在前面的不确定性原理的证明中，得到一个不等式，
\(\sqrt{\displaystyle \int |xf|^2 dt} \sqrt{\displaystyle \int |f’|^2 dt} \ge \frac{1}{2}\displaystyle \int |f|^2 dt \)
设：
\(a=\sqrt{\displaystyle\int |xf|^2 dt}\),
\(b=\sqrt{\displaystyle\int |f’|^2 dt}\),
\(c=\sqrt{\displaystyle\int |xf-f’|^2 dt}\)，
可计算得到：
\(c^2=a^2+b^2-\left[t|f|^2\right]_{-\infty}^{+\infty}+\displaystyle \int |f|^2dt\)
\(xf^2\)远处快速衰减为0时，
\(c^2=a^2+b^2+\displaystyle \int |f|^2dt\)
上面满足范数的三角不等式：
\(a+b \ge c\)
于是有
\((a+b)^2 \ge c^2 =a^2+b^2+\displaystyle \int |f|^2dt\)
即可得：
\(a b \ge \frac{1}{2}\displaystyle \int |f|^2dt\)
我们考虑边界不趋于0，\(tf^2\)和\(f^2\)积分项完全抵消的情况，两者相等
设\(f=g(t)e^{-iwt}\)，
则:
\(a^2=\displaystyle \int t^2g^2dt\)
\(b^2=\displaystyle \int (g’)^2dt+\omega^2\int g^2dt\)
\(c^2=a^2+b^2+\displaystyle \int g^2dt-\left[tg^2\right]_{\text{边界}}\)
如果积分区间是 \([0,T]\)：
\(\left[tg^2\right]_{\text{边界}}=Tg^2(T)-0\cdot g^2(0)=Tg^2(T)\)
于是要抵消后面两项，则要求：
\(\displaystyle \int_0^T g^2dt=Tg^2(T)\)
\([0,T]\)积分后，有：
两边对 \(T\) 求导：
\(g^2(T)=g^2(T)+T\cdot 2g(T)g’(T)\)
所以：
\(2Tg(T)g’(T)=0\)
只有\(g’(T)=0\)
g为常数。说明自由粒子的波函数，在有限区间内，满足 \(c^2=a^2+b^2\)
现在我们将t和f’看成两个算符，看看它们的对易关系：
\(f’=\frac{d}{dt}\)
\([f’,t]f= (f’t-tf’)f\)
\(=\frac{d}{dt}(ft)-t\frac{d}{dt}f\)
\(=f+t\frac{df}{dt}-t\frac{df}{dt}\)
\(=f\)
所以有\([f’,t]=1\)
我们不使用f’，使用普通的算符\(g\)，使得\([g,t]=1\)，再算a,b,c，此时：
\(a=\sqrt{\displaystyle \int |tf|^2dt}\)
\(b=\sqrt{\displaystyle \int |g|^2dt}\)
\(c=\sqrt{\displaystyle \int |tf-g|^2dt}\)
可以算出：
\(c^2=\displaystyle \int |tf-g|^2dt\)
\(=a^2+b^2-\displaystyle \int t(f \bar g+\bar f g)dt\)
算符g必须满足莱布尼茨规则：
\(\hat{g}(ab)=\hat{g}ab+b\hat{g}a\)
于是有:
\(g(|f|^2)=g(f\bar f)=(gf)\bar f+f(g\bar f)\)
即：
\(g(|f|^2)=f\bar g+\bar f g\)
将[g,t]=1作用在\(|f|^2\)上，有：
\([g,t]|f|^2=|f|^2\)
即：\(g(t|f|^2)-t g(|f|^2)=|f|^2\)
所以
\(t g(|f|^2)=g(t|f|^2)-|f|^2\)
于是：
\(c^2=a^2+b^2-\displaystyle \int t(f \bar g+\bar f g)dt\)
\(=a^2+b^2-\displaystyle \int tg|f|^2\)
\(=a^2+b^2+\displaystyle \int g(t|f|^2)dt-\displaystyle \int |f|^2dt\)
在远端\(g(t|f|^2)\)趋于0，于是
\(c^2=a^2+b^2-\displaystyle \int |f|^2dt\)
正是不确定性原理不等式需要的条件，
再结合前面的\(a+b\ge c\)就可以得到不等式：
\(|ab| \ge \frac{1}{2}\displaystyle \int |f|^2 dt\)