在O坐标系内，光源沿着x轴运动，在\(t_e\)时刻发射一个光子到静止的观测位置(x,y)，在时间t时刻到达(x,y)，有：
\(R=c(t-t_e)=\sqrt{(x-vt_e)^2+y^2}\)
在静止坐标系内，计算速度方式为：
\(\frac{R}{t-t_e}=c\)
也就是，时间是用接收时间减去发射时间，光速为c
那么如果用发射时间\(t_e\)来计时呢？
也就是\(\frac{R}{\Delta t_e}\)
R对\(t_e\)求导： \[ \frac{dR}{dt_e} = \frac{1}{2R} \cdot 2(x - vt_e)(-v) = -\frac{v(x - vt_e)}{R}=-vcos\theta \]
\(cos\theta=\frac{x - vt_e}{R}\)
\(vcos\theta\)实际上相对于v在R方向上的投影，这导致了R方向光的速度变成了\(c-vcos\theta\)
x方向的光速为\(ccos\theta-v\)，
所以此时相对于光源，看到的光的倾斜角度为：
\(cos\theta’=\frac{ccos\theta-v}{c-vcos\theta}\)
那么，在时刻t，光线到达观察点(x,y)时，
在静止坐标系看来，光线走的路线为\(R=(x-vt_e, y)=c(t-t_e))\)，角度为\(cos\theta=\frac{x - vt_e}{R}\)
同样，在时刻t，相对于光源，光走的路径为：\(R’=(x-vt, y’)=c(t-t’_e))\), 角度为\(cos\theta’=\frac{c-vcos\theta}{ccos\theta-v}\)，
求R’,y’,t’_e:
\(y’ = (x - vt) \cdot \frac{\sin\theta}{\gamma(\cos\theta - \beta)}\)
\(=R(\cos\theta - \beta) \cdot \frac{\sin\theta}{\gamma(\cos\theta - \beta)}\)
\(= \frac{R\sin\theta}{\gamma}\)
\(= \frac{y}{\gamma}\)
所以,
\(R’=\sqrt{(x-vt)^2+(\frac{y}{\gamma})^2}\)
\(t’_e =t-\frac{R’}{c}\)
所以，在时刻t，光源上看到的光，走的是\(t’_e\)时发出的路径为R’的光路径，并没有到观察点(x,y), 而是到了点\((x,y/\gamma)\)，
所以在光源看来，观察点要观察到光，就需要将\(y,x-vt,t-t’_e\)增加\(\gamma\)倍，然后把x向前(向x轴负方向)移动\(r(x-vt)-(x-vt)\)，也就是在时刻t,光源看到一束光到达(x,y)处，这束光是在(\((x-vt)-\gamma(x-vt)\),0)处发出的，是\(t-t’’_e=\frac{\gamma R’}{c}\)时刻发出的光，走的轨迹为\(\gamma R’=(\Delta x’=\gamma(x-vt),y)\)。 此时，两个坐标系的变换为：
\(\Delta x’=\gamma(x-vt)\)
\(\Delta t’=t-t’’_e=\gamma(t-t’_e)=\gamma(R’/c)\)
\(=\gamma(t-t_e)(1-\frac{vcos\theta}{c})\)
\(=\gamma \Delta t(1-\frac{vcos\theta}{c})\)
\(=\gamma \Delta t(1-\frac{v}{c}\frac{(x-vt_e)}{c(t-t_e})\)
\(=\gamma (\Delta t-\frac{v(x-vt_e)}{c^2})\)