\[ \psi=e^{-i(k_x x+k_z z-\omega t)} \]
这里 \(k_x,k_z\) 分别是 \(x,z\) 方向的波数，\(\omega\) 是角频率。
你问“求 \(z\) 方向的方程”，通常有两种理解：
1. 如果指“沿 \(z\) 方向的传播方程/波动方程”
对 \(\psi\) 求偏导：
\[ \frac{\partial \psi}{\partial z}=-i k_z \psi \]
\[ \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}=(-i k_z)^2\psi=-k_z^2\psi \]
所以沿 \(z\) 方向满足：
\[ \boxed{\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}+k_z^2\psi=0} \]
这是一维亥姆霍兹方程形式。
2. 如果指“完整的波动方程中关于 \(z\) 的部分”
三维波动方程为：
\[ \nabla^2\psi-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}=0 \]
代入
\[ \psi=e^{-i(k_x x+k_z z-\omega t)} \]
有：
\[ \nabla^2\psi=-(k_x^2+k_z^2)\psi \]
\[ \frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}=-\omega^2\psi \]
因此：
\[ -(k_x^2+k_z^2)\psi-\frac{1}{v^2}(-\omega^2\psi)=0 \]
即：
\[ \boxed{\omega^2=v^2(k_x^2+k_z^2)} \]
这是色散关系。
如果只分离出 \(z\) 方向，则：
\[ \boxed{\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}+k_z^2\psi=0} \]
并且整体满足：
\[ \boxed{k_x^2+k_z^2=\frac{\omega^2}{v^2}} \]
3. 如果指“量子力学中的 \(z\) 方向薛定谔方程”
若 \(\psi\) 是自由粒子的平面波，则：
\[ i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=E\psi \]
\[ -i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial z}=\hbar k_z\psi \]
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}=\frac{\hbar^2 k_z^2}{2m}\psi \]
所以 \(z\) 方向满足：
\[ \boxed{-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}=E_z\psi} \]
其中
\[ E_z=\frac{\hbar^2 k_z^2}{2m} \]
最可能的答案
如果你只是对一个平面波函数求 \(z\) 方向满足的微分方程，那么答案是：
\[ \boxed{\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}+k_z^2\psi=0} \]
或写成：
\[ \boxed{\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}=-k_z^2\psi} \]
如果你能说明是声波、电磁波还是量子波，我可以给出更具体的方程形式。
\[ k_z=i\kappa,\qquad \kappa>0 \]
则
\[ k_z^2=(i\kappa)^2=-\kappa^2<0 \]
此时沿 \(z\) 方向的方程仍是
\[ \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}+k_z^2\psi=0 \]
代入 \(k_z^2=-\kappa^2\)，得
\[ \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}-\kappa^2\psi=0 \]
这是实指数型的方程，其通解为
\[ \boxed{\psi(z)=A e^{\kappa z}+B e^{-\kappa z}} \]
如果回到原来的平面波形式
\[ \psi=e^{-i(k_x x+k_z z-\omega t)} \]
代入 \(k_z=i\kappa\)：
\[ \psi=e^{-i(k_x x+i\kappa z-\omega t)} \]
整理指数：
\[ \psi=e^{\kappa z}e^{-i(k_x x-\omega t)} \]
