两个坐标系O和O’，O’相对于O的运动速度为v，运动方向为x方向，在O’上发射一束光，不根据洛伦兹变换和狭义相对论，验证这束光在O’上x方向走过的距离长度为ct*sqrt{1-v^2/c^2}，可以先用洛伦兹变换验证这个结论是否对，如果是对的，再用非洛伦兹变换来尝试推导这个结论
初始理解问题
首先，我们需要清楚地理解题目所描述的情景和要求。
-
坐标系设定：
- 有两个惯性坐标系：O（静止系）和 O’（运动系）。
- O’ 相对于 O 以速度 v 沿 x 轴正方向运动。
-
光的发射：
- 在 O’ 系中，沿 x’ 方向发射一束光。
- 在 O’ 系中，光速为 c，因此光在时间 t’ 内沿 x’ 方向传播的距离为 c t’。
-
题目要求：
- 不基于洛伦兹变换和狭义相对论，验证在 O’ 系中光沿 x 方向走过的距离为 c t’ √(1 - v²/c²)。
- 先用洛伦兹变换验证这个结论是否正确。
- 再用非洛伦兹变换的方法尝试推导这个结论。
使用洛伦兹变换验证
首先，我们用洛伦兹变换来验证这个结论是否正确。
洛伦兹变换： 对于两个相对速度为 v 的惯性系 O 和 O’，沿 x 轴方向的洛伦兹变换为：
- x’ = γ (x - v t)
- t’ = γ (t - v x / c²)
其中，γ = 1 / √(1 - v²/c²)。
逆变换：
- x = γ (x’ + v t')
- t = γ (t’ + v x’ / c²)
情景描述： 在 O’ 系中，光沿 x’ 方向传播，其世界线为 x’ = c t’。
我们需要找出在 O 系中，光在 x 方向上的运动。
从 O’ 到 O 的逆变换： x = γ (x’ + v t’) = γ (c t’ + v t’) = γ (c + v) t’ t = γ (t’ + v x’ / c²) = γ (t’ + v c t’ / c²) = γ (1 + v / c) t'
因此，光在 O 系中的速度为： u = x / t = [γ (c + v) t’] / [γ (1 + v / c) t’] = (c + v) / (1 + v / c) = c
这与光速不变原理一致。
现在，我们需要计算在 O’ 系中光沿 x 方向走过的距离对应于 O 系中的距离。
在 O’ 系中，光在时间 t’ 内沿 x’ 方向走了 x’ = c t’。
在 O 系中，对应的 x 方向的距离是 x = γ (x’ + v t’) = γ (c t’ + v t’) = γ (c + v) t’。
但是题目说的是“在 O’ 上 x 方向走过的距离长度为 c t’ √(1 - v²/c²)”。
这里可能有理解上的歧义。可能需要理解为在 O 系中观察 O’ 系中光走过的 x 方向的分量。
另一种理解是：在 O’ 系中，光沿 x’ 方向走了 c t’，但我们需要找到这个路径在 O 系的 x 方向的分量。
从 O’ 到 O 的变换： x = γ x’ + γ v t’ 但 x’ = c t’，所以 x = γ c t’ + γ v t’ = γ (c + v) t'
这看起来与题目给出的 c t’ √(1 - v²/c²) = c t’ / γ 不符。
可能需要重新理解“在 O’ 上 x 方向走过的距离长度”。
可能的解释是：在 O’ 系中，光沿 x’ 方向走了 c t’，但 O’ 系本身在 O 系中以 v 运动。因此，在 O 系中，光的 x 方向的总距离是光在 O’ 中的运动加上 O’ 本身的运动。
但这似乎不太明确。
另一种可能是：在 O’ 系中，光沿 x’ 方向走了 c t’，但我们需要计算的是在 O 系中，光在 x 方向的位移与 O’ 系原点的位移之差。
即在 O 系中： 光的位置：x_light = γ (c + v) t’ O’ 原点的位置：x_O’ = v t
但 t = γ (1 + v / c) t’, 所以 x_O’ = v γ (1 + v / c) t’ = γ (v + v² / c) t'
光相对于 O’ 原点的 x 方向距离： Δx = x_light - x_O’ = γ (c + v) t’ - γ (v + v² / c) t’ = γ (c - v² / c) t’ = γ c (1 - v² / c²) t’ = γ c (1 / γ²) t’ = (c / γ) t’ = c t’ √(1 - v² / c²)
这正好是题目中给出的表达式。
因此，题目中的“在 O’ 上 x 方向走过的距离长度”应理解为在 O 系中观察到的光相对于 O’ 系原点的 x 方向位移。
非洛伦兹变换的推导
现在，我们需要不基于洛伦兹变换和狭义相对论，来推导这个结论。这意味着我们需要使用经典物理或其他方法。
在经典物理（伽利略变换）下，光速不是不变的。但题目中给出的表达式包含 √(1 - v²/c²)，这与洛伦兹因子有关，因此可能需要使用类似于迈克尔逊-莫雷实验中的长度收缩或时间膨胀的思想。
假设我们不知道洛伦兹变换，但知道光速不变原理和长度的相对性。
情景：
- O’ 以 v 沿 x 方向运动。
- 在 O’ 中，光沿 x’ 方向发射，速度为 c。
