狄拉克方程
\[ (i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi = 0 \]
（自然单位制 \(\hbar=c=1\)）在 Dirac 表示下，取
\[ \psi=\begin{pmatrix}\psi_1\ \psi_2\ \psi_3\ \psi_4\end{pmatrix}, \qquad \gamma^0=\begin{pmatrix}I&0\0&-I\end{pmatrix},\quad \gamma^i=\begin{pmatrix}0&\sigma^i\-\sigma^i&0\end{pmatrix} \]
则四个分量方程为：
\[ i\frac{\partial \psi_1}{\partial t} = m\psi_1 + \left(-i\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}\right)\psi_4 + i\frac{\partial \psi_3}{\partial z} \]
\[ i\frac{\partial \psi_2}{\partial t} = m\psi_2 + \left(-i\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial y}\right)\psi_3 - i\frac{\partial \psi_4}{\partial z} \]
\[ i\frac{\partial \psi_3}{\partial t} = -m\psi_3 + \left(-i\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}\right)\psi_2 + i\frac{\partial \psi_1}{\partial z} \]
\[ i\frac{\partial \psi_4}{\partial t} = -m\psi_4 + \left(-i\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial y}\right)\psi_1 - i\frac{\partial \psi_2}{\partial z} \]
或者更紧凑地写成：
\[ i\partial_t \begin{pmatrix}\psi_1\\psi_2\end{pmatrix} = m \begin{pmatrix}\psi_1\\psi_2\end{pmatrix} + \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p} \begin{pmatrix}\psi_4\\psi_3\end{pmatrix} \]
\[ i\partial_t \begin{pmatrix}\psi_3\\psi_4\end{pmatrix} = -m \begin{pmatrix}\psi_3\\psi_4\end{pmatrix} + \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p} \begin{pmatrix}\psi_2\\psi_1\end{pmatrix} \]
其中 \(\mathbf{p}=-i\nabla\)。
\[ \psi=\begin{pmatrix}\psi_1\ \psi_2\ \psi_3\ \psi_4\end{pmatrix}, \qquad \gamma^0=\begin{pmatrix}I&0\0&-I\end{pmatrix},\quad \gamma^i=\begin{pmatrix}0&\sigma^i\-\sigma^i&0\end{pmatrix} \]
有电磁场时，用最小耦合
\[ p_\mu \to p_\mu-\frac{e}{c}A_\mu \]
即
\[ i\hbar\partial_t \to i\hbar\partial_t - eA_0, \qquad -i\hbar\nabla \to -i\hbar\nabla-\frac{e}{c}\mathbf{A} \]
狄拉克方程为
\[ \left(i\hbar\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{e}{c}\gamma^\mu A_\mu-mc\right)\psi=0 \]
1. 四个分量方程（含 \(\hbar,c,e\)）
记
\[ \pi_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}-\frac{e}{c}A_x, \quad \pi_y=-i\hbar\frac{\partial}{\partial y}-\frac{e}{c}A_y, \quad \pi_z=-i\hbar\frac{\partial}{\partial z}-\frac{e}{c}A_z \]
以及
\[ \pi_+=\pi_x+i\pi_y, \qquad \pi_-=\pi_x-i\pi_y \]
则四个分量方程可以写成：
\[ i\hbar\frac{\partial \psi_1}{\partial t} = eA_0\psi_1 + mc^2\psi_1 + c\pi_-\psi_4 + c\pi_z\psi_3 \]
\[ i\hbar\frac{\partial \psi_2}{\partial t} = eA_0\psi_2 + mc^2\psi_2 + c\pi_+\psi_3 - c\pi_z\psi_4 \]
