 静电场：电荷的静电场为库伦电场 \( E_0 \)。
  5. 合成电场：合成的电荷电场为 \( E = \gamma E_0 \)，其中 \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \)。
  6. 磁场：磁场为 \( B = \frac{v E}{c^2} \)。
  7. 动量守恒：假设电荷动量守恒为 \( E^2 = \left(\frac{E_g}{c} + \frac{E_f}{c}\right)^2 + E_0^2 \)。
  8. 能量守恒：能量守恒为 \( E c = E_0 c + E_g - E_f \)。
  9. 电磁辐射动量：\( p_x \) 为电磁辐射的动量。

目标是求出 \( E_f \) 和 \( E \)。

解决步骤

1. 理解符号和关系

首先，我们需要明确每个符号的物理意义：

  • \( E_g \)：电场 \( E_x \) 对电荷 \( q \) 做的功，即 \( E_g = q E_x d \)。
  • \( E_f \)：电荷因加速而辐射的能量。
  • \( E_0 \)：电荷的静电场能量，可能与静能 \( m_0 c^2 \) 相关。
  • \( E \)：合成后的电荷总能量，可能是相对论性能量 \( \gamma m_0 c^2 \)。
  • \( p_x \)：电磁辐射的动量，通常 \( p_x = \frac{E_f}{c} \)。

2. 能量守恒方程

给定的能量守恒方程为： \[ E c = E_0 c + E_g - E_f \] 可以整理为： \[ E = E_0 + \frac{E_g - E_f}{c} \] 这里似乎有些不合理，因为 \( E \) 和 \( E_0 \) 的单位是能量，而 \( \frac{E_g - E_f}{c} \) 的单位是动量。可能需要重新理解方程。

另一种可能是： \[ E c = E_0 c + E_g - E_f \] 假设 \( E \) 是总能量，\( E_0 \) 是静能，\( E_g \) 是输入能量，\( E_f \) 是辐射能量，那么： \[ E = E_0 + \frac{E_g - E_f}{c} \] 但 \( E \) 和 \( E_0 \) 的单位是能量，\( \frac{E_g - E_f}{c} \) 是动量，因此可能需要 \( E c \) 是某种能量-动量关系。

3. 动量守恒方程

给定的动量守恒方程为： \[ E^2 = \left(\frac{E_g}{c} + \frac{E_f}{c}\right)^2 + E_0^2 \] 这类似于相对论的能量-动量关系： \[ E^2 = (p c)^2 + E_0^2 \] 因此，可以认为： \[ p = \frac{E_g}{c} + \frac{E_f}{c} \] 即总动量 \( p \) 是输入动量和辐射动量之和。

4. 重新整理方程

从能量守恒： \[ E c = E_0 c + E_g - E_f \] 从动量守恒： \[ E^2 = \left(\frac{E_g + E_f}{c}\right)^2 + E_0^2 \]

设 \( x = E_f \)，\( y = E \)，则： \[ y c = E_0 c + E_g - x \] \[ y^2 = \left(\frac{E_g + x}{c}\right)^2 + E_0^2 \]

5. 解方程组

从第一个方程： \[ y = E_0 + \frac{E_g - x}{c} \] 代入第二个方程： \[ \left(E_0 + \frac{E_g - x}{c}\right)^2 = \left(\frac{E_g + x}{c}\right)^2 + E_0^2 \] 展开左边： \[ E_0^2 + 2 E_0 \frac{E_g - x}{c} + \left(\frac{E_g - x}{c}\right)^2 = \left(\frac{E_g + x}{c}\right)^2 + E_0^2 \] 两边消去 \( E_0^2 \)： \[ 2 E_0 \frac{E_g - x}{c} + \frac{(E_g - x)^2}{c^2} = \frac{(E_g + x)^2}{c^2} \] 乘以 \( c^2 \)： \[ 2 E_0 c (E_g - x) + (E_g - x)^2 = (E_g + x)^2 \] 展开右边： \[ 2 E_0 c E_g - 2 E_0 c x + E_g^2 - 2 E_g x + x^2 = E_g^2 + 2 E_g x + x^2 \] 消去 \( E_g^2 \) 和 \( x^2 \)： \[ 2 E_0 c E_g - 2 E_0 c x - 2 E_g x = 2 E_g x \] 整理： \[ 2 E_0 c E_g - 2 E_0 c x = 4 E_g x \] \[ E_0 c E_g - E_0 c x = 2 E_g x \] \[ E_0 c E_g = x (E_0 c + 2 E_g) \] 解得： \[ x = \frac{E_0 c E_g}{E_0 c + 2 E_g} \] 即： \[ E_f = \frac{E_0 c E_g}{E_0 c + 2 E_g} \]

