1. 电场能量密度
电场的能量密度 \( u_E \)（单位体积内的能量）为： \[ u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 \] 其中：
- \( \epsilon_0 \) 是真空介电常数（\( \approx 8.854 \times 10^{-12} \ \text{F/m} \)）；
- \( E \) 是电场强度（单位：V/m）。
推导：
电场能量来源于对电荷系统做功。例如，充电电容器的能量 \( U = \frac{1}{2} CV^2 \)，通过电场强度 \( E = V/d \) 和电容公式 \( C = \epsilon_0 A/d \)，可导出能量密度。
2. 磁场能量密度
磁场的能量密度 \( u_B \) 为： \[ u_B = \frac{1}{2 \mu_0} B^2 \] 其中：
- \( \mu_0 \) 是真空磁导率（\( \approx 4\pi \times 10^{-7} \ \text{H/m} \)）；
- \( B \) 是磁感应强度（单位：T，特斯拉）。
推导：
磁场能量来源于建立电流系统所做的功。例如，电感储能 \( U = \frac{1}{2} LI^2 \)，结合安培定律和磁场分布可导出能量密度。
3. 电磁场的总能量密度
电磁场的总能量密度 \( u \) 是电场和磁场能量密度之和： \[ u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \left( \epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0} \right) \]
4. 电磁波的能量密度
对于自由空间传播的电磁波（如光），电场和磁场互相垂直且幅值相关（\( E = cB \)），能量密度满足： \[ u_E = u_B \quad \Rightarrow \quad u = \epsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0} \] 其中 \( c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \) 为光速。
5. 能量守恒与坡印廷矢量
电磁场的能量守恒由 坡印廷定理 描述： \[ \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S} = -\mathbf{J} \cdot \mathbf{E} \]
- \( \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 是 坡印廷矢量，表示能流密度（单位时间通过单位面积的能量）；
- \( -\mathbf{J} \cdot \mathbf{E} \) 是电磁场对电荷做功的功率密度。
6. 示例计算
电容器的电场能量
平行板电容器（板面积 \( A \)，间距 \( d \)）的电场能量： \[ U = \int u_E , dV = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 \cdot Ad = \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \frac{V}{d} \right)^2 Ad = \frac{1}{2} CV^2 \]
螺线管的磁场能量
长直螺线管（内部磁场 \( B = \mu_0 n I \)）的磁场能量： \[ U = \int u_B , dV = \frac{1}{2 \mu_0} B^2 \cdot Al = \frac{1}{2} LI^2 \] （\( n \) 为单位长度匝数，\( l \) 为长度，\( L = \mu_0 n^2 Al \) 为自感系数）。
7. 注意事项
- 介质中的修正：
若存在电介质或磁介质，需替换 \( \epsilon_0 \to \epsilon \)、\( \mu_0 \to \mu \)（考虑介电常数和磁导率）。 - 非线性材料：
铁电体或铁磁体的能量密度需通过积分 \( \int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{D} \) 或 \( \int \mathbf{H} \cdot d\mathbf{B} \) 计算。 - 相对论协变性：
电磁场能量密度是电磁场应力-能量张量 \( T^{\mu\nu} \) 的 00 分量。
总结
- 电场能量密度：\( u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 \)
- 磁场能量密度：\( u_B = \frac{1}{2 \mu_0} B^2 \)
- 电磁波中电场和磁场能量均分，总能量通过坡印廷矢量传播。
- 这些公式是理解电磁系统（如电路、天线、光学器件）能量转换的基础。
1. 电磁波的本质：电场与磁场的耦合