- 在 O 中，光的速度应为 c，而 O’ 中的光源以 v 运动。
在 O 中观察，光的速度应为 c，而 O’ 中的光源以 v 运动。因此，光在 O 中的 x 方向速度应为 c，但这是相对于光源的运动。
更准确地说，如果光在 O’ 中沿 x’ 方向以 c 传播，那么在 O 中，根据速度合成，光速应为 c + v，但这与光速不变矛盾。
因此，必须考虑长度收缩或时间膨胀。
假设在 O’ 中，光在时间 t’ 内走了 c t’。在 O 中，观察到的时间 t 与 t’ 不同，且长度也可能不同。
假设时间膨胀：t = γ t’ 那么，在 O 中，光走过的总距离是 c t = c γ t’ 同时，O’ 原点移动了 v t = v γ t’ 因此，光相对于 O’ 原点的距离是 c γ t’ - v γ t’ = γ (c - v) t'
但这与之前的结果 c t’ / γ 不一致。
可能需要另一种方法。
考虑光在 O’ 中沿 x’ 方向走了 c t’，在 O 中，x’ 方向可能与 x 方向有长度收缩。
假设在 O 中，O’ 系的 x’ 方向的长度有收缩：dx = dx’ / γ 因此，c t’ 在 O’ 中对应于 O 中的 (c t’) / γ = c t’ √(1 - v² / c²)
这似乎直接得到了题目中的表达式。
但这样推导依赖于长度收缩，而长度收缩通常由洛伦兹变换得出。
另一种方法是使用光速不变和同时性的概念：
在 O’ 中，光在 t’ 时间内走了 c t’。 在 O 中，这段时间是 t = γ t’（时间膨胀）。 光在 O 中的 x 方向速度是 c（光速不变），因此光在 O 中走了 c t = c γ t’。 同时，O’ 原点走了 v t = v γ t’。 因此，光相对于 O’ 原点的距离是 c γ t’ - v γ t’ = γ (c - v) t’。 这与之前一致，但需要等于 c t’ / γ：
γ (c - v) t’ = c t’ / γ => γ² (c - v) = c => (1 / (1 - v² / c²)) (c - v) = c => (c - v) / (1 - v² / c²) = c => (c - v) / [(1 - v / c)(1 + v / c)] = c => (c - v) / (1 - v / c) = c (1 + v / c) => (c - v) c / (c - v) = c + v => c = c + v 矛盾。
看来直接这样推导有问题。
可能需要考虑光在 O’ 中沿 x’ 方向走了 c t’，对应于 O 中的 x 和 t 的关系。
另一种方法是使用时空不变量：
在 O’ 中，光的世界线：x’ = c t’, y’ = 0, z’ = 0 在 O 中，根据洛伦兹变换： x = γ (x’ + v t’) = γ (c + v) t’ t = γ (t’ + v x’ / c²) = γ (1 + v / c) t’ 因此，x / t = (c + v) / (1 + v / c) = c
光相对于 O’ 原点的距离： O’ 原点在 O 中的位置：x_O’ = v t 光的位置：x_light = x = γ (c + v) t’ 因此，距离：Δx = x_light - x_O’ = γ (c + v) t’ - v γ (1 + v / c) t’ = γ [c + v - v - v² / c] t’ = γ (c - v² / c) t’ = γ c (1 - v² / c²) t’ = c t’ / γ
这不依赖于洛伦兹变换的具体形式，而是基于光速不变和相对速度的概念。
非相对论性推导
如果不使用洛伦兹变换和狭义相对论，即在经典物理框架下，光速在不同参考系中是可加的，那么：
在 O’ 中，光速为 c（相对于 O’）。 O’ 相对于 O 以 v 运动。 因此，在 O 中，光速应为 c + v。
光在 O’ 中 t’ 时间走了 c t’。 在 O 中，时间 t = t’（绝对时间），光走了 (c + v) t’。 O’ 原点走了 v t’。 因此，光相对于 O’ 原点的距离： (c + v) t’ - v t’ = c t’。
这与题目中的 c t’ / γ 不符。因此，经典物理无法得到这个结果。
因此，要得到 c t’ √(1 - v² / c²)，必须隐含某种相对论效应。
可能的非洛伦兹变换方法
一种可能的方法是使用“发射理论”（ballistic theory of light），即光速与光源速度叠加，但结合某种修正。
或者，考虑光在运动介质中的传播，类似于菲涅尔拖曳系数。
但更可能的是，使用时间膨胀或长度收缩的假设，而不涉及完整的洛伦兹变换。
假设在 O’ 中，光沿 x’ 方向走了 c t’。 在 O 中，由于运动，沿 x 方向的长度收缩：实际距离为 c t’ / γ。 这就是题目中的 c t’ √(1 - v² / c²)。
这种解释依赖于长度收缩的假设，但不涉及洛伦兹变换的完整形式。
结论
经过以上分析：
-
使用洛伦兹变换验证：
- 在 O’ 系中，光沿 x’ 方向走了 c t’。
- 在 O 系中，光相对于 O’ 原点的 x 方向距离为 c t’ √(1 - v² / c²)。
