下面给出完整希格斯场方程的标准形式。
我分几个层次写：先从最简单的复标量出发，再写完整的标准模型希格斯场，最后写运动方程。
1. 最简单的复标量希格斯场
先看一个复标量场：
\[ \Phi(x)=\phi_1(x)+i\phi_2(x) \]
拉格朗日密度：
\[ \boxed{ \mathcal L
(\partial_\mu\Phi)^\dagger(\partial^\mu\Phi)
V(\Phi) } \]
其中势能：
\[ \boxed{ V(\Phi)
-\mu^2|\Phi|^2+\lambda|\Phi|^4 } \]
所以：
\[ \boxed{ \mathcal L
(\partial_\mu\Phi)^\dagger(\partial^\mu\Phi) +\mu^2|\Phi|^2 -\lambda|\Phi|^4 } \]
运动方程由欧拉–拉格朗日方程给出：
\[ \partial_\mu \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\Phi^\dagger)}
\frac{\partial\mathcal L}{\partial\Phi^\dagger} =0 \]
得到：
\[ \boxed{ \partial_\mu\partial^\mu\Phi + \mu^2\Phi
2\lambda|\Phi|^2\Phi =0 } \]
这是最简单的希格斯场方程。
2. 标准模型中的希格斯场
在标准模型中，希格斯场是一个 \(SU(2)_L\) 二重态，并带有弱超荷 \(Y=1/2\)：
\[ \boxed{ \Phi= \begin{pmatrix} \phi^+\ \phi^0 \end{pmatrix} } \]
其中：
- \(\phi^+\)：带电分量；
- \(\phi^0\)：中性分量。
这是一个复二重态，共有 4 个实自由度。
3. 完整的希格斯拉格朗日密度
希格斯部分的拉格朗日密度是：
\[ \boxed{ \mathcal L_{\text{Higgs}}
(D_\mu\Phi)^\dagger(D^\mu\Phi)
V(\Phi) } \]
其中协变导数：
\[ \boxed{ D_\mu
\partial_\mu
i g \frac{\sigma^a}{2}W^a_\mu
i g’ \frac{Y}{2}B_\mu } \]
这里：
- \(g\)：\(SU(2)_L\) 规范耦合；
- \(g’\)：\(U(1)_Y\) 规范耦合；
- \(W^a_\mu\)：\(SU(2)_L\) 规范玻色子；
- \(B_\mu\)：\(U(1)_Y\) 规范玻色子；
- \(\sigma^a\)：泡利矩阵；
- \(Y=1/2\)：希格斯场的弱超荷。
势能：
\[ \boxed{ V(\Phi)
-\mu^2\Phi^\dagger\Phi + \lambda(\Phi^\dagger\Phi)^2 } \]
所以完整形式：
\[ \boxed{ \mathcal L_{\text{Higgs}}
(D_\mu\Phi)^\dagger(D^\mu\Phi) +\mu^2\Phi^\dagger\Phi
\lambda(\Phi^\dagger\Phi)^2 } \]
4. 完整的希格斯场运动方程
对 \(\Phi^\dagger\) 做变分，得到：
\[ \boxed{ D_\mu D^\mu\Phi + \mu^2\Phi
2\lambda(\Phi^\dagger\Phi)\Phi =0 } \]
这就是标准模型中希格斯场的完整运动方程。
其中：
\[ D_\mu D^\mu\Phi
(\partial_\mu - i g \frac{\sigma^a}{2}W^a_\mu - i g’ \frac{Y}{2}B_\mu) (\partial^\mu - i g \frac{\sigma^a}{2}W^{a\mu} - i g’ \frac{Y}{2}B^\mu)\Phi \]
这是一个非线性方程，因为势能里有 \(\lambda(\Phi^\dagger\Phi)^2\) 项。
5. 真空期望值
势能最小值在：
\[ \Phi^\dagger\Phi = \frac{\mu^2}{2\lambda} \]
标准模型中，通过规范变换选：
\[ \boxed{ \langle\Phi\rangle
\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0\ v \end{pmatrix} } \]
其中：
\[ \boxed{ v=\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} \approx 246\ \text{GeV} } \]
6. 真空附近展开
把希格斯场在真空附近展开：
\[ \boxed{ \Phi(x)
\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0\ v+h(x) \end{pmatrix} } \]
这是幺正规范下的形式。
其中：
- \(h(x)\)：希格斯粒子，自旋 0；
- 三个戈德斯通模式被 \(W^\pm,Z\) 吃掉。
7. 总结
最简单复标量形式
\[ \boxed{ \mathcal L
(\partial_\mu\Phi)^\dagger(\partial^\mu\Phi) +\mu^2|\Phi|^2 -\lambda|\Phi|^4 } \]
\[ \boxed{ \partial_\mu\partial^\mu\Phi + \mu^2\Phi
