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飞机停止时，飞机上的原子钟比地球上的原子钟慢了一些时间。按说应该相同。除非在飞机上的1秒和地球上的1秒不同，也就是振荡的频率不同，或者在加速减速过程中时钟有了变化，但这种情况不应该和飞机匀速飞的时长有关，所以应该排除。
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使用推迟势计算，为什么要保持y不同，才能推迟洛伦兹变换。
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多普勒效应中，为什么x方向要多一个\(\gamma\)，即\(\gamma(1-v/c)\), 正好对应推迟势中的\(\gamma(x-vt)=\gamma(1-v/c)(x-vt’)\)，
如果是飞机上的原子钟的1秒和地球上的1秒不同，那么这些问题就都能解决了。
在洛伦兹变换下，推迟势中，R’中的接收时间\(\gamma(t-xv/c^2)\)对应R的t,发射时间\(t’/\gamma\)对应R的t'
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在静止坐标系内观察移动坐标系：
\(\Delta t=\frac{x-vt}{c-v}\)
即：\(t_r-t_e=\frac{x-vt_r}{c-v}\)
\(t_e =t_r-\frac{x-vt_r}{c-v}\)
\(=\frac{ct_r-x}{c-v}\)
\(=(ct_r-x)\frac{c+v}{c^2}\frac{c^2}{c^2-v^2}\)
\(=\gamma^2 \frac{ct_r-x)(c+v)}{c^2}\)
\(=\gamma^2(t_r-\frac{vx}{c^2}-\frac{x-vt_r}{c})\)
\(=\gamma(\gamma(t_r-\frac{vx}{c^2})-\frac{\gamma(x-vt_r)}{c})\)
\(=\gamma(t’_r-\frac{x’}{c})\)
\(=\gamma t’_e\)
表示在发射点x’_e为0的时候，\(t_e=\gamma(t’_e+\frac{x’_e v}{c^2})=\gamma t’_e\)
所以上面我们使用到了：
\(t’_r=\gamma(t_r-\frac{xv}{c^2})\)
\(t_e=\gamma(t’_e+\frac{x’_e v}{c^2})\), 光源位置\(x’_e=0\)
\(x’=\gamma(x-vt)\)
这些公式和前面的\(\gamma R’\)相同。这些公式说明了什么？
这个推导过程至少说明了，我们应该使用相同类型的时间来对比，
\(t_e\)对比\(t’_e\), \(t_r\)对比\(t’_r\)，
如果我们使用了\(t_e\)对比\(t_r\)或\(t’_r\)，那么可能就会丢失\(\gamma\)，
使得多普勒变换的频率丢失了\(\gamma\)，只是\(dt/dt’\)而不是\(\gamma dt_r/dt_e\)
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在移动坐标系内，
\(x’_r-x’_e=c(t’_r-c’_e)\),
光线接收时间\(t’_r\),发射时间\(c’_e\),接收位置\(x’_r\),发射位置\(x’_e\)
有：
\((x’_r - x’_e) (1 - \frac{v}{c}) = (t’_r - t’_e) (c - v)\),
\((x’_r - x’_e)+v(t’_r - t’_e)=c(t’_r - t’_e)+(x’_r - x’_e)\frac{v}{c}\),
\((x’_r + vt’_r)-(x’_e + vt’_e)=c(t’_r + \frac{v x’_r}{c^2})-c(t’_e + \frac{v x’_e}{c^2})\),
\(\gamma(x’_r + vt’_r)-\gamma(x’_e + vt’_e)=c(\gamma(t’_r + \frac{v x’_r}{c^2}))-c(\gamma(t’_e + \frac{v x’_e}{c^2}))\),
即：
\(x_r-x_e=c(t_r-t_e)\)
这个变换说明了世界线的不变量\(c\Delta t-\Delta x=0\)。这个变换的推导又说明了什么？
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还有一个等式：
