贝尔不等式的来源

前面我们讲了量子力学里关于测量两个粒子的偏振的情况。

但如果只测一对粒子，即使测出它们是垂直的，我们也不能决定出它们是纠缠的，

物理上测的是一批粒子，通过测一批粒子的几个概率值来判断这些粒子是否处于纠缠态，

以固定角度测量一个粒子，只有两种可能，要么是A，要么是B，将A情况设定为+1, 将测得B设定为-1，多次测量，得到关于两个结果的4个概率：

P(+1,+1): A，B同时出现的概率

P(+1,-1): A发生，B没有出现的概率

P(-1,+1): A没出现，B出现了的概率

P(-1,-1): A和B都没出现的概率

满足P(+1,+1)+P(+1,-1)+P(-1,+1)+P(-1,-1)=1

然后构造一个关联函数：

\(E=P(+1,+1)-P(+1,-1)-P(-1,+1)+P(-1,-1)\)

也就是将一次测量的四种结果结合成一个值

然后选择4个不同的角度(a,a’,b,b’)测量，得到4个E值，并将4个E值按下面计算：

\(S=E(a,b)+E(a,b’)+E(a’,b)-E(a’,b’)\)

只要通过上面得到的四个E值，计算S，如果|S|>2，就判断为这批粒子处于纠缠态。

纠缠态下，上面的S的绝对值并非一直大于2，而是总能找到4个特殊的角度组合，让|S|>2。

我们拿一个形象的粒子来比喻，

A和B两个人手里各有一张牌，各自翻牌，牌正面为+，反面为-，则有下面几种组合，

编号	A 的结果	B 的结果	组合
1	\(+\)	\(+\)	\(++\)
2	\(+\)	\(-\)	\(+-\)
3	\(-\)	\(+\)	\(-+\)
4	\(-\)	\(-\)	\(–\)

我们考虑三种情况：非纠缠，完全垂直，纠缠的情况。

第一种情况：A和B非纠缠，A和B每次翻牌的结果毫无关联，不一定相同，不一定相反，完全随机

由于每次测量的事件都是独立的，所以，

A出现+，A出现-的概率都是{\frac{1}{2}\)，

B出现+，B出现-的概率也是{\frac{1}{2}\)，

于是4种概率值：

\(P(+,+)=P(+,-)=P(-,+)=P(-,-)\)

\(=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)

\(E=P(+1,+1)-P(+1,-1)-P(-1,+1)+P(-1,-1)=0\)

于是对任意(a,a’,b,b’)组合，

\(S=E(a,b)+E(a,b’)+E(a’,b)-E(a’,b)=0\)

第二种情况：A和B每次翻牌的结果有关联，A是正面，则B肯定是反面，同样有下面4种情况，

则：

\(P(+,+)=0，P(-,-)=0，\)

\(P(+,1)=1/2，P(-,+)=1/2，\)

即A是正面，B是反面，和A是反面，B是正面，两种情况各占1/2

于是：

\(E=P(+1,+1)+P(-1,-1)-P(+1,-1)-P(-1,-1)=-1\)

则对任意(a,a’,b,b’)组合，

\(S=E(a,b)+E(a,b’)+E(a’,b)-E(a’,b)=-2\)

|S|=2

说明，在测得两个粒子的结果始终相反时，S的绝对值是2，和是否纠缠无关

第三种情况，两个粒子处于纠缠时，

以角度a测量第一个粒子，状态为\(\lambda\)(比如偏振角度)

假设第一个粒子为状态A时，概率为\(f(\lambda,a)\)，

为状态B时的概率为\(1-f(\lambda,a)\)，

以角度b测量第二个粒子，初始状态为\(\lambda’\)，

测量后变成了状态\(a+c\)，c是常数，状态只与a有关，与初始状态无关

则第二个粒子为状态A时，概率为\(f(a+c,b)\)，

为状态B时的概率为\(1-f(a+c,b)\)，

则统计概率时，针对无数次测量，就是对所有可能的状态\(\lambda\)积分，

同时出现状态A的概率：

\(P(+1,+1)=\displaystyle \int f(\lambda,a)f(a+c,b)d\lambda \)

其他的：

\(P(+1,-1)=\displaystyle \int f(\lambda,a)(1-f(a+c,b))d\lambda\)

\(P(-1,+1)=\displaystyle \int (1-f(\lambda,a))f(a+c,b)d\lambda\)

\(P(-1,+1)=\displaystyle \int (1-f(\lambda,a))(1-f(a+c,b))d\lambda\)

于是：

\(E(a,b)=P(+1,+1)-P(+1,-1)-P(-1,+1)+P(-1,-1)\)

\(=\displaystyle \int