下面从四分量狄拉克方程出发，在非相对论极限下推出泡利方程。全程使用四分量形式，不预先化成二分量方程。
1. 有电磁场的四分量狄拉克方程
取 Dirac 表象：
\[ \psi= \begin{pmatrix} \psi_1\ \psi_2\ \psi_3\ \psi_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phi\ \chi \end{pmatrix}, \qquad \phi= \begin{pmatrix} \psi_1\ \psi_2 \end{pmatrix}, \quad \chi= \begin{pmatrix} \psi_3\ \psi_4 \end{pmatrix} \]
最小耦合：
\[ \boldsymbol{\pi}=-i\hbar\nabla-\frac{e}{c}\mathbf{A}, \qquad i\hbar\partial_t\to i\hbar\partial_t-eA_0 \]
四分量方程写成二分块形式：
\[ i\hbar\partial_t\phi = eA_0\phi+mc^2\phi+c,\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi},\chi \tag{1} \]
\[ i\hbar\partial_t\chi = eA_0\chi-mc^2\chi+c,\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi},\phi \tag{2} \]
2. 提取非相对论极限
非相对论极限下，能量主要来自静止质量：
\[ \psi\sim e^{-imc^2t/\hbar} \begin{pmatrix} \tilde\phi\ \tilde\chi \end{pmatrix} \]
令
\[ \phi=e^{-imc^2t/\hbar}\tilde\phi, \qquad \chi=e^{-imc^2t/\hbar}\tilde\chi \]
代入 (1)、(2)：
\[ i\hbar\partial_t\tilde\phi = eA_0\tilde\phi+c,\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi},\tilde\chi \tag{3} \]
\[ i\hbar\partial_t\tilde\chi = eA_0\tilde\chi-2mc^2\tilde\chi+c,\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi},\tilde\phi \tag{4} \]
3. 小分量近似
在非相对论极限下：
\[ i\hbar\partial_t\tilde\chi-eA_0\tilde\chi\ll 2mc^2\tilde\chi \]
于是由 (4) 得：
\[ 0\approx -2mc^2\tilde\chi+c,\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi},\tilde\phi \]
即
\[ \boxed{ \tilde\chi\approx\frac{\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi}}{2mc}\tilde\phi } \tag{5} \]
4. 代入大分量方程
把 (5) 代入 (3)：
\[ i\hbar\partial_t\tilde\phi = eA_0\tilde\phi + c,\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi} \frac{\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi}}{2mc} \tilde\phi \]
即
\[ i\hbar\partial_t\tilde\phi = eA_0\tilde\phi + \frac{1}{2m} (\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi})^2 \tilde\phi \tag{6} \]
5. 计算 \((\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi})^2\)
利用泡利矩阵恒等式：
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{a})(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{b}) = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) \]
取 \(\mathbf{a}=\mathbf{b}=\boldsymbol{\pi}\)：
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi})^2 = \boldsymbol{\pi}^2 + i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\boldsymbol{\pi}\times\boldsymbol{\pi}) \]
而
\[ \boldsymbol{\pi}\times\boldsymbol{\pi} = i\hbar\frac{e}{c}\mathbf{B} \]
所以
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi})^2 = \boldsymbol{\pi}^2 + i\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(i\hbar\frac{e}{c}\mathbf{B}\right) \]
即
\[ \boxed{ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi})^2 = \boldsymbol{\pi}^2 - \hbar\frac{e}{c}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} } \tag{7} \]