\( c^2(t-\frac{vx}{c^2})^2-(x-vt)^2=\frac{(ct)^2-x^2}{\gamma^2}=\frac{y^2}{\gamma^2}\)
也就是从等心圆\(x’^2+y’^2=(ct’)^2\)到等心圆\(x^2+y^2=(ct)^2\)
这个推导的意义，是说明\(t’=t-xv/c^2\)与\(y’=y/\gamma\)是等价的,t的缩减是由于y的缩减造成的，或者t缩减则y缩减了，这个也与光速变成了c/\gamma等价
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就是如果令x’=x-vt，那么这个x’并非发射位置，而是瞬时位置，也就是观察点接收到信号后的光源位置, 而我们使用的静止坐标系的x-vt’却是发射位置。这也是长度收缩的原因，在O’系看来，x-vt和x这两个点是发射位置和接收位置，是不同时的，但在O系看来，这两个位置是同时的，x-vt不是发射位置
当然，最重要的一点，是保持了观察点位置的固定，也就是y方向固定，这个是条件
那么怎么根据这句话，推导出在O’坐标系，瞬时位置为x-vt时的发射位置为\(\gamma(x-vt)\)，不考虑y值相同的情况
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我们使用\(c(t’_r-t’_e)=x-v t_r\)，假设推迟距离为\(x-v t_r\)，
如果再假设不同坐标系的接收时间同步，也就是\(t’_r=t_r\)，那么有：
\(c(t_r-t’_e)=x-v t_r\),
有：\(t’_e =t_r-(x-v t_r)/c\), (1)
由于 \(c(t_r-t_e)=x-v t_e\), 有：
\(t_r=t_e + (x-v t_e)/c\), 代入(1), 有：
\(t’_e =t_e+\frac{x-v t_e}{c}-(x-v \frac{t_e+(x-v t_e)}{c})/c \)
有：
\(t’_e =t_e + \frac{v(x-v t_e)}{c^2} =\frac{t_e}{\gamma^2}+\frac{vx}{c^2}\)
\(x’=x-v t’_e=\frac{x-v t_e}{\gamma^2}=\frac{c}{c-v}(x-v t_r) \frac{c^2-v^2}{c^2}=\frac{c+v}{c}(x-v t_r)\)
如果\(x=v t_e\), 此时光线始终垂直于静止坐标系的x轴，
\(t’_e =t_e\)
如果 \(x=vt\), 此时光线始终垂直于移动坐标系的x轴，
\(t’_e =t’_r =t_r\),
\(t_r-t_e =\frac{x-v t_e}{c}=\frac{v}{c}(t_r-t_e)\)
有：\(t_r=t_e\)（垂直发射）, 或\(v=c\)（光子）
由于始终有 \(c(t’_r-t’_e)-(x-v t_r)=c(t_r-t_e)-(x-v t_e) =0\)，
所以一维情况下，是无法得到\(\gamma\)的，也就是在无源的波动方程里，没有y方向的波动方程里，是不能得到\(\gamma\)放大参数的，O’坐标系的\(t’_r t’_e\)可以无限制放大，只有引入y做限制，才有\(\gamma\)的出现。除非我们追求变换的统一性，在t’到t的变换和t到t’的变换里，参数是一样的，都是\(\gamma\)，就可以找到这个共同的放大参数。
=== 我们找到统一使用接收时间的变换
\(c(t’_r-t’_e)=x-v t_r\),
假设发射时间相同，\(t’_e =t_e\), 则有：
\( t’_r=t_r-\frac{v(x-v t_e)}{c^2}\)
\(x’=x-v t_r=x-v t_e-v(t_r-t_e)\),
\(x-v t_e\)作为\(x\)，\(t_r-t_e\)作为\(t\),
\(x-v t_r\)作为\(x’\),\(t’_r-t_e\)作为\(t’\),
有：
\( t’_r-t_e=t_r-t_e-\frac{vx}{c^2}\), 即：
\( t’=t-\frac{v x}{c^2}\)
\( x’=x-vt\)
其反变换：
\( t=\gamma^2(t’+\frac{v x’}{c^2})\),
\( x=\gamma^2(x’+vt’)\),
或写作：
\((t’_r - t’_e) = (t_r - t_e) - \frac{v (x - v t_e)}{c^2}\)
\((t_r - t_e) = \gamma^2 \left( (t’_r - t’_e) + \frac{v (x - v t_r)}{c^2} \right)\)
所以，我们为了让变换统一，需要将t’和x’的变换里扩大\(\gamma\)倍，此时t和x的变换就缩小了\(\gamma\)倍，两者就统一了，这是在一维变换下一个能得到增大\(\gamma\)的理由。
