下面把“从狄拉克方程到非相对论极限下出现 \(-\frac{e\hbar}{2mc}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\)”这个过程完整写一遍。为了不使符号过于臃肿，取 \(\hbar=c=1\)，最后再恢复常数。
1. 狄拉克方程与最小耦合
自由狄拉克方程：
\[ (i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0 \]
引入电磁场，做最小耦合：
\[ \partial_\mu \to D_\mu = \partial_\mu + i e A_\mu \]
于是：
\[ (i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi = 0 \]
即：
\[ \left[i\gamma^\mu(\partial_\mu + ieA_\mu) - m\right]\psi = 0 \]
分开时间与空间：
\[ i\gamma^0\partial_t + i\gamma^i\partial_i - e\gamma^0 A_0 - e\gamma^i A_i - m = 0 \]
用 \(A_0=\phi\)，\(A_i\) 对应矢量势 \(\mathbf{A}\)。取狄拉克表示：
\[ \gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix},\qquad \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix} \]
把旋量写成：
\[ \psi = \begin{pmatrix} \phi \\ \chi \end{pmatrix} \]
其中 \(\phi,\chi\) 都是二分量旋量。
2. 写成两个耦合方程
狄拉克方程：
\[ \left[i\gamma^0(\partial_t + ie\phi) + i\gamma^i(\partial_i + ieA_i) - m\right]\psi = 0 \]
注意 \(A_i\) 是矢量势的下标分量，而 \(\partial_i = \partial/\partial x^i\)。为清楚，令：
\[ \pi_i = -i\partial_i + eA_i \]
这是正则动量（在 \(\hbar=c=1\) 下）。更常见的是：
\[ \boldsymbol{\pi} = \mathbf{p} - e\mathbf{A},\qquad \mathbf{p} = -i\nabla \]
但这里先按分量写。
代入 \(\gamma\) 矩阵：
\[ i\gamma^0(\partial_t + ie\phi) = i\begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}(\partial_t + ie\phi) \]
\[ i\gamma^i(\partial_i + ieA_i) = i\begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix}(\partial_i + ieA_i) \]
于是方程变成：
\[ i\begin{pmatrix} \partial_t + ie\phi & 0 \\ 0 & -(\partial_t + ie\phi) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\phi\\chi\end{pmatrix} +i\begin{pmatrix} 0 & \sigma^i(\partial_i+ieA_i) \\ -\sigma^i(\partial_i+ieA_i) & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\phi\\chi\end{pmatrix} -m\begin{pmatrix}\phi\\chi\end{pmatrix} =0 \]
写出两个分量方程：
\[ i(\partial_t + ie\phi)\phi +i\sigma^i(\partial_i+ieA_i)\chi -m\phi = 0 \]
\[ -i(\partial_t + ie\phi)\chi -i\sigma^i(\partial_i+ieA_i)\phi -m\chi = 0 \]
整理第二个方程：
\[ i(\partial_t + ie\phi)\chi =-i\sigma^i(\partial_i+ieA_i)\phi - m\chi \]
即：
\[ i(\partial_t + ie\phi)\chi + m\chi = -i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla + ie\mathbf{A})\phi \]
这里用 \(\sigma^i(\partial_i+ieA_i) = \boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\)。
3. 非相对论极限：分离出静止质量
在非相对论极限下，能量主要来自静止质量。令：
\[ \psi = e^{-imt}\begin{pmatrix}\phi\\chi\end{pmatrix} \]
即把快速振荡因子 \(e^{-imt}\) 提出来。这样：
\[ \partial_t \psi = e^{-imt}(-im + \partial_t)\begin{pmatrix}\phi\\chi\end{pmatrix} \]
代入后，\(\phi,\chi\) 随时间变化缓慢。
对第一个方程：
\[ i(\partial_t + ie\phi)\phi + i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\chi - m\phi = 0 \]
把 \(\phi = e^{-imt}\phi’\) 代回，等价于：
\[ i\partial_t \phi’ - e\phi \phi’ + i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\chi’ = 0 \]
这里已经消掉了 \(m\)。更准确地，令 \(\phi=e^{-imt}\phi’\)，\(\chi=e^{-imt}\chi’\)，则：
\[ (i\partial_t + m)\phi’ + i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\chi’ - m\phi’ = 0 \]
所以：
\[ i\partial_t \phi’ = -i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\chi’ + e\phi \phi’ \]
注意符号：\(A_0=\phi\)，耦合项是 \(-e\phi\) 还是 \(+e\phi\) 取决于电荷约定。这里先保留。
对第二个方程：
\[ i(\partial_t + ie\phi)\chi + m\chi = -i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi \]
代入 \(\chi=e^{-imt}\chi’\)：
\[ (i\partial_t + m)\chi’ + m\chi’ = -i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi’ \]
即：
\[ (i\partial_t + 2m)\chi’ = -i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi’ \]
在非相对论极限下，\(i\partial_t \chi’ \ll 2m\chi’\)，所以近似：
\[ 2m\chi’ \approx -i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi’ \]
即：
\[ \chi’ \approx -\frac{i}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi’ \]
这就是小分量用大分量表示的结果。
4. 消去小分量，得到大分量方程
把：
\[ \chi’ \approx -\frac{i}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi’ \]
代入大分量方程：
\[ i\partial_t \phi’ = -i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\chi’ + e\phi \phi’ \]
得到：
