薛定谔方程的经典形式

前面我们得到一个形式：

\(E-V=p^2=\frac{f’’}{f}\) \(=-\frac{\int f^2\tilde f(p)e^{ipx}dp}{\int \tilde f(p)e^{ipx}dp}\)

可以作为薛定谔方程的傅里叶变换形式

下面我们看看能否用这个思路来求解点什么

经典谐振子能量：

\(\frac{p^2}{2m}+\frac12 m\omega^2x^2=E\)

设 \(p\) 是 \(x\) 的函数 \(p=p(x)\)

有：

\(\frac{p^2(x)}{2m}+\frac12 m\omega^2x^2=E\)

\(p^2(x)=2mE-m^2\omega^2x^2\)

设定p(x)的傅里叶位置空间波函数：

\(y(x)=\int \tilde y(p)e^{ipx}dp\)

可得：

\(y’’(x)=-\int p^2\tilde y(p)e^{ipx}dp\)

将\(p^2=2mE-m^2\omega^2x^2\)代入：

\(y’’=-\int (2mE-m^2\omega^2x^2)\tilde y(p)e^{ipx}dp\)

即：

\(y’’=-2mE y+m^2\omega^2x^2y\)

即可得到定态薛定谔方程的经典形式：

\(-\frac{1}{2m}y’’+\frac12 m\omega^2x^2y=Ey\)

解这个方程，可得：

\(E_n=\omega\left(n+\frac12\right)\)

\(y_n(x)=N_nH_n\left(\sqrt{m\omega}x\right)e^{-\frac{m\omega}{2}x^2}\)

也是量子化的