- 这一结论是正确的。
-
非洛伦兹变换的推导：
- 可以基于长度收缩的假设：在 O 系中观察，O’ 系中沿运动方向的长度收缩为原长的 √(1 - v² / c²)。
- 因此，O’ 系中光走的 c t’ 对应于 O 系中的 c t’ √(1 - v² / c²)。
- 这不需要完整的洛伦兹变换，仅依赖于纵向长度收缩的假设。
最终答案
使用洛伦兹变换验证：
在 O’ 系中，光沿 x’ 方向的运动为 x’ = c t’。通过洛伦兹逆变换：
x = γ (x’ + v t’) = γ (c t’ + v t’) = γ (c + v) t’ t = γ (t’ + v x’ / c²) = γ (t’ + v c t’ / c²) = γ (1 + v / c) t'
光相对于 O’ 原点的 x 方向距离：
Δx = x - v t = γ (c + v) t’ - v γ (1 + v / c) t’ = γ t’ [c + v - v - v² / c] = γ t’ (c - v² / c) = γ c t’ (1 - v² / c²) = c t’ / γ = c t’ √(1 - v² / c²)
因此，结论正确。
非洛伦兹变换的推导：
假设在运动方向上长度收缩，收缩因子为 √(1 - v² / c²)。在 O’ 系中，光沿 x’ 方向走了 c t’，对应于 O 系中沿 x 方向的长度为：
Δx = c t’ √(1 - v² / c²)
这一结果直接由长度收缩假设得出，无需完整的洛伦兹变换。
光在O中走的距离为ct，验证ct-vt=sqrt{c^2-v^2}t’，ct’+vt’=sqrt{c^2-v^2}t
问题重述
我们有以下两个坐标系：
- 静止坐标系 O：通常被认为是“实验室”参考系。
- 运动坐标系 O’：以速度 \( v \) 沿 \( x \) 方向相对于 O 运动。
在 O’ 中沿 \( x’ \) 方向发射一束光（速度为 \( c \)），我们需要验证以下两个关系式：
- \( c t - v t = \sqrt{c^2 - v^2} , t’ \)
- \( c t’ + v t’ = \sqrt{c^2 - v^2} , t \)
其中：
- \( t \) 是 O 系中测得的时间。
- \( t’ \) 是 O’ 系中测得的时间。
初步分析
首先，我们需要明确这些关系式的物理意义。看起来，这些等式试图描述光在两个参考系中的运动关系。具体来说：
-
\( c t - v t = \sqrt{c^2 - v^2} , t’ \)：
- \( c t \)：光在 O 系中传播的总距离。
- \( v t \)：O’ 系在时间 \( t \) 内相对于 O 系的移动距离。
- \( c t - v t \)：光相对于 O’ 系的传播距离（在 O 系中观察）。
- \( \sqrt{c^2 - v^2} , t’ \)：光在 O’ 系中传播的距离（可能是考虑了某种“有效”速度）。
-
\( c t’ + v t’ = \sqrt{c^2 - v^2} , t \)：
- \( c t’ \)：光在 O’ 系中传播的距离。
- \( v t’ \)：O’ 系在时间 \( t’ \) 内相对于 O 系的移动距离（但这里 \( t’ \) 是 O’ 的时间，可能需要调整）。
- \( c t’ + v t’ \)：光在 O 系中传播的总距离（可能是从 O’ 的角度看）。
- \( \sqrt{c^2 - v^2} , t \)：某种“有效”距离。
看起来，这些关系式试图在不使用洛伦兹变换的情况下，通过经典的速度合成和勾股定理来描述光的传播。但需要验证是否正确。
使用洛伦兹变换验证
为了验证这些关系式是否正确，我们可以先用洛伦兹变换来推导光在两个参考系中的传播关系。
洛伦兹变换： \[ t’ = \gamma \left( t - \frac{v x}{c^2} \right), \quad x’ = \gamma (x - v t) \] \[ t = \gamma \left( t’ + \frac{v x’}{c^2} \right), \quad x = \gamma (x’ + v t’) \] 其中，\( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \)。
情景描述： 在 O’ 系中，光沿 \( x’ \) 方向传播，其世界线为 \( x’ = c t’ \)。
我们需要找到 O 系中对应的 \( x \) 和 \( t \) 的关系。
从 O’ 到 O 的逆变换： \[ x = \gamma (x’ + v t’) = \gamma (c t’ + v t’) = \gamma (c + v) t’ \] \[ t = \gamma \left( t’ + \frac{v x’}{c^2} \right) = \gamma \left( t’ + \frac{v c t’}{c^2} \right) = \gamma \left( 1 + \frac{v}{c} \right) t’ \]
