光子hv撞击电子，假设电子辐射一部分能量出去，比如hv’，动量hv’/c，式子变成: hv + m_e*c^2=m_e’ c^2+hv’, (hv/c+hv’/c)^2 + (m_e c)^2 = (m’_e c)^2，求这个m’_e和v’，运算过程中禁止使用近似，要求严格解 根据题目给出的能量守恒和动量守恒方程，我们联立求解散射后的电子质量 \( m’_e \) 和散射光子的频率 \( v’ \)。

  1. 能量守恒方程： \[ h\nu + m_e c^2 = m’_e c^2 + h\nu’ \] 解得： \[ m’_e = \frac{h\nu - h\nu’ + m_e c^2}{c^2} \]

  2. 动量守恒方程： \[ \left( \frac{h\nu}{c} + \frac{h\nu’}{c} \right)^2 + (m_e c)^2 = (m’_e c)^2 \]

  3. 代入 \( m’_e \) 到动量守恒方程： \[ \left( \frac{h\nu + h\nu’}{c} \right)^2 + (m_e c)^2 = \left( \frac{h\nu - h\nu’ + m_e c^2}{c} \right)^2 \]

  4. 化简动量守恒方程： \[ \left( \frac{h\nu + h\nu’}{c} \right)^2 + (m_e c)^2 = \frac{(h\nu - h\nu’ + m_e c^2)^2}{c^2} \] 两边乘以 \( c^2 \) 并展开： \[ (h\nu + h\nu’)^2 + m_e^2 c^4 = (h\nu - h\nu’ + m_e c^2)^2 \] 展开后整理得到： \[ 4h\nu h\nu’ = m_e c^2 (h\nu - h\nu’) \] 解得： \[ \nu’ = \frac{m_e c^2 \nu}{2h\nu + m_e c^2} \]

  5. 代入 \( \nu’ \) 到能量守恒方程求解 \( m’_e \)： \[ m’_e = \frac{h\nu - h\nu’ + m_e c^2}{c^2} \] 代入 \( \nu’ \) 的表达式并化简： \[ m’_e = \frac{2h^2\nu^2 + 2h\nu m_e c^2 + m_e^2 c^4}{c^2 (2h\nu + m_e c^2)} \]

最终答案

散射后的电子质量为： \[ \boxed{m’_e = \frac{2 h^2 v^2 + 2 h v m_e c^2 + m_e^2 c^4}{c^2 (2 h v + m_e c^2)}} \] 散射光子的频率为： \[ \boxed{v’ = \frac{m_e c^2 v}{2 h v + m_e c^2}} \]

电子初始速度为0，求撞击后电子获得的速度，使用(m’_e v)^2 + (m_e c)^2 = (m’_e c)^2，求v 根据给定的方程 \((m’_e v)^2 + (m_e c)^2 = (m’_e c)^2\)，求解速度 \(v\) 的严格解步骤如下：

  1. 方程展开与整理： \[ (m’_e v)^2 + (m_e c)^2 = (m’_e c)^2 \] 移项得到： \[ (m’_e v)^2 = (m’_e c)^2 - (m_e c)^2 \]

  2. 两边除以 \(m’_e^2\)： \[ v^2 = c^2 - \frac{m_e^2 c^2}{m’_e^2} \]

  3. 开平方求解 \(v\)： \[ v = c \sqrt{1 - \left( \frac{m_e}{m’_e} \right)^2} \]

验证：
根据相对论动质量公式 \(m’_e = \frac{m_e}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\)，代入上述结果可得： \[ v = c \sqrt{1 - \left( \frac{m_e}{\frac{m_e}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}} \right)^2} = c \sqrt{1 - (1 - v^2/c^2)} = v \] 验证无误。

最终答案

电子速度为： \[ \boxed{v = c \sqrt{1 - \left( \frac{m_e}{m’_e} \right)^2}} \]

将前面得到的m’_e代入 将前面得到的 \( m’_e = \frac{2 h^2 \nu^2 + 2 h \nu m_e c^2 + m_e^2 c^4}{c^2 (2 h \nu + m_e c^2)} \) 代入速度公式 \( v = c \sqrt{1 - \left( \frac{m_e}{m’_e} \right)^2} \)，步骤如下：