\[ i\hbar\frac{\partial \psi_3}{\partial t} = eA_0\psi_3 - mc^2\psi_3 + c\pi_-\psi_2 + c\pi_z\psi_1 \]
\[ i\hbar\frac{\partial \psi_4}{\partial t} = eA_0\psi_4 - mc^2\psi_4 + c\pi_+\psi_1 - c\pi_z\psi_2 \]
2. 无电磁场情形
若 \(A_\mu=0\)，则 \(\pi_i=-i\hbar\partial_i\)，方程简化为：
\[ i\hbar\frac{\partial \psi_1}{\partial t} = mc^2\psi_1 + c\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}+\hbar\frac{\partial}{\partial y}\right)\psi_4 + c\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial z}\right)\psi_3 \]
\[ i\hbar\frac{\partial \psi_2}{\partial t} = mc^2\psi_2 + c\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}-\hbar\frac{\partial}{\partial y}\right)\psi_3 - c\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial z}\right)\psi_4 \]
\[ i\hbar\frac{\partial \psi_3}{\partial t} = -mc^2\psi_3 + c\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}+\hbar\frac{\partial}{\partial y}\right)\psi_2 + c\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial z}\right)\psi_1 \]
\[ i\hbar\frac{\partial \psi_4}{\partial t} = -mc^2\psi_4 + c\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}-\hbar\frac{\partial}{\partial y}\right)\psi_1 - c\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial z}\right)\psi_2 \]
3. 更紧凑的二分块形式
令
\[ \phi=\begin{pmatrix}\psi_1\\psi_2\end{pmatrix}, \qquad \chi=\begin{pmatrix}\psi_3\\psi_4\end{pmatrix} \]
则
\[ i\hbar\frac{\partial \phi}{\partial t} = eA_0\phi + mc^2\phi + c,\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi},\chi \]
\[ i\hbar\frac{\partial \chi}{\partial t} = eA_0\chi - mc^2\chi + c,\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi},\phi \]
其中
\[ \boldsymbol{\pi}=-i\hbar\nabla-\frac{e}{c}\mathbf{A} \]
这就是显式包含 \(\hbar,c,e\) 的狄拉克方程四个分量方程。
\[ \left(i\hbar\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{e}{c}\gamma^\mu A_\mu-mc\right)\psi=0 \]
的“一般解”通常指自由粒子情形下动量本征态的线性叠加。若存在外场 \(A_\mu\)，一般没有闭式解析解，只能微扰或数值求解。下面给出最常用的自由粒子一般解，并显式写出 \(\psi_1,\psi_2,\psi_3,\psi_4\)。
1. 自由粒子平面波解
取 Dirac 表示：
\[ \psi(x)=u(p)e^{-ip\cdot x/\hbar}, \qquad p^\mu=(E/c,\mathbf{p}) \]
正能解满足
\[ (\gamma^\mu p_\mu-mc)u(p)=0 \]
令
\[ u(p)=\begin{pmatrix}u_A\u_B\end{pmatrix}, \qquad u_A=\begin{pmatrix}\psi_1\\psi_2\end{pmatrix}, \quad u_B=\begin{pmatrix}\psi_3\\psi_4\end{pmatrix} \]
则
\[ u_B=\frac{c,\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p}}{E+mc^2}u_A \]
2. 正能解（自旋向上、向下）
自旋向上沿 \(z\) 方向：\(s=+\)
取
