1. 设定几何与介质
界面为 \(z=0\) 平面：
- 介质1：\(z<0\)，折射率 \(n_1\)，波数 \(k_1 = \frac{\omega}{c}n_1\)
- 介质2：\(z>0\)，折射率 \(n_2\)，波数 \(k_2 = \frac{\omega}{c}n_2\)
- 光从介质1射向介质2，\(n_1 > n_2\)
入射面为 \(xz\) 平面。入射波、反射波、透射波的波矢：
\[ \vec{k}_i = (k_x, 0, k_{1z}), \quad \vec{k}_r = (k_x, 0, -k_{1z}), \quad \vec{k}_t = (k_x, 0, k_{2z}) \]
切向波矢连续要求：
\[ k_x = k_1 \sin\theta_i \]
垂直分量：
\[ k_{1z} = k_1 \cos\theta_i = \sqrt{k_1^2 - k_x^2} \]
\[ k_{2z} = \sqrt{k_2^2 - k_x^2} \]
2. 两种偏振
s偏振（TE）：电场垂直于入射面
\[ \vec{E}_i = E_i \hat{y}, e^{i(k_x x + k_{1z} z - \omega t)} \]
\[ \vec{E}_r = E_r \hat{y}, e^{i(k_x x - k_{1z} z - \omega t)} \]
\[ \vec{E}_t = E_t \hat{y}, e^{i(k_x x + k_{2z} z - \omega t)} \]
p偏振（TM）：磁场垂直于入射面
\[ \vec{H}_i = H_i \hat{y}, e^{i(k_x x + k_{1z} z - \omega t)} \]
\[ \vec{H}_r = H_r \hat{y}, e^{i(k_x x - k_{1z} z - \omega t)} \]
\[ \vec{H}_t = H_t \hat{y}, e^{i(k_x x + k_{2z} z - \omega t)} \]
3. 边界条件
在 \(z=0\) 处，切向分量连续：
\[ E_{1t} = E_{2t}, \quad H_{1t} = H_{2t} \]
s偏振
电场只有 \(y\) 分量，直接连续：
\[ E_i + E_r = E_t \tag{1} \]
磁场切向分量 \(H_x\)。由 \(\nabla \times \vec{E} = -\mu_0 \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}\)：
\[ H_x = -\frac{k_z}{\mu_0 \omega} E_y \]
（注意反射波 \(k_z \to -k_{1z}\)）
所以：
\[ \frac{k_{1z}}{\mu_0 \omega}(E_i - E_r) = \frac{k_{2z}}{\mu_0 \omega} E_t \]
即：
\[ k_{1z}(E_i - E_r) = k_{2z} E_t \tag{2} \]
p偏振
磁场只有 \(y\) 分量，连续：
\[ H_i + H_r = H_t \tag{3} \]
电场切向分量 \(E_x\)。由 \(\nabla \times \vec{H} = \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)：
\[ E_x = \frac{k_z}{\epsilon \omega} H_y \]
所以：
\[ \frac{k_{1z}}{\epsilon_1 \omega}(H_i - H_r) = \frac{k_{2z}}{\epsilon_2 \omega} H_t \]
即：
\[ \frac{k_{1z}}{\epsilon_1}(H_i - H_r) = \frac{k_{2z}}{\epsilon_2} H_t \tag{4} \]
4. 求解 s偏振
由 (1)(2)：
\[ E_i + E_r = E_t \]
\[ k_{1z}(E_i - E_r) = k_{2z} E_t \]
令 \(r_s = E_r/E_i\)，\(t_s = E_t/E_i\)。
由 (1)：\(1 + r_s = t_s\)
代入 (2)：
\[ k_{1z}(1 - r_s) = k_{2z}(1 + r_s) \]
\[ k_{1z} - k_{1z} r_s = k_{2z} + k_{2z} r_s \]
\[ r_s(k_{1z} + k_{2z}) = k_{1z} - k_{2z} \]
\[ \boxed{r_s = \frac{k_{1z} - k_{2z}}{k_{1z} + k_{2z}}} \]
\[ \boxed{t_s = 1 + r_s = \frac{2k_{1z}}{k_{1z} + k_{2z}}} \]
5. 求解 p偏振
由 (3)(4)：
\[ H_i + H_r = H_t \]
\[ \frac{k_{1z}}{\epsilon_1}(H_i - H_r) = \frac{k_{2z}}{\epsilon_2} H_t \]
令 \(r_p = H_r/H_i\)，\(t_p = H_t/H_i\)。
由 (3)：\(1 + r_p = t_p\)
代入 (4)：
\[ \frac{k_{1z}}{\epsilon_1}(1 - r_p) = \frac{k_{2z}}{\epsilon_2}(1 + r_p) \]
令 \(\alpha = \frac{k_{1z}}{\epsilon_1}\)，\(\beta = \frac{k_{2z}}{\epsilon_2}\)：
\[ \alpha - \alpha r_p = \beta + \beta r_p \]
\[ r_p(\alpha + \beta) = \alpha - \beta \]