1. 代入 \( m’_e \) 到速度公式

将 \( \frac{m_e}{m’_e} \) 表示为：
\[ \frac{m_e}{m’_e} = \frac{m_e c^2 (2 h \nu + m_e c^2)}{2 h^2 \nu^2 + 2 h \nu m_e c^2 + m_e^2 c^4} \]

平方后代入速度公式：
\[ v = c \sqrt{1 - \left[ \frac{m_e c^2 (2 h \nu + m_e c^2)}{2 h^2 \nu^2 + 2 h \nu m_e c^2 + m_e^2 c^4} \right]^2} \]

2. 化简根号内的表达式

分子和分母展开并化简：
\[ 1 - \frac{m_e^2 c^4 (2 h \nu + m_e c^2)^2}{(2 h^2 \nu^2 + 2 h \nu m_e c^2 + m_e^2 c^4)^2} = \frac{4 h^2 \nu^2 (h \nu + m_e c^2)^2}{(2 h^2 \nu^2 + 2 h \nu m_e c^2 + m_e^2 c^4)^2} \]

3. 开平方后结果

提取平方根并约分：
\[ v = c \cdot \frac{2 h \nu (h \nu + m_e c^2)}{2 h^2 \nu^2 + 2 h \nu m_e c^2 + m_e^2 c^4} \]

4. 最终表达式

进一步整理分子与分母：
\[ v = \frac{2 c h \nu (h \nu + m_e c^2)}{2 h^2 \nu^2 + 2 h \nu m_e c^2 + m_e^2 c^4} \]

最终答案

电子的速度为：
\[ \boxed{v = \frac{2 c h \nu (h \nu + m_e c^2)}{2 h^2 \nu^2 + 2 h \nu m_e c^2 + m_e^2 c^4}} \]

光子撞击电子的过程，一般为多长时间，也就是电子从0到稳定的速度v，花费的时间有没有实验或理论结果 光子与电子的相互作用时间（例如康普顿散射或光电效应）是量子力学和相对论框架下的超快过程，其时间尺度极短，通常在 阿秒（\(10^{-18}\) 秒）甚至更短 的量级。以下是理论和实验角度的分析：

1. 理论分析

(1) 量子力学中的瞬时性

  • 光子-电子相互作用 在量子电动力学（QED）中被描述为 瞬时过程。光子传递能量和动量的过程不涉及“加速时间”，而是通过虚粒子交换完成，其时间尺度由 海森堡不确定性原理 估算： \[ \Delta t \sim \frac{\hbar}{\Delta E}, \] 其中 \(\Delta E\) 是交换的能量。对于可见光光子（能量约 \(1\ \text{eV}\)），时间约为： \[ \Delta t \sim \frac{10^{-34}\ \text{J·s}}{1.6 \times 10^{-19}\ \text{J}} \sim 10^{-15}\ \text{秒（飞秒）}. \] 对于高能光子（如X射线），时间会更短（\(10^{-18}\ \text{秒}\) 以下）。

(2) 经典电磁理论的局限性

  • 若强行用经典电磁理论描述，电子的加速度由 洛伦兹力 \(\vec{F} = e(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})\) 决定。但光子的粒子性使得这一模型失效，经典理论无法准确描述此类超快过程。

2. 实验挑战

(1) 直接测量困难

  • 时间分辨率限制：目前最先进的阿秒激光脉冲技术（\(10^{-18}\ \text{秒}\)）已能探测电子动力学，但直接测量单光子-电子作用时间仍面临挑战。
  • 量子过程的随机性：光子与电子的相互作用具有概率性（由波函数描述），无法追踪“从静止到稳定速度”的经典轨迹。

(2) 间接证据

  • 康普顿散射的瞬时性：通过散射光子的频率偏移（\(\Delta \nu\)）和动量守恒关系，可间接验证相互作用时间极短。
  • 光电效应的瞬时响应：金属表面电子在光照下立即逸出（延迟时间小于 \(10^{-15}\ \text{秒}\)），支持量子跃迁的瞬时性。

