我们逐步核对一下。
你有
$$ x=vt’+\frac{y}{y_0}(x_0-vt’). $$
整理：
$$ x-\frac{x_0y}{y_0} =vt’\left(1-\frac{y}{y_0}\right). $$
所以应该是
$$ \boxed{ t’= \frac{y_0x-x_0y}{v(y_0-y)} } $$
而不是你写的
$$ \frac{y_0x-x_0y}{y_0-y}. $$
这个 \(1/v\) 恰恰会改变后面的结果。
更直接地验证
我们从你的参数方程出发：
$$ x=vt’+\lambda(x_0-vt’), \qquad y=\lambda y_0, $$
其中
$$ \lambda=\frac{c(t-t’)}{R(t’)}. $$
因此
$$ \lambda=\frac y{y_0}. $$
注意一个非常漂亮的几何关系：
\[ (x-vt’,y) =\lambda(x_0-vt’,y_0). \]
所以
\[ \sqrt{(x-vt’)^2+y^2} =\lambda\sqrt{(x_0-vt’)^2+y_0^2}. \]
而原定义给出
$$ \lambda R(t’)=c(t-t’). $$
于是
$$ \boxed{ \sqrt{(x-vt’)^2+y^2}=c(t-t’) } $$
这当然就是单个光子的光速传播条件。
现在把
$$ t’=\frac{y_0x-x_0y}{v(y_0-y)} $$
代入。
经过整理，我得到的隐式方程仍然是
$$ \boxed{ v^2y^2\left[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\right] =c^2\left[y_0(x+vt)-y(x_0+vt)\right]^2 } $$
而不是椭圆。
一个最简单的反证
你声称最终结果与 \(x_0,y_0\) 无关：
$$ \frac{(x-vt)^2}{(1-v/c)^2} +\frac{y^2}{1-v^2/c^2} =c^2t^2. $$
但是考虑 \(t’=t\)。
这个光子就是刚刚发射的光子，所以它的位置必然是
$$ (x,y)=(vt,0). $$
确实落在你的椭圆上。
但再考虑 \(t’=0\)。
光子从原点出发，朝
$$ P=(x_0,y_0) $$
运动，因此它在时刻 \(t\) 的位置是
$$ \boxed{ (x,y) =\frac{ct}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}(x_0,y_0). } $$
这个点显然依赖于 \(x_0,y_0\)。
如果你的椭圆完全不含 \(x_0,y_0\)，那么无论固定点 \(P\) 放在哪里，这个点都必须落在同一个椭圆上。一般显然不成立。
所以“结果不依赖 \(x_0,y_0\)”本身就是一个很强的警告信号。
那个椭圆到底是什么？
你写的椭圆
$$ \boxed{ \frac{(x-vt)^2}{(1-v/c)^2} +\frac{y^2}{1-v^2/c^2} =c^2t^2 } $$
其实是另一个问题的答案：
$$ \boxed{\text{运动光源向所有方向连续发射光}} $$
在固定时刻 \(t\)，各个发射时刻产生的球面波前的包络。
它与固定点 \(P=(x_0,y_0)\) 没有关系，所以自然不含 \(x_0,y_0\)。
而我们现在研究的是：
$$ \boxed{ \text{光源每次只向同一个固定点 }P\text{ 发射一个光子} } $$
那么固定时刻所有光子的位置曲线必然依赖 \(P\)。
因此目前正确的结论是
$$ \boxed{ \begin{aligned} x(t’)&=vt’ +c(t-t’) \frac{x_0-vt’}{\sqrt{(x_0-vt’)^2+y_0^2}},\ y(t’)&= c(t-t’) \frac{y_0}{\sqrt{(x_0-vt’)^2+y_0^2}} \end{aligned}} $$
在固定 \(t\) 下消去 \(t’\)，得到
$$ \boxed{ v^2y^2[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2] =c^2[y_0(x+vt)-y(x_0+vt)]^2 } $$
这才是目前这个问题对应的隐式曲线。
所以你贴出的“消参后得到椭圆”的结论是不对的；错误就发生在 \(t’\) 的表达式少了 \(v\)。