\[ \boxed{r_p = \frac{\alpha - \beta}{\alpha + \beta} = \frac{\frac{k_{1z}}{\epsilon_1} - \frac{k_{2z}}{\epsilon_2}}{\frac{k_{1z}}{\epsilon_1} + \frac{k_{2z}}{\epsilon_2}}} \]
化简（用 \(\epsilon = \epsilon_0 n^2\)）：
\[ \boxed{r_p = \frac{n_2^2 k_{1z} - n_1^2 k_{2z}}{n_2^2 k_{1z} + n_1^2 k_{2z}}} \]
\[ \boxed{t_p = 1 + r_p = \frac{2 n_2^2 k_{1z}}{n_2^2 k_{1z} + n_1^2 k_{2z}}} \]
注意：这里的 \(r_p\) 是磁场反射比。电场反射比需转换，但通常反射率 \(R = |r|^2\) 对两种定义相同。
6. 反射率与透射率
\[ R_s = |r_s|^2, \quad R_p = |r_p|^2 \]
\[ T_s = \frac{n_2 \cos\theta_t}{n_1 \cos\theta_i} |t_s|^2, \quad T_p = \frac{n_2 \cos\theta_t}{n_1 \cos\theta_i} |t_p|^2 \]
能量守恒：
\[ R_s + T_s = 1, \quad R_p + T_p = 1 \]
（临界角之前）
7. 临界角之后：\(k_{2z}\) 变为虚数
当 \(\theta_i > \theta_c\) 时：
\[ k_x > k_2 \quad \Rightarrow \quad k_{2z} = \sqrt{k_2^2 - k_x^2} = i\kappa \]
其中：
\[ \kappa = \sqrt{k_x^2 - k_2^2} > 0 \]
s偏振
\[ r_s = \frac{k_{1z} - i\kappa}{k_{1z} + i\kappa} \]
分子分母模相等：
\[ |r_s| = 1 \quad \Rightarrow \quad R_s = 1 \]
p偏振
\[ r_p = \frac{n_2^2 k_{1z} - i n_1^2 \kappa}{n_2^2 k_{1z} + i n_1^2 \kappa} \]
同样：
\[ |r_p| = 1 \quad \Rightarrow \quad R_p = 1 \]
全反射：反射率恒为1，透射率为0。
8. 透射波变为隐失波
透射波的表达式：
\[ \vec{E}_t \propto e^{i(k_x x + k_{2z} z - \omega t)} \]
代入 \(k_{2z} = i\kappa\)：
\[ \vec{E}_t \propto e^{i(k_x x - \omega t)} \cdot e^{-\kappa z} \]
这就是隐失波：
- 沿 \(x\) 方向传播：\(e^{i(k_x x - \omega t)}\)
- 沿 \(z\) 方向指数衰减：\(e^{-\kappa z}\)
- 穿透深度：\(d = 1/\kappa\)
9. 反射波的相位变化
虽然 \(|r| = 1\)，但 \(r\) 是复数，有相位：
\[ r_s = \frac{k_{1z} - i\kappa}{k_{1z} + i\kappa} = e^{-2i\phi_s} \]
其中：
\[ \tan\phi_s = \frac{\kappa}{k_{1z}} \]
p偏振类似，但相位不同。这个相位变化导致反射光产生古斯-汉欣位移（光束在界面上横向偏移）。
10. 总结
| 量 | 表达式 |
|---|---|
| 切向波矢 | \(k_x = k_1 \sin\theta_i\) |
| 介质1垂直波矢 | \(k_{1z} = \sqrt{k_1^2 - k_x^2}\) |
| 介质2垂直波矢 | \(k_{2z} = \sqrt{k_2^2 - k_x^2}\) |
| s偏振反射比 | \(r_s = \frac{k_{1z} - k_{2z}}{k_{1z} + k_{2z}}\) |
| p偏振反射比 | \(r_p = \frac{n_2^2 k_{1z} - n_1^2 k_{2z}}{n_2^2 k_{1z} + n_1^2 k_{2z}}\) |
| 临界角 | \(\sin\theta_c = n_2/n_1\) |
| 超过临界角 | \(k_{2z} = i\kappa\)，\(\kappa = \sqrt{k_x^2 - k_2^2}\) |
| 隐失波 | \(e^{i(k_x x - \omega t)} e^{-\kappa z}\) |
| 穿透深度 | \(d = 1/\kappa\) |
| 全反射反射率 | \(R_s = R_p = 1\) |
这就是从麦克斯韦方程组出发，完整建立并求解全反射和隐失波的过程。
1. 三个光线的 \(k_x\) 完全相同
界面是 \(z=0\) 平面，沿 \(x\) 方向平移对称。边界条件要求切向电场和磁场连续，而所有波的相位因子都含有：
\[ e^{i(k_x x - \omega t)} \]
如果三个波的 \(k_x\) 不同，在 \(z=0\) 界面上它们的相位随 \(x\) 的变化就不一致，无论振幅怎么调，都无法让边界条件在所有 \(x\) 上都成立。
所以必须有：
\[ k_{ix} = k_{rx} = k_{tx} = k_x \]
并且：
\[ k_x = k_1 \sin\theta_i \]
反射定律 \(\theta_r = \theta_i\) 和斯涅尔定律 \(n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t\)，本质上都是这个切向波矢连续的推论。
2. 三个光线的总 \(k\) 大小不一定相同
总波矢大小由各介质决定：