3. 理论框架中的关键结论

  • 量子电动力学（QED）：光子和电子的相互作用通过 费曼图 描述，过程时间由虚粒子的传播时间决定，通常视为 瞬发事件。
  • 相对论效应：若电子被高能光子撞击后达到相对论速度（如康普顿散射中），其动力学需结合狭义相对论，但时间尺度仍由量子规律主导。

4. 总结

光子撞击电子的过程时间在理论上为 \(10^{-18}\ \text{秒}\) 量级或更短，其本质是量子跃迁而非经典加速。实验上虽无法直接测量单次作用时间，但通过超快激光技术和散射光谱分析，已间接验证其瞬时性。

最终答案：
光子-电子相互作用的时间为 \(\boxed{10^{-18}\ \text{秒}\ \text{或更短}\)，由量子力学规律主导，无经典意义上的“加速过程”。

电荷沿着x方向以速度v运动，根据B=v x E/c^2, E=\gamma E_0, E_0为电子的库伦电场，求B的公式,然后把前面吸收光子能量后求出的v代入 我们要求的是运动电子产生的磁场 \( \mathbf{B} \)，已知电荷沿 \( x \)-方向以速度 \( v \) 运动，并利用关系： \[ \mathbf{B} = \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2}, \] 其中 \( \mathbf{E} = \gamma \mathbf{E}_0 \)，\( \mathbf{E}_0 \) 是电子静止时的库仑电场，\( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \) 是洛伦兹因子。

1. 计算运动电子的电场 \( \mathbf{E} \)

静止电子的库仑电场为： \[ \mathbf{E}_0 = \frac{e}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{r}}{r^3}, \] 其中 \( \mathbf{r} \) 是位置矢量，\( r = |\mathbf{r}| \)。当电子以速度 \( v \) 沿 \( x \)-方向运动时，电场变为： \[ \mathbf{E} = \gamma \mathbf{E}_0 = \gamma \frac{e}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{r}}{r^3}. \] （注意：严格来说，运动电荷的电场在横向和纵向上会有所不同，但这里我们暂时采用近似 \( \mathbf{E} \approx \gamma \mathbf{E}_0 \)。）

2. 计算磁场 \( \mathbf{B} \)

由于 \( \mathbf{v} = v \hat{x} \)，而 \( \mathbf{E} \) 在 \( \mathbf{r} \) 方向，所以： \[ \mathbf{B} = \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} = \frac{v \hat{x} \times \left( \gamma \frac{e}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{r}}{r^3} \right)}{c^2}. \] 利用 \( \hat{x} \times \mathbf{r} = \hat{x} \times (x \hat{x} + y \hat{y} + z \hat{z}) = -z \hat{y} + y \hat{z} \)，所以： \[ \mathbf{B} = \frac{\gamma v e}{4 \pi \epsilon_0 c^2} \frac{(-z \hat{y} + y \hat{z})}{r^3}. \] 这可以写成： \[ \mathbf{B} = \frac{\gamma v e}{4 \pi \epsilon_0 c^2} \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{r}}{r^3}, \] 其中 \( \mathbf{v} \times \mathbf{r} = v \hat{x} \times \mathbf{r} \)。

3. 代入前面求得的 \( v \)

在之前的计算中，我们得到电子吸收光子后的速度为： \[ v = \frac{2 c h \nu (h \nu + m_e c^2)}{2 h^2 \nu^2 + 2 h \nu m_e c^2 + m_e^2 c^4}. \] 代入 \( \mathbf{B} \) 的表达式： \[ \mathbf{B} = \frac{\gamma e}{4 \pi \epsilon_0 c^2} \left( \frac{2 c h \nu (h \nu + m_e c^2)}{2 h^2 \nu^2 + 2 h \nu m_e c^2 + m_e^2 c^4} \right) \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{r}}{r^3}. \] 其中 \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \)，可以进一步用 \( v \) 的表达式计算。