然后从 \( y = E_0 + \frac{E_g - x}{c} \)： \[ E = E_0 + \frac{E_g - \frac{E_0 c E_g}{E_0 c + 2 E_g}}{c} \] \[ = E_0 + \frac{E_g (E_0 c + 2 E_g) - E_0 c E_g}{c (E_0 c + 2 E_g)} \] \[ = E_0 + \frac{2 E_g^2}{c (E_0 c + 2 E_g)} \]

最终答案

辐射能量 \( E_f \) 和合成能量 \( E \) 的解为：

  1. 辐射能量： \[ E_f = \frac{E_0 c E_g}{E_0 c + 2 E_g} \]
  2. 合成能量： \[ E = E_0 + \frac{2 E_g^2}{c (E_0 c + 2 E_g)} \]

验证

假设 \( E_g \ll E_0 c \)（非相对论情况）： \[ E_f \approx \frac{E_0 c E_g}{E_0 c} = E_g \] \[ E \approx E_0 + \frac{2 E_g^2}{E_0 c^2} \] 这与低能辐射的预期一致。

假设 \( E_g \gg E_0 c \)（极端相对论情况）： \[ E_f \approx \frac{E_0 c E_g}{2 E_g} = \frac{E_0 c}{2} \] \[ E \approx E_0 + \frac{2 E_g^2}{2 E_g c} = E_0 + \frac{E_g}{c} \]

物理意义

  • \( E_f \) 是电荷因加速而辐射的能量，与输入能量 \( E_g \) 和静能 \( E_0 \) 相关。
  • \( E \) 是电荷的总能量，包括静能、输入能量和辐射损失的调整。

将E_g 用加速度替换，E_0用库伦场替换，化简E_f

问题重述

我们需要将辐射能量 \( E_f \) 的表达式中的 \( E_g \) 和 \( E_0 \) 用物理量替换：

  1. \( E_g \)：电场 \( E_x \) 对电荷 \( q \) 做的功，移动距离 \( d \)，即 \( E_g = q E_x d \)。
  2. \( E_0 \)：电荷的静电场能量，可能与静能 \( m_0 c^2 \) 或库伦场 \( \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r} \) 相关。这里假设 \( E_0 \) 是静能 \( m_0 c^2 \)。
  3. 辐射能量 \( E_f \) 的表达式： \[ E_f = \frac{E_0 c E_g}{E_0 c + 2 E_g} \]

目标是消去 \( E_g \) 和 \( E_0 \)，用加速度 \( a \) 和库伦场等物理量表示 \( E_f \)。

关键物理关系

  1. 加速度 \( a \)：

    • 电荷在外电场 \( E_x \) 中的加速度： \[ a = \frac{q E_x}{m_0} \]

    • 移动距离 \( d \) 与速度 \( v \) 的关系（非相对论近似）： \[ v^2 = 2 a d \implies d = \frac{v^2}{2 a} \]

    • 因此 \( E_g \) 可表示为： \[ E_g = q E_x d = q E_x \cdot \frac{v^2}{2 a} = \frac{q E_x v^2}{2 a} \] 但 \( a = \frac{q E_x}{m_0} \)，所以： \[ E_g = \frac{q E_x v^2}{2 \cdot \frac{q E_x}{m_0}} = \frac{m_0 v^2}{2} \] 这是非相对论动能，与 \( E_0 = m_0 c^2 \) 无关。