\[ i\partial_t \phi’ =-i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A}) \left[-\frac{i}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi’\right] + e\phi \phi’ \]
即：
\[ i\partial_t \phi’ =-\frac{1}{2m} \left[\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\right]^2 \phi’ + e\phi \phi’ \]
5. 关键代数：\(\boldsymbol{\sigma}\) 的乘积
现在计算：
\[ \left[\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\right]^2 \]
令：
\[ \mathbf{D} = \nabla + ie\mathbf{A} \]
则：
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2 = \sigma^i D_i \sigma^j D_j = \sigma^i\sigma^j D_i D_j \]
利用：
\[ \sigma^i\sigma^j = \delta^{ij} + i\epsilon^{ijk}\sigma^k \]
所以：
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2 = D_i D_i + i\epsilon^{ijk}\sigma^k D_i D_j \]
第二项可以写成：
\[ i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{D}\times\mathbf{D}) \]
因此：
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2 = \mathbf{D}^2 + i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{D}\times\mathbf{D}) \]
6. 计算 \(\mathbf{D}\times\mathbf{D}\)
\[ \mathbf{D} = \nabla + ie\mathbf{A} \]
计算：
\[ \mathbf{D}\times\mathbf{D} = (\nabla+ie\mathbf{A})\times(\nabla+ie\mathbf{A}) \]
展开：
\[ = \nabla\times\nabla + ie\nabla\times\mathbf{A} + ie\mathbf{A}\times\nabla + (ie)^2\mathbf{A}\times\mathbf{A} \]
其中：
- \(\nabla\times\nabla=0\)
- \(\mathbf{A}\times\mathbf{A}=0\)
剩下：
\[ \mathbf{D}\times\mathbf{D} = ie(\nabla\times\mathbf{A}) + ie(\mathbf{A}\times\nabla) \]
注意 \(\nabla\times\mathbf{A}\) 作为算符作用在波函数上时等于 \(\mathbf{B}\)：
\[ \nabla\times\mathbf{A} = \mathbf{B} \]
而 \(\mathbf{A}\times\nabla\) 与 \(\nabla\times\mathbf{A}\) 作用在波函数上的差别涉及 \(\nabla\cdot\mathbf{A}\) 和 \(\mathbf{A}\cdot\nabla\)，但在库仑规范 \(\nabla\cdot\mathbf{A}=0\) 下，两者合并给出：
\[ \mathbf{D}\times\mathbf{D} = ie\mathbf{B} \]
更准确地说，作为作用在波函数上的算符：
\[ (\mathbf{D}\times\mathbf{D})\phi’ = ie\mathbf{B}\phi’ \]
所以：
\[ i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{D}\times\mathbf{D}) = i\boldsymbol{\sigma}\cdot(ie\mathbf{B}) = -e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
7. 得到非相对论方程
代回：
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2 = \mathbf{D}^2 - e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
其中：
\[ \mathbf{D}^2 = (\nabla+ie\mathbf{A})^2 \]
因此：
\[ i\partial_t \phi’ =-\frac{1}{2m}\left[(\nabla+ie\mathbf{A})^2 - e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\right]\phi’ + e\phi \phi’ \]
即：
\[ i\partial_t \phi’ =\left[ -\frac{(\nabla+ie\mathbf{A})^2}{2m} + \frac{e}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} + e\phi \right]\phi’ \]
注意这里 \(\mathbf{p}=-i\nabla\)，所以：
\[ \nabla+ie\mathbf{A} = i(\mathbf{p}-e\mathbf{A}) \]
因此：
\[ -\frac{(\nabla+ie\mathbf{A})^2}{2m} = \frac{(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2}{2m} \]
于是：
\[ i\partial_t \phi’ =\left[ \frac{(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2}{2m} + e\phi + \frac{e}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \right]\phi’ \]
8. 恢复 \(\hbar,c\) 并对比磁矩
恢复常数：
\[ \frac{e}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \to \frac{e\hbar}{2mc}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
所以：
\[ i\hbar\partial_t \phi’ =\left[ \frac{(\mathbf{p}-\frac{e}{c}\mathbf{A})^2}{2m} + e\phi + \frac{e\hbar}{2mc}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \right]\phi’ \]
这个符号与电荷约定有关。若电子电荷取 \(e<0\)，则这一项写成：
\[ -\frac{e\hbar}{2mc}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
但大小和结构是确定的。
现在对比自旋磁矩的标准形式：
\[ \boldsymbol{\mu}_s = -g\frac{e}{2m}\mathbf{S} \]
而：
\[ \mathbf{S} = \frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma} \]
所以：
\[ \boldsymbol{\mu}_s = -g\frac{e}{2m}\cdot\frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma} = -g\frac{e\hbar}{4m}\boldsymbol{\sigma} \]
相互作用能：
\[ H_{\text{int}} = -\boldsymbol{\mu}_s\cdot\mathbf{B} = g\frac{e\hbar}{4m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
与狄拉克方程给出的：
\[ H_{\text{int}} = \frac{e\hbar}{2mc}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
比较（取 \(c=1\)）：