因此，光在 O 系中的速度为： \[ \frac{x}{t} = \frac{\gamma (c + v) t’}{\gamma (1 + v/c) t’} = \frac{c + v}{1 + v/c} = c \] 这与光速不变原理一致。
验证第一个关系式：\( c t - v t = \sqrt{c^2 - v^2} , t’ \)
从洛伦兹变换： \[ t = \gamma \left( 1 + \frac{v}{c} \right) t’ \] 因此： \[ c t - v t = (c - v) t = (c - v) \gamma \left( 1 + \frac{v}{c} \right) t’ \] 计算： \[ (c - v) \left( 1 + \frac{v}{c} \right) = c \left( 1 - \frac{v}{c} \right) \left( 1 + \frac{v}{c} \right) = c \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right) = \frac{c^2 - v^2}{c} \] 因此： \[ (c - v) \gamma \left( 1 + \frac{v}{c} \right) t’ = \gamma \frac{c^2 - v^2}{c} t’ = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \cdot \frac{c^2 - v^2}{c} t’ = \frac{c^2 - v^2}{c \sqrt{1 - v^2/c^2}} t’ \] 注意到： \[ c^2 - v^2 = c^2 (1 - v^2/c^2) \] 因此： \[ \frac{c^2 - v^2}{c \sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{c^2 (1 - v^2/c^2)}{c \sqrt{1 - v^2/c^2}} = c \sqrt{1 - v^2/c^2} = \sqrt{c^2 - v^2} \] 所以： \[ c t - v t = \sqrt{c^2 - v^2} , t’ \] 验证通过。
验证第二个关系式：\( c t’ + v t’ = \sqrt{c^2 - v^2} , t \)
从洛伦兹变换： \[ t’ = \gamma \left( t - \frac{v x}{c^2} \right) \] 对于光在 O 系中的传播 \( x = c t \)： \[ t’ = \gamma \left( t - \frac{v c t}{c^2} \right) = \gamma \left( 1 - \frac{v}{c} \right) t \] 因此： \[ c t’ + v t’ = (c + v) t’ = (c + v) \gamma \left( 1 - \frac{v}{c} \right) t \] 计算： \[ (c + v) \left( 1 - \frac{v}{c} \right) = c \left( 1 + \frac{v}{c} \right) \left( 1 - \frac{v}{c} \right) = c \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right) = \frac{c^2 - v^2}{c} \] 因此： \[ (c + v) \gamma \left( 1 - \frac{v}{c} \right) t = \gamma \frac{c^2 - v^2}{c} t = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \cdot \frac{c^2 - v^2}{c} t \] 同样： \[ \frac{c^2 - v^2}{c \sqrt{1 - v^2/c^2}} = \sqrt{c^2 - v^2} \] 所以： \[ c t’ + v t’ = \sqrt{c^2 - v^2} , t \] 验证通过。
非洛伦兹变换的推导
现在，我们尝试不依赖于洛伦兹变换，而是通过经典的速度合成和时间膨胀的思想来推导这两个关系式。
第一个关系式：\( c t - v t = \sqrt{c^2 - v^2} , t’ \)
假设光在 O’ 系中以速度 \( c \) 传播，而在 O 系中观察时，由于 O’ 的运动，光的速度需要调整。
在 O 系中：
- 光的总速度：\( c \)（光速不变）。
- O’ 的速度：\( v \)。
- 因此，光相对于 O’ 的速度：\( c - v \)。
因此，光相对于 O’ 的传播距离为 \( (c - v) t \)。
另一方面，在 O’ 系中，光的速度为 \( c \)，传播时间为 \( t’ \)，传播距离为 \( c t’ \)。