当然，如果\((ct’)^2-x’^2\)和\((ct)^2-x^2\)不为0，则可以得到：
\((ct’)^2-x’^2=\frac{(ct)^2-x^2}{\gamma^2}\), 而这在现实中，只要不是光子，就肯定两者不为0
==== 我们继续使用二维含y的方程来推导\(\gamma\):
\(c(t_r-t_e)=R=\sqrt{(x-v t_e)^2+y^2}\)
\(c(t’_r-t’_e)=R=\sqrt{(x-v t_r)^2+y’^2}\)
我们假设两个坐标系使用同一个发射时间，\(t_e=t’_e\)求出 \(t’_r\)于\(t_r\)的关系式：
\( t’_r=t_r-\frac{v(x-v t_e)}{c^2}\), 和一维的完全一样
但此时有y，我们有：
\((c(t’_r-t_e))^2-(x-v t_r)^2 =\frac{(c(t_r-t_e))^2-(x-v t_e)^2}{\gamma^2}=(y/\gamma)^2\)
可见，为了让y相同，在二维情况下，我们需要将整个移动坐标系下的\(t’_r\), \(t’_e\), \(x’\)都扩大\(\gamma\)倍：
\(\gamma t’_r=\gamma(t_r-\frac{v(x-v t_e)}{c^2})\)
\(\gamma t’_e =\gamma t_e \)
\(\gamma x’ =\gamma(x-v t_r)\)
即：
\(\gamma c(t’_r-t_e)=\gamma R=\gamma \sqrt{(x-v t_r)^2+y’^2}=\sqrt{(\gamma(x-v t_r))^2+y^2}\)
====
再考虑一维情况：
假设移动坐标系内推迟位置为\(a(x-v t_r), a>1\), 则有
\(c(t’_r-t’_e)=a(x-v t_r)=x’-v t’_e\),
我们先要找到一个合理的x':
令\(a=\gamma\)，于是：
\(\gamma (x-v t_r)=x’-v t’_e\), 得到：
\( x’=\gamma(x-v t_r)+v t’_e \)
前面我们有：
\(c(\gamma(t_r-\frac{v (x-v t_e)}{c^2})-\gamma t_e)=\gamma(x-v t_r)\),
所以令\(t’_e =\gamma t_e\)，得到：
\( x’=\gamma(x-v t_r)+v\gamma t_e=\gamma(x-v(t_r-t_e)) \)
可见，x’是从\(x-v(t_r-t_e)\)也就是移动坐标系的原点坐标，扩大了\(\gamma\)倍得到的
可见，整个系统都扩大了\(\gamma\)倍，包括移动坐标系的原点在静止参考系内的坐标！
于是，我们前面的方程就变成了：
\(c(t’_r-t’_e)=\gamma (x-v t_r)=\gamma(x-v(t_r-t_e))-v t’_e\),
由\(\gamma (x-v t_r)=\gamma(x-v(t_r-t_e))-v t’_e\)，
可以得到：\(t’_e=\gamma t_e \)
再由\(c(t’_r-t’_e)=\gamma (x-v t_r)\)，
可以得到：\(t’_r=\gamma(t_r-\frac{v (x-v t_e)}{c^2}\),
我们再使用式子：
\(c(t’_r-t’_e)=A (x-v t_r)=A(x-v(t_r-t_e))-v t’_e\),
可以得到：
\(t’_e=A t_e \)
\(t’_r=A(t_r-\frac{v (x-v t_e)}{c^2}\)
可见\(\gamma\)只是和普通缩放一样，并没有特殊性
这可能说明，系统内有不变量，体现在\(c(t_r-t_e)\)与\(x-v t_e\)的差值中，光子不变量为0，费米子不变量大于0，快子不变量小于0，电磁场不变量是电荷和静电场，质量不变量是静质量。
而从\((c-v)(c+v)=(c/\gamma)^2\)，似乎可以得到什么启示，这好像是一种什么振荡模式。在粒子获得速度v后，y方向的光速必须降低为\(c/\gamma\)才能保持光速不变，但水平方向上却要用\((c-v)(c+v)\)来体现，很是奇怪。
====
如何在一维下构造二维的y分量从而找到\(\gamma\)，或者找到某个同时性的事件，但如果没有y，那在x轴上任意放大都能做到(x,y=0)点上可以同时。
前面我们假设\(t_e =t’_e\)时, 得到
\(t’_r=t_r-v(x-v t_e)/c^2\),
假设：\(c(t’_r-t_e))^2-(x-v t_r)^2\) 和\((c(t_r-t_e))^2-(x-v t_e)^2\) 都不等于0