所以沿 \(z\) 方向的行为是
\[ \boxed{e^{\kappa z}\quad \text{或}\quad e^{-\kappa z}} \]
物理解释
当 \(k_z^2<0\) 时，\(z\) 方向不再是振荡传播，而是：
- \(e^{-\kappa z}\)：沿 \(+z\) 方向指数衰减
- \(e^{\kappa z}\)：沿 \(+z\) 方向指数增长
通常物理上要求波在无穷远处有限，所以：
- 若区域为 \(z>0\)，保留衰减解：
\[ \boxed{\psi\sim e^{-\kappa z}} \]
- 若区域为 \(z<0\)，保留另一个衰减解：
\[ \boxed{\psi\sim e^{\kappa z}} \]
这种解对应倏逝波，也叫隐失波。
色散关系的影响
原来有
\[ k_x^2+k_z^2=\frac{\omega^2}{v^2} \]
若 \(k_z^2<0\)，则
\[ k_x^2-\kappa^2=\frac{\omega^2}{v^2} \]
即
\[ k_x^2=\frac{\omega^2}{v^2}+\kappa^2 \]
这说明沿 \(x\) 方向仍然是传播的，但沿 \(z\) 方向是指数衰减的。典型例子是全反射时的隐失波、波导截止以下的情况、以及量子力学中的势垒穿透。
方程为
\[ y’’=-k^2 y \]
其中 \(k^2<0\)。令
\[ k^2=-\kappa^2,\qquad \kappa>0 \]
则方程变为
\[ y’’=\kappa^2 y \]
也就是
\[ \boxed{y’’-\kappa^2 y=0} \]
下面用几种经典方法求解。
方法一：降阶法（构造一阶方程组）
令
\[ v=y’ \]
则
\[ v’=y’’=\kappa^2 y \]
于是得到一阶方程组：
\[ \begin{cases} y’=v\ v’=\kappa^2 y \end{cases} \]
写成矩阵形式：
\[ \begin{pmatrix} y\ v \end{pmatrix}'
\begin{pmatrix} 0 & 1\ \kappa^2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y\ v \end{pmatrix} \]
这个矩阵的特征值为
\[ \lambda^2=\kappa^2 \]
所以
\[ \lambda=\pm \kappa \]
因此解是指数型：
\[ y=C_1 e^{\kappa x}+C_2 e^{-\kappa x} \]
但这里仍然用了特征值，不算完全“不假设指数”。
方法二：利用守恒量（能量法）
方程
\[ y’’=\kappa^2 y \]
两边乘以 \(y’\)：
\[ y’y’’=\kappa^2 y y’ \]
即
\[ \frac{1}{2}\frac{d}{dx}(y’)^2
\frac{\kappa^2}{2}\frac{d}{dx}(y^2) \]
所以
\[ \frac{d}{dx}\left[(y’)^2-\kappa^2 y^2\right]=0 \]
于是
\[ (y’)^2-\kappa^2 y^2=C \]
这是“能量”守恒量。
但这只能给出
\[ y’=\pm\sqrt{\kappa^2 y^2+C} \]
要得到显式解，仍需积分：
\[ \int \frac{dy}{\sqrt{\kappa^2 y^2+C}}=\pm x+C’ \]
这个积分给出反双曲函数，最终还是指数形式。
方法三：从二阶方程直接看出“凹凸性”
方程
\[ y’’=\kappa^2 y \]
说明：
- 当 \(y>0\) 时，\(y’’>0\)，函数是凸的；
- 当 \(y<0\) 时，\(y’’<0\)，函数是凹的。
也就是说，函数离开零点后，弯曲方向与函数值同号。
这会导致：
- 如果 \(y>0\)，它会越来越向上弯；
- 如果 \(y<0\)，它会越来越向下弯。
因此解不可能振荡，只能指数式地远离零点或趋近零点。
但这种方法只能定性判断，不能直接写出解。
方法四：变量替换法（不预先假设指数）
我们想解
\[ y’’=\kappa^2 y \]
令
\[ u=y’+\kappa y \]
则
\[ u’=y’’+\kappa y’=\kappa^2 y+\kappa y’=\kappa(y’+\kappa y)=\kappa u \]
所以
\[ u’=\kappa u \]
这个一阶方程可以直接积分：
\[ \frac{du}{u}=\kappa dx \]
\[ \ln|u|=\kappa x+C \]
\[ u=A e^{\kappa x} \]
即
\[ y’+\kappa y=A e^{\kappa x} \]
这是一阶线性方程。用积分因子：
\[ (e^{\kappa x}y)’=e^{\kappa x}(y’+\kappa y)=e^{\kappa x}A e^{\kappa x}=A e^{2\kappa x} \]