\[ |\vec{k}_i| = |\vec{k}_r| = k_1 = \frac{\omega}{c}n_1 \]
\[ |\vec{k}_t| = k_2 = \frac{\omega}{c}n_2 \]
因为 \(n_1 eq n_2\)，所以：
\[ k_1 eq k_2 \]
入射波和反射波在同一个介质1中，总 \(k\) 相同。透射波在介质2中，总 \(k\) 不同。
3. \(z\) 方向的分量
由总 \(k\) 和切向 \(k_x\) 决定：
\[ k_{iz} = \sqrt{k_1^2 - k_x^2} \]
\[ k_{rz} = -\sqrt{k_1^2 - k_x^2} = -k_{iz} \]
\[ k_{tz} = \sqrt{k_2^2 - k_x^2} \]
- 入射波和反射波的 \(z\) 分量大小相同、方向相反
- 透射波的 \(z\) 分量由 \(k_2\) 和 \(k_x\) 决定，一般与前两者不同
4. 临界角之后
当 \(k_x > k_2\) 时：
\[ k_{tz} = \sqrt{k_2^2 - k_x^2} = i\kappa \]
此时：
- \(k_x\) 仍然三个波相同
- 入射波和反射波的 \(k_{1z}\) 仍然是实数
- 透射波的 \(k_{tz}\) 变成虚数
透射波变成：
\[ e^{i(k_x x - \omega t)} \cdot e^{-\kappa z} \]
沿 \(x\) 方向仍然以 \(k_x\) 传播，但沿 \(z\) 方向不再振荡，而是指数衰减。
5. 用表格总结
| 量 | 入射波 | 反射波 | 透射波（临界角前） | 透射波（临界角后） |
|---|---|---|---|---|
| \(k_x\) | \(k_x\) | \(k_x\) | \(k_x\) | \(k_x\) |
| \(k_z\) | \(k_{1z}\) | \(-k_{1z}\) | \(k_{2z}\) | \(i\kappa\) |
| 总 \(k\) | \(k_1\) | \(k_1\) | \(k_2\) | —（不再是传播波） |
| \(z\) 方向行为 | 向界面传播 | 离开界面 | 向介质2传播 | 指数衰减 |
6. 一句话总结
三个波的 \(k_x\) 完全相同，因为界面切向平移对称要求切向波矢连续。不同的是 \(z\) 方向分量：入射和反射的 \(k_z\) 大小相同方向相反，透射的 \(k_z\) 由介质2的 \(k_2\) 和共同的 \(k_x\) 决定。超过临界角后，透射的 \(k_z\) 变成虚数，波在 \(z\) 方向指数衰减，成为隐失波。
这一点很关键，容易反过来记。
1. 谁固定，谁变化
| 量 | 是否固定 | 由谁决定 |
|---|---|---|
| \(k_2\) | 固定 | 介质2的折射率 \(n_2\) 和频率 \(\omega\) |
| \(k_x\) | 变化 | 入射角 \(\theta_i\) |
| \(k_{2z}\) | 变化 | \(k_{2z}^2 = k_2^2 - k_x^2\) |
也就是说：
\[ k_2 = \frac{\omega}{c}n_2 = \text{常数} \]
这是介质2的总波矢预算，不随入射角变。
而 \(k_{2z}\) 是总波矢在垂直方向的分配，它必须满足：
\[ k_x^2 + k_{2z}^2 = k_2^2 \]
所以：
\[ k_{2z} = \sqrt{k_2^2 - k_x^2} \]
入射角改变 → \(k_x\) 改变 → \(k_{2z}\) 跟着变。
2. 随角度怎么变
\[ k_x = k_1 \sin\theta_i \]
入射角 \(\theta_i\) 增大：
- \(k_x\) 增大
- \(k_{2z} = \sqrt{k_2^2 - k_x^2}\) 减小
- 到临界角：\(k_x = k_2\)，\(k_{2z} = 0\)
- 超过临界角：\(k_x > k_2\)，\(k_{2z}\) 变成虚数 \(i\kappa\)
3. 物理解释
你可以把 \(k_2\) 想成介质2给透射波的总动量预算，这个预算是固定的。
透射波必须把这份预算分配给两个方向：
- 沿界面方向：\(k_x\)（由入射角强行规定，必须和入射波一致）
- 垂直界面方向：\(k_{2z}\)（剩下的）
所以：
总预算 \(k_2\) 固定，切向开销 \(k_x\) 随入射角变，垂直方向剩下的 \(k_{2z}\) 就随入射角变。
4. 和入射波对比
入射波在介质1中也有类似关系：
\[ k_1^2 = k_x^2 + k_{1z}^2 \]
其中 \(k_1 = \frac{\omega}{c}n_1\) 也是固定的。
入射角增大时：
- \(k_x\) 增大
- \(k_{1z} = \sqrt{k_1^2 - k_x^2}\) 减小
但因为 \(k_1 > k_2\)，即使 \(k_x\) 已经超过 \(k_2\)，它还没有超过 \(k_1\)，所以 \(k_{1z}\) 仍然是实数，入射波和反射波正常传播。
5. 一句话总结
\(k_2\) 是介质2的固有总波数，固定不变；\(k_{2z}\) 是它在垂直方向的分量，随入射角变化。入射角越大，\(k_x\) 越大，\(k_{2z}\) 越小；超过临界角后，\(k_{2z}\) 变成虚数，透射波变为隐失波。
这是边界条件直接要求的，也是整个问题里最“硬”的一条守恒律。
1. 为什么必须相同
在界面 \(z=0\) 处，三个波的相位因子必须匹配：
- 入射波：\(e^{i(k_x x - \omega_i t)}\)
- 反射波：\(e^{i(k_x x - \omega_r t)}\)
- 透射波：\(e^{i(k_x x - \omega_t t)}\)
边界条件要求在任意时刻 \(t\)、任意位置 \(x\) 都成立。如果 \(\omega_i eq \omega_t\)，那么两侧相位随时间的变化速率不同，过一会儿就会错开，边界条件不可能始终满足。