可得 \((c(t’_r-t_e))^2-(x-v t_r)^2=(1-v^2/c^2) ((c(t_r-t_e))^2-(x-v t_e)^2)\),
\(c(t’_r-t_e)+(x-v t_r)=(1-v/c)(c(t_r-t_e)+x-v t_e\)
\(c(t’_r-t_e)-(x-v t_r)=(1+v/c)(c(t_r-t_e)-(x-v t_e)\)
得：
\(c(t’_r-t_e)=c(t_r-t_e)-\frac{v}{c}(x-v t_e)\),
\(x-v t_r=x-v t_e-\frac{v}{c} c(t_r-t_e)\),
此时，再考虑为什么要扩大\(\gamma\)倍，
从上面的公式，我们很容易就知道其几何图像，如下图：
从这个图可以看出，
在产生速度v后，相当于所有的圆半径r都倾斜，变成了新的方向，
比如图中有向倾斜的半径OP，可以看作是垂直半径OY，静止时垂直速度为c，运动时向运动方向倾斜产生了速度v，
为了保持光速不变，实际上也是半径r的长度不变(代表势能不变，由此可以想象出光速是势能除以距离得到的常数），垂直方向变成了\(\sqrt{c^2-v^2}\)，水平方向产生了速度v，
在圆里面，三角形APX是直角三角形，O’P垂直于AX, 那么OP代表\(c(t’_r-t’_e)\), OO’代表\(x-v t_r\), O’X就代表\(c(t’_r-t’_e)-x-v t_r\), AO’就代表\(c(t’_r-t’_e)+x-v t_r\)，
于是根据图片内直角三角形APO’和PO’X的相似关系，就有：
\(\frac{O’X}{O’P}=\frac{O’P}{AO’}\), 于是可以得到：
\((c(t’_r-t’_e)-x-v t_r)(c(t’_r-t’_e)+x-v t_r))=(O’P)^2=y’^2\)
也就是以O’P形成了一个新的小圆。而这个小圆x方向上虽然左右不均匀，但整体上乘积却是和圆一样，这意味着什么？
在x方向的光线如何变化呢？
我们可以看作x方向的光线，是OP无限靠近x轴的结果（这也说明是v趋于c，变成光子），
所以，在x方向上，我们也可以看作是y趋于0，即\(c(t’_r-t’_e)\)趋于\(x-v t_r\)，此时相当于v趋于c。当v等于c时，也就是光子的运动，这不是我们要讨论的情况，我们讨论的是小于c的粒子的运动，所以永远有v小于c，\(c(t’_r-t’_e)-(x-v t_r)\)始终不为0。
向右的距离*向左的距离=\(\gamma(c-v)\Delta t’ * \gamma(c+v) \Delta t’=c^2 \Delta t’^2=\Delta x’^2\)，
在O’中从原点向左右发射两束光，在t’时刻到达x’,-x’, 静止左边系内的t和x’,-x’对应的坐标：
x’对应：
\(x_A = \gamma (c + v) t’ \)
\(t_A = \gamma \left(1 + \frac{v}{c} \right) t’\)
-x’对应：
\(x_B = \gamma (v - c) t’ \)
\(t_B = \gamma \left(1 - \frac{v}{c} \right) t’\)
\(x_A*x_B=x’^2\)
\(t_A*t_B=t’^2\)
代表了逆变换关系，没有\gamma则逆变换不成立，这也是y相同的结果。但在现实中的含义是什么：
上面的图片中，我们看到：
\(O’X=OX-OO’=r-vt=r(1-v/c)\), \(r=ct\)
\(O’A=r(1+v/c)\), \(r=ct\)
\(O’X * O’A=(\frac{r}{\gamma})^2\)
我们认为，移动坐标系原点在O位置时发射信号，这个信号强度与半径r成比例，比如势能是成反比，
此时的等势面就是范围r的圆周，假设信号强度为m(r)，
信号不断向外扩散，在坐标原点移动到O’时，在垂直位置\(O’P=\frac{r}{\gamma}\)正好收到斜率为v/c的信号m(r),如果信号强度与r成反比例，则在O’中与O中的等势面要扩大\(\gamma\)倍，\(r’=\gamma r\)，扩大后有：
\(\gamma O’X * \gamma O’A=r^2\)
那么在x方向，是否存在这种等势面？
在x轴正方向，m(r)在O’移动vt后，相对于O’的距离为r(1-v/c)，这显然不同于垂直方向的\(\gamma\)，
在x轴负方向，m(r)在O’移动vt后，相对于O’的距离为r(1+v/c)。
由回到前面的问题，水平方向上，\((c-v)*(c+v)=c^2-v^2\)意味着哪个不变量？为什么等同于垂直的圆的面积\((\frac{r}{\gamma})^2\)一样?
