1. 相干态与光子数分布
相干态 \(|\alpha\rangle\) 是湮灭算符 \(\hat{a}\) 的本征态（\(\hat{a}|\alpha\rangle = \alpha|\alpha\rangle\)），其中复数 \(\alpha\) 与经典电磁波的振幅和相位相关。光子数 \(n\) 的概率分布为： \[ P(n) = \frac{|\alpha|^{2n}}{n!} e^{-|\alpha|^2}, \] 即泊松分布，其中：
- 均值光子数 \(\langle n \rangle = |\alpha|^2\)；
- 方差 \(\sigma^2 = |\alpha|^2\)（标准差 \(\sigma = |\alpha|\)）。
2. 物理意义
- 经典对应：当 \(|\alpha|^2 \gg 1\)（大量光子）时，相干态的量子涨落（\(\sigma / \langle n \rangle \sim 1/|\alpha|\)）可忽略，电磁场表现为经典平面波 \(A_\mu \sim \alpha e^{ikx} + \alpha^* e^{-ikx}\)。
- 涨落特性：泊松分布反映光子数的不确定性（量子噪声），例如激光在阈值以上工作时近似处于相干态。
3. 其他可能的光子分布
- 热光场（黑体辐射）：光子数服从玻色-爱因斯坦分布： \[ P(n) = \frac{\langle n \rangle^n}{(1 + \langle n \rangle)^{n+1}}, \] 见于热平衡态（如宇宙微波背景辐射）。
- 压缩态：光子数分布更复杂，可能呈现亚泊松或超泊松统计，用于降低特定正交分量的量子噪声。
4. 关键点总结
- 相干态：描述经典电磁波的光子分布，服从泊松分布。
- 均值与涨落：均值 \(|\alpha|^2\) 正比于经典光强，涨落 \(\sqrt{\langle n \rangle}\) 为量子效应。
- 非相干光源（如热光）的光子分布不同，需用其他量子态描述。
若有进一步问题（如相干态的构造或实验验证），可继续探讨！
1. 量子电磁场的算符表示
在量子电动力学（QED）中，电磁场的矢势算符 \(\hat{\mathbf{A}}(\mathbf{r}, t)\) 在自由空间（无源）中可以展开为平面波模的叠加： \[ \hat{\mathbf{A}}(\mathbf{r}, t) = \sum_{\mathbf{k}, \lambda} \sqrt{\frac{\hbar}{2 \epsilon_0 \omega_k V}} \left( \hat{a}{\mathbf{k}, \lambda} \epsilon{\mathbf{k}, \lambda} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega_k t)} + \text{h.c.} \right), \] 其中：
- \(\hat{a}_{\mathbf{k}, \lambda}\) 是湮灭算符，对应波矢 \(\mathbf{k}\) 和偏振 \(\lambda\) 的光子；
- \(\epsilon_{\mathbf{k}, \lambda}\) 是偏振矢量（\(\lambda = 1, 2\)）；
- \(\omega_k = c|\mathbf{k}|\) 是角频率；
- \(V\) 是归一化体积。
电场和磁场算符由矢势导出： \[ \hat{\mathbf{E}} = -\frac{\partial \hat{\mathbf{A}}}{\partial t}, \quad \hat{\mathbf{B}} = \nabla \times \hat{\mathbf{A}}. \]
2. 相干态下的期望值
对于相干态 \(|\alpha_{\mathbf{k}, \lambda}\rangle\)（假设仅单一模式 \(\mathbf{k}, \lambda\) 被激发），湮灭算符的期望值为： \[ \langle \alpha_{\mathbf{k}, \lambda} | \hat{a}{\mathbf{k}, \lambda} | \alpha{\mathbf{k}, \lambda} \rangle = \alpha_{\mathbf{k}, \lambda}, \quad \alpha_{\mathbf{k}, \lambda} \in \mathbb{C}. \] 矢势的期望值为： \[ \langle \hat{\mathbf{A}} \rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2 \epsilon_0 \omega_k V}} \left( \alpha_{\mathbf{k}, \lambda} \epsilon_{\mathbf{k}, \lambda} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega_k t)} + \text{c.c.} \right). \]
对应的经典电场和磁场期望值为： \[ \langle \hat{\mathbf{E}} \rangle = i \sqrt{\frac{\hbar \omega_k}{2 \epsilon_0 V}} \left( \alpha_{\mathbf{k}, \lambda} \epsilon_{\mathbf{k}, \lambda} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega_k t)} - \text{c.c.} \right), \] \[ \langle \hat{\mathbf{B}} \rangle = i \sqrt{\frac{\hbar}{2 \epsilon_0 \omega_k V}} \left( \alpha_{\mathbf{k}, \lambda} (\mathbf{k} \times \epsilon_{\mathbf{k}, \lambda}) e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega_k t)} - \text{c.c.} \right). \]
3. 与经典电磁场的对应
设 \(\alpha_{\mathbf{k}, \lambda} = |\alpha| e^{i \theta}\)，则经典电场的大小为： \[ \mathbf{E}{\text{classical}} = 2 \sqrt{\frac{\hbar \omega_k}{2 \epsilon_0 V}} |\alpha| \sin(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega_k t + \theta) , \epsilon{\mathbf{k}, \lambda}. \]
- 振幅关系：经典电场振幅 \(E_0\) 与光子数期望值 \(\langle n \rangle = |\alpha|^2\) 的关系为： \[ E_0 = \sqrt{\frac{2 \hbar \omega_k}{\epsilon_0 V}} |\alpha| = \sqrt{\frac{2 \hbar \omega_k \langle n \rangle}{\epsilon_0 V}}. \]
- 磁场振幅：由 \(B_0 = E_0 / c\)（自由空间平面波）。
4. 物理诠释
- 光子数密度：平均光子数密度为 \(\langle n \rangle / V\)，故电场振幅正比于 \(\sqrt{\langle n \rangle \hbar \omega_k}\)。
- 经典极限：当 \(\langle n \rangle \gg 1\) 时，量子涨落（\(\Delta E / E_0 \sim 1/\sqrt{\langle n \rangle}\)）可忽略，场表现为经典电磁波。
5. 例子：单模激光场
若激光器输出功率为 \(P\)，频率 \(\omega_k\)，则在光束截面积 \(A\) 内的经典电场振幅为： \[ E_0 = \sqrt{\frac{2 P}{\epsilon_0 c A}}. \] 对应的相干态参数 \(|\alpha|\) 可通过 \(\langle n \rangle = \frac{P}{\hbar \omega_k} \cdot \frac{L}{c}\)（\(L\) 为腔长）与 \(E_0\) 关联。
总结
- 相干态光子分布（泊松分布）的均值 \(\langle n \rangle = |\alpha|^2\) 决定了经典电磁场的振幅。
- 电场/磁场公式： \[ E_0 = \sqrt{\frac{2 \hbar \omega_k \langle n \rangle}{\epsilon_0 V}}, \quad B_0 = \frac{E_0}{c}. \]
- 核心思想：量子场的期望值在大量子数极限下回归经典解。
如果需要更具体的推导（如多模场或偏振效应），可进一步展开讨论！