所以必须有：
\[ \omega_i = \omega_r = \omega_t = \omega \]
频率在界面两侧连续，这是普遍的结论。
2. 但波数 \(k\) 不同
频率相同，不代表波数相同。因为：
\[ k = \frac{\omega}{v} = \frac{\omega}{c/n} = \frac{\omega}{c}n \]
所以：
\[ k_1 = \frac{\omega}{c}n_1, \quad k_2 = \frac{\omega}{c}n_2 \]
因为 \(n_1 eq n_2\)，所以：
\[ k_1 eq k_2 \]
- 频率 \(\omega\)：两侧相同
- 波数 \(k\)：两侧不同
- 波长 \(\lambda = 2\pi/k\)：两侧不同
3. 物理图像
频率由光源决定，是波的“时间节奏”。
当波从一种介质进入另一种介质时：
- 时间节奏不变（\(\omega\) 相同）
- 空间节奏改变（\(k\) 不同，波长改变）
这就像一队人过马路：
- 每秒通过的人数（频率）不变
- 但队伍在马路上的间距（波长）会变
4. 色散关系
在每种介质中，各自满足：
\[ k_1^2 = \left(\frac{\omega}{c}n_1\right)^2 \]
\[ k_2^2 = \left(\frac{\omega}{c}n_2\right)^2 \]
共同的 \(\omega\)，不同的 \(k_1, k_2\)。
5. 在隐失波中
即使超过临界角，频率关系仍然不变：
\[ \omega \text{ 相同} \]
只是透射波的垂直波矢变成虚数：
\[ k_{2z} = i\kappa \]
但它的时间振荡仍然是 \(e^{-i\omega t}\)，与入射波频率一致。
所以隐失波：
\[ e^{i(k_x x - \omega t)} \cdot e^{-\kappa z} \]
- 沿 \(x\) 方向振荡，频率 \(\omega\)
- 沿 \(z\) 方向衰减，没有振荡
6. 总结
| 量 | 介质1 | 介质2 | 是否相同 |
|---|---|---|---|
| 频率 \(\omega\) | \(\omega\) | \(\omega\) | 相同 |
| 波数 \(k\) | \(k_1 = \frac{\omega}{c}n_1\) | \(k_2 = \frac{\omega}{c}n_2\) | 不同 |
| 波长 \(\lambda\) | \(\lambda_1 = \lambda_0/n_1\) | \(\lambda_2 = \lambda_0/n_2\) | 不同 |
| 切向波矢 \(k_x\) | \(k_x\) | \(k_x\) | 相同 |
| 垂直波矢 \(k_z\) | \(k_{1z}\) | \(k_{2z}\) | 不同 |
7. 一句话总结
频率 \(\omega\) 在两种介质中相同，由边界条件在时间上的连续性要求决定。波数 \(k\) 不同，因为两种介质的折射率不同。这就是为什么同一束光进入不同介质时，颜色不变（频率不变），但波长改变。
1. 波矢-频率四维矢量
定义：
\[ K^\mu = \left(\frac{\omega}{c}, k_x, k_y, k_z\right) \]
这是一个四维矢量，叫做波四维矢量。
它的洛伦兹变换和坐标四维矢量 \((ct, x, y, z)\) 完全一致。
2. 标准洛伦兹变换（沿 x 方向）
设参考系 \(S’\) 相对于 \(S\) 以速度 \(v\) 沿 \(x\) 方向运动：
\[ x’ = \gamma(x - vt), \quad t’ = \gamma\left(t - \frac{v}{c^2}x\right) \]
其中：
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \]
对波四维矢量做同样的变换：
\[ \boxed{k_x’ = \gamma\left(k_x - \frac{v}{c^2}\omega\right)} \]
\[ \boxed{\omega’ = \gamma(\omega - v k_x)} \]
\[ k_y’ = k_y, \quad k_z’ = k_z \]
3. 逆变换
\[ k_x = \gamma\left(k_x’ + \frac{v}{c^2}\omega’\right) \]
\[ \omega = \gamma(\omega’ + v k_x’) \]
4. 用波矢大小和角度表示
设波在 \(S\) 系中波矢大小为 \(k\)，与 \(x\) 轴夹角为 \(\theta\)：
\[ k_x = k\cos\theta, \quad k = \frac{\omega}{c} \]
（真空中）
则：
\[ k_x’ = \gamma k(\cos\theta - \beta) \]
\[ \omega’ = \gamma \omega(1 - \beta\cos\theta) \]
其中 \(\beta = v/c\)。
5. 物理意义：相对论多普勒效应
由 \(\omega’ = \gamma\omega(1 - \beta\cos\theta)\)，可以得到：
（1）纵向多普勒效应（\(\theta = 0\)，波沿运动方向）
\[ \omega’ = \gamma\omega(1 - \beta) = \omega\sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}} \]
频率降低（红移）。
（2）横向多普勒效应（\(\theta = 90°\)）
\[ \omega’ = \gamma\omega \]
频率升高（蓝移）。这是纯粹的相对论效应，经典多普勒效应中没有。
（3）一般方向
\[ \omega’ = \gamma\omega(1 - \beta\cos\theta) \]
这就是相对论多普勒公式。