2\lambda|\Phi|^2\Phi =0 } \]
标准模型完整形式
\[ \boxed{ \mathcal L_{\text{Higgs}}
(D_\mu\Phi)^\dagger(D^\mu\Phi) +\mu^2\Phi^\dagger\Phi
\lambda(\Phi^\dagger\Phi)^2 } \]
\[ \boxed{ D_\mu D^\mu\Phi + \mu^2\Phi
2\lambda(\Phi^\dagger\Phi)\Phi =0 } \]
其中：
\[ D_\mu
\partial_\mu
i g \frac{\sigma^a}{2}W^a_\mu
i g’ \frac{Y}{2}B_\mu \]
\[ \langle\Phi\rangle
\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0\ v \end{pmatrix} \]
\[ v=\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}\approx 246\ \text{GeV} \]
如果你想，我可以接着讲：从这个完整拉格朗日密度出发，怎么一步步得到 \(W^\pm,Z\) 的质量、光子保持无质量，以及希格斯粒子 \(h\) 的质量。
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1. 最简单复标量形式
取
\[ \Phi=\phi_1+i\phi_2,\qquad \phi_1,\phi_2\in\mathbb R \]
则
\[ |\Phi|^2=\Phi^\dagger\Phi=\phi_1^2+\phi_2^2 \]
希格斯势为
\[ V(\Phi)=-\mu^2|\Phi|^2+\lambda|\Phi|^4 \]
代入后：
\[ \boxed{ V(\phi_1,\phi_2)
-\mu^2(\phi_1^2+\phi_2^2) + \lambda(\phi_1^2+\phi_2^2)^2 } \]
令径向变量
\[ r=|\Phi|=\sqrt{\phi_1^2+\phi_2^2} \]
则势能只依赖 \(r\)：
\[ \boxed{ V(r)=-\mu^2 r^2+\lambda r^4 } \]
2. 势能形状：墨西哥帽
- \(r=0\)：\(V(0)=0\)
- 小 \(r\) 时，\(-\mu^2 r^2\) 主导，势能下降
- 大 \(r\) 时，\(\lambda r^4\) 主导，势能上升
- 最小值不在原点，而在一圈半径为 \(r_{\min}\) 的圆上
求导：
\[ \frac{dV}{dr}=-2\mu^2 r+4\lambda r^3=2r(-\mu^2+2\lambda r^2) \]
令其为零：
\[ r=0 \quad\text{或}\quad r^2=\frac{\mu^2}{2\lambda} \]
其中 \(r=0\) 是局部极大，因为
\[ \left.\frac{d^2V}{dr^2}\right|_{r=0}=-2\mu^2<0 \]
真正的最小值在
\[ \boxed{ r_{\min}=\sqrt{\frac{\mu^2}{2\lambda}} } \]
此时
\[ \left.\frac{d^2V}{dr^2}\right|_{r_{\min}}
-2\mu^2+12\lambda\cdot\frac{\mu^2}{2\lambda}
4\mu^2>0 \]
所以是极小值。
3. 真空期望值
标准定义：
\[ |\Phi|_{\min}=\frac{v}{\sqrt2} \]
而
\[ |\Phi|_{\min}=r_{\min}=\sqrt{\frac{\mu^2}{2\lambda}} \]
所以
\[ \frac{v}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{\mu^2}{2\lambda}} \]
两边平方：
\[ \frac{v^2}{2}=\frac{\mu^2}{2\lambda} \]
得到
\[ \boxed{ v^2=\frac{\mu^2}{\lambda} } \]
即
\[ \boxed{ v=\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} } \]
实验值：
\[ v\approx 246\ \text{GeV} \]
因此
\[ |\Phi|_{\min}=\frac{v}{\sqrt2} \approx \frac{246}{1.414} \approx 174\ \text{GeV} \]
4. 真空不是唯一一个点，而是一圈
因为势能只依赖 \(|\Phi|\)，不依赖相位，所以最小值是一整圈：
\[ \Phi_{\text{vac}}=\frac{v}{\sqrt2}e^{i\theta} \]
其中 \(\theta\) 任意。
标准模型中通过规范变换，通常选：
\[ \langle\Phi\rangle= \frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0\ v \end{pmatrix} \]
只看中性分量：
\[ \phi^0=\frac{v}{\sqrt2} \]
5. 希格斯粒子 \(h\) 从哪里来？
现在来看最后那个问题：
希格斯粒子 \(h\) 是怎么从 \(r\) 的振动里冒出来的？
在真空中，径向变量取
\[ r=\frac{v}{\sqrt2} \]
