\[ V(x)=\frac12 m\omega^2 x^2 \]
总能量本征值为
\[ E_n=\left(n+\frac12\right)\hbar\omega,\qquad n=0,1,2,\dots \]
对于某个给定的能量本征值 \(E_n\)，比较 \(E_n\) 与 \(V(x)\) 的大小，实际上取决于位置 \(x\)。
1. 经典允许区与禁区
由
\[ E=V(x) \]
得到
\[ E=\frac12 m\omega^2 x^2 \]
所以
\[ x=\pm \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}} \]
令
\[ a=\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}} \]
则：
\(E>V(x)\) 的区域
\[ \frac12 m\omega^2 x^2 < E \]
即
\[ |x|<a \]
也就是
\[ -\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}<x<\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}} \]
这是经典允许区。粒子在这个区域内运动时，动能 \(K=E-V>0\)。
\(E=V(x)\) 的点
\[ |x|=a \]
即
\[ x=\pm \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}} \]
这是经典转折点。此时动能 \(K=E-V=0\)。
\(E<V(x)\) 的区域
\[ \frac12 m\omega^2 x^2 > E \]
即
\[ |x|>a \]
也就是
\[ x<-\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}} \quad\text{或}\quad x>\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}} \]
这是经典禁区。经典粒子不能进入这里，但量子力学中波函数会指数衰减地渗透进去。
2. 对第 \(n\) 个本征态具体写出来
因为
\[ E_n=\left(n+\frac12\right)\hbar\omega \]
所以转折点为
\[ x=\pm \sqrt{\frac{2E_n}{m\omega^2}}
\pm \sqrt{\frac{(2n+1)\hbar}{m\omega}} \]
因此对第 \(n\) 个本征态：
-
当
\[ |x|<\sqrt{\frac{(2n+1)\hbar}{m\omega}} \] 时，\(E_n>V(x)\)； -
当
\[ |x|=\sqrt{\frac{(2n+1)\hbar}{m\omega}} \] 时，\(E_n=V(x)\)； -
当
\[ |x|>\sqrt{\frac{(2n+1)\hbar}{m\omega}} \] 时，\(E_n<V(x)\)。
3. 注意：这里说的是“给定 E 后随 x 变化”
不能简单地说“E 在什么范围内有 \(E>V\)”，因为 \(V(x)\) 是位置的函数。
更准确的说法是：
- 对任意 \(E>0\)，总存在一个中心区域 \(|x|<a\)，使得 \(E>V\)；
- 在边界 \(|x|=a\) 处，\(E=V\)；
- 在两侧 \(|x|>a\) 处，\(E<V\)。
如果 \(E<0\)，由于谐振子势 \(V(x)\ge 0\)，则对所有 \(x\) 都有 \(E<V(x)\)。但谐振子的物理本征能量都满足
\[ E_n>0 \]
所以实际本征态不会出现全局 \(E<0\) 的情况。
总结成一句话：
对能量 \(E>0\)，在
\[ |x|<\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}} \]
处有 \(E>V\)；在
\[ |x|=\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}} \]
处有 \(E=V\)；在
\[ |x|>\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}} \]
处有 \(E<V\)。