6. 为什么 \((k, \omega)\) 要组成四维矢量
因为相位是不变量：
\[ \phi = kx - \omega t = k’x’ - \omega’ t’ \]
相位是洛伦兹标量，所有惯性系中观察者数出的波峰数相同。
既然 \((x, t)\) 是四维矢量，而 \(kx - \omega t\) 是标量，那么 \((k, \omega)\) 必须也是四维矢量，才能保证缩并后是不变量。
7. 和介质中折射的关系
上面说的是真空中的波（或等效于真空的平面波）。
如果在介质中，情况会更复杂：
- 介质本身有折射率 \(n(\omega)\)
- 介质在运动时，折射率也会变换
- 这就是相对论电动力学中的运动介质问题
但最基本的波四维矢量变换仍然成立，只是 \(k\) 和 \(\omega\) 的关系不再是简单的 \(k = \omega/c\)，而是由介质的色散关系决定。
8. 总结
| 量 | 变换 |
|---|---|
| \(k_x’\) | \(\gamma(k_x - \frac{v}{c^2}\omega)\) |
| \(\omega’\) | \(\gamma(\omega - v k_x)\) |
| \(k_y’, k_z’\) | 不变 |
| 相位 | \(kx - \omega t\) 是不变量 |
| 物理效应 | 相对论多普勒效应、光行差 |
洛伦兹变换中确实有 \((k, \omega)\) 的变换，它们组成波四维矢量，变换形式和 \((x, t)\) 完全一样。
1. 先看变换的形式
洛伦兹变换：
\[ x’ = \gamma(x - vt) \]
\[ t’ = \gamma\left(t - \frac{v}{c^2}x\right) \]
波矢-频率变换：
\[ k_x’ = \gamma\left(k_x - \frac{v}{c^2}\omega\right) \]
\[ \omega’ = \gamma(\omega - v k_x) \]
2. 对应关系：不是 \(k_x\) 对应 \(t\)
比较两组的数学结构：
| 坐标变换 | 波矢变换 |
|---|---|
| \(x’ = \gamma(x - vt)\) | \(\omega’ = \gamma(\omega - v k_x)\) |
| \(t’ = \gamma(t - \frac{v}{c^2}x)\) | \(k_x’ = \gamma(k_x - \frac{v}{c^2}\omega)\) |
你会发现：
- \(x\) 对应 \(\omega\)
- \(t\) 对应 \(k_x\)
而不是 \(k_x\) 对应 \(t\)。
为什么？
因为 \(x\) 和 \(\omega\) 在变换中出现在相同的位置：
- \(x’\) 的表达式里有 \(x\) 和 \(t\)
- \(\omega’\) 的表达式里有 \(\omega\) 和 \(k_x\)
两者都是“被 \(v\) 混合”的那一对。
3. 更本质的对应：相位不变量
相位是洛伦兹标量：
\[ \phi = k_x x - \omega t \]
把它和坐标变换对比：
\[ \phi = k_x x - \omega t \]
可以看成：
- \(k_x\) 和 \(x\) 配对
- \(\omega\) 和 \(t\) 配对
但在洛伦兹变换下：
- \(x\) 和 \(t\) 混合
- \(k_x\) 和 \(\omega\) 混合
所以真正的对应是：
| 坐标空间 | 波矢空间 |
|---|---|
| \(x\) | \(\omega\) |
| \(t\) | \(k_x\) |
| \(ct\) | \(\omega\) |
| \(x\) | \(c k_x\) |
更规范地说，用 \(ct\) 和 \(x\) 组成坐标四维矢量：
\[ X^\mu = (ct, x) \]
用 \(\omega/c\) 和 \(k_x\) 组成波四维矢量：
\[ K^\mu = (\omega/c, k_x) \]
两者的洛伦兹变换形式完全相同：
\[ ct’ = \gamma(ct - \beta x) \]
\[ x’ = \gamma(x - \beta ct) \]
\[ \omega’/c = \gamma(\omega/c - \beta k_x) \]
\[ k_x’ = \gamma(k_x - \beta \omega/c) \]
这里 \(\beta = v/c\)。
4. 为什么会有“\(k_x\) 对应 \(t\)”的错觉
因为看变换公式时，你可能注意到：
- \(k_x’\) 的表达式里有 \(\omega\)，而 \(\omega\) 对应时间频率
- \(t’\) 的表达式里有 \(x\)，而 \(x\) 对应空间
所以感觉 \(k_x\) 和 \(t\) 都在“被另一个量混合”。
但正确的对应是：
- \(k_x\)（空间波矢）对应 \(x\)（空间坐标）？不对。
- 实际上，\(k_x\) 对应 \(ct\)，\(\omega/c\) 对应 \(x\)。
这是因为波矢和坐标的缩并方式是：
\[ k_x x - \omega t \]
在四维形式中：
\[ K_\mu X^\mu = k_x x - \frac{\omega}{c} ct \]
所以：
- \(K^0 = \omega/c\) 与 \(X^0 = ct\) 配对
- \(K^1 = k_x\) 与 \(X^1 = x\) 配对
但洛伦兹变换混合的是 \(X^0\) 和 \(X^1\)，也就是 \(ct\) 和 \(x\)。
所以：
- \(\omega/c\) 和 \(k_x\) 混合
- \(ct\) 和 \(x\) 混合
不是 \(k_x\) 对应 \(t\)，而是 \(k_x\) 和 \(\omega/c\) 的关系，类似于 \(x\) 和 \(ct\) 的关系。
5. 用矩阵看更清楚
坐标变换：