6. 得到泡利方程
把 (7) 代入 (6)：
\[ i\hbar\partial_t\tilde\phi = eA_0\tilde\phi + \frac{1}{2m} \left[ \boldsymbol{\pi}^2 - \hbar\frac{e}{c}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \right]\tilde\phi \]
整理：
\[ \boxed{ i\hbar\frac{\partial\tilde\phi}{\partial t} = \left[ \frac{\boldsymbol{\pi}^2}{2m} + eA_0 - \frac{\hbar e}{2mc}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \right]\tilde\phi } \tag{8} \]
其中
\[ \boldsymbol{\pi}^2 = \left(-i\hbar\nabla-\frac{e}{c}\mathbf{A}\right)^2 \]
这就是泡利方程。
7. 泡利方程的完整展开
把 \(\boldsymbol{\pi}^2\) 展开：
\[ \boldsymbol{\pi}^2 = \mathbf{p}^2 -\frac{2e}{c}\mathbf{A}\cdot\mathbf{p} +\frac{i\hbar e}{c}(\nabla\cdot\mathbf{A}) +\frac{e^2}{c^2}\mathbf{A}^2 \]
库仑规范 \(\nabla\cdot\mathbf{A}=0\) 下：
\[ \boldsymbol{\pi}^2 = \mathbf{p}^2 -\frac{2e}{c}\mathbf{A}\cdot\mathbf{p} +\frac{e^2}{c^2}\mathbf{A}^2 \]
所以泡利方程可写成：
\[ \boxed{ i\hbar\frac{\partial\tilde\phi}{\partial t} = \left[ \frac{\mathbf{p}^2}{2m} -\frac{e}{mc}\mathbf{A}\cdot\mathbf{p} +\frac{e^2}{2mc^2}\mathbf{A}^2 + eA_0 - \frac{\hbar e}{2mc}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \right]\tilde\phi } \]
8. 识别自旋磁矩与 \(g=2\)
泡利方程中磁场耦合项为：
\[ -\frac{\hbar e}{2mc}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
而自旋磁矩与磁场相互作用一般写作：
\[ -\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B} \]
所以
\[ \boldsymbol{\mu} = \frac{\hbar e}{2mc}\boldsymbol{\sigma} \]
又因为自旋角动量：
\[ \mathbf{S}=\frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma} \]
于是
\[ \boldsymbol{\mu} = \frac{e}{mc}\mathbf{S} \]
而一般定义：
\[ \boldsymbol{\mu} = g\frac{e}{2mc}\mathbf{S} \]
比较两式：
\[ g\frac{e}{2mc}\mathbf{S} = \frac{e}{mc}\mathbf{S} \]
所以
\[ \boxed{ g=2 } \]
9. 泡利方程的意义
泡利方程：
\[ i\hbar\partial_t\tilde\phi = \left[ \frac{1}{2m} \left(\mathbf{p}-\frac{e}{c}\mathbf{A}\right)^2 + eA_0 - \frac{\hbar e}{2mc}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \right]\tilde\phi \]
其中 \(\tilde\phi\) 是二分量旋量：
\[ \tilde\phi= \begin{pmatrix} \tilde\psi_1\ \tilde\psi_2 \end{pmatrix} \]
它描述了：
- 非相对论电子
- 自旋-1/2
- 与电磁场相互作用
- 自动给出 \(g=2\)
- 自动给出自旋-轨道耦合（在非均匀电场中）
10. 总结
从四分量狄拉克方程出发：
\[ \text{Dirac 方程} \longrightarrow \text{非相对论极限} \longrightarrow \text{泡利方程} \]
得到：
\[ \boxed{ i\hbar\frac{\partial\tilde\phi}{\partial t} = \left[ \frac{\boldsymbol{\pi}^2}{2m} + eA_0 - \frac{\hbar e}{2mc}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \right]\tilde\phi } \]
其中
\[ \boldsymbol{\pi}=-i\hbar\nabla-\frac{e}{c}\mathbf{A} \]
由此自然得到：
\[ \boxed{ \boldsymbol{\mu} = \frac{e}{mc}\mathbf{S}, \qquad g=2 } \]
这就是狄拉克方程自动给出电子自旋和朗德因子 \(g=2\) 的完整推导。
泡利是在薛定谔方程的基础上，为了描述自旋-1/2 粒子与电磁场的相互作用，人为地引入二分量旋量和泡利矩阵，拼出了泡利方程。后来狄拉克方程出现后，人们才发现泡利方程是狄拉克方程的非相对论极限。
下面分两条线讲：先讲泡利当年的推导思路，再讲现代从狄拉克方程导出泡利方程的逻辑。
一、泡利当年的推导思路（1927）
1. 背景：自旋的发现
1925年，乌伦贝克和古兹米特提出电子有自旋角动量：
\[ \mathbf{S}=\frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma} \]