\[ u_A^{(+)}= \begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix} \]
则
\[ \psi_1=N\begin{pmatrix}1\0\ \dfrac{c p_z}{E+mc^2}\ \dfrac{c(p_x+ip_y)}{E+mc^2}\end{pmatrix} \]
即
\[ \psi_1=N,\qquad \psi_2=0,\qquad \psi_3=N\frac{c p_z}{E+mc^2},\qquad \psi_4=N\frac{c(p_x+ip_y)}{E+mc^2} \]
自旋向下沿 \(z\) 方向：\(s=-\)
取
\[ u_A^{(-)}= \begin{pmatrix}0\1\end{pmatrix} \]
则
\[ \psi_2=N\begin{pmatrix}0\1\ \dfrac{c(p_x-ip_y)}{E+mc^2}\ -\dfrac{c p_z}{E+mc^2}\end{pmatrix} \]
即
\[ \psi_1=0,\qquad \psi_2=N,\qquad \psi_3=N\frac{c(p_x-ip_y)}{E+mc^2},\qquad \psi_4=-N\frac{c p_z}{E+mc^2} \]
归一化常数通常取
\[ N=\sqrt{\frac{E+mc^2}{2E}} \]
或非相对论归一化时取 \(N=1\)。
3. 负能解
负能解写作
\[ \psi(x)=v(p)e^{+ip\cdot x/\hbar}, \qquad E=\sqrt{\mathbf{p}^2c^2+m^2c^4}>0 \]
令
\[ v(p)=\begin{pmatrix}v_A\v_B\end{pmatrix} \]
满足
\[ (\gamma^\mu p_\mu+mc)v(p)=0 \]
可得
\[ v_A=\frac{c,\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p}}{E+mc^2}v_B \]
自旋向上
取
\[ v_B= \begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix} \]
则
\[ \psi_1=N\frac{c p_z}{E+mc^2},\qquad \psi_2=N\frac{c(p_x+ip_y)}{E+mc^2},\qquad \psi_3=N,\qquad \psi_4=0 \]
自旋向下
取
\[ v_B= \begin{pmatrix}0\1\end{pmatrix} \]
则
\[ \psi_1=N\frac{c(p_x-ip_y)}{E+mc^2},\qquad \psi_2=-N\frac{c p_z}{E+mc^2},\qquad \psi_3=0,\qquad \psi_4=N \]
4. 自由粒子的一般解
任意自由粒子态是正能解与负能解的线性叠加：
\[ \psi(x)=\sum_{s=\pm}\int \frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3} \sqrt{\frac{mc^2}{E_p}} \left[ b_s(\mathbf{p})u_s(p)e^{-ip\cdot x/\hbar} + d_s^\dagger(\mathbf{p})v_s(p)e^{+ip\cdot x/\hbar} \right] \]
其中
\[ E_p=\sqrt{\mathbf{p}^2c^2+m^2c^4} \]
于是四个分量分别为：
\[ \psi_1(x)= \sum_{s}\int \frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3} \sqrt{\frac{mc^2}{E_p}} \left[ b_s(\mathbf{p})u_{1,s}(p)e^{-ip\cdot x/\hbar} + d_s^\dagger(\mathbf{p})v_{1,s}(p)e^{+ip\cdot x/\hbar} \right] \]
\[ \psi_2(x)= \sum_{s}\int \frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3} \sqrt{\frac{mc^2}{E_p}} \left[ b_s(\mathbf{p})u_{2,s}(p)e^{-ip\cdot x/\hbar} + d_s^\dagger(\mathbf{p})v_{2,s}(p)e^{+ip\cdot x/\hbar} \right] \]
\[ \psi_3(x)= \sum_{s}\int \frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3} \sqrt{\frac{mc^2}{E_p}} \left[ b_s(\mathbf{p})u_{3,s}(p)e^{-ip\cdot x/\hbar} + d_s^\dagger(\mathbf{p})v_{3,s}(p)e^{+ip\cdot x/\hbar} \right] \]
\[ \psi_4(x)= \sum_{s}\int \frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3} \sqrt{\frac{mc^2}{E_p}} \left[ b_s(\mathbf{p})u_{4,s}(p)e^{-ip\cdot x/\hbar} + d_s^\dagger(\mathbf{p})v_{4,s}(p)e^{+ip\cdot x/\hbar} \right] \]