\[ g\frac{e\hbar}{4m} = \frac{e\hbar}{2m} \]
所以：
\[ g = 2 \]
9. 协变形式的更简洁推导
上面是非相对论极限的推导。更简洁的方式是直接看狄拉克方程中的电磁耦合项。
狄拉克方程：
\[ (i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi = 0 \]
其中：
\[ D_\mu = \partial_\mu + ieA_\mu \]
利用：
\[ \gamma^\mu\gamma^\nu = g^{\mu\nu} - i\sigma^{\mu\nu} \]
其中：
\[ \sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2}[\gamma^\mu,\gamma^\nu] \]
于是：
\[ (i\gamma^\mu D_\mu)^2 = -D^2 + \frac{e}{2}\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu} \]
在非相对论极限下，\(\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu}\) 中与磁场相关的部分给出：
\[ \sigma^{ij}F_{ij} \sim \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
其系数正好是 \(e/2m\)，从而给出 \(g=2\)。
这个推导更短，但非相对论极限的展开更能看清“那一项是怎么冒出来的”。
总结
狄拉克方程中 \(-\frac{e\hbar}{2mc}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\) 的来源是：
- 狄拉克方程的四分量结构；
- 电磁场通过最小耦合 \(\partial_\mu\to\partial_\mu+ieA_\mu\) 进入；
- 在非相对论极限下消去小分量；
- 利用 \(\sigma^i\sigma^j=\delta^{ij}+i\epsilon^{ijk}\sigma^k\) 计算 \((\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2\)；
- 其中反对称部分给出 \(i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{D}\times\mathbf{D})=-e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\)。
这一项不是额外加的，而是这些步骤的代数必然结果。
下面把计算单独抽出来。
纯计算部分
已知：
\[ \mathbf{D}=\nabla+ie\mathbf{A} \]
要算：
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2 \]
第一步：展开
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2 =(\sigma^iD_i)(\sigma^jD_j) =\sigma^i\sigma^jD_iD_j \]
第二步：用泡利矩阵乘积公式
\[ \sigma^i\sigma^j=\delta^{ij}+i\epsilon^{ijk}\sigma^k \]
所以：
\[ \sigma^i\sigma^jD_iD_j =\delta^{ij}D_iD_j+i\epsilon^{ijk}\sigma^kD_iD_j \]
第一项：
\[ \delta^{ij}D_iD_j=\mathbf{D}^2 \]
第二项：
\[ i\epsilon^{ijk}\sigma^kD_iD_j =i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{D}\times\mathbf{D}) \]
因此：
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2 =\mathbf{D}^2+i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{D}\times\mathbf{D}) \]
第三步：算 \(\mathbf{D}\times\mathbf{D}\)
\[ \mathbf{D}\times\mathbf{D} =(\nabla+ie\mathbf{A})\times(\nabla+ie\mathbf{A}) \]
展开：
\[ =\nabla\times\nabla +ie\nabla\times\mathbf{A} +ie\mathbf{A}\times\nabla +e^2\mathbf{A}\times\mathbf{A} \]
其中：
\[ \nabla\times\nabla=0,\qquad \mathbf{A}\times\mathbf{A}=0 \]
剩下：
\[ \mathbf{D}\times\mathbf{D} =ie(\nabla\times\mathbf{A})+ie(\mathbf{A}\times\nabla) \]
在库仑规范 \(\nabla\cdot\mathbf{A}=0\) 下，作为作用在波函数上的算符，这两项合并为：
\[ \mathbf{D}\times\mathbf{D}=ie\mathbf{B} \]
其中：
\[ \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A} \]
第四步：代回
\[ i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{D}\times\mathbf{D}) =i\boldsymbol{\sigma}\cdot(ie\mathbf{B}) =-e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
所以：
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2 =\mathbf{D}^2-e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
这个计算说明了什么
它只说明一件事：
两个 \(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D}\) 相乘，除了给出 \(\mathbf{D}^2\)，还会多出一个正比于 \(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\) 的项。
这个多出来的项，系数是 \(-e\)。
然后狄拉克方程的非相对论极限里，这个组合前面有一个因子：
\[ -\frac{1}{2m} \]
所以最终多出来的项是：
\[ -\frac{1}{2m}\left(-e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\right) =+\frac{e}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
和方程无关的部分 vs 有关的部分
纯代数部分：
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2 =\mathbf{D}^2-e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
这一步只用到：
- 泡利矩阵乘积公式
- 叉乘展开
- 库仑规范
和狄拉克方程没有直接关系。
来自狄拉克方程的部分：
只有一件事：
\[ \chi’\approx-\frac{i}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D}\phi’ \]
以及大分量方程里出现：
\[ -\frac{1}{2m}(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2\phi’ \]
也就是说，狄拉克方程的作用是：它把物理问题归结为算 \((\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2\)。 至于这个平方等于什么，是纯矩阵代数的事。
所以你的感觉是对的
你说“这个计算和方程无关”，准确的说法是：
- \(g=2\) 的那个 \(2\)，来自泡利矩阵代数，不来自狄拉克方程。
- 狄拉克方程的作用是保证自旋和这个代数结构必然出现，并且保证这个项前面的系数是 \(-\frac{1}{2m}\)。
- 一旦这个结构出现，\(g=2\) 就是 \(\sigma^i\sigma^j=\delta^{ij}+i\epsilon^{ijk}\sigma^k\) 的直接后果。