4. 最终磁场公式

整理后，运动电子产生的磁场为： \[ \mathbf{B} = \frac{\gamma e}{4 \pi \epsilon_0 c^2} \left( \frac{2 c h \nu (h \nu + m_e c^2)}{2 h^2 \nu^2 + 2 h \nu m_e c^2 + m_e^2 c^4} \right) \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{r}}{r^3}. \] 其中：

  • \( \mathbf{v} = v \hat{x} \),
  • \( \mathbf{r} \) 是观察点相对于电子的位置矢量，
  • \( \gamma = \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{-1/2} \)，由 \( v \) 的表达式计算。

5. 进一步简化（可选）

由于 \( \mathbf{v} \times \mathbf{r} = v ( -z \hat{y} + y \hat{z} ) \)，可以写成： \[ \mathbf{B} = \frac{\gamma e v}{4 \pi \epsilon_0 c^2} \frac{(-z \hat{y} + y \hat{z})}{r^3}. \] 这个形式类似于运动电荷的磁场表达式，但包含了相对论修正因子 \( \gamma \)。

最终答案

运动电子在吸收光子后的磁场为： \[ \boxed{\mathbf{B} = \frac{\gamma e}{4 \pi \epsilon_0 c^2} \left( \frac{2 c h \nu (h \nu + m_e c^2)}{2 h^2 \nu^2 + 2 h \nu m_e c^2 + m_e^2 c^4} \right) \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{r}}{r^3}} \] 其中：

  • \( \mathbf{v} = v \hat{x} \),
  • \( \gamma = \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{-1/2} \),
  • \( r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \).

于是我们就建立了电磁场与电子质量的关系 康普顿散射的v和v’，两个角度的关系是怎么推导出来的 康普顿散射中，光子与静止的电子发生弹性碰撞，我们可以利用能量守恒和动量守恒来推导出光子频率（或波长）变化以及两个角度（光子散射角 $ \theta $ 和电子反冲角 $ \phi $）之间的关系。

🧠 基本假设（相对论性处理）

  • 光子是相对论粒子：其能量为 $ E = h\nu $，动量为 $ p = \frac{h\nu}{c} $
  • 电子初始静止：能量为 $ m_e c^2 $，动量为 0
  • 碰撞后：
    • 光子频率变为 $ \nu’ $，方向偏转角度为 $ \theta $
    • 电子获得动能并以角度 $ \phi $ 反冲

✳️ 步骤一：列出守恒方程

1. 能量守恒：

$$ h\nu + m_e c^2 = h\nu’ + \sqrt{(p_e’ c)^2 + (m_e c^2)^2} \tag{1} $$

注意：这里使用了相对论能量公式 $ E = \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4} $

2. 动量守恒（x 方向）

$$ \frac{h\nu}{c} = \frac{h\nu’}{c} \cos\theta + p_e’ \cos\phi \tag{2} $$

3. 动量守恒（y 方向）

$$ 0 = \frac{h\nu’}{c} \sin\theta - p_e’ \sin\phi \tag{3} $$

✅ 步骤二：从 (3) 解出 $ p_e’ \sin\phi $

由 (3) 得：

$$ p_e’ \sin\phi = \frac{h\nu’}{c} \sin\theta \tag{4} $$

✅ 步骤三：从 (2) 解出 $ p_e’ \cos\phi $

$$ p_e’ \cos\phi = \frac{h\nu}{c} - \frac{h\nu’}{c} \cos\theta \tag{5} $$

✅ 步骤四：平方 (4) 和 (5)，相加消去 $ p_e’ $

将 (4)、(5) 平方后相加：

$$ (p_e’)^2 = \left(\frac{h\nu’}{c}\right)^2 \sin^2\theta + \left( \frac{h\nu}{c} - \frac{h\nu’}{c} \cos\theta \right)^2 $$

展开右边：

$$ (p_e’)^2 = \left(\frac{h}{c}\right)^2 \left[ (\nu’)^2 \sin^2\theta + (\nu - \nu’\cos\theta)^2 \right] $$