其中 \(\boldsymbol{\sigma}=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)\) 是泡利矩阵：
\[ \sigma_x= \begin{pmatrix} 0&1\ 1&0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y= \begin{pmatrix} 0&-i\ i&0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z= \begin{pmatrix} 1&0\ 0&-1 \end{pmatrix} \]
电子因此有自旋磁矩：
\[ \boldsymbol{\mu}_S = g\frac{e}{2mc}\mathbf{S} \]
当时实验（碱金属光谱、斯特恩-盖拉赫实验）表明 \(g\approx 2\)，但理论上还没有一个自洽的波动方程能自动给出这个值。
2. 泡利的出发点：薛定谔方程
无自旋电子在电磁场中的薛定谔方程为：
\[ i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = \left[ \frac{1}{2m} \left(-i\hbar\nabla-\frac{e}{c}\mathbf{A}\right)^2 + eA_0 \right]\psi \]
其中 \(\psi\) 是标量波函数。
泡利想问：
如果电子有自旋，波函数应该是什么？方程应该怎么改？
3. 引入二分量波函数
泡利假设电子波函数不是标量，而是二分量旋量：
\[ \psi= \begin{pmatrix} \psi_1\ \psi_2 \end{pmatrix} \]
其中 \(\psi_1,\psi_2\) 对应自旋向上和自旋向下两个状态。
4. 把哈密顿量写成矩阵
泡利进一步假设：哈密顿量中应该出现泡利矩阵 \(\boldsymbol{\sigma}\)，因为自旋算符是：
\[ \mathbf{S}=\frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma} \]
而自旋磁矩与磁场相互作用为：
\[ -\boldsymbol{\mu}_S\cdot\mathbf{B} = -\frac{e}{mc}\mathbf{S}\cdot\mathbf{B} = -\frac{\hbar e}{2mc}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
于是他把薛定谔方程中的标量哈密顿量改成二分量矩阵哈密顿量：
\[ \boxed{ i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \begin{pmatrix}\psi_1\\psi_2\end{pmatrix} = \left[ \frac{1}{2m} \left(-i\hbar\nabla-\frac{e}{c}\mathbf{A}\right)^2 + eA_0 - \frac{\hbar e}{2mc}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \right] \begin{pmatrix}\psi_1\\psi_2\end{pmatrix} } \]
这就是泡利方程。
5. 泡利的关键假设
泡利方程不是从更基本的原理推导出来的，而是基于以下假设：
- 电子波函数是二分量旋量；
- 哈密顿量中自旋只通过 \(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\) 与磁场耦合；
- 耦合强度取 \(g=2\)，以符合实验。
所以泡利方程是现象学的：它把自旋和磁矩人为地放进了薛定谔方程，成功地解释了碱金属光谱的双线结构和反常塞曼效应。
二、现代视角：从狄拉克方程导出泡利方程
狄拉克方程出现后，人们发现泡利方程不是独立的，而是狄拉克方程在非相对论极限下的自然结果。
推导步骤：
1. 狄拉克方程
\[ i\hbar\partial_t\psi = \left( c\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\pi} + \beta mc^2 + eA_0 \right)\psi \]
2. 二分块，提取静止质量相位
令
\[ \psi=e^{-imc^2t/\hbar} \begin{pmatrix}\tilde\phi\\tilde\chi\end{pmatrix} \]
得到：
\[ i\hbar\partial_t\tilde\phi = eA_0\tilde\phi+c,\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi},\tilde\chi \]
\[ i\hbar\partial_t\tilde\chi = eA_0\tilde\chi-2mc^2\tilde\chi+c,\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi},\tilde\phi \]
3. 小分量近似
\[ \tilde\chi\approx\frac{\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi}}{2mc}\tilde\phi \]
4. 代入大分量方程
\[ i\hbar\partial_t\tilde\phi = \left[ eA_0 + \frac{(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi})^2}{2m} \right]\tilde\phi \]
5. 利用
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi})^2 = \boldsymbol{\pi}^2 - \hbar\frac{e}{c}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
得到：