换句话说：
\[ \boxed{\text{狄拉克方程负责“为什么会有自旋-磁场耦合”，泡利矩阵代数负责“为什么系数正好给出 }g=2\text{”。}} \]
两者缺一不可，但确实是两件事。
1. \(\mathbf{p}-e\mathbf{A}\) 是什么
在哈密顿量里：
\[ H=\frac{(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2}{2m}+e\phi \]
这里的 \(\mathbf{p}\) 是正则动量，不是机械动量。而：
\[ \mathbf{p}-e\mathbf{A}=m\mathbf{v} \]
才是机械动量，也就是粒子实际运动的动量。
所以：
\[ \boxed{\mathbf{p}-e\mathbf{A}=\text{粒子的机械动量}} \]
2. 那 \(e\mathbf{A}\) 是什么
\(e\mathbf{A}\) 是正则动量中来自电磁场的部分。
它来源于拉格朗日量里的 \(e\mathbf{A}\cdot\mathbf{v}\)，使得：
\[ \mathbf{p}=m\mathbf{v}+e\mathbf{A} \]
所以：
\[ \boxed{e\mathbf{A}=\text{正则动量中电磁场的贡献}} \]
说它是“电磁场动量”不太准确，因为电磁场本身的动量是另一回事（由坡印廷矢量描述）。这里更准确的说法是：\(e\mathbf{A}\) 是矢势对正则动量的贡献。
3. 三个量的关系
\[ \underbrace{\mathbf{p}}_{\text{正则动量}} =\underbrace{m\mathbf{v}}_{\text{机械动量}} +\underbrace{e\mathbf{A}}_{\text{矢势贡献}} \]
所以：
\[ \mathbf{p}-e\mathbf{A}=m\mathbf{v} \]
4. 为什么叫“正则动量”
因为在分析力学里，正则动量定义为：
\[ \mathbf{p}=\frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}} \]
对带电粒子：
\[ L=\frac{1}{2}m\mathbf{v}^2-e\phi+e\mathbf{A}\cdot\mathbf{v} \]
求导：
\[ \mathbf{p}=m\mathbf{v}+e\mathbf{A} \]
所以 \(\mathbf{p}\) 是正则动量，\(m\mathbf{v}\) 是机械动量，\(e\mathbf{A}\) 是矢势带来的附加项。
5. 一句话
\[ \boxed{\mathbf{p}\text{ 是正则动量，}m\mathbf{v}=\mathbf{p}-e\mathbf{A}\text{ 是机械动量，}e\mathbf{A}\text{ 是正则动量中来自矢势的部分。}} \]
所以你说“\(\mathbf{p}\) 是粒子动量，\(e\mathbf{A}\) 是电磁场动量”，方向是对的，但更准确的说法是：
- \(\mathbf{p}\) 是正则动量；
- \(e\mathbf{A}\) 是矢势对正则动量的贡献；
- \(\mathbf{p}-e\mathbf{A}\) 才是粒子实际的机械动量。
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A}))^2 \]
的目的只有一个：从狄拉克方程的非相对论极限里，把电子在电磁场中的有效哈密顿量提取出来，看看它到底描述了哪些物理相互作用。
具体来说，这一步是整条推导链的“结算点”。
1. 它在推导中的位置
从狄拉克方程出发，拆成两个二分量方程，解出小分量，代回大分量，最后得到：
\[ i\partial_t\phi’ =e\phi\phi’ -\frac{1}{2m} \left[\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\right]^2\phi’ \]
到这一步，物理信息全在这个平方项里。要写成标准形式，必须把它算开。
2. 算开之后能看出什么
算开的结果是：
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2 =\mathbf{D}^2-e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
其中 \(\mathbf{D}=\nabla+ie\mathbf{A}\)。
代回去：
\[ i\partial_t\phi’ =\left[ -\frac{\mathbf{D}^2}{2m} +e\phi +\frac{e}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \right]\phi’ \]
再把 \(\mathbf{D}^2\) 写成：
\[ -\frac{\mathbf{D}^2}{2m} =\frac{(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2}{2m} \]
最终：
\[ i\partial_t\phi’ =\left[ \frac{(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2}{2m} +e\phi +\frac{e}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \right]\phi’ \]
3. 这个结果告诉你三件事
第一件：正常的动能项
\[ \frac{(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2}{2m} \]
这就是带电粒子在电磁场中的动能，来自 \(\mathbf{D}^2\) 那一部分。
第二件：电势能
\[ e\phi \]
这是电荷与标势的耦合。
第三件：自旋-磁场耦合
\[ \frac{e}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
这一项是算平方时额外冒出来的，来自泡利矩阵的反对易关系：
\[ \sigma^i\sigma^j=\delta^{ij}+i\epsilon^{ijk}\sigma^k \]
它给出自旋与磁场的相互作用，和自旋磁矩的标准形式一比，就得到 \(g=2\)。
4. 为什么要专门算这个平方
因为狄拉克方程本身是一个四分量、一阶的方程，它不直接告诉你“电子在磁场中如何运动”。要得到非相对论量子力学里熟悉的形式——薛定谔-泡利方程——你必须：
- 分离出大分量和小分量；
- 消去小分量；
- 把剩下的大分量方程写成标准哈密顿量形式。
而第 3 步的核心，就是算这个平方。不算它，你就只有一个矩阵方程，看不出物理内容。
5. 一句话
\[ \boxed{\text{算这个平方，是为了把狄拉克方程的非相对论极限展开成标准哈密顿量，从而读出动能、电势能和自旋-磁场耦合。}} \]
其中自旋-磁场耦合项 \(\frac{e}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\) 是算平方时从泡利矩阵代数里自动出来的，正是 \(g=2\) 的来源。
1. 先回顾要代的两个方程
从狄拉克方程拆出的两个二分量方程，在提出静止质量因子 \(e^{-imt}\) 后，分别是：
大分量方程：
\[ i\partial_t\phi’ =e\phi\phi’ -i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\chi’ \tag{3} \]
小分量方程：
\[ \chi’ \approx -\frac{i}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi’ \tag{5} \]
其中 (5) 是在非相对论极限下，忽略小分量随时间变化和电势能对小分量的影响后解出来的。
2. 代回去的目标
(3) 右边有 \(\chi’\)，我们不想保留小分量。把 (5) 代入 (3)，就能把 \(\chi’\) 换成只含 \(\phi’\) 的表达式。
3. 具体代入
把 (5) 写进 (3) 的第二项：
\[ -i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\chi’ \]
代入 \(\chi’\)：
\[ -i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A}) \left[ -\frac{i}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi’ \right] \]
先把常数提出来。括号里有两个因子：
- 前面的 \(-i\)
- 方括号里的 \(-\frac{i}{2m}\)
相乘：