我们看看O坐标系内的圆\(x^2+y^2=r^2\)，在O’中变成了方程：
\((x-vt)^2+(y/\gamma)^2=r’^2=(ct)^2\)
椭圆的面积：
\((ct)(ct/\gamma)^2 =(\frac{r}{\gamma})^2\)
而 \(ct(1-v/c) * ct(1+v/c)\)也正好等于\(\frac{r}{\gamma}^2\)，这也说明了在O看来是椭圆，但在O’看来，是半径为\(\frac{r}{\gamma}\)的标准圆，保持各向同性。
O’的垂直轴将椭球切成了\(x’=r(1-v/c)\)和\(x’=-r(1+v/c)\)两部分，x方向的直径仍然为2*r，也就是从整体上来看，x方向没有压缩，但中心发生了偏离为\((-\frac{v}{c}r,0)\)，y方向则压缩了\(\gamma\)。也就是等势面变成了一个x半径为\(r’=r=ct\)不变，y方向变成了\(r/\gamma\)被压缩了\(\gamma\)倍的椭圆，y方向的密度增加，x方向的不变但位置发生了偏移。
也就是我们前面要找的两个值为什么相等，实质上是面积为不变量。
再乘以\(\gamma\)，使得面积等于\(r^2\)，x方向空间增加了\(\gamma\)倍，y方向空间不变，x方向相同距离势能不变(相对于中心)，y方向相同距离势能增加了\(\gamma\)倍(在\(y’=y\)位置变成了\(\gamma m(r)\))。
等势面，也可以看作“同时面”，也就是光源在某个时刻向四周发射光，能同时看到这个发光事件的人的所有可能位置，在静止坐标系内发射，看到的是半径为r的圆，在静止坐标系内看运动坐标系发射，则看到的是y方向压缩的椭圆，在静止坐标内自己看，是一个半径\(r/\gamma\)的小圆。
=====
在电荷运动中，我们用这个来计算一下电场和磁场：
电荷运动后，等势面变成了：
\(x^2+y/\gamma^2=r’^2=(ct’)^2\),
x方向不变，y方向增强\(\gamma\)倍，即：
\(E’^2=E_\parallel^2 +E_\perp^2 \gamma^2\)
\( =E_\parallel^2 + E_\perp^2 \frac{c^2}{c^2-v^2}\)
\( =E_\parallel^2 + E_\perp^2 (1+\frac{v^2}{c^2-v^2})\)
\( =E_\parallel^2 + E_\perp^2 (1+\frac{v^2}{c^2}\frac{c^2}{c^2-v^2})\)
\( =E_\parallel^2 + E_\perp^2 +E_\perp^2 \frac{v^2}{c^2}\gamma^2\)
\( =E^2 + (cB’)^2\)
其中\(B’=E_\perp \frac{v}{c^2}\gamma\)
如果使用坐标变换来进行电磁场变换，也就是上面的反变换，则变成了y方向不变，y方向势能不变，x方向坐标扩大\(\gamma\)倍导致势能缩小\(\gamma\)倍，电场变为：
\(E^2 =\frac{E’_\parallel^2}{\gamma^2}+E’_\perp^2\)
\(= \frac{E’_\parallel^2}{\gamma^2}+E’_\perp^2(\frac{c^2-v^2}{c^2}+\frac{v^2}{c^2})\)
\(= \frac{E’_\parallel^2}{\gamma^2}+\frac{E’_\perp^2}{\gamma^2}+E’_\perp^2\frac{v^2}{c^2}\)
\(= \frac{E’^2}{\gamma^2}+E’_\perp^2\frac{v^2}{c^2}\)
\(= \frac{E’^2}{\gamma^2}+(cB)^2\)
在两边乘以\(\gamma\),即变回缩小的形式：
\(\gamma^2 E^2= E’^2+(\gamma cB)^2\)，
或：\(E’^2= E_0^2+(vB’)^2\)
这个也是质能方程相似的形式
根据\(r’=(x-vt)^2+(y^2+z^2)/\gamma^2\)构造势能函数，比如李纳维谢尔势函数，就可以求出其散度和旋度，验证麦克斯韦方程组