\[ \begin{pmatrix} ct’ \\ x’ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\beta \\ -\gamma\beta & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \end{pmatrix} \]
波矢变换：
\[ \begin{pmatrix} \omega’/c \\ k_x’ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\beta \\ -\gamma\beta & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega/c \\ k_x \end{pmatrix} \]
同一个矩阵，作用在不同四维矢量上。
所以：
- \((\omega/c, k_x)\) 的变换 = \((ct, x)\) 的变换
- 对应关系是：\(\omega/c \leftrightarrow ct\)，\(k_x \leftrightarrow x\)
6. 为什么会有这种“反直觉”的对应
因为相位不变量的结构是：
\[ \phi = kx - \omega t \]
空间部分 \(kx\) 和时间部分 \(\omega t\) 的符号相反。
在四维形式中：
\[ \phi = -K_\mu X^\mu = -(\omega t - kx) \]
所以 \(K^\mu\) 和 \(X^\mu\) 的缩并给出标量。
洛伦兹变换保持缩并不变，因此 \(K^\mu\) 必须和 \(X^\mu\) 用相同的矩阵变换。
7. 一句话总结
洛伦兹变换中，波四维矢量 \((\omega/c, k_x)\) 和坐标四维矢量 \((ct, x)\) 用同一个变换矩阵。对应关系是 \(\omega/c \leftrightarrow ct\)，\(k_x \leftrightarrow x\)。不是 \(k_x\) 对应 \(t\)，而是 \(k_x\) 和 \(\omega/c\) 的混合方式，与 \(x\) 和 \(ct\) 的混合方式完全一样。你感觉到的“\(k_x\) 对应 \(t\)”，是因为在变换公式中 \(k_x’\) 含有 \(\omega\)，而 \(\omega\) 是时间频率——但真正的对应是 \(\omega/c\) 对应 \(ct\)，\(k_x\) 对应 \(x\)。
1. 从电磁波方程出发
考虑一维情况，电场只有 \(y\) 分量，沿 \(x\) 方向传播：
\[ E_y(x,t) = E(x)e^{-i\omega t} \]
在折射率为 \(n(x)\) 的介质中，满足亥姆霍兹方程：
\[ \frac{d^2 E}{dx^2} + \frac{\omega^2}{c^2}n^2(x)E = 0 \]
令：
\[ k_0 = \frac{\omega}{c} \]
则：
\[ \frac{d^2 E}{dx^2} + k_0^2 n^2(x)E = 0 \]
2. 改写成薛定谔方程的形式
把方程写成：
\[ \frac{d^2 E}{dx^2} + \left[k_0^2 n^2(x)\right]E = 0 \]
对比薛定谔方程：
\[ \frac{d^2 \psi}{dx^2} + \frac{2m}{\hbar^2}\left[E - V(x)\right]\psi = 0 \]
可以看到对应关系：
\[ \frac{2m}{\hbar^2}\left[E - V(x)\right] \longleftrightarrow k_0^2 n^2(x) \]
如果我们定义：
\[ E \longleftrightarrow k_0^2 n_1^2 \]
\[ V(x) \longleftrightarrow k_0^2\left[n_1^2 - n^2(x)\right] \]
那么方程就变成：
\[ \frac{d^2 E}{dx^2} + \left[E - V(x)\right]E = 0 \]
其中：
\[ E = k_0^2 n_1^2 \]
\[ V(x) = k_0^2\left[n_1^2 - n^2(x)\right] \]
这就是电磁波方程的一维薛定谔形式。
3. 分区求解
设：
- 区域1（\(x<0\)）：\(n=n_1\)，所以 \(V=0\)
- 区域2（\(x>0\)）：\(n=n_2 < n_1\)，所以
\[ V = k_0^2(n_1^2 - n_2^2) > 0 \]
这正是你问的情况：\(V(x)\) 大于某个值。
4. 在区域1中
方程：
\[ \frac{d^2 E}{dx^2} + k_0^2 n_1^2 E = 0 \]
解为：
\[ E_1(x) = A e^{i k_1 x} + B e^{-i k_1 x} \]
其中：
\[ k_1 = k_0 n_1 \]
- \(A e^{i k_1 x}\)：入射波
- \(B e^{-i k_1 x}\)：反射波
5. 在区域2中
方程：
\[ \frac{d^2 E}{dx^2} + k_0^2 n_2^2 E = 0 \]
解为：
\[ E_2(x) = C e^{i k_2 x} + D e^{-i k_2 x} \]
其中：
\[ k_2 = k_0 n_2 \]
因为区域2延伸到 \(x \to +\infty\)，没有反射源，所以取 \(D=0\)：
\[ E_2(x) = C e^{i k_2 x} \]
这是传播波。
6. 但你说的是“\(V(x)\) 大于 \(z\) 方向的 \(k\) 分量”
这里需要澄清：在一维薛定谔类比中，\(V(x)\) 对应的是总波数的平方差，而不是某个方向的 \(k\) 分量。
但如果你考虑的是斜入射，那么切向波矢 \(k_x\) 是守恒的，垂直方向的方程变成：
\[ \frac{d^2 E}{dz^2} + \left[k_0^2 n^2(z) - k_x^2\right]E = 0 \]
这时定义有效势：