- 麦克斯韦方程组明确指出：变化的电场会激发磁场（安培-麦克斯韦定律），而变化的磁场又会激发电场（法拉第电磁感应定律）。这种相互耦合的振荡形成了电磁波。
- 传播机制：电磁波在真空中传播时，电场（E）和磁场（B）互相垂直，且均垂直于传播方向（横波特性）。两者相位同步，能量各占一半。
（示意图：电场（红色）与磁场（蓝色）共同构成电磁波）
2. 初始形态：电场和磁场同时存在
- 源头分析：电磁波的产生通常源于电荷的加速运动（如天线中的交变电流）或量子跃迁（如光子发射）。这一过程中：
- 电荷加速时，其周围的电场和磁场同时发生变化，而非仅磁场或电场单独变化。
- 例如，偶极子天线中，交变电流导致电场和磁场交替振荡，直接辐射电磁波。
- 不存在“纯磁场波”或“纯电场波”：若只有磁场变化而无电场变化（或反之），无法满足麦克斯韦方程组的自洽性，电磁波将无法传播。
3. 实验验证
- 赫兹实验：历史上首次证实电磁波存在的实验（1887年）中，赫兹通过火花间隙产生振荡的电场和磁场，检测到远处的电磁波信号。实验证明电场和磁场同步传播。
- 能量分配：电磁波的能量密度公式为： \[ u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0} \] 电场和磁场的能量贡献始终相等。
4. 可能的误解来源
- 磁场主导的错觉：在某些特定场景（如磁偶极辐射或某些磁性材料中），磁场效应可能更显著，但这不意味着电磁波由磁场单独传播。
- 相对论效应：在狭义相对论中，电场和磁场可相互转化，但这是观察者依赖的效应，不改变电磁波本身的耦合特性。
结论
电磁波的传播必须同时依赖电场和磁场的相互激发，不存在“初始形态为磁场”或“只有磁场能传播”的情况。这一原理是麦克斯韦电磁理论的核心，也是现代无线通信、光学等技术的基础。
1. 经典电动力学的观点
根据 麦克斯韦方程组 和 洛伦兹力定律，加速的电荷必然辐射电磁波，但这与 动量和能量守恒 的关系需要澄清：
-
能量守恒：
加速电荷辐射电磁波会带走能量，这部分能量来自 外力对电荷做功（例如，用电磁场或机械方式加速电荷）。因此，系统的总能量（电荷动能 + 辐射场能量）仍然守恒。
如果没有辐射，电荷的动能增加（被加速）但没有能量损失，能量仍然守恒（外力做功 = 电荷动能增加）。辐射的存在不是由能量守恒直接要求的，而是由 电磁场动力学（麦克斯韦方程）决定的。 -
动量守恒：
辐射的电磁波不仅带走能量，还带走动量。因此，如果电荷被加速并辐射，系统的总动量（电荷动量 + 辐射场动量）必须守恒。
但同样，动量守恒本身并不强制要求辐射，而是辐射发生后必须满足动量守恒。例如，若电荷被静电场加速（不辐射），动量仍然守恒（场和电荷动量交换）。 -
关键结论：
电荷加速时辐射电磁波，不是因为动量和能量守恒无法满足，而是因为 变化的电磁场必然产生辐射（由麦克斯韦方程决定）。即使不辐射，能量和动量仍然可以守恒（如静电场加速电荷）。
2. 量子电动力学（QED）的视角
在量子理论中，电磁辐射是光子发射的过程：
- 加速的电荷可能与真空电磁场（虚光子）相互作用，导致 实光子辐射（即电磁波）。
- 能量和动量守恒体现在：
- 电荷损失动能 → 转化为光子能量 \(E = \hbar \omega\)。
- 电荷动量变化 → 光子携带动量 \(p = \hbar k\)。
- 但同样，辐射的发生是由于量子场论的规则，而非单纯因为守恒律无法满足。
3. 何时必须辐射？
-
经典情况：
- 任何非零加速度（如圆周运动、简谐振荡）都会导致辐射，例如 同步辐射 或 偶极辐射。
- 但 匀加速直线运动（如恒定电场中的电荷）在经典理论中 不辐射（争议问题，详见下文*）。
-
量子情况：
- 即使匀速运动的电荷，也可能通过 量子涨落 发射软光子（低能光子），但通常可忽略。
- 显著辐射发生在明显加速（如高能粒子偏转、原子内电子跃迁）。
*补充：匀加速电荷是否辐射？
这是一个长期争议的问题：
- 传统观点（基于Larmor公式）：匀加速电荷辐射。
- 现代观点（结合相对论和场论）：
- 在电荷的 瞬时静止系 中，它确实辐射（因为加速度 \(a \neq 0\)）。
- 但在实验室系中，辐射功率可能被重新解释，甚至在某些情况下抵消。
- 目前共识：匀加速电荷会辐射，但能谱和观测效应复杂。
4. 总结
- 辐射的根源：电荷加速时辐射电磁波，是由于 电磁场动力学（经典）或 光子发射（量子）的物理规律，而非因为能量或动量守恒无法满足。
- 守恒律的作用：辐射发生后，能量和动量必须在 电荷+辐射场 的总系统中守恒，但守恒律本身不强制要求辐射。
- 例外情况：匀加速运动是否辐射仍有争议，但大多数情况（非匀加速）辐射必然发生。
简言之，电荷加速辐射是因为物理定律（麦克斯韦方程/QED）要求如此，而守恒律是后续的约束条件。
电磁场的能量和动量守恒公式，包括辐射能量 在电磁场与带电粒子的相互作用中，能量和动量的守恒由 **电磁场应力-能量张量** 和 **粒子-场系统的守恒律** 共同描述。以下是关键公式和物理图像：
1. 电磁场的能量守恒