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我们一直在研究：
\(R’=\sqrt{(x-v t_r)^2+y^2/\gamma^2}\)，与它的反方向变换：
\(R’_2=\sqrt{(x+v t_r)^2+y^2/\gamma^2}\)，
它们两个组成了一个椭圆，圆心在\((-v t_r, 0)\)：
\((x-v t_r)(x+v t_r)=(y/\gamma)^2\)
但这个变换并不能让我们找到x方向的\(\gamma\)扩大的理由。
我们显然忽视了一条真正的线，就是在静止坐标系里看到的观察点到当前光源的那条线：
\(R_1=\sqrt{(x-v t_r)^2+y^2}\), 似乎走不通。
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\((c-v cos())^2 + (\gamma^2 v^2 /c^2) *(c cos()-v)^2 =\gamma^2 (c-v cos())^2-v sin^2()\)
\((c-v cos())^2 + (\gamma^2 v^2 /c^2) *(c cos()-v)^2 + v sin^2()+(c sin()/\gamma)^2 = \gamma^2 (c-v cos())^2+(csin())^2\)
\(v sin()\)是v到c的投影的垂线，如果丢掉，y就变成\(y/\gamma\)，
但\(\frac{\gamma v}{c}(c cos()-v)\)是什么，如果丢掉，x方向就是\(c cos()-v\)
\((\gamma(c-v cos()))^2= (c sin()/\gamma)^2 +(v sin())^2 + (c cos()-v)^2 + (\gamma v(c cos()-v)/c)^2\) == 在O上观察O’的光：
\(((c-v cos(\theta)))^2 - (c cos(\theta)-v)^2 = \frac{csin(\theta)}{\gamma})^2 \)
y方向的速度降低了\(\gamma\)倍
== 在O’上观察O的光：
\(((c+v cos(\theta’)))^2 - (c cos(\theta’)+v)^2 = \frac{csin(\theta’)}{\gamma})^2 \)
y方向的速度也降低了\(\gamma\)倍
光源在剔除了vy/c后，方向是如何发射偏折的/折射。折射率：
\( cos(\theta’)=\frac{c cos(\theta)-v}{c-v cos(\theta)}\)
\(sin(\theta)=\gamma sin(\theta’)(1-\frac{v}{c}cos(\theta))\)
令\(c’=\sqrt{c^2-v^2}\),
\(\frac{\sin\theta}{\sin\theta’}=\frac{y}{R}/\frac{y}{\gamma R’}=\gamma (1-\frac{v}{c}\cos\theta)=\frac{c}{c’}(1-\frac{v}{c}\cos\theta)\)
\(\frac{\sin\theta’}{\sin\theta}=\gamma (1+\frac{v}{c}\cos\theta’)\)
\(\frac{\sin\theta}{\sin\theta’(1-v\cos\theta)}=\gamma=\frac{c}{c’}\)
说明折射是光速变化，光进入不同密度，光源移动的三种等价描述，光速变化是因为光的相对观察方向变化了。
\(R^2(1-v\cos\theta/c)(1-v \cos\theta’)=(x-vt_r)^2+y^2\)
\(c’_x= (c \cos\theta-v)/(1-v\cos\theta/v)\)
\(c’_y= c \sin\theta/(\gamma (1-v\cos\theta/v))\)
\(1 - \frac{v}{c} \cos\theta’ = \frac{1 - (v/c)\cos\theta - (v/c)(\cos\theta - v/c)}{1 - (v/c)\cos\theta}\)
