不确定性原理的证明，最普遍的就是傅里叶变换的证明时间和频谱的关系：
\(\Delta t \Delta w \ge \frac{1}{2}\)
我们从它的证明过程中，来寻找它成立的原因。
==简略证明过程==
证明过程中得到了：
\((\Delta t)^2 = \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} t^2 |f(t)|^2 dt\)
\((\Delta \omega)^2 = \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \omega^2 |F(\omega)|^2 d\omega\)
\( = 2\pi \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} |f’(t)|^2 dt\)
还有：
\(\left( \displaystyle \int t^2 |f(t)|^2 dt \right) \left( \int |f’(t)|^2 dt \right) \ge \left| \int t f(t) f’(t)^* dt \right|^2 \)
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} t f(t) f’(t)^* dt= \frac{1}{2} \int t \cdot \frac{d}{dt}|f(t)|^2 dt\)
\(=\frac{1}{2}(\left[ t |f(t)|^2 \right]_{-\infty}^{\infty} - \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt)\)
上面的积分要有限，需要满足：
\(\left[ t |f(t)|^2 \right]_{-\infty}^{\infty}=0 \)
表示在远处快速趋于0
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt)有限，归一化后为1\)
表示总能量(或其他量)有限
可得：
\(\left| \displaystyle \int t f(t) f’(t)^* dt \right| \ge \frac{1}{2}\)
最终可得：
\((\Delta t)^2 (\Delta \omega)^2 \ge \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\)
\(\Delta t \cdot \Delta \omega \ge \sqrt{\frac{\pi}{2}}\)
再根据\(F(\omega) = \displaystyle \int f(t) e^{-i\omega t} dt\)的归一化条件：
\(F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \displaystyle \int f(t) e^{-i\omega t} dt\)
前面的不等式就转换为：
\(\Delta t \cdot \Delta \omega \ge \frac{1}{2}\)
上面就是傅里叶变换证明不确定性原理的简明过程，
在上面的过程中，有两个条件：
1.总能量有限，对\(|f(t)|^2\)的所有t积分，必须有限，不能无限。
2.在t很远处，能量快速减少并趋于0，即\(t|f(t)|^2\)在远处趋于0。
而符合上面两个条件的，对应的就是衰减的波动函数，常见形式比如：
\(f(t)=e^{-|a|t}e^{-iwt}\)
或\(f(t)=e^{-|a|t^2}e^{-iwt}\)
第一部分\(e^{-|a|t}\)符合上面的两个条件，
第二部分\(e^{-iwt}\)表示波动部分
对满足上面两个条件的衰减的波函数，一般有如下形式：
一次微分形式：
\(f’(t)=g(t)f(t), g(t) >0\)
比如高斯方程\(f’(t)=\lambda t f(t)\)就是这个方程
解为\(e^{-|a|t^2}\)的形式
二次微分形式：
\(f’’(t)=g(t)f(t), g(t) >0\)
薛定谔方程就是这个形式
解为 \(e^{-|a|t}\)的形式
也就是说，只要符合前面两个条件，就有可能出现不确定性不等式
我们使用第一个形式证明一下看看，
原方程：
\(f’(t)=g(t)f(t)\)
根据：
\(tg|f|^2=(tf)\cdot(\overline{g}\overline{f})\)
\(\overline{g}\)，\(\overline{f}\)为g，f的复共轭
使用Cauchy–Schwarz不等式关系，得到：
\(\left(\displaystyle \displaystyle \int|tf|^2dt\right)\left(\displaystyle \int|\overline{g}\overline{f}|^2dt\right)\) \(\ge \left|\displaystyle \int tg|f|^2dt\right|^2\)
由 \(f’=gf\),有：
\(\overline{f’}=\overline{g}\overline{f}\)
类似傅里叶变换里的证明一样，可以证明：
\(\left|\displaystyle \int tg|f|^2dt\right|\ge\frac12\)
具体证明，请使用deepseek验证。
而我们定义时间宽度：
\((\Delta t)^2=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\)
综合上面的各个等式，有：
\((\Delta t)^2 \displaystyle \int|f’(t)|^2dt \ge \frac{1}{4}\)
详细过程，请使用deepseek验证。
如果定义频谱宽度：
定义频率宽度为：
\((\Delta\omega)^2=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}|f’(t)|^2dt\)
则可以得到：
\(\Delta t\cdot\Delta\omega\ge\frac{1}{2}\)
其实在不定义频率宽度的情况下，我们得到了一个更普适的不等式：
\((\Delta t)^2 \displaystyle \int|f’(t)|^2dt \ge \frac{1}{4}\)
也就是在衰减方程里，可以得到上面的不等式。
这个不等式说明：
一个收敛的衰减波包，
它在横轴t或x上宽度，受到了波包斜度的影响，太宽了则斜度小，太窄了则斜度陡
就好比求一个三角形的面积，在面积被归一化（等于1）后，底的宽度和高度相互制约
这就是不确定性原理的来源：它是所有衰减方程的普遍规律。
上面等号成立的条件：
根据Cauchy–Schwarz不等式：
\(|\langle u,v\rangle|^2 \le |u|^2 |v|^2.\)
成立的条件为u和v垂直，
此时方程为高斯方程：
\(f’(t)=\lambda t f(t).\)
解就是高斯波包。
问题：我们是否可以构造一个电子内部的衰减波函数，包括质量、电荷、自旋，以及某种电磁波禁锢模式。