如果假设时间膨胀效应存在（即 \( t’ = t / \gamma \)），那么： \[ (c - v) t = c t’ = c \frac{t}{\gamma} \] 但这与 \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \) 矛盾，因为： \[ (c - v) t = \frac{c t}{\gamma} \implies c - v = \frac{c}{\gamma} = c \sqrt{1 - v^2/c^2} \] 两边除以 \( c \)： \[ 1 - \frac{v}{c} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \] 平方两边： \[ 1 - \frac{2 v}{c} + \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{v^2}{c^2} \implies -\frac{2 v}{c} + \frac{2 v^2}{c^2} = 0 \implies \frac{2 v}{c} \left( -1 + \frac{v}{c} \right) = 0 \] 解得 \( v = 0 \) 或 \( v = c \)，这与一般情况矛盾。
因此，直接假设 \( (c - v) t = c t’ \) 不成立。
另一种方法是考虑光在 O’ 系中的传播方向垂直于运动方向（类似于迈克尔逊-莫雷实验）：
假设光在 O’ 系中沿 \( x’ \) 方向传播 \( c t’ \)，在 O 系中观察到沿 \( x \) 方向的传播距离为 \( \sqrt{c^2 - v^2} , t’ \)。
这是因为：
- 在 O 系中，光的运动可以分解为沿 \( x \) 方向的 \( v \) 和垂直于 \( x \) 方向的 \( \sqrt{c^2 - v^2} \)。
- 因此，沿 \( x \) 方向的净传播距离为 \( \sqrt{c^2 - v^2} , t’ \)。
而 \( c t - v t \) 是光相对于 O’ 的传播距离： \[ c t - v t = \sqrt{c^2 - v^2} , t’ \]
第二个关系式：\( c t’ + v t’ = \sqrt{c^2 - v^2} , t \)
类似地：
- 在 O’ 系中，光传播 \( c t’ \)。
- O’ 系本身移动 \( v t’ \)。
- 因此，光在 O 系中的总传播距离为 \( c t’ + v t’ \)。
- 这与 O 系中光速 \( c \) 和时间 \( t \) 的关系为 \( \sqrt{c^2 - v^2} , t \)。
总结
通过洛伦兹变换，我们严格验证了题目给出的两个关系式是正确的：
- \( c t - v t = \sqrt{c^2 - v^2} , t’ \)
- \( c t’ + v t’ = \sqrt{c^2 - v^2} , t \)
在不使用洛伦兹变换的情况下，可以通过以下方式理解：
- 光速不变原理要求光在 O 和 O’ 系中的速度均为 \( c \)。
- 由于 O’ 的运动，光在两个参考系中的传播距离需要通过时间膨胀或长度收缩来调整。
- 通过速度的垂直分解（勾股定理），可以得到 \( \sqrt{c^2 - v^2} \) 的“有效”速度分量。
最终答案
验证结果：
-
\( c t - v t = \sqrt{c^2 - v^2} , t’ \) 是正确的。
- 通过洛伦兹变换严格验证： \[ c t - v t = (c - v) t = (c - v) \gamma \left( 1 + \frac{v}{c} \right) t’ = \sqrt{c^2 - v^2} , t’ \]
-
\( c t’ + v t’ = \sqrt{c^2 - v^2} , t \) 是正确的。
- 通过洛伦兹变换严格验证： \[ c t’ + v t’ = (c + v) t’ = (c + v) \gamma \left( 1 - \frac{v}{c} \right) t = \sqrt{c^2 - v^2} , t \]
非洛伦兹变换的推导：
- 基于光速不变和速度的垂直分解，可以直观理解 \( \sqrt{c^2 - v^2} \) 的出现。
- 光在运动方向上的传播距离需要调整以保持光速不变。
那为什么不使用洛伦兹变换，垂直分量符合，而和运动方向相同的水平方向不符合
问题的核心
在相对论中，光速在所有惯性参考系中都是恒定的 \( c \)，这与经典的速度叠加（伽利略变换）矛盾。洛伦兹变换是为了保证光速不变而提出的时空坐标变换。如果不使用洛伦兹变换，而是尝试用经典方法处理运动方向上的光传播，就会出现矛盾。具体来说：
- 垂直方向：如果光传播方向与参考系运动方向垂直，可以部分用经典方法（如勾股定理）解释观测结果，因为垂直方向的长度不受运动影响（无长度收缩）。
- 水平方向：如果光传播方向与运动方向平行，经典方法无法解释观测结果，因为时间和空间必须同时调整（即需要洛伦兹变换），否则会违反光速不变原理。
为什么垂直方向“似乎”符合经典物理？
假设光在 \( O’ \) 系中沿 \( y’ \) 方向（垂直于运动方向 \( x \)）传播：
