我们先讨论一下伽利略变换：
假设一个光源，在坐标系O中，以速度v向右运动。光影向右发射一束光，光速c。
此时，在光源看来，光相对于自己的速度为c-v，计时采用坐标系O中的计时，光影的坐标系我们叫O’，坐标系统(x’,y’), O的坐标系统为(x,y)，
此时的坐标和时间变换为：
x’=x-vt
t’=t
这就是伽利略变换
但根据狭义相对论，任何坐标系内光速都是c。这个我们可以看出是任何平直坐标系（能量和引力均匀分布各项同性），各个方向的光速都是c，也就是能量在各个方向的传播，即使这个坐标系是运动的，但因为是匀速运动，那它就和静止坐标系的性质是完全相同的，任何方向发射光，速度都是c。
所以，上面的变换，实际上是在O坐标系看O’坐标系的相对关系，而不是真实的O’坐标系内测量到的数据(光速始终为c)与O坐标系观察到的数据的转换关系。我们需要做的是，x’和t’转变为O’坐标系真实测量到的数据，也就是要满足\(\Delta x’/\Delta t’=c\)，
上面的伽利略变换，有\(\Delta x’/\Delta t’ =(\Delta x-v\Delta t)/\Delta t=\Delta x/\Delta t-v\)
在O坐标系内，光速始终为c，有\(\Delta x/\Delta t=c\)，所以上面的值为c-v，不满足光速不变。
同时，我们看到，要想得到光速c，只改变x’的值并不合理(要要求x=x’,t=t’)，所以我们尝试只改变t’，假设新变换为：
x’=x-vt
t’=t-ax
\(\Delta x’/\Delta t’=c\)
有\(\Delta x’/\Delta t’=(\Delta x-v\Delta t)/(\Delta t-a\Delta x)=c\)
即：\(\Delta x(1+ca)=\Delta t(c+v)\)，由于\(\Delta x/\Delta t=c\), 可得：
\(a=v/c^2\)
于是我们得到的新的变换为：
\(x’=x-vt\)
\(t’=t-vx/c^2\)
但这只是一维的情况，我们再考虑二维的情况，
二维下，根据上面的公式，有：
\[ (ct’)^2 - x’^2 = c^2\left(t - \frac{xv}{c^2}\right)^2 - (x - vt)^2 \]
然后最终可以得到：
\[ (ct’)^2 - x’^2 = \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)\left(c^2 t^2 - x^2\right) \]
即：\(y’=y/\gamma\)
也就是，如果我们使用上面的坐标时间变换公式，得到的y的位置是不对的，因为是水平运动，y方向始终没有相对运动，所以我们要求y’=y
所以我们就要求上面的运算式子的右边变成y，那么两边就要乘以\(\gamma^2=1/(1 - \frac{v^2}{c^2})\)，变成下面的形式：
\[ \gamma^2((ct’)^2 - x’^2) = (c^2 t^2 - x^2) \]
反推上去，就有：
\[ (c\gamma t’)^2 - (\gamma x’)^2 = c^2\left(t - \frac{xv}{c^2}\right)^2 - (x - vt)^2 \]
即将t’和x’扩大\(\gamma\)倍即可：
\(x’=\gamma(x-vt)\)
\(t’=\gamma(t-xv/c^2)\)
我们探讨上面的推导过程的几何意义：
\(t’=t-xv/c^2\)的意义：
\(ct’=c(t-xv/c^2)=ct-vx/c\)，
这个式子保证了一个在(x’,0)位置发出的光，将其位置调整到了始终对应O’的坐标原点发出的光，与x’无关，光变成了垂直发射，然后由于垂直发射的光，O和O’的y坐标系走的距离存在\(\gamma\)的量的关系，所以可以在\(t-xv/c^2\)前面直接乘以\(\gamma\)来修正y方向的时间，从而得到\(t’=\gamma(t-xv/c^2)\)。
\(\gamma\)的意义：
\(\gamma(t-xv/c^2)\)的意义，由于垂直发射的光，在O坐标系变斜，那么在O’中垂直走的距离y’，在O坐标系中在y方向的投影就是\(y’/\gamma\)，为了满足测量要求y’=y，就需要在\(t-xv/c^2\)前面乘以\(\gamma\)
物理意义：
在O’坐标系内观察，波长变了，但光速传播的速度是不变的，\(c=\lambda\nu=\lambda/T\)，这就要求波动周期T变化，观察到运动坐标系的时间系统也变化了。
关于光速不变：
光速传播是基于本坐标系的能量传播速度，在一个运算运动的坐标系，其性质等价于静止坐标系，所以光速不变可以理解。但运动坐标系发出来的光，在静止坐标系观察，频率发生了变化，这说明组成光的不同位置的波峰，是在不同时间生成的，并不是同一时刻生成的，后面生成的波峰，由于光源存在运动，导致两个波峰之间的距离变大/变小了，所以导致波长发生了变化，看到的光源的时间/生命/计时系统也发生了变化。
总结：由于速度v的出现，导致在x方向，出现了光行差\(t-xv/c^2\)(对应(1-v/c))，而由于y方向运动的存在，导致了波长进一步被拉长了\(\gamma\)倍
附图(ct方向波长变大，频率变小)：