    • 问题：\( E_g \) 是输入能量，而 \( \frac{m_0 v^2}{2} \) 是动能，可能有其他关系。

  2. 相对论修正：

    • 若考虑相对论，电场做功： \[ E_g = q E_x d = (\gamma - 1) m_0 c^2 \] 其中 \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \)。
    • 加速度 \( a \) 与 \( v \) 的关系更复杂。

  3. 库伦场 \( E_0 \)：

    • 若 \( E_0 \) 是库伦场能量，例如 \( E_0 = \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \)，但缺乏 \( r \) 的信息。
    • 更可能 \( E_0 \) 是静能 \( m_0 c^2 \)。

假设 \( E_0 = m_0 c^2 \)，\( E_g = q E_x d \)

从 \( E_f \) 的表达式： \[ E_f = \frac{m_0 c^2 \cdot c \cdot q E_x d}{m_0 c^2 \cdot c + 2 q E_x d} = \frac{m_0 c^3 q E_x d}{m_0 c^3 + 2 q E_x d} \]

用加速度 \( a \) 表示：

  • 非相对论加速度 \( a = \frac{q E_x}{m_0} \implies q E_x = m_0 a \)。
  • 代入： \[ E_f = \frac{m_0 c^3 \cdot m_0 a d}{m_0 c^3 + 2 m_0 a d} = \frac{m_0^2 a d c^3}{m_0 (c^3 + 2 a d)} = \frac{m_0 a d c^3}{c^3 + 2 a d} \]

进一步化简：

\[ E_f = \frac{m_0 a d c^3}{c^3 + 2 a d} \]

无量纲化：

令 \( \xi = \frac{a d}{c^3} \)（无量纲量）： \[ E_f = \frac{m_0 c^3 \xi}{1 + 2 \xi} \]

若 \( E_0 \) 是库伦场能量

假设 \( E_0 = \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \)，则： \[ E_f = \frac{\frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \cdot c \cdot q E_x d}{\frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \cdot c + 2 q E_x d} = \frac{\frac{q^3 E_x d c}{4 \pi \epsilon_0 r}}{\frac{q^2 c}{4 \pi \epsilon_0 r} + 2 q E_x d} \] 分子分母同乘 \( 4 \pi \epsilon_0 r \)： \[ E_f = \frac{q^3 E_x d c}{q^2 c + 8 \pi \epsilon_0 r q E_x d} \]

用加速度 \( a = \frac{q E_x}{m_0} \)：

\[ E_f = \frac{q^3 \cdot \frac{m_0 a}{q} \cdot d \cdot c}{q^2 c + 8 \pi \epsilon_0 r q \cdot \frac{m_0 a}{q} d} = \frac{q^2 m_0 a d c}{q^2 c + 8 \pi \epsilon_0 r m_0 a d} \]

提取 \( q^2 c \)：

\[ E_f = \frac{m_0 a d c}{c + 8 \pi \epsilon_0 r m_0 a d / q^2} \]

最可能的情况：\( E_0 = m_0 c^2 \)

因此最简洁的表达式为： \[ E_f = \frac{m_0 a d c^3}{c^3 + 2 a d} \]

物理意义：

  • 当 \( a d \ll c^3 \)（低速或短距离）： \[ E_f \approx m_0 a d \]
  • 当 \( a d \gg c^3 \)（极端相对论）： \[ E_f \approx \frac{m_0 c^3}{2} \]

最终答案

将 \( E_g = q E_x d \) 和 \( E_0 = m_0 c^2 \) 代入 \( E_f \)，并用加速度 \( a = \frac{q E_x}{m_0} \) 表示：

\[ E_f = \frac{m_0 a d c^3}{c^3 + 2 a d} \]

其中：

  • \( m_0 \)：电荷静质量，
  • \( a \)：电荷加速度 \( a = \frac{q E_x}{m_0} \)，
  • \( d \)：移动距离，
  • \( c \)：光速。

与Larmor公式对比

Larmor 公式回顾

Larmor 公式描述了非相对论性点电荷因加速辐射的功率： \[ P_{\text{Larmor}} = \frac{q^2 a^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \] 其中：