\[ (-i)\left(-\frac{i}{2m}\right) =\frac{i^2}{2m} =-\frac{1}{2m} \]
所以这一项变成：
\[ -\frac{1}{2m} \boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A}) \boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A}) \phi’ \]
两个相同的算符相邻，写成平方：
\[ -\frac{1}{2m} \left[\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\right]^2 \phi’ \]
4. 代回后的方程
把这一项放回 (3)：
\[ i\partial_t\phi’ =e\phi\phi’ -\frac{1}{2m} \left[\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\right]^2 \phi’ \tag{6} \]
这就是“代回去”之后的结果。现在方程里只剩大分量 \(\phi’\)，小分量 \(\chi’\) 已经被消掉了。
5. 为什么要这样做
狄拉克方程原本是四分量耦合方程：大分量和小分量互相耦合。非相对论极限下，小分量是被大分量“驱动”的，可以近似用大分量表示出来。把它代回大分量方程，就得到一个只描述大分量的有效方程。
这个有效方程就是薛定谔-泡利方程的前身。接下来只要把那个平方算开，就能读出动能项、电势能和自旋-磁场耦合项。
6. 完整链条
\[ \chi’ \approx -\frac{i}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D}\phi’ \]
\[ \Downarrow \]
\[ -i\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D}\chi’ =-\frac{1}{2m} (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2\phi’ \]
\[ \Downarrow \]
\[ i\partial_t\phi’ =e\phi\phi’ -\frac{1}{2m} (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2\phi’ \]
其中：
\[ \mathbf{D}=\nabla+ie\mathbf{A} \]
7. 一句话
“代回去”就是把小分量的近似解
\[ \chi’\approx-\frac{i}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D}\phi’ \]
代入大分量方程中的 \(\chi’\)，经过常数整理，得到：
\[ i\partial_t\phi’ =e\phi\phi’ -\frac{1}{2m}(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2\phi’ \]
这样就把四分量耦合方程化成了只含大分量的有效方程，下一步只需计算 \((\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2\)。
\[ \chi’\approx-\frac{i}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi’ \]
是从第 (4) 式来的。第 (4) 式是狄拉克方程拆开后的小分量方程，经过提出静止质量因子 \(e^{-imt}\) 得到的。
下面把从第 (2) 式到第 (5) 式的完整过程写清楚。
1. 第 (2) 式：小分量方程
从狄拉克方程
\[ i\gamma^\mu(\partial_\mu+ieA_\mu)\psi-m\psi=0 \]
出发，取狄拉克表示，旋量写成
\[ \psi=\begin{pmatrix}\phi\\chi\end{pmatrix} \]
拆开后，第二个方程（下分量）是：
\[ -i(\partial_t+ie\phi)\chi -i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi -m\chi=0 \tag{2} \]
这是未提出静止质量因子的小分量方程。
2. 提出静止质量因子
在非相对论极限下，能量主要来自静止质量。令：
\[ \phi=e^{-imt}\phi’,\qquad \chi=e^{-imt}\chi’ \]
因为：
\[ \partial_t(e^{-imt}\chi’) =e^{-imt}(-im+\partial_t)\chi’ \]
代入 (2)：
\[ -i(-im+\partial_t+ie\phi)\chi’ -i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi’ -m\chi’=0 \]
展开第一项：
\[ -i(-im)\chi’=\ -i\cdot(-i)m\chi’=\ i^2m\chi’=-m\chi’ \]
所以第一项给出：
\[ -m\chi’-i(\partial_t+ie\phi)\chi’ \]
代入后 (2) 变为：
\[ -m\chi’-i(\partial_t+ie\phi)\chi’ -i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi’ -m\chi’=0 \]
两个 \(-m\chi’\) 合并：
\[ -2m\chi’-i(\partial_t+ie\phi)\chi’ -i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi’=0 \]
移项：
\[ (2m+i\partial_t-e\phi)\chi’ =-i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi’ \tag{4} \]
这就是提出静止质量因子后的小分量方程。
3. 非相对论近似
(4) 左边是：
\[ (2m+i\partial_t-e\phi)\chi’ \]
在非相对论极限下：
- \(\chi’\) 是慢变量，\(|i\partial_t\chi’|\ll 2m|\chi’|\)
- 电势能 \(|e\phi|\ll 2m\)
所以左边近似为：
\[ 2m\chi’ \]
于是 (4) 变为：
\[ 2m\chi’\approx -i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi’ \]
两边除以 \(2m\)：
\[ \chi’\approx-\frac{i}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi’ \tag{5} \]
这就是第 (5) 式。
4. 总结链条
\[ (2)\ \text{小分量方程} \]
\[ \Downarrow\ \text{提出 }e^{-imt} \]
\[ (4)\ (2m+i\partial_t-e\phi)\chi’=-i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi’ \]
\[ \Downarrow\ \text{忽略 }i\partial_t\chi’\text{ 和 }e\phi\chi’ \]
\[ (5)\ \chi’\approx-\frac{i}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi’ \]
5. 一句话
第 (5) 式是从小分量方程 (4) 在非相对论极限下，忽略小分量的时间导数和电势能项后解出来的：
\[ \boxed{\chi’\approx-\frac{i}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\phi’} \]
它的物理含义是：小分量由大分量通过 \(\boldsymbol{\sigma}\cdot(\nabla+ie\mathbf{A})\) 这个算符驱动，且强度是 \(1/2m\) 量级。
1. 提出 \(e^{-imt}\) 后，\(m\) 确实出现了两次
令：
\[ \phi=e^{-imt}\phi’ \]
时间导数：
\[ \partial_t\phi=e^{-imt}(-im+\partial_t)\phi’ \]
所以方程里会出现：
\[ -m\phi’ \quad\text{（来自时间导数）} \]
而原方程里本来有一项：
\[ -m\phi \quad\to\quad -m\phi’ \]
两项合并：
\[ -m\phi’-m\phi’=-2m\phi’ \]
这个 \(-2m\phi’\) 就是分母里 \(2m\) 的来源。
2. 但 \(g=2\) 不是这个 \(2m\) 给的
