常用收敛的无穷级数求和（密度分布函数相关）
以下是数学和物理中常见的收敛无穷级数求和结果，尤其是与概率密度分布或统计物理相关的形式：
1. 幂级数（\( \frac{1}{n^k} \) 形式）
- 黎曼 zeta 函数（\( k > 1 \)）
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^k} = \zeta(k) \]- \( k=2 \): \(\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\)
- \( k=4 \): \(\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}\)
- 物理意义：量子谐振子的能级密度、黑体辐射的能谱积分。
2. 指数衰减分布
- 几何级数（\( q^n \), \( |q| < 1 \)）
\[ \sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q} \]- 变体（带系数）：
\[ \sum_{n=1}^{\infty} n q^n = \frac{q}{(1-q)^2} \] - 物理意义：玻尔兹曼因子在统计力学中的应用（如配分函数）。
- 变体（带系数）：
3. 高斯（正态）分布的离散形式
- 泊松求和公式
对高斯函数 \( e^{-n^2} \) 的求和：
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-a n^2} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \left(1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi^2 n^2 / a}\right) \]- 物理意义：路径积分中的虚时间传播子。
4. 对数调和级数
- 对数关联的级数
\[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln^2 n} \quad \text{（收敛）} \]- 注意：\(\sum \frac{1}{n \ln n}\) 发散。
5. 统计物理中的玻色-爱因斯坦分布
- 玻色积分（\( k=3/2, 5/2 \)）
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{n \mu}}{n^{k}} = \text{Li}_k(e^\mu) \] 其中 \( \text{Li}_k \) 是多对数函数，\( \mu \leq 0 \)。- 物理意义：理想玻色气体的粒子数计算。
6. 离散概率分布的归一化
- Zipf 分布（幂律分布）
\[ P(n) \propto \frac{1}{n^s}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \zeta(s) \quad (s > 1) \]- 归一化常数：\( a = \frac{1}{\zeta(s)} \)。
- 例子：\( s=2 \) 时 \( a = \frac{6}{\pi^2} \)。
7. 其他常见收敛级数
- 交错调和级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2 \] - 反正切级数
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4} \]
关键点总结
- 收敛条件：级数收敛通常要求通项衰减足够快（如 \( \frac{1}{n^k} \) 中 \( k>1 \)）。
- 物理应用：
- 幂律级数（\(\zeta\) 函数）用于能级求和。
- 指数级数（几何级数）用于概率归一化。
- 高斯级数用于热力学路径积分。
- 归一化常数：若级数和为 \( C \)，则密度分布 \( p(n) = \frac{a_n}{C} \)。
如果需要具体场景的进一步解释，请说明！
1. 玻尔兹曼分布（Boltzmann Distribution）
适用粒子：经典可区分粒子（如理想气体分子）。
公式：
\[
P(E_i) = \frac{g_i e^{-E_i / k_B T}}{Z}
\]
- \(P(E_i)\)：粒子处于能级 \(E_i\) 的概率
- \(g_i\)：能级 \(E_i\) 的简并度
- \(k_B\)：玻尔兹曼常数
- \(T\)：温度
- \(Z\)：配分函数 \(Z = \sum_i g_i e^{-E_i / k_B T}\)
特点：
- 忽略量子效应（全同粒子不可区分性）。
- 适用于高温或低密度系统（量子效应可忽略时）。
类似扩展：
- 麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布：描述气体分子速度分布：
\[ f(v) = \left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} e^{-mv^2 / 2k_B T} \]
2. 玻色-爱因斯坦分布（Bose-Einstein Distribution）
适用粒子：玻色子（自旋整数，如光子、声子、\(^4\)He原子）。
公式：
\[
\langle n_i \rangle = \frac{g_i}{e^{(E_i - \mu)/k_B T} - 1}
\]
- \(\langle n_i \rangle\)：能级 \(E_i\) 的平均粒子数
- \(\mu\)：化学势（\(\mu \leq 0\)，对光子 \(\mu = 0\)）
特点：
- 允许多个粒子占据同一量子态（如玻色-爱因斯坦凝聚）。
- 化学势 \(\mu\) 反映粒子数守恒（光子除外）。
应用场景：
- 黑体辐射（光子气体）：普朗克公式
\[ \langle n(\omega) \rangle = \frac{1}{e^{\hbar \omega / k_B T} - 1} \] - 超流性（如液氦）。
3. 费米-狄拉克分布（Fermi-Dirac Distribution）
适用粒子：费米子（自旋半整数，如电子、质子、中子）。
公式：
\[
\langle n_i \rangle = \frac{g_i}{e^{(E_i - \mu)/k_B T} + 1}
\]
特点：
- 泡利不相容原理：每个量子态最多占据一个粒子。
- 化学势 \(\mu\) 在低温下趋近于费米能级 \(E_F\)。
应用场景：
- 金属中的电子气体：
- 零温时 \(\langle n(E) \rangle\) 为阶跃函数（\(E \leq E_F\) 时填满）。
- 白矮星简并压、中子星物质。
对比与关联
| 特性 | 玻尔兹曼分布 | 玻色-爱因斯坦分布 | 费米-狄拉克分布 |
|---|---|---|---|
| 粒子类型 | 经典可区分粒子 | 玻色子 | 费米子 |
| 占据数限制 | 无限制 | 无限占据 | 每态最多1个粒子 |
| 化学势 \(\mu\) | 无（或隐含） | \(\mu \leq 0\) | \(\mu \approx E_F\) |
| 高温极限 | 三者一致 | 退化为玻尔兹曼分布 | 退化为玻尔兹曼分布 |
| 低温行为 | 无相变 | 玻色-爱因斯坦凝聚 | 费米海形成 |
其他类似分布
-
吉布斯分布（Gibbs Distribution）
- 玻尔兹曼分布的推广，适用于非平衡统计系统。
- 公式：\( P(E) \propto e^{-(E - \mu N)/k_B T} \)。
-
帕雷托分布（Pareto Distribution）
- 幂律分布 \( P(E) \sim E^{-\alpha} \)，用于描述非热平衡系统（如宇宙射线能量分布）。
-
量子极限下的过渡
- 当德布罗意波长 \(\lambda_{dB} \sim\) 粒子间距时，必须使用量子分布（玻色/费米分布）。
物理意义总结
- 玻尔兹曼分布：经典统计的基石，适用于稀薄气体、化学反应速率。
- 玻色分布：揭示集体量子行为（如激光、超导库珀对）。
- 费米分布：解释固体导电性、恒星演化中的简并物质。
如果需要具体推导或应用示例，可进一步讨论！