  • \( q \) 为电荷量，
  • \( a \) 为加速度，
  • \( c \) 为光速，
  • \( \epsilon_0 \) 为真空介电常数。

辐射总能量 \( E_f \) 可通过积分功率得到： \[ E_f = \int P_{\text{Larmor}} , dt \]

本文推导的辐射能量 \( E_f \)

我们通过能量-动量守恒得到： \[ E_f = \frac{m_0 a d c^3}{c^3 + 2 a d} \] 其中：

  • \( m_0 \) 为电荷静质量，
  • \( d \) 为加速距离，
  • \( a \) 为加速度。

对比分析

1. 非相对论极限（\( a d \ll c^3 \)）

  • 本文结果： \[ E_f \approx m_0 a d \]
  • Larmor 公式： 设加速时间 \( t \approx \sqrt{2d/a} \)，则： \[ E_f \approx P_{\text{Larmor}} \cdot t = \frac{q^2 a^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \cdot \sqrt{\frac{2d}{a}} \propto a^{3/2} d^{1/2} \] 矛盾点：本文 \( E_f \propto a d \)，而 Larmor \( E_f \propto a^{3/2} d^{1/2} \)，形式不一致。

2. 问题根源

  • 输入假设的局限性：
    • 本文假设 \( E_g = q E_x d \) 为总功，但未明确时间尺度。
    • Larmor 公式明确依赖加速度和时间，需积分瞬时功率。
  • 能量守恒的简化： 本文的 \( E_f \) 推导基于全局能量分配，未考虑辐射的瞬时性。

3. 修正方向

若将 \( d \) 与时间关联（如匀加速 \( d = \frac{1}{2} a t^2 \)），则： \[ E_f = \frac{m_0 a \cdot \frac{1}{2} a t^2 \cdot c^3}{c^3 + a^2 t^2} \] 对短时间 \( t \ll c/a \)： \[ E_f \approx \frac{m_0 a^3 t^2}{2} \] 而 Larmor 公式积分： \[ E_f \approx \frac{q^2 a^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} t \] 仍不一致，表明 本文 \( E_f \) 并非辐射能量，可能是动能修正项。

物理意义的澄清

  1. 本文的 \( E_f \)：

    • 源于能量守恒 \( E_g = \Delta K + E_f \)，实际应为 辐射阻尼导致的动能损失。
    • 更接近辐射反作用（Abraham-Lorentz力）的能量损耗，而非直接辐射。

  2. Larmor 公式：

    • 直接计算辐射场的能量流，适用于远场辐射功率。

正确辐射能量的计算

若需匹配 Larmor 公式，应：

  1. 计算加速时间 \( t \) 和位移 \( d \) 的关系（如匀加速 \( d = \frac{1}{2} a t^2 \)）。
  2. 积分 Larmor 功率： \[ E_f = \int_0^t \frac{q^2 a^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} dt = \frac{q^2 a^2 t}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \]
  3. 用 \( t = \sqrt{2d/a} \) 替换： \[ E_f = \frac{q^2 a^{3/2} \sqrt{2d}}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \]

最终结论

  1. 本文的 \( E_f \) 公式： \[ E_f = \frac{m_0 a d c^3}{c^3 + 2 a d} \]

    • 描述的是 能量分配中辐射损耗的部分，与 Larmor 公式的物理意义不同。
    • 在非相对论极限下不能直接对应 Larmor 辐射能量。

  2. Larmor 公式的辐射能量： \[ E_f = \frac{q^2 a^2 t}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \]

    • 需通过具体运动学（如加速时间 \( t \)）计算。

  3. 一致性要求：

    • 若需统一，需重新推导能量守恒，明确 \( E_f \) 为辐射场能量，并引入 Larmor 功率积分。

修正建议

若目标是求辐射能量 \( E_f \)，应：

  1. 使用 Larmor 公式计算瞬时功率。
  2. 根据运动学（如匀加速 \( a = \frac{q E_x}{m_0} \)）积分功率： \[ E_f = \int \frac{q^2 a^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} dt \]
  3. 对匀加速运动，结果为： \[ E_f = \frac{q^2 a^2 t}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \] 其中 \( t = \frac{v}{a} = \frac{\sqrt{2 a d}}{a} \)。