\(g=2\) 来自：
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2 =\mathbf{D}^2-e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
这一项里的 \(-e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\) 来自泡利矩阵的代数：
\[ \sigma^i\sigma^j=\delta^{ij}+i\epsilon^{ijk}\sigma^k \]
这个代数结构和 \(m\) 无关，和 \(e^{-imt}\) 也无关。
3. 两个 \(m\) 的作用
两个 \(m\) 合并成 \(2m\) 后，作用是：
- 让 \(\chi’\) 被 \(1/2m\) 压低，成为小分量；
- 代回大分量方程后，给出系数 \(1/2m\)；
- 最终自旋-磁场耦合系数是 \(\frac{e}{2m}\)。
所以 \(2m\) 影响的是耦合强度，即系数的大小。
而 \(g=2\) 是比较：
\[ \frac{e}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \quad\text{和}\quad g\frac{e}{4m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
得到：
\[ g=2 \]
如果泡利矩阵代数不给出 \(-e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\)，那么即使有 \(2m\)，也不会有自旋-磁场耦合，更不会有 \(g=2\)。
4. 更准确的说法
- \(2m\) 来自 \(e^{-imt}\) 的质量项和原方程质量项的合并；
- \(g=2\) 来自泡利矩阵代数给出的自旋-磁场耦合项，其系数正好是 \(e/2m\)。
两个 \(m\) 凑出的是 \(2m\)，它决定了耦合强度；而 \(g=2\) 是比较这个耦合强度和自旋磁矩标准形式后的结果。
5. 一句话
\[ \boxed{g=2\text{ 不是两个 }m\text{ 凑出来的，而是泡利矩阵代数给出的自旋-磁场耦合系数正好是 }e/2m\text{ 的结果。}} \]
两个 \(m\) 合并成 \(2m\)，只影响这个系数的分母；\(g=2\) 的“2”来自自旋磁矩定义中 \(S=\hbar\sigma/2\) 的那个 \(2\) 和耦合系数比较后的结果。
1. 自由克莱因-戈尔登方程
\[ (\partial_t^2-\nabla^2+m^2)\psi=0 \]
或写成：
\[ (\Box+m^2)\psi=0 \]
其中：
\[ \Box=\partial_t^2-\nabla^2 \]
2. 令 \(\psi=e^{-imt}\psi’\)
时间导数：
\[ \partial_t\psi=e^{-imt}(-im+\partial_t)\psi’ \]
二阶时间导数：
\[ \partial_t^2\psi =e^{-imt}(-im+\partial_t)^2\psi’ \]
展开：
\[ (-im+\partial_t)^2 =(-im)^2+2(-im)\partial_t+\partial_t^2 \]
\[ =-m^2-2im\partial_t+\partial_t^2 \]
所以：
\[ \partial_t^2\psi =e^{-imt} \left(-m^2-2im\partial_t+\partial_t^2\right)\psi’ \]
空间部分：
\[ -\nabla^2\psi=-e^{-imt}\nabla^2\psi’ \]
代入克莱因-戈尔登方程：
\[ e^{-imt} \left(-m^2-2im\partial_t+\partial_t^2-\nabla^2\right)\psi’ +m^2e^{-imt}\psi’ =0 \]
3. 质量项抵消
\[ -m^2\psi’+m^2\psi’=0 \]
剩下：
\[ e^{-imt} \left(-2im\partial_t+\partial_t^2-\nabla^2\right)\psi’ =0 \]
即：
\[ \left(\partial_t^2-2im\partial_t-\nabla^2\right)\psi’=0 \]
4. 和非相对论极限比较
克莱因-戈尔登方程是非相对论极限下应该回到薛定谔方程：
\[ i\partial_t\psi’=-\frac{\nabla^2}{2m}\psi’ \]
但上面得到的是：
\[ \partial_t^2\psi’-2im\partial_t\psi’-\nabla^2\psi’=0 \]
这是一个二阶时间导数方程，不是薛定谔方程。
如果非相对论极限下 \(\partial_t^2\psi’\ll m\partial_t\psi’\)，可以忽略 \(\partial_t^2\)：
\[ -2im\partial_t\psi’-\nabla^2\psi’=0 \]
即：
\[ i\partial_t\psi’=-\frac{\nabla^2}{2m}\psi’ \]
这正是薛定谔方程。
5. 和狄拉克方程的关键区别
狄拉克方程是一阶方程：
\[ (i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0 \]
提出 \(e^{-imt}\) 后，时间导数里出来的 \(-im\) 和方程里原来的 \(-m\) 直接合并成 \(-2m\)，一阶，所以小分量立刻被 \(1/2m\) 压低。
克莱因-戈尔登方程是二阶方程：
\[ (\Box+m^2)\psi=0 \]
提出 \(e^{-imt}\) 后，二阶时间导数给出：
\[ -m^2-2im\partial_t+\partial_t^2 \]
其中 \(-m^2\) 和方程里的 \(+m^2\) 抵消，但剩下的是一阶项 \(-2im\partial_t\) 和二阶项 \(\partial_t^2\)。
所以：
- 狄拉克方程：质量项抵消后剩下一阶时间导数，自然进入薛定谔形式。
- 克莱因-戈尔登方程：质量项抵消后还剩二阶时间导数，必须额外忽略 \(\partial_t^2\) 才能回到薛定谔形式。
6. 为什么克莱因-戈尔登方程做不出 \(g=2\)
克莱因-戈尔登方程描述的是自旋 0 粒子，没有自旋矩阵 \(\boldsymbol{\sigma}\)，没有四分量结构，也没有小分量。
所以：
- 提出 \(e^{-imt}\) 后，只会得到标量方程；
- 不会出现 \(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\) 这种项；
- 自然也没有 \(g=2\)。
要得到自旋和 \(g=2\)，必须有狄拉克方程那种一阶旋量结构。
7. 一句话
\[ \boxed{\text{克莱因-戈尔登方程提出 }e^{-imt}\text{ 后，得到 }(\partial_t^2-2im\partial_t-\nabla^2)\psi’=0\text{，忽略 }\partial_t^2\text{ 才回到薛定谔方程。}} \]
它没有小分量，没有自旋矩阵，所以不会自动给出 \(g=2\)。\(g=2\) 是狄拉克方程一阶旋量结构特有的结果。
取 \(\hbar=1\)。
1. 自由薛定谔方程
\[ i\partial_t\psi=-\frac{\nabla^2}{2m}\psi \]
也可以写成：
\[ i\partial_t\psi=\frac{\mathbf{p}^2}{2m}\psi,\qquad \mathbf{p}=-i\nabla \]
2. 加入电磁场：最小耦合
带电粒子在电磁场中，正则动量替换为：
\[ \mathbf{p}\to \mathbf{p}-e\mathbf{A} \]
同时能量加上电势能：
\[ i\partial_t\to i\partial_t-e\phi \]
所以薛定谔方程变为：
\[ (i\partial_t-e\phi)\psi =\frac{(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2}{2m}\psi \]
即：
\[ i\partial_t\psi =\left[ \frac{(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2}{2m} +e\phi \right]\psi \]
这就是电磁场中的薛定谔方程。
3. 展开动能项
\[ (\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2 =\mathbf{p}^2-2e\mathbf{A}\cdot\mathbf{p}+e^2\mathbf{A}^2 \]
但要注意：\(\mathbf{p}=-i\nabla\) 是算符，\(\mathbf{A}\) 是位置函数，两者不对易。