\[ V_{\text{eff}}(z) = k_x^2 \]
而：
\[ E = k_0^2 n_1^2 \]
在区域2中：
\[ k_0^2 n_2^2 - k_x^2 \]
如果：
\[ k_x^2 > k_0^2 n_2^2 \]
即：
\[ V_{\text{eff}} > k_0^2 n_2^2 \]
那么：
\[ k_0^2 n_2^2 - k_x^2 < 0 \]
方程变为：
\[ \frac{d^2 E}{dz^2} - \kappa^2 E = 0 \]
其中：
\[ \kappa = \sqrt{k_x^2 - k_0^2 n_2^2} > 0 \]
解为：
\[ E_2(z) = C e^{-\kappa z} \]
这就是隐失波。
7. 完整求解
区域1（\(z<0\)）
\[ E_1(z) = A e^{i k_{1z} z} + B e^{-i k_{1z} z} \]
其中：
\[ k_{1z} = \sqrt{k_0^2 n_1^2 - k_x^2} \]
区域2（\(z>0\)）
当 \(k_x > k_0 n_2\)：
\[ E_2(z) = C e^{-\kappa z} \]
其中：
\[ \kappa = \sqrt{k_x^2 - k_0^2 n_2^2} \]
8. 边界条件
在 \(z=0\) 处：
\[ E_1(0) = E_2(0) \]
\[ \frac{dE_1}{dz}\bigg|_{z=0} = \frac{dE_2}{dz}\bigg|_{z=0} \]
即：
\[ A + B = C \]
\[ i k_{1z}(A - B) = -\kappa C \]
解得：
\[ B = \frac{i k_{1z} + \kappa}{i k_{1z} - \kappa} A \]
\[ C = \frac{2 i k_{1z}}{i k_{1z} - \kappa} A \]
9. 反射系数
\[ r = \frac{B}{A} = \frac{i k_{1z} + \kappa}{i k_{1z} - \kappa} \]
分子分母模相等：
\[ |r| = 1 \]
所以：
\[ R = |r|^2 = 1 \]
全反射。
10. 透射波
\[ E_2(z) = C e^{-\kappa z} \]
这是隐失波：
- 沿 \(x\) 方向传播：\(e^{i k_x x}\)
- 沿 \(z\) 方向指数衰减：\(e^{-\kappa z}\)
- 穿透深度：\(d = 1/\kappa\)
11. 总结
| 量 | 表达式 |
|---|---|
| 有效势 | \(V_{\text{eff}} = k_x^2\) |
| 介质2中的“能量” | \(E_2 = k_0^2 n_2^2\) |
| 条件 | \(V_{\text{eff}} > E_2\)，即 \(k_x > k_0 n_2\) |
| 垂直波矢 | \(k_{2z} = i\kappa\) |
| 衰减常数 | \(\kappa = \sqrt{k_x^2 - k_0^2 n_2^2}\) |
| 波函数 | \(E_2(z) = C e^{-\kappa z}\) |
| 反射率 | \(R = 1\) |
当有效势 \(V_{\text{eff}} = k_x^2\) 大于介质2的 \(k_0^2 n_2^2\) 时，垂直方向波矢变成虚数，波函数指数衰减，形成隐失波。 这就是全反射的薛定谔方程类比。
1. 它表示什么
在推导中，我们设电场为：
\[ \vec{E}(x,z,t) = E(z), \hat{y}, e^{i(k_x x - \omega t)} \]
所以 \( E(z) \) 是：
- 电场的复振幅
- 只依赖 \( z \)
- 包含振幅和相位信息
完整的电场是：
\[ E_y(x,z,t) = \text{Re}\left[E(z), e^{i(k_x x - \omega t)}\right] \]
2. 在区域1（介质1，\( z<0 \)）
\[ E_1(z) = A e^{i k_{1z} z} + B e^{-i k_{1z} z} \]
- \(A e^{i k_{1z} z}\)：入射波的复振幅
- \(B e^{-i k_{1z} z}\)：反射波的复振幅
这里的 \(A\) 和 \(B\) 都是复数，可以写成：
\[ A = |A| e^{i\phi_A}, \quad B = |B| e^{i\phi_B} \]
它们决定了入射波和反射波的振幅和相位。
3. 在区域2（介质2，\( z>0 \)，全反射时）
\[ E_2(z) = C e^{-\kappa z} \]
这里的 \(C\) 也是复振幅，表示界面处（\(z=0\)）的电场复振幅。
完整电场：
\[ E_y(x,z,t) = \text{Re}\left[C e^{-\kappa z} e^{i(k_x x - \omega t)}\right] \]
展开：
\[ E_y(x,z,t) = |C| e^{-\kappa z} \cos(k_x x - \omega t + \phi_C) \]
所以：
- 振幅：\( |C| e^{-\kappa z} \)，随 \( z \) 指数衰减
- 相位：\( k_x x - \omega t + \phi_C \)，沿 \( x \) 方向传播
4. 它和光强的关系
光强正比于电场振幅的平方：
\[ I(z) \propto |E(z)|^2 \]
在区域2中：
\[ I(z) \propto |C|^2 e^{-2\kappa z} \]
所以光强也指数衰减，但衰减更快（因子是 \( 2\kappa \)）。
穿透深度 \( d = 1/\kappa \) 定义为振幅降到 \( 1/e \) 的深度。如果按光强算，降到 \( 1/e \) 的深度是 \( 1/(2\kappa) \)。
5. 它是不是“电场的大小”
严格说：
- \( E(z) \) 是复振幅，不是实数
