我们先考虑局域性，两个粒子的测量结果，只和测量时各自的测量设置(比如角度)有关，两个设置互不相干，即用任何设置a测量第一个粒子，都不影响第二个粒子的测量值
两个粒子的测量的设置参数（比如偏振片角度）分别为a，b
两个粒子的测量结果，a和b没有相关性，
设粒子拥有两种状态+1,-1，
第一个粒子测得+1的概率为\(f(\lambda,a)\)，测得-1的概率为\(1-f(\lambda,a)\)
第二个粒子测得+1的概率为\(g(\lambda,b)\)，测得-1的概率为\(1-g(\lambda,b)\)，与a无关
f,g的值范围为0到1
两个粒子测量的联合概率就是得到的两个概率的乘积，然后对所有\(\lambda\)参数积分，
则测得第一个粒子和第二个粒子同时为+1的联合概率，写作：
\(P_{++}=\int f(\lambda,a)g(\lambda,b)d\lambda\)
测得第一个粒子为+1，第二个粒子为-1的联合概率：
\(P_{+-}=\int f(\lambda,a)(1-g(\lambda,b)) d\lambda\)
测得第一个粒子为-1，第二个粒子为+1的联合概率：
\(P_{-+}=\int (1-f(\lambda,a))g(\lambda,b) d\lambda \)
测得第一个粒子为-1，第二个粒子为-1的联合概率：
\(P_{- -}=\int (1-f(\lambda,a))(1-g(\lambda,b)) d\lambda \)
上面的积分，没有除以总和，假设了\(\lambda\)自己的积分为1.
对上面4种概率构造一个综合值E，作为对四种概率的一次性总计算：
\(E(a,b)=P_{++}-P_{+-}-P_{-+}+P{–}\)
\(=\int\Bigl[f g - f(1-g) - (1-f)g + (1-f)(1-g)\Bigr]d\lambda\)
\(=\int\bigl[4f(\lambda,a)g(\lambda,b)-2f(\lambda,a)-2g(\lambda,b)+1\bigr]d\lambda\)
\(=\int (2f(\lambda,a)-1)(2g(\lambda,b)-1) d\lambda \)
\(=\int F(\lambda,a)G(\lambda,b) d\lambda \)
其中\(F=2f-1\), \(G=2g-1\)：
然后再构造最后一个值，用来计算四次测量的结果：
\(|S|=E(a,b)+E(a,b’)+E(a’,b)-E(a’,b’)\)
表示四个设置(角度)a,b,a’,b’的四个组合的测量结果，
|S|为四次测量组合的一个值，则上面的|S|计算后为
\(|S|=\displaystyle \int \Bigl[F(\lambda,a)G(\lambda,b)\) \( +F(\lambda,a)G(\lambda,b’)\) \( +F(\lambda,a’)G(\lambda,b)\) \( -F(\lambda,a’)G(\lambda,b’))\Bigr]d\lambda\)
省略\(\lambda\)方便查看：
\(|S|=\displaystyle \int [F(a)G(b)+G(b)G(b’)+F(a’)G(b)-G(b)G(b’)] d\lambda\)
由于\( -1 \le F \le 1, -1 \le G \le 1\)，
所以FG+GG’+F’G-GG’的最大值为2，
\(|S| \le 2 \displaystyle \int d\lambda = 2\)
我们再考虑非局域性，两个粒子的测量结果是相关的，
第二个粒子的测量结果，与第一个粒子的设置a相关，
第一个粒子测得+1的概率为\(f(\lambda,a)\)，测得-1的概率为\(1-f(\lambda,a)\)
第二个粒子测得+1的概率为\(g(\lambda,a,b)\)，测得-1的概率为\(1-g(\lambda,a,b)\)，与a有关
有：
\(P_{++}=\int f(\lambda,a)g(\lambda,a,b)d\lambda\)
\(P_{+-}=\int f(\lambda,a)(1-g(\lambda,a,b)) d\lambda\)
\(P_{-+}=\int (1-f(\lambda,a))g(\lambda,a,b) d\lambda \)
\(P_{- -}=\int (1-f(\lambda,a))(1-g(\lambda,a,b)) d\lambda \)
有：
\(E(a,b)=\int (2f(\lambda,a)-1)(2g(\lambda,a,b)-1) d\lambda \)
\(=\int F(\lambda,a)G(\lambda,a,b) d\lambda \)
其中\(F=2f(\lambda,a)-1\),\(G=2g(\lambda,a,b)-1\)
\(S=\displaystyle \int [F(\lambda,a)(G(\lambda,a,b)+G(\lambda,a,b’))\) \(+F(\lambda,a’)(G(\lambda,a’,b)-G(\lambda,a’,b’))]d\lambda\)
省略\(\lambda\)方便查看：
\(|S|=\displaystyle \int [F(a)G(a,b)+F(a)G(a,b’)+F(a’)G(a’,b)-F(a’)G(a’,b’)] d\lambda\)
与局域版的比较：
\(|S|=\displaystyle \int [F(a)G(b)+G(b)G(b’)+F(a’)G(b)-G(b)G(b’)] d\lambda\)
发现非局域版的|S|有4个G，局域版的有2个G，
这是因为局域版测量的G，只与b和b’有关，
而非局域版的，则与(a,b),(a’,b), (a,b’), (a’,b’)有关，
这就是局域与非局域的区别，也是非局域情况下出现了|S|>2的情况
这说明在以a测量第一个粒子的时候，实际上也对第二个粒子进行了测量（角度为\(a+\frac{\pi}{2}\)），再对第二个粒子用b测量时，相当于对第二个粒子进行了第二次测量。这就好比我们对一束光用偏振片角度a过滤后，再对过滤后的光用一个相对于a加90度的角度b(\(b-a-\pi/2\))的偏振片再测量的结果是一样的。相当于对同一束光的测量
但两个光子在位置上是分离的，甚至可以随便改变它们的路径，这样还能产生关联，确实匪夷所思。除非找到一种新的微观机制加上一种新的统计方法，去适配同样的结果，才能打破量子纠缠的神话。