更准确地说：
\[ (\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2\psi =-\nabla^2\psi +ie(\nabla\cdot\mathbf{A})\psi +2ie\mathbf{A}\cdot\nabla\psi +e^2\mathbf{A}^2\psi \]
在库仑规范 \(\nabla\cdot\mathbf{A}=0\) 下：
\[ (\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2\psi =-\nabla^2\psi +2ie\mathbf{A}\cdot\nabla\psi +e^2\mathbf{A}^2\psi \]
所以方程展开为：
\[ i\partial_t\psi =\left[ -\frac{\nabla^2}{2m} +\frac{ie}{m}\mathbf{A}\cdot\nabla +\frac{e^2}{2m}\mathbf{A}^2 +e\phi \right]\psi \]
4. 这些项分别是什么
- \(-\frac{\nabla^2}{2m}\)：普通动能
- \(\frac{ie}{m}\mathbf{A}\cdot\nabla\)：与矢势的一阶耦合
- \(\frac{e^2}{2m}\mathbf{A}^2\)：与矢势的二阶耦合
- \(e\phi\)：电势能
这里没有自旋-磁场耦合项。
5. 为什么没有自旋项
薛定谔方程描述的是自旋 0 的粒子，波函数是标量，没有 \(\boldsymbol{\sigma}\)，没有自旋。
要描述自旋 \(1/2\)，必须用泡利方程：
\[ i\partial_t\psi =\left[ \frac{(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2}{2m} +e\phi -\frac{e}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \right]\psi \]
其中：
\[ \psi=\begin{pmatrix}\psi_\uparrow\\psi_\downarrow\end{pmatrix} \]
这一项 \(-\frac{e}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\) 是手动加进去的，用来描述自旋与磁场的耦合。
6. 和狄拉克方程的区别
| 薛定谔方程 | 泡利方程 | 狄拉克方程 | |
|---|---|---|---|
| 波函数 | 标量 | 二分量 | 四分量 |
| 自旋 | 无 | 手动加入 | 自动包含 |
| 自旋-磁场耦合 | 无 | 手动加入 | 自动出现 |
| \(g\) | — | 手动调 | 自动给出 \(g=2\) |
狄拉克方程在非相对论极限下，会自动回到泡利方程，并且自旋-磁场耦合项的系数正好是 \(e/2m\)，从而给出 \(g=2\)。
7. 一句话
\[ \boxed{\text{薛定谔方程加入电磁场只需最小耦合：}\mathbf{p}\to\mathbf{p}-e\mathbf{A},\quad i\partial_t\to i\partial_t-e\phi\text{。}} \]
得到：
\[ i\partial_t\psi =\left[ \frac{(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2}{2m} +e\phi \right]\psi \]
但它没有自旋项。要得到自旋-磁场耦合和 \(g=2\)，必须用狄拉克方程。
\[ \boxed{\text{泡利方程里的 }\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\text{ 是人为加的；狄拉克方程里的 }\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\text{ 是算出来的。}} \]
下面把这两条路径对比清楚。
1. 泡利方程：先知道结果，再写进方程
泡利方程的形式是：
\[ i\partial_t\psi= \left[ \frac{(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2}{2m} +e\phi -\frac{e}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \right]\psi \]
这里的 \(-\frac{e}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\) 是手动加进去的。
逻辑是：
- 实验发现电子有自旋 \(1/2\)；
- 实验发现电子有磁矩，且 \(g\approx 2\)；
- 为了描述自旋与磁场的耦合，人为在薛定谔方程里加一项；
- 系数 \(-\frac{e}{2m}\) 是调出来匹配实验的。
所以泡利方程里的 \(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\)：
- \(\boldsymbol{\sigma}\) 是手动引入的；
- 系数是手动调的；
- \(g=2\) 是输入，不是输出。
2. 狄拉克方程：先写方程，结果自己出来
狄拉克方程是：
\[ (i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi=0,\qquad D_\mu=\partial_\mu+ieA_\mu \]
这里：
- 没有手动加自旋；
- 没有手动加 \(\boldsymbol{\sigma}\)；
- 没有手动加 \(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\)；
- 只做了最小耦合。
然后：
- 拆成两个二分量方程；
- 解出小分量；
- 代回大分量；
- 算 \((\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2\)；
- 泡利矩阵代数自动给出 \(-e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\)。
所以狄拉克方程里的 \(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\)：
- \(\boldsymbol{\sigma}\) 从 \(\gamma\) 矩阵结构里自动出现；
- 系数 \(-\frac{e}{2m}\) 是算出来的；
- \(g=2\) 是输出，不是输入。
3. 对比表
| 泡利方程 | 狄拉克方程 | |
|---|---|---|
| 自旋 | 手动引入 | 自动包含 |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | 手动放入 | 从 \(\gamma\) 矩阵出现 |
| \(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\) | 手动加入 | 算出来的 |
| 系数 | 手动调 | 自动给出 |
| \(g=2\) | 输入 | 输出 |
4. 为什么这件事重要
如果只是“能描述电子”，泡利方程就够了。它简单、好用，而且可以手动调到和实验一致。
但狄拉克方程厉害的地方在于：
- 你只要求洛伦兹协变；
- 你只做最小耦合；
- 你没有输入自旋、没有输入 \(g=2\)；
- 结果它自动告诉你：电子必须有自旋 \(1/2\)，必须有 \(g=2\)，必须有反粒子。
这就是“解释力”的区别：
- 泡利方程：描述了自旋和 \(g=2\)；
- 狄拉克方程：解释了自旋和 \(g=2\) 为什么会出现。
5. 一句话
\[ \boxed{\text{泡利方程里的 }\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\text{ 是输入；狄拉克方程里的 }\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\text{ 是输出。}} \]
这就是为什么狄拉克方程被认为更基本：它用更少的假设，得到了更多的结果。
\[ \sigma^i\sigma^j=\delta^{ij}+i\epsilon^{ijk}\sigma^k \]
下面把它写清楚。
1. 先把平方展开
令：
\[ \mathbf{D}=\nabla+ie\mathbf{A} \]
则：
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2 =(\sigma^iD_i)(\sigma^jD_j) \]
注意 \(i,j\) 是空间指标，从 1 到 3，重复指标求和。
把 \(\sigma^i\sigma^j\) 放在一起：