其中 \(u_s(p)\) 和 \(v_s(p)\) 的四个分量就是上面列出的正能解与负能解。
5. 有电磁场时
若 \(A_\mu\neq 0\)，一般解不能写成简单平面波。只能：
- 对特定场（如均匀磁场、库仑场）求精确解；
- 或做微扰展开、数值求解。
因此通常说“狄拉克方程的一般解”，默认指自由粒子平面波解的线性叠加。
1. 四个解分别是什么
自由狄拉克方程有四个独立的平面波解：
| 解 | 能量 | 自旋 | 波函数形式 |
|---|---|---|---|
| \(u_+(p)e^{-ip\cdot x/\hbar}\) | 正能 \(E=+\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\) | 自旋向上 | 正频解 |
| \(u_-(p)e^{-ip\cdot x/\hbar}\) | 正能 \(E=+\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\) | 自旋向下 | 正频解 |
| \(v_+(p)e^{+ip\cdot x/\hbar}\) | 负能 \(E=-\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\) | 自旋向上 | 负频解 |
| \(v_-(p)e^{+ip\cdot x/\hbar}\) | 负能 \(E=-\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\) | 自旋向下 | 负频解 |
其中 \(u_s\) 叫正能旋量，\(v_s\) 叫负能旋量。
2. 正能解 \(u_+(p),u_-(p)\) 的含义
正能解描写的是普通电子。
\(u_+(p)\)
- 能量为正：\(E=+\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\)
- 自旋沿某个方向向上，例如沿 \(z\) 方向 \(S_z=+\hbar/2\)
- 时间因子是 \(e^{-iEt/\hbar}\)，即正频振荡
- 物理上对应：一个动量为 \(\mathbf{p}\)、自旋向上的电子
\(u_-(p)\)
- 能量为正
- 自旋向下，\(S_z=-\hbar/2\)
- 同样对应普通电子，只是自旋取向相反
所以 \(u_+\) 和 \(u_-\) 的区别不是粒子/反粒子，而是自旋自由度。
3. 负能解 \(v_+(p),v_-(p)\) 的含义
负能解最初看起来是“能量为负”的态，这在经典物理中不可接受。狄拉克对此的解释是：
负能态已经被电子海填满，负能电子被激发到正能态后，留下的空穴表现为带正电的粒子，即正电子。
因此：
\(v_+(p)e^{+ip\cdot x/\hbar}\)
- 形式上能量为负，时间因子为 \(e^{+iEt/\hbar}\)
- 在二次量子化后，它对应正电子，而不是负能电子
- 自旋向上
\(v_-(p)e^{+ip\cdot x/\hbar}\)
- 同样对应正电子
- 自旋向下
所以 \(v_+\) 和 \(v_-\) 的区别也是自旋自由度，它们共同描写反粒子——正电子。
4. 为什么有四个解？
因为狄拉克方程是一个四分量一阶微分方程，数学上有四个独立解。物理上这四个解对应：
\[ \text{电子自旋向上},\quad \text{电子自旋向下},\quad \text{正电子自旋向上},\quad \text{正电子自旋向下} \]
也就是：
\[ \text{粒子/反粒子} \times \text{自旋向上/向下} \]
这个结构正是狄拉克方程能自动包含自旋和反粒子的原因。
5. 四个分量 \(\psi_1,\psi_2,\psi_3,\psi_4\) 又代表什么？
注意不要把“四个解”和“波函数的四个分量”混淆。
- 四个解：指四个独立的旋量解 \(u_+,u_-,v_+,v_-\)
- 四个分量：指每一个旋量内部有 \(\psi_1,\psi_2,\psi_3,\psi_4\)
在 Dirac 表示下：
\[ \psi=\begin{pmatrix}\psi_1\\psi_2\\psi_3\\psi_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\phi\\chi\end{pmatrix} \]
其中
\[ \phi=\begin{pmatrix}\psi_1\\psi_2\end{pmatrix}, \qquad \chi=\begin{pmatrix}\psi_3\\psi_4\end{pmatrix} \]
- \(\phi\) 叫大分量，在非相对论极限下主要对应电子波函数
- \(\chi\) 叫小分量，在非相对论极限下比 \(\phi\) 小一个因子 \(v/c\)
对于正能解，\(\chi\) 小；对于负能解，\(\phi\) 小。
6. 一句话总结
四个解的含义是：
\[ \boxed{ \begin{aligned} u_+(p)&:\text{ 正能电子，自旋向上}\ u_-(p)&:\text{ 正能电子，自旋向下}\ v_+(p)&:\text{ 正电子，自旋向上}\ v_-(p)&:\text{ 正电子，自旋向下} \end{aligned}} \]
它们共同体现了狄拉克方程的两个核心成果：
- 电子有自旋
- 存在反粒子——正电子