角动量\(\vec L=\vec r\times\vec p\)
角动量算符：
\(\hat{\vec L} = \hat{\vec r} \times \hat{\vec p}\)
\(\hat L_x = \hat y \hat p_z - \hat z \hat p_y\)
\( = -i\hbar\left(y\frac{\partial}{\partial z} - z\frac{\partial}{\partial y}\right)\)
\(\hat L_y = \hat z \hat p_x - \hat x \hat p_z\)
\( = -i\hbar\left(z\frac{\partial}{\partial x} - x\frac{\partial}{\partial z}\right)\)
\(\hat L_z = \hat x \hat p_y - \hat y \hat p_x\)
\( = -i\hbar\left(x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial x}\right)\)
不对易：
\([\hat L_x, \hat L_y] = i\hbar \hat L_z\)
\([\hat L_y, \hat L_z] = i\hbar \hat L_x\)
\([\hat L_z, \hat L_x] = i\hbar \hat L_y\)
计算不确定性关系：
令：
\(a=\Delta L_x=\sqrt{\langle (\hat L_x-\langle L_x\rangle)^2\rangle}\)
\(b=\Delta L_y=\sqrt{\langle (\hat L_y-\langle L_y\rangle)^2\rangle}\)
为了简化，取期望值为零的平移：
\(\hat A=\hat L_x-\langle L_x\rangle,\qquad \hat B=\hat L_y-\langle L_y\rangle\)
于是：
\(a^2=\int |\hat A\psi|^2d^3r\)
\(b^2=\int |\hat B\psi|^2d^3r\)
再构造：
\(c^2=\int |(\hat A+i\lambda \hat B)\psi|^2d^3r\)
最终可得：
\(c^2=a^2+\lambda^2 b^2+i\lambda\langle [\hat A,\hat B]\rangle\)
\([\hat A,\hat B]=[\hat L_x,\hat L_y]=i\hbar \hat L_z\)
\(c^2=a^2+\lambda^2 b^2-\lambda\hbar\langle \hat L_z\rangle\)
并且由范数三角不等式：
\(\sqrt{\int |\hat A\psi|^2}+\sqrt{\int |\hat B\psi|^2}\ge\sqrt{\int |(\hat A+i\lambda \hat B)\psi|^2}\)
即：
\(a+\lambda b\ge c\)
然后：
\((a+\lambda b)^2\ge c^2\)
即可得：
\(ab\ge \frac{\hbar}{2}\left|\langle \hat L_z\rangle\right|\)
也就是：
\(\Delta L_x,\Delta L_y \ge \frac{\hbar}{2}\left|\langle \hat L_z\rangle\right|\)