- 在 \( O’ \) 系中：光走过的距离为 \( c t’ \)（沿 \( y’ \) 方向）。
- 在 \( O \) 系中：
- \( O’ \) 系以速度 \( v \) 沿 \( x \) 方向运动。
- 光的运动轨迹是斜线（因为 \( O’ \) 在移动）。
- 光在 \( O \) 系中的速度仍然是 \( c \)，因此沿 \( x \) 方向的分量为 \( v \)，沿 \( y \) 方向的分量为 \( \sqrt{c^2 - v^2} \)（由勾股定理）。
- 因此，垂直方向的传播距离为 \( \sqrt{c^2 - v^2} , t \)，而 \( t \) 和 \( t’ \) 的关系可以通过时间膨胀 \( t = \gamma t’ \) 联系起来。
关键点：
- 垂直方向的运动不受长度收缩影响，因此可以用勾股定理直接计算。
- 但时间膨胀仍然存在（\( t \neq t’ \)），所以严格来说仍然需要相对论修正。
为什么水平方向不能用经典方法？
假设光在 \( O’ \) 系中沿 \( x’ \) 方向（与运动方向相同）传播：
- 在 \( O’ \) 系中：光走过的距离为 \( c t’ \)。
- 在 \( O \) 系中：
- 如果尝试用经典速度叠加，光的速度应为 \( c + v \)（向前）或 \( c - v \)（向后），但这违反光速不变原理。
- 实际上，光速在 \( O \) 系中仍然是 \( c \)，因此必须通过洛伦兹变换调整时间和空间：
- 时间膨胀：\( t \neq t’ \)。
- 长度收缩：沿运动方向的长度测量结果不同。
- 直接经典计算会导致矛盾（如 \( c + v > c \) 或 \( c - v < c \) 的荒谬结果）。
关键点：
- 水平方向的运动同时涉及时间和空间的相对性，经典方法无法处理。
- 必须用洛伦兹变换才能保证光速不变。
数学对比
垂直方向（似乎“符合”经典物理）
在 \( O \) 系中观测：
- 光沿 \( y \) 方向的距离：\( d_y = \sqrt{c^2 - v^2} , t \)。
- 光沿 \( x \) 方向的距离：\( d_x = v t \)。
- 总光速：\( \sqrt{d_x^2 + d_y^2}/t = \sqrt{v^2 + (c^2 - v^2)} = c \)（满足光速不变）。
但这里仍然隐含了时间膨胀 \( t = \gamma t’ \)，并非完全经典。
水平方向（经典方法失败）
经典速度叠加：
- 光在 \( O’ \) 中的速度：\( c \)。
- \( O’ \) 的速度：\( v \)。
- 光在 \( O \) 中的速度：\( c + v \) 或 \( c - v \)（矛盾，因为光速必须为 \( c \)）。
洛伦兹变换的解决：
- 通过 \( x = \gamma (x’ + v t’) \) 和 \( t = \gamma (t’ + v x’/c^2) \) 保证光速不变。
根本原因
- 垂直方向的运动不涉及长度收缩，仅需时间膨胀，因此看起来“部分符合”经典物理。
- 水平方向的运动同时需要时间膨胀和长度收缩，经典方法完全失效。
- 洛伦兹变换的本质是统一处理时间和空间的相对性，而经典方法无法做到这一点。
结论
- 垂直方向：可以部分用经典方法解释，但严格来说仍需相对论修正（时间膨胀）。
- 水平方向：必须用洛伦兹变换，经典方法直接违反光速不变原理。
- 这是为什么狭义相对论必须取代经典力学的高速运动描述。
将求gamma的代数过程，用几何的方式实现。求gamma的代数过程，就是假设x=gamma(x’+vt’), x’=gamma(x-vt)等
几何法推导洛伦兹因子 \(\gamma\)
为了用几何方法推导洛伦兹因子 \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\)，我们可以利用**时空图（Minkowski 图）**的思想，通过光信号的传播和参考系变换的对称性来直观地构造 \(\gamma\)。
关键思想
- 光速不变原理：在所有惯性参考系中，光速 \(c\) 相同。
- 对称性：从 \(O\) 和 \(O’\) 的视角观察同一事件，时空关系必须自洽。
- 几何构造：用直角三角形的边长关系表示时间和空间的相对性。
几何构造步骤
假设有两个惯性参考系：
- \(O\)（静止系）：坐标 \((x, t)\)。
- \(O’\)（运动系）：以速度 \(v\) 沿 \(x\) 方向运动，坐标 \((x’, t’)\)。
在 \(O’\) 系中，原点 \(x’ = 0\) 的运动轨迹为 \(x = v t\)（在 \(O\) 系中观测）。
步骤 1：定义时间和长度的几何表示
在时空图中：
- 横轴：空间 \(x\)。
- 纵轴：时间 \(t\)（乘以 \(c\) 以使量纲一致，即 \(ct\)）。
\(O’\) 的世界线（\(x’ = 0\)）是斜率为 \(v/c\) 的直线： \[ x = v t \implies ct = \frac{c}{v} x \]
步骤 2：光信号的传播