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2 =\sigma^i\sigma^jD_iD_j \]
2. 用泡利矩阵乘积公式
泡利矩阵满足：
\[ \sigma^i\sigma^j=\delta^{ij}+i\epsilon^{ijk}\sigma^k \]
其中：
- \(\delta^{ij}\) 是克罗内克符号
- \(\epsilon^{ijk}\) 是列维-奇维塔符号
代入：
\[ \sigma^i\sigma^jD_iD_j =\delta^{ij}D_iD_j+i\epsilon^{ijk}\sigma^kD_iD_j \]
3. 第一项给出 \(\mathbf{D}^2\)
\[ \delta^{ij}D_iD_j=D_iD_i=\mathbf{D}^2 \]
所以：
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2 =\mathbf{D}^2+i\epsilon^{ijk}\sigma^kD_iD_j \]
4. 第二项写成叉乘
第二项：
\[ i\epsilon^{ijk}\sigma^kD_iD_j \]
利用叉乘的定义：
\[ (\mathbf{D}\times\mathbf{D})^k=\epsilon^{kij}D_iD_j \]
注意 \(\epsilon^{ijk}=\epsilon^{kij}\)，所以：
\[ i\epsilon^{ijk}\sigma^kD_iD_j =i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{D}\times\mathbf{D}) \]
因此：
\[ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2 =\mathbf{D}^2+i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{D}\times\mathbf{D}) \]
5. 算 \(\mathbf{D}\times\mathbf{D}\)
\[ \mathbf{D}\times\mathbf{D} =(\nabla+ie\mathbf{A})\times(\nabla+ie\mathbf{A}) \]
展开：
\[ =\nabla\times\nabla +ie\nabla\times\mathbf{A} +ie\mathbf{A}\times\nabla +e^2\mathbf{A}\times\mathbf{A} \]
其中：
- \(\nabla\times\nabla=0\)
- \(\mathbf{A}\times\mathbf{A}=0\)
剩下：
\[ \mathbf{D}\times\mathbf{D} =ie(\nabla\times\mathbf{A})+ie(\mathbf{A}\times\nabla) \]
在库仑规范 \(\nabla\cdot\mathbf{A}=0\) 下，作为作用在波函数上的算符，这两项合并为：
\[ \mathbf{D}\times\mathbf{D}=ie\mathbf{B} \]
其中：
\[ \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A} \]
6. 代回
\[ i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{D}\times\mathbf{D}) =i\boldsymbol{\sigma}\cdot(ie\mathbf{B}) =i^2e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} =-e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
所以：
\[ \boxed{ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2 =\mathbf{D}^2-e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} } \]
7. 每一步的来源
| 步骤 | 用到的公式 |
|---|---|
| 展开平方 | \((\sigma^iD_i)(\sigma^jD_j)\) |
| 泡利矩阵乘积 | \(\sigma^i\sigma^j=\delta^{ij}+i\epsilon^{ijk}\sigma^k\) |
| 第一项 | \(\delta^{ij}D_iD_j=\mathbf{D}^2\) |
| 第二项 | \(i\epsilon^{ijk}\sigma^kD_iD_j=i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{D}\times\mathbf{D})\) |
| 叉乘计算 | \(\mathbf{D}\times\mathbf{D}=ie\mathbf{B}\) |
| 最终 | \(i\boldsymbol{\sigma}\cdot(ie\mathbf{B})=-e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\) |
8. 一句话
\[ \boxed{(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{D})^2=\mathbf{D}^2-e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}} \]
来源是：
- 泡利矩阵的乘积公式 \(\sigma^i\sigma^j=\delta^{ij}+i\epsilon^{ijk}\sigma^k\)；
- 协变导数叉乘自己不为零，\(\mathbf{D}\times\mathbf{D}=ie\mathbf{B}\)。
其中 \(-e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\) 就是自旋-磁场耦合项，也是 \(g=2\) 的来源。
1. 薛定谔方程的结构
自由薛定谔方程：
\[ i\partial_t\psi=-\frac{\nabla^2}{2m}\psi \]
这里的 \(\psi\) 是标量波函数，没有分量，没有自旋。
加入电磁场后：
\[ i\partial_t\psi= \left[ \frac{(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2}{2m} +e\phi \right]\psi \]
仍然没有自旋项。原因很简单：方程里根本没有 \(\boldsymbol{\sigma}\)，也没有二分量结构。
2. 要加入自旋，必须手动改两件事
第一件：把波函数从标量改成二分量
\[ \psi=\begin{pmatrix}\psi_\uparrow\\psi_\downarrow\end{pmatrix} \]
第二件：手动加入自旋-磁场耦合项
\[ -\frac{e}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \]
于是得到泡利方程：
\[ i\partial_t\psi= \left[ \frac{(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2}{2m} +e\phi -\frac{e}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B} \right]\psi \]
3. 为什么必须手动
因为薛定谔方程没有提供任何自旋结构：
- 波函数是标量，没有分量；
- 方程里没有 \(\boldsymbol{\sigma}\) 矩阵；
- 没有四分量结构；
- 没有小分量可以消去；
- 没有泡利矩阵代数自动产生 \(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\)。
所以自旋和 \(g=2\) 在薛定谔框架里完全没有来源，只能人为输入。
4. 和狄拉克方程的区别
| 薛定谔 → 泡利 | 狄拉克 | |
|---|---|---|
| 波函数 | 标量 → 手动改二分量 | 天然四分量 |
| 自旋 | 手动加入 | 自动包含 |
| \(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\) | 手动加入 | 算出来的 |
| \(g=2\) | 手动调 | 自动给出 |
| 反粒子 | 无 | 自动包含 |
5. 一句话
\[ \boxed{\text{在薛定谔框架里加入自旋，只能像泡利方程那样手动加入；狄拉克方程则是自动包含。}} \]
这就是为什么狄拉克方程被认为更基本：它用更少的输入，得到了更多的结果。