我们看定态的薛定谔方程：
\(\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)\right]\psi=E\psi\)
它来自经典能量关系：
\(\frac{p^2}{2m}+V(x)=E\)
把 \(p\) 换成算符：
\(p\to \hat p=-i\hbar\frac{d}{dx}\)
所以：
\(p^2\to -\hbar^2\frac{d^2}{dx^2}\)
即可得到薛定谔定态方程。
这个波函数的疑问在于：
这个波函数的工作原理是什么？
为什么换成算符如此有效？
我们从谐振子方程来出发，探讨这个问题。
经典谐振子的波动方程：
\(\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\)
分离变量后空间部分：
\(\phi’’+\frac{\omega^2}{c^2}\phi=0\)
解为：
\(\phi(x)=C\cos(kx)+D\sin(kx)\)
而量子谐振子的薛定谔定态方程为：
\(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac12 m\omega^2x^2\psi=E\psi\)
对比前面的方程，我们发现量子谐振子的方程比经典方程多了个\(\frac12 m\omega^2x^2\)项。
说明经典的方程是自由方程，并不是衰减模式的方程。
我们再看两者的p和\(p^2\)是什么
经典的：
\(p_c (x)=mv=\pm m\omega\sqrt{A^2-x^2}\)
\(p_c^2 (x)=m^2\omega^2(A^2-x^2)\)
量子谐振子的基态波函数:
\(\psi_0(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}\)
动量算符作用在基态上:
\(\hat p\psi_0=i m\omega x\psi_0\)
动量平方算符作用在基态上:
\(\hat p^2\psi_0=-\hbar^2\psi_0’’\)
\(=-\hbar^2\left(\frac{m^2\omega^2}{\hbar^2}x^2-\frac{m\omega}{\hbar}\right)\psi_0\)
\(=\left(\hbar m\omega-m^2\omega^2x^2\right)\psi_0\)
\(\hat p^2 =\hbar m\omega-m^2\omega^2x^2\)
我们对比前面的p和\(\hat p\)，
似乎p对应的是\(\sqrt{A^2-x^2}=y\), \(\hat p\)仅对应x
所以我们似乎可以觉得出，\(\hat p\)中隐藏了y方向的内容。
让经典的能量等于量子的能量：
经典的能量\(E=\frac{1}{2} m\omega^2A^2\)
量子的基态能量\(E_0=\frac{\hbar\omega}{2}\)
让\(E=E_0\)可得：
\(A^2=\frac{\hbar}{m\omega}\)
于是经典的动量平方：
\(p_c^2 (x)=m^2\omega^2(A^2-x^2)\)
\(=m^2\omega^2\left(\frac{\hbar}{m\omega}-x^2\right)\)
\(=\hbar m\omega-m^2\omega^2x^2\)
\(=\hat p^2 \)
两个动量的平方完全相等。
所以波函数的不同，在于经典的p对应y，而量子里的p没有y信息。
我们考虑y信息在波函数\(\psi\)中，
为方便查看，定态量子波函数简化为：
\(-\psi’’ + V(x)\psi =E\psi\)
两边都除以\(\psi\),
\(-\frac{\psi’’}{\psi} + V(x) =E\)
再对比谐振子的能量方程：
\(P^2 + V =E\)
可见实际上经典的\(P^2\)对应量子中的\(\frac{\psi’’}{\psi}\)，
\(p^2 = \frac{\psi’’}{\psi}\)
我们可以由此想到，我们测量到的经典上宏观的动量，可能是微观上一个动量分布的总和的体现，是y方向垂直振动的多个谐振子组成的，
由此我们想到傅里叶变换，无数个子频率形成了一个综合的波动函数，经典的谐振子其实也是一个波包，
傅里叶变换：
\(\psi(x)=\displaystyle \int \tilde \psi(p)e^{ipx}dp\)
\(\psi’’=-\displaystyle \int p^2\tilde \psi(p)e^{ipx}dp\)
\(=-p^2 \psi\)
于是可得：
\(\frac{\psi’’}{\psi}=p^2\)
这说明，
使用算符\(\hat p\)代替能量公式中的动量p，实际上就是把p看成一个量子波包的积分总和，
于是可以知道，波函数其实就是把经典的
\(\frac{p^2}{2m}+V(x)=E\)
中的\(p^2\)，换成一个波包的傅里叶变换形式，
甚至还使用了含时项\(e^{-iwt}\)，来分解每个能态，
所以结论就是：
薛定谔方程，就是一个伪装的傅里叶变换，它通过\(e^{-iwt}\)来得到能态分布。
它求的是衰减情况下的动量/能级分布，通过它能得到各个能级分布，就和通过傅里叶变换得到各个频谱一样。
它把p分解成很多个波包，然后将这些波包的基本谱函数求出来。这和概率波的解释不同。
它其实就是求动量谱，求傅里叶变换中的各个动量谱，形式就是：
\(E-V=-p^2=\frac{\psi’’}{\psi}\)
\(\psi(x)=\displaystyle \int \tilde \psi(p)e^{ipx}dp\)