积分：
\[ e^{\kappa x}y=\frac{A}{2\kappa}e^{2\kappa x}+B \]
所以
\[ y=\frac{A}{2\kappa}e^{\kappa x}+B e^{-\kappa x} \]
令 \(C_1=\frac{A}{2\kappa}\)，\(C_2=B\)，得
\[ \boxed{y=C_1 e^{\kappa x}+C_2 e^{-\kappa x}} \]
这个方法的关键是构造了
\[ u=y’+\kappa y \]
它把二阶方程降成了一阶方程。
但 \(u\) 的形式仍然来自对“指数”的直觉。
方法五：幂级数法（完全不假设指数）
设
\[ y=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n \]
则
\[ y’’=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n x^{n-2} \]
代入
\[ y’’-\kappa^2 y=0 \]
得
\[ \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n x^{n-2}
\kappa^2\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n=0 \]
统一指标，令 \(m=n-2\)：
\[ \sum_{m=0}^{\infty}(m+2)(m+1)a_{m+2}x^m
\kappa^2\sum_{m=0}^{\infty}a_m x^m=0 \]
所以
\[ (m+2)(m+1)a_{m+2}=\kappa^2 a_m \]
即
\[ a_{m+2}=\frac{\kappa^2}{(m+2)(m+1)}a_m \]
于是：
- 偶次项由 \(a_0\) 决定：
\[ a_2=\frac{\kappa^2}{2!}a_0,\quad a_4=\frac{\kappa^4}{4!}a_0,\quad a_6=\frac{\kappa^6}{6!}a_0,\dots \]
所以
\[ y_{\text{偶}}=a_0\left(1+\frac{(\kappa x)^2}{2!}+\frac{(\kappa x)^4}{4!}+\cdots\right) \]
这正是
\[ a_0\cosh(\kappa x) \]
- 奇次项由 \(a_1\) 决定：
\[ a_3=\frac{\kappa^2}{3!}a_1,\quad a_5=\frac{\kappa^4}{5!}a_1,\dots \]
所以
\[ y_{\text{奇}}=a_1\left(x+\frac{(\kappa x)^3}{3!}+\frac{(\kappa x)^5}{5!}+\cdots\right) \]
这正是
\[ \frac{a_1}{\kappa}\sinh(\kappa x) \]
因此
\[ \boxed{y=C_1\cosh(\kappa x)+C_2\sinh(\kappa x)} \]
而
\[ \cosh(\kappa x)=\frac{e^{\kappa x}+e^{-\kappa x}}{2},\qquad \sinh(\kappa x)=\frac{e^{\kappa x}-e^{-\kappa x}}{2} \]
所以又可以写成
\[ \boxed{y=A e^{\kappa x}+B e^{-\kappa x}} \]
这个方法完全没有预先假设指数解，而是从幂级数出发，最后自然出现双曲函数，再化为指数。
为什么会出现衰减波？
当 \(k^2<0\) 时，方程是
\[ y’’-\kappa^2 y=0 \]
它的解是
\[ y=C_1 e^{\kappa x}+C_2 e^{-\kappa x} \]
其中：
- \(e^{\kappa x}\) 随 \(x\) 增大而指数增长；
- \(e^{-\kappa x}\) 随 \(x\) 增大而指数衰减。
物理上，如果要求波在无穷远处有限，比如 \(x\to+\infty\) 时 \(y\to0\)，就必须取
\[ \boxed{y=C e^{-\kappa x}} \]
这就是衰减波，也叫隐失波。
总结
方程
\[ y’’=-k^2 y,\qquad k^2<0 \]
令
\[ k^2=-\kappa^2 \]
变为
\[ y’’-\kappa^2 y=0 \]
不用预先假设指数，可以通过：
- 降阶为一阶方程组；
- 构造 \(u=y’+\kappa y\)；
- 幂级数法；
最终都得到
\[ \boxed{y=C_1 e^{\kappa x}+C_2 e^{-\kappa x}} \]
或
\[ \boxed{y=A\cosh(\kappa x)+B\sinh(\kappa x)} \]
物理上取衰减项：
\[ \boxed{y=C e^{-\kappa x}} \]
这就是衰减波。