\[ \boxed{ i\hbar\partial_t\tilde\phi = \left[ \frac{\boldsymbol{\pi}^2}{2m} + eA_0 - \frac{\hbar e}{2mc}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \right]\tilde\phi } \]
这正是泡利方程。
三、两者的关系
| 项目 | 泡利（1927） | 狄拉克（1928） |
|---|---|---|
| 出发点 | 薛定谔方程 | 相对论能量-动量关系 |
| 波函数 | 二分量旋量 | 四分量旋量 |
| 自旋 | 人为引入 | 自动出现 |
| \(g=2\) | 人为取 | 自动给出 |
| 相对论性 | 非相对论 | 相对论 |
| 地位 | 现象学方程 | 基本方程 |
所以：
泡利方程不是从狄拉克方程推导出来的；相反，狄拉克方程在非相对论极限下自动给出泡利方程。
四、一句话总结
\[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{泡利方程是泡利在 1927 年为了描述自旋-1/2 电子}\ &\text{与电磁场相互作用，在薛定谔方程基础上}\ &\text{人为引入二分量旋量和泡利矩阵而得到的。}\ &\text{它后来被证明是狄拉克方程的非相对论极限。} \end{aligned}} \]
所以泡利推导泡利方程的方式是：
\[ \text{薛定谔方程} + \text{二分量旋量} + \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \text{ 耦合} \longrightarrow \text{泡利方程} \]
而不是从狄拉克方程出发。
1. \(A_0\) 是什么
在电磁理论中，四维势为
\[ A^\mu=(A_0,\mathbf{A}) \]
其中：
- \(A_0\) 是标量势，也就是静电势 \(\varphi\)
- \(\mathbf{A}\) 是矢量势
它们与电场、磁场的关系是：
\[ \mathbf{E}=-\nabla A_0-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t} \]
\[ \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A} \]
静电场情况下，\(\mathbf{E}=-\nabla A_0\)，所以 \(A_0\) 就是静电势。
2. 最小耦合规则
带电粒子与电磁场相互作用，经典力学中通过最小耦合引入：
\[ E\to E-eA_0 \]
\[ \mathbf{p}\to\mathbf{p}-\frac{e}{c}\mathbf{A} \]
这是从拉格朗日量
\[ L=\frac{1}{2}m\mathbf{v}^2+\frac{e}{c}\mathbf{v}\cdot\mathbf{A}-eA_0 \]
来的。
在量子力学中，把能量和动量换成算符：
\[ E\to i\hbar\frac{\partial}{\partial t}, \qquad \mathbf{p}\to-i\hbar\nabla \]
于是最小耦合变成：
\[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\to i\hbar\frac{\partial}{\partial t}-eA_0 \]
\[ -i\hbar\nabla\to-i\hbar\nabla-\frac{e}{c}\mathbf{A} \]
3. 为什么是 \(eA_0\)，而不是别的
关键在电荷 \(e\) 的符号和能量守恒。
一个带电粒子在静电势 \(A_0\) 中的势能是：
\[ V=eA_0 \]
所以总能量为：
\[ E_{\text{总}}=E_{\text{动能}}+eA_0 \]
在量子力学中，时间演化由总能量决定：
\[ i\hbar\partial_t\psi=E_{\text{总}}\psi \]
因此：
\[ i\hbar\partial_t\psi = \left(\frac{\mathbf{p}^2}{2m}+eA_0\right)\psi \]
这就是 \(eA_0\) 项的来源。
4. 在狄拉克方程中
狄拉克方程的最小耦合为：
\[ i\hbar\gamma^\mu\partial_\mu \to i\hbar\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{e}{c}\gamma^\mu A_\mu \]
其中
\[ \gamma^\mu A_\mu = \gamma^0A_0-\boldsymbol{\gamma}\cdot\mathbf{A} \]
所以时间部分给出：
\[ i\hbar\partial_t \to i\hbar\partial_t-eA_0 \]
这正是四分量方程中出现 \(eA_0\psi\) 的原因。
写成二分块形式：
\[ i\hbar\partial_t\phi = eA_0\phi+mc^2\phi+c,\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi},\chi \]
\[ i\hbar\partial_t\chi = eA_0\chi-mc^2\chi+c,\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi},\phi \]
这里的 \(eA_0\phi\) 和 \(eA_0\chi\) 就是标量势对带电粒子的势能项。
5. 物理意义
\[ eA_0 \]
就是电荷在标量势中的势能。
- 对电子，\(e=-|e|\)，所以 \(eA_0=-|e|A_0\)
- 在原子中，\(A_0\) 是原子核产生的库仑势：
\[ A_0=\frac{Ze}{r} \]
于是电子感受到的势能是：
\[ eA_0=-\frac{Ze^2}{r} \]
这正是氢原子中电子与原子核的库仑吸引能。
6. 一句话总结
\[ \boxed{ eA_0 \text{ 是带电粒子在标量势 }A_0\text{ 中的势能项，} } \]
它来自最小耦合：
\[ E\to E-eA_0 \]
在量子力学中表现为：
\[ i\hbar\partial_t\to i\hbar\partial_t-eA_0 \]
所以在薛定谔方程、泡利方程、狄拉克方程中，都会出现 \(eA_0\psi\) 这一项。