假设在 \(t = t’ = 0\) 时，从原点发出一束光：
- 在 \(O\) 系中：光的轨迹为 \(x = c t\) 或 \(x = -c t\)。
- 在 \(O’\) 系中：光的轨迹同样为 \(x’ = c t’\) 或 \(x’ = -c t’\)。
步骤 3：同时事件的几何关系
在 \(O’\) 系中，\(t’ = 0\) 的时刻对应 \(O\) 系中的一条斜线（“同时线”）。
由于 \(O’\) 在运动，\(O’\) 的“同时线”与 \(O\) 的“同时线”（水平线 \(t = 0\)）不同。
通过洛伦兹变换： \[ t’ = \gamma \left( t - \frac{v x}{c^2} \right) \] \(t’ = 0\) 对应的直线为： \[ t = \frac{v}{c^2} x \]
步骤 4：构造直角三角形
考虑 \(O’\) 系中一个固定点 \(x’ = 1\) 在 \(t’ = 0\) 时的坐标。
由洛伦兹变换：
\[
x’ = \gamma (x - v t) = 1
\]
\[
t’ = \gamma \left( t - \frac{v x}{c^2} \right) = 0 \implies t = \frac{v x}{c^2}
\]
代入 \(x’\) 的方程：
\[
\gamma \left( x - v \cdot \frac{v x}{c^2} \right) = 1 \implies \gamma x \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right) = 1
\]
\[
x = \frac{1}{\gamma (1 - v^2/c^2)}
\]
但 \(x’ = \gamma (x - v t)\) 和 \(t’ = \gamma (t - v x/c^2)\) 是线性关系，我们需要更直观的几何构造。
步骤 5：利用双曲线校准
在时空图中，时空间隔不变性要求： \[ c^2 t^2 - x^2 = c^2 t’^2 - x’^2 \] 取 \(x’ = 0\)（即 \(x = v t\)），则： \[ c^2 t^2 - v^2 t^2 = c^2 t’^2 \implies t’ = t \sqrt{1 - v^2/c^2} \] 因此： \[ \gamma = \frac{t}{t’} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \]
几何解释
- 在 \(O\) 系中，\(O’\) 的原点移动 \(x = v t\)。
- 在 \(O’\) 系中，时间 \(t’\) 是 \(O\) 系中 \(t\) 的“投影”到 \(O’\) 的世界线上。
- 由于光速不变，\(t’\) 和 \(t\) 的关系由直角三角形的斜边（\(c t\)）和邻边（\(v t\)）决定： \[ (c t’)^2 + (v t’)^2 = (c t)^2 \implies t’ = t \sqrt{1 - v^2/c^2} \] 因此： \[ \gamma = \frac{t}{t’} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \]
总结
通过几何方法：
- 利用光速不变性和时空图构造直角三角形。
- 通过双曲线校准或投影关系得到 \(t’ = t \sqrt{1 - v^2/c^2}\)。
- 直接推出 \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\)。
这种方法避免了代数运算，直接通过时空几何性质得到洛伦兹因子。
不通过构建直角三角形的形式，怎么推导出gamma，为什么用代数假设的方式可以求出来，而用普通的几何方法却无法求出
问题重述
我们讨论的是两个惯性参考系 \( O \)（静止系）和 \( O’ \)（运动系，沿 \( x \) 方向以速度 \( v \) 运动）。在 \( O’ \) 中发射一束光，其传播方向可以是任意方向（如 \( x’ \) 方向或 \( y’ \) 方向）。通过几何方法，我们发现：
-
垂直方向（\( y’ \) 方向）：
- 在 \( O’ \) 系中，光沿 \( y’ \) 方向传播的距离为 \( c t’ \)。
- 在 \( O \) 系中，光的 \( y \) 方向距离为 \( y = y’ / \gamma \)（即 \( y = c t’ / \gamma \)）。
- 因此，垂直方向的距离比例为 \( \gamma \)。
-
水平方向（\( x’ \) 方向）：
- 如果光沿 \( x’ \) 方向传播，在 \( O \) 系中观测到的距离比例似乎也是 \( \gamma \)。
- 但如果不使用洛伦兹变换，这种比例关系的原因是什么？
关键问题
如果不使用洛伦兹变换，为什么垂直方向和水平方向的光传播距离比例都是 \( \gamma \)？是什么物理机制导致了这种比例关系？
1. 垂直方向的比例 \( \gamma \)
几何图像
- 在 \( O’ \) 系中，光沿 \( y’ \) 方向传播 \( c t’ \)。