- \( |E(z)| \) 是振幅大小
- \( \text{Re}[E(z)e^{i(k_x x - \omega t)}] \) 才是真实电场
所以：
| 量 | 含义 |
|---|---|
| \( E(z) \) | 复振幅（含相位） |
| \( | E(z) |
| \( \text{Re}[E(z)e^{i(k_x x - \omega t)}] \) | 真实电场 |
| \( | E(z) |
6. 在隐失波中
\[ E_2(z) = C e^{-\kappa z} \]
- \( |E_2(z)| = |C| e^{-\kappa z} \)：振幅随 \( z \) 衰减
- \( C \) 是复数，决定界面处的振幅和相位
- 真实电场：
\[ E_y(x,z,t) = |C| e^{-\kappa z} \cos(k_x x - \omega t + \phi_C) \]
它表示的是电场在 \( y \) 方向的复振幅分布，不是电场本身，也不是光强。
7. 一句话总结
上面求出的 \( E(z) \) 是电场的复振幅，包含振幅和相位信息。完整电场需要乘以 \( e^{i(k_x x - \omega t)} \) 再取实部。\( |E(z)| \) 是振幅大小，\( |E(z)|^2 \) 正比于光强。在隐失波中，振幅随 \( z \) 指数衰减，但沿 \( x \) 方向仍然传播。
下面我把这件事说清楚。
1. 字母本身不决定是不是复数
数学上，\(A\)、\(B\)、\(C\) 只是符号。它们是不是复数，取决于：
- 边界条件解出来是什么
- 物理上需不需要相位信息
如果入射波在界面处相位取为零，且介质无吸收，那么可以选 \(A\) 为实数。但 \(B\) 和 \(C\) 不一定能同时取实数。
2. 看一个最简单的例子：垂直入射
设光从介质1垂直入射到介质2，\(n_1 > n_2\)。垂直入射时没有全反射，总有透射。
边界条件：
\[ A + B = C \]
\[ k_1(A - B) = k_2 C \]
解出：
\[ B = \frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2} A \]
\[ C = \frac{2k_1}{k_1 + k_2} A \]
因为 \(k_1, k_2\) 都是实数，所以如果 \(A\) 取实数，那么 \(B\)、\(C\) 也都是实数。
这种情况下，它们看起来就像实数，不需要复数。
3. 斜入射时，情况变了
斜入射时，边界条件里的系数变成 \(k_{1z}\) 和 \(k_{2z}\)：
\[ A + B = C \]
\[ k_{1z}(A - B) = k_{2z} C \]
解出：
\[ B = \frac{k_{1z} - k_{2z}}{k_{1z} + k_{2z}} A \]
\[ C = \frac{2k_{1z}}{k_{1z} + k_{2z}} A \]
如果 \(k_{1z}\) 和 \(k_{2z}\) 都是实数（未超过临界角），且 \(A\) 取实数，那么 \(B\)、\(C\) 仍然是实数。
所以未超过临界角时，也可以全是实数。
4. 超过临界角时，\(k_{2z}\) 变成虚数
超过临界角：
\[ k_{2z} = i\kappa \]
代入：
\[ B = \frac{k_{1z} - i\kappa}{k_{1z} + i\kappa} A \]
\[ C = \frac{2k_{1z}}{k_{1z} + i\kappa} A \]
即使 \(A\) 取实数，\(B\) 和 \(C\) 也必然是复数，因为分子或分母里有 \(i\)。
这时：
\[ |B| = |A| \]
但 \(B\) 有非零相位。这个相位是物理上真实存在的：反射波相对于入射波有一个相位延迟。
所以全反射时，\(B\) 和 \(C\) 必须是复数，不能取实数。
5. 为什么之前直接说它们是复数
因为用复数表示波是通用做法。即使某个具体情况下解出来是实数，我们仍然把它们写成复数形式，因为：
- 复数形式统一，不用分情况讨论
- 相位信息自然包含在内
- 边界条件写成复数方程，求解方便
但你的质疑是对的：字母本身不自动是复数，是边界条件解出来可能是复数。
6. 严格来说，应该这样表述
设：
\[ A, B, C \in \mathbb{C} \]
一般解允许它们是复数。然后根据具体情况：
- 垂直入射、未超临界：可以取 \(A\) 实数，\(B\)、\(C\) 也是实数
- 斜入射、未超临界：同样可以取实数
- 超过临界角：\(B\)、\(C\) 必然是复数，相位由 \(k_{2z} = i\kappa\) 决定
7. 用具体数字看
设 \(k_{1z} = 2\)，\(\kappa = 1\)，\(A = 1\)（实数）。
\[ B = \frac{2 - i}{2 + i} \]
有理化：
\[ B = \frac{(2-i)^2}{(2+i)(2-i)} = \frac{4 - 4i + i^2}{4 + 1} = \frac{3 - 4i}{5} = 0.6 - 0.8i \]
这是一个真正的复数：
- 模：\(\sqrt{0.6^2 + 0.8^2} = 1\)
- 相位：\(\arctan(-0.8/0.6) \approx -53°\)
所以 \(B\) 确实是复数，不是实数。
8. 总结
| 情况 | \(A\) | \(B\) | \(C\) |
|---|---|---|---|
| 垂直入射 | 可取实数 | 实数 | 实数 |
| 斜入射，未超临界 | 可取实数 | 实数 | 实数 |
| 斜入射，超临界（全反射） | 可取实数 | 复数 | 复数 |
关键点：
\(A\)、\(B\)、\(C\) 之所以被当作复数，是因为一般情况下它们可以取复数，而在全反射时它们必须取复数。不是字母本身“看起来像复数”，而是边界条件在超过临界角后强制引入了虚数 \(i\kappa\)，使得解出来的系数必然是复数。