如果希格斯场在径向方向上偏离这个最小值，就可以写成：
\[ r(x)=\frac{v}{\sqrt2}+h(x) \]
这里 \(h(x)\) 就是希格斯场，也就是径向振动模式。
把
\[ r=\frac{v}{\sqrt2}+h \]
代入
\[ V(r)=-\mu^2 r^2+\lambda r^4 \]
展开，保留到 \(h^2\) 项，就会得到希格斯粒子的质量项。
先算：
\[ r^2=\left(\frac{v}{\sqrt2}+h\right)^2
\frac{v^2}{2}+\sqrt2 v h+h^2 \]
\[ r^4=\left(r^2\right)^2
\left(\frac{v^2}{2}+\sqrt2 v h+h^2\right)^2 \]
展开到 \(h^2\)：
\[ r^4= \frac{v^4}{4} + 2\cdot\frac{v^2}{2}\cdot\sqrt2 v h + \left[(\sqrt2 v h)^2+2\cdot\frac{v^2}{2}\cdot h^2\right] +\cdots \]
整理：
\[ r^4= \frac{v^4}{4} + \sqrt2 v^3 h + \left(2v^2 h^2+v^2 h^2\right) +\cdots \]
\[ r^4= \frac{v^4}{4} + \sqrt2 v^3 h + 3v^2 h^2 +\cdots \]
再代入势能：
\[ V= -\mu^2\left(\frac{v^2}{2}+\sqrt2 v h+h^2\right) + \lambda\left( \frac{v^4}{4} + \sqrt2 v^3 h + 3v^2 h^2 \right) +\cdots \]
利用
\[ \mu^2=\lambda v^2 \]
先看常数项：
\[ -\mu^2\frac{v^2}{2}+\lambda\frac{v^4}{4}
-\lambda v^2\frac{v^2}{2}+\lambda\frac{v^4}{4}
-\frac{\lambda v^4}{2}+\frac{\lambda v^4}{4}
-\frac{\lambda v^4}{4} \]
这是一条常数，不影响物理。
一次项 \(h\)：
\[ -\mu^2\sqrt2 v h+\lambda\sqrt2 v^3 h
-\lambda v^2\sqrt2 v h+\lambda\sqrt2 v^3 h
-\sqrt2\lambda v^3 h+\sqrt2\lambda v^3 h
0 \]
一次项消失，说明我们确实在最小值附近展开。
二次项 \(h^2\)：
\[ -\mu^2 h^2+3\lambda v^2 h^2
-\lambda v^2 h^2+3\lambda v^2 h^2
2\lambda v^2 h^2 \]
所以
\[ V(h)=\text{常数}+2\lambda v^2 h^2+\cdots \]
而标准动能项和质量项通常写成：
\[ \mathcal L \supset \frac12(\partial_\mu h)^2-\frac12 m_h^2 h^2 \]
从势能里读出：
\[ \frac12 m_h^2=2\lambda v^2 \]
所以
\[ \boxed{ m_h^2=4\lambda v^2 } \]
即
\[ \boxed{ m_h=2\sqrt{\lambda},v } \]
这就是希格斯粒子的质量。
实验上：
\[ m_h\approx 125\ \text{GeV} \]
\[ v\approx 246\ \text{GeV} \]
于是可以反推出：
\[ \lambda=\frac{m_h^2}{4v^2} \approx \frac{125^2}{4\times 246^2} \approx 0.129 \]
所以希格斯自耦合常数大约是
\[ \boxed{ \lambda\approx 0.13 } \]
6. 总结成一张图景
用最简单复标量 \(\Phi=\phi_1+i\phi_2\) 描述：
\[ \boxed{ V(\phi_1,\phi_2)
-\mu^2(\phi_1^2+\phi_2^2) + \lambda(\phi_1^2+\phi_2^2)^2 } \]
令
\[ r=\sqrt{\phi_1^2+\phi_2^2} \]
则
\[ \boxed{ V(r)=-\mu^2 r^2+\lambda r^4 } \]
最小值：
\[ \boxed{ r_{\min}=\sqrt{\frac{\mu^2}{2\lambda}} } \]
真空期望值：
\[ \boxed{ |\Phi|_{\min}=\frac{v}{\sqrt2} } \]
其中
\[ \boxed{ v=\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}\approx 246\ \text{GeV} } \]
在径向方向做小振动：
\[ r=\frac{v}{\sqrt2}+h \]
则 \(h\) 就是希格斯粒子，其质量为
\[ \boxed{ m_h=2\sqrt{\lambda},v\approx 125\ \text{GeV} } \]
自耦合：
\[ \boxed{ \lambda\approx 0.13 } \]
如果你愿意，下一步我可以继续用这个简单模型讲：
- 戈德斯通玻色子是怎么从相位方向 \(\theta\) 冒出来的；
- 在规范理论中，它如何被“吃掉”变成 \(W,Z\) 的纵向极化；
- 以及汤川耦合如何给出电子质量 \(m_e=y_e v/\sqrt2\)。