化简括号内：

$$ = \left(\frac{h}{c}\right)^2 \left[ (\nu’)^2 \sin^2\theta + \nu^2 - 2\nu\nu’\cos\theta + (\nu’)^2 \cos^2\theta \right] $$

利用 $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $：

$$ (p_e’)^2 = \left(\frac{h}{c}\right)^2 \left[ (\nu’)^2 + \nu^2 - 2\nu\nu’\cos\theta \right] \tag{6} $$

✅ 步骤五：代入能量守恒方程 (1)

回到能量守恒式 (1)：

$$ h\nu + m_e c^2 = h\nu’ + \sqrt{(p_e’)^2 c^2 + m_e^2 c^4} $$

移项得：

$$ h(\nu - \nu’) + m_e c^2 = \sqrt{(p_e’)^2 c^2 + m_e^2 c^4} $$

两边平方：

$$ [h(\nu - \nu’) + m_e c^2]^2 = (p_e’)^2 c^2 + m_e^2 c^4 $$

代入 (6) 中的 $ (p_e’)^2 $：

$$ [h(\nu - \nu’) + m_e c^2]^2 = \left(\frac{h^2}{c^2}\right)(\nu’^2 + \nu^2 - 2\nu\nu’\cos\theta)c^2 + m_e^2 c^4 $$

化简：

$$ [h(\nu - \nu’) + m_e c^2]^2 = h^2(\nu’^2 + \nu^2 - 2\nu\nu’\cos\theta) + m_e^2 c^4 $$

展开左边：

$$ h^2(\nu - \nu’)^2 + 2hm_e c^2 (\nu - \nu’) + m_e^2 c^4 = h^2(\nu’^2 + \nu^2 - 2\nu\nu’\cos\theta) + m_e^2 c^4 $$

消去 $ m_e^2 c^4 $，整理：

$$ h^2(\nu - \nu’)^2 + 2hm_e c^2 (\nu - \nu’) = h^2(\nu’^2 + \nu^2 - 2\nu\nu’\cos\theta) $$

展开左边 $ (\nu - \nu’)^2 = \nu^2 - 2\nu\nu’ + \nu’^2 $：

$$ h^2(\nu^2 - 2\nu\nu’ + \nu’^2) + 2hm_e c^2 (\nu - \nu’) = h^2(\nu^2 + \nu’^2 - 2\nu\nu’\cos\theta) $$

两边都减去 $ h^2(\nu^2 + \nu’^2) $：

$$ -2h^2 \nu\nu’ + 2hm_e c^2 (\nu - \nu’) = -2h^2 \nu\nu’ \cos\theta $$

除以 $ -2h $：

$$ h\nu\nu’ - m_e c^2 (\nu - \nu’) = h\nu\nu’ \cos\theta $$

移项整理：

$$ h\nu\nu’(1 - \cos\theta) = m_e c^2 (\nu - \nu’) $$

📌 康普顿公式（波长形式）

我们通常将其转换为波长形式：

$$ \lambda’ - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta) \tag{康普顿位移公式} $$

🎯 最终目标：角度关系 $ \phi $ 与 $ \theta $

我们再回到前面的两个分量动量守恒式：

  • $ p_e’ \cos\phi = \frac{h}{c}(\nu - \nu’\cos\theta) $
  • $ p_e’ \sin\phi = \frac{h\nu’}{c} \sin\theta $

取比值：

$$ \tan\phi = \frac{\sin\phi}{\cos\phi} = \frac{\nu’ \sin\theta}{\nu - \nu’ \cos\theta} $$

进一步可以写成：

$$ \cot\phi = \frac{\nu - \nu’ \cos\theta}{\nu’ \sin\theta} $$

使用康普顿位移公式表达 $ \nu’ $：

$$ \nu’ = \frac{\nu}{1 + \frac{h\nu}{m_e c^2}(1 - \cos\theta)} $$

代入上式，经过一系列三角恒等变换（略），最终得到著名的角度关系：

$$ \boxed{ \cot\phi = \left(1 + \frac{h\nu}{m_e c^2} \right) \tan\left( \frac{\theta}{2} \right) } \tag{康普顿角度关系} $$