电磁场的能量密度 \( u \) 和能流密度（坡印廷矢量 \( \mathbf{S} \)）满足连续性方程： \[ \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S} = -\mathbf{J} \cdot \mathbf{E} \] 其中：
- \( u = \frac{1}{2} \left( \epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0} \right) \) 是电磁场能量密度；
- \( \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 是坡印廷矢量（单位时间通过单位面积的电磁能流）；
- \( -\mathbf{J} \cdot \mathbf{E} \) 是 功密度，表示电磁场对电荷做功的功率（若为正，场能量减少；若为负，外源对场做功）。
辐射能量：当电荷加速时，电磁场携带的能量通过坡印廷矢量向外传播（辐射功率可通过 Larmor公式 计算）。
2. 电磁场的动量守恒
电磁场的动量密度 \( \mathbf{g} \) 和动量流密度（麦克斯韦应力张量 \( \overleftrightarrow{T} \)）满足： \[ \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial t} + \nabla \cdot \overleftrightarrow{T} = -\left( \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B} \right) \] 其中：
- \( \mathbf{g} = \epsilon_0 \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 是电磁场动量密度；
- \( \overleftrightarrow{T} \) 是麦克斯韦应力张量，分量为： \[ T_{ij} = \epsilon_0 \left( E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2 \right) + \frac{1}{\mu_0} \left( B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} B^2 \right) \]
- \( -\left( \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B} \right) \) 是洛伦兹力密度，表示场对电荷的动量转移。
辐射动量：电磁波（辐射场）的动量密度为 \( \mathbf{g}_{\text{rad}} = \frac{\mathbf{S}}{c^2} \)，其动量流与能流方向一致。
3. 带电粒子与场的总守恒律
总能量守恒
粒子动能 + 场能量的变化率满足： \[ \frac{d}{dt} \left( \sum_{\text{粒子}} \gamma m c^2 + \int u , dV \right) = \text{外源输入功率} \]
- 辐射功率（Larmor公式，非相对论近似）： \[ P = \frac{q^2 a^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \] 其中 \( a \) 是电荷的加速度。
总动量守恒
粒子动量 + 场动量的变化率满足： \[ \frac{d}{dt} \left( \sum_{\text{粒子}} \gamma m \mathbf{v} + \int \mathbf{g} , dV \right) = \text{外源施加的力} \]
- 辐射反冲：电荷辐射时损失动量，方向与辐射场动量相反。
4. 关键物理图像
- 能量流动：
电荷加速 → 电磁场能量通过坡印廷矢量辐射 → 场能量转化为远离电荷的电磁波能量。 - 动量平衡：
电荷辐射电磁波时，电磁波携带动量 \( \mathbf{p}_{\text{rad}} = \int \frac{\mathbf{S}}{c^2} , dV \)，电荷获得反向反冲动量（类似火箭推进）。
5. 示例：加速电荷的辐射
- 非相对论圆周运动（如回旋辐射）：
- 辐射功率 \( P = \frac{q^2 a^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \)。
- 辐射对称性导致平均动量损失为零，但存在瞬时动量涨落。
- 相对论情况（如同步辐射）：
- 辐射集中于运动方向前向锥内，电荷明显损失能量和动量。
总结
电磁场的能量和动量守恒公式揭示了：
- 场与粒子通过 洛伦兹力 和 坡印廷矢量 交换能量和动量。
- 电荷加速时，辐射的电磁波必然携带能量和动量，确保总系统守恒。
- 经典辐射公式（如Larmor公式）是守恒律在特定条件下的表现，量子理论中由光子发射实现守恒。