- 在 \( O \) 系中，\( O’ \) 系以速度 \( v \) 沿 \( x \) 方向运动，因此光的运动轨迹是斜向的（如图）：
- \( x \) 方向：\( O’ \) 系移动了 \( v t \)。
- \( y \) 方向：光传播了 \( y = c t’ / \gamma \)。
- 光的总速度在 \( O \) 系中仍为 \( c \)，因此： \[ (v t)^2 + (c t’ / \gamma)^2 = (c t)^2 \] 解得： \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \] 这是通过垂直方向的几何关系和光速不变性直接导出的 \( \gamma \)。
物理意义
- 垂直方向的距离比例 \( \gamma \) 反映了时间膨胀：
- \( O \) 系中测得的时间 \( t \) 比 \( O’ \) 系中的 \( t’ \) 长，\( t = \gamma t’ \)。
- 因此，\( y = c t’ = c (t / \gamma) = y’ / \gamma \)。
2. 水平方向的比例 \( \gamma \)
现象描述
如果光沿 \( x’ \) 方向传播：
- 在 \( O’ \) 系中：光传播距离 \( x’ = c t’ \)。
- 在 \( O \) 系中：
- 光的速度应为 \( c \)（光速不变），而 \( O’ \) 系以 \( v \) 运动。
- 经典速度叠加会错误地给出 \( c + v \) 或 \( c - v \)，但实际必须满足光速不变。
- 通过洛伦兹变换，可以证明 \( x = \gamma x’ \)。
如果不使用洛伦兹变换
如果不使用洛伦兹变换，如何解释水平方向的比例 \( \gamma \)？
可能的解释：
-
长度收缩的隐含假设：
- 即使不显式使用洛伦兹变换，垂直方向的比例 \( \gamma \) 已经隐含了时间膨胀 \( t = \gamma t’ \)。
- 如果水平方向的距离比例也是 \( \gamma \)，则意味着 \( x = \gamma x’ \)，这与长度收缩 \( x’ = \gamma x \) 矛盾。
- 因此，必须明确区分“运动方向”和“垂直方向”的长度变化。
-
相对速度的修正：
- 在水平方向，光速不变要求 \( O \) 系中观测到的光速仍为 \( c \)，而非 \( c + v \)。
- 这需要对时间和空间进行相对性修正，本质上仍然是洛伦兹变换的思想。
-
对称性要求：
- 如果垂直方向的比例是 \( \gamma \)，而水平方向不满足相同比例，会导致物理规律的方向依赖性（违反各向同性）。
- 因此，水平方向的比例必须与垂直方向协调，而洛伦兹变换是唯一满足这一要求的变换。
3. 为什么普通几何方法无法直接求出 \( \gamma \)？
普通几何的局限性
- 经典几何（欧几里得几何）默认：
- 时间是绝对的（\( t = t’ \)）。
- 空间是绝对的（\( x = x’ + v t \)）。
- 因此，普通几何无法描述：
- 时间膨胀（\( t \neq t’ \)）。
- 长度收缩（\( x’ \neq x \)）。
- 光速不变性（必须强制 \( c = c \pm v \) 的矛盾）。
代数方法的优势
- 代数方法通过对称性假设（如 \( x = \gamma (x’ + v t’) \)）和光速不变性，直接约束 \( \gamma \) 的形式。
- 几何方法必须升级到闵可夫斯基几何（伪欧几里得几何），引入双曲线和时空间隔，才能描述相对论效应。
4. 到底是什么造成了比例 \( \gamma \)？
根本原因
比例 \( \gamma \) 的出现是由以下物理原理决定的：
- 光速不变原理：所有惯性系中光速为 \( c \)。
- 相对性原理：物理规律在所有惯性系中形式相同。
- 时空的绝对性破缺：时间和空间是相对的，必须统一为时空。
具体机制
- 垂直方向的 \( \gamma \) 由时间膨胀直接导致。
- 水平方向的 \( \gamma \) 由长度收缩和时间膨胀共同导致：
- 长度收缩：运动方向的尺度缩短 \( x’ = \gamma x \)。
- 时间膨胀：\( t = \gamma t’ \)。
- 两者结合保证光速不变。
5. 如果不使用洛伦兹变换？
如果不使用洛伦兹变换，但要求光速不变和相对性原理，则必须隐含以下假设：
- 时间膨胀和长度收缩的存在。
- 垂直方向和水平方向的比例协调。 而这本质上等价于洛伦兹变换。
总结
-
垂直方向的比例 \( \gamma \)：
- 由时间膨胀和光速不变性直接导出。
- 几何图像：光传播的斜边关系。
-
水平方向的比例 \( \gamma \)：
- 由长度收缩和时间膨胀共同保证。
- 普通几何无法解释，必须用洛伦兹变换或闵可夫斯基几何。
-
根本原因：
- 光速不变性和相对性原理要求时空统一，比例 \( \gamma \) 是这种统一的数学表现。
- 普通几何无法描述相对论时空，必须升级到闵可夫斯基几何。