\(= \frac{(1 - v/c \cos\theta)^2 + (v^2/c^2)\sin^2\theta}{1 - (v/c)\cos\theta}\)
\(cos(\theta)-cos(\theta’)=v/c \sin^2\theta/(1-v/c \cos\theta)=v/c \sin^2\theta R/R’=v/c * y\sin \theta/R’\)
角度变化，是因为光的速度，\(y\)方向变化速度为从\(c \sin\theta\)到\(c \sin\theta/\gamma\), \(x\)方向是从\(c \cos\theta\)变成了\(c \cos\theta-v\)，两个方向变化速度不同
但是如何从几何作图上来直观表现y方向的变化和新的三角形关系？R’=R(1-v/c cos()),O’到R’的垂线是vcos,vsin, 如何知道O’移到垂足后，垂直方向减去的vsin，就是y方向三角形的一个分量，从几何作图上很难做出两者的关系，只能从vsin,c-vcos,csin,ccos-v四条边构成的四边形来计算得出，如果将vsin移到y边上直观体现四者的关系？
洛伦兹变换和伽利略变换的区别，在x方向的运动者观察运动物体A，伽利略变换认为运动物体A的y方向的速度不变，而洛伦兹变换则认为运动物体的y的速度变成了\(y/\gamma\)，伽利略用的是想象中的绝对时空，洛伦兹变换则是用了光计时和光测距的相对时空。运动导致的光线偏折，牵涉到光路变化的测量问题、势能等势面的变化、时钟频率的变化、发射时间和接收时间的不同步等等所有相对论问题
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如果将\(c \cos\theta\) 和\(c \sin\theta/\gamma\)都除以\((1-v \cos\theta/c)\), 就恢复到了对应R的偏移速度，合成速度就是c了
\(\frac{c \sin\theta}{\gamma(1-v\cos\theta)/c)}=\frac{cy}{\gamma R’}=c\sin\theta’=c_{y’}\)
\(\frac{c \cos\theta-v}{1-v\cos\theta/c}=\frac{c(x-vt_r)}{R’}=c\cos\theta’=c_{x’}\)
假设\(c_{y’}*t=y\), 有\(t=\frac{y}{c_{y’}}\),
有：
\(c_{x’}*t =c_{x’}*\frac{y}{c_{y’}}=y\frac{\cos\theta’}{\sin\theta’}\)
\(=y\gamma\frac{\cos\theta-v/c}{\sin\theta}\)
\(=y\gamma \frac{R(\cos\theta-v/c}{R\sin\theta}\)
\(=y\gamma\frac{x-v t_r}{y}\)
\(=\gamma(x-v t_r)\)
相对于把\(y/\gamma\)扩大到y。可见真实的速度应该是将\(ccos-v\)和\(y/\gamma\) 再除以\(1-v \cos\theta/c\)映射回O坐标系，使得其作为原来的\(c_x=ccos\)和\(c_y=csin\)在倾斜后仍保持合成光速不变。
\(\gamma\)最终来自y轴的不协调，所以只需要将\(\gamma\)的研究集中在为什么在y轴产生即可。
为什么要除以\(1-\frac{v}{c}\cos\theta\)?
这个我们可以从以前分析一维的情况下得到为什么是除以它，
在一维情况下，我们有：
\( x-v t_r=(c-v)(t_r-t_e)\),
相对于在O’中，光走了\(x-v t_r=(c-v)(t_r-t_e)\),
也就是我们可以认为，光在O’中的速度为(c-v)，与光速比例为(c-v)/c，
而要得到在O’中也是光速的结论，
我们需要将时间也降到(c-v)/c=1-v/c的比例，
我们使用 \(\frac{(c-v)\Delta t}{\Delta t’}=\frac{(c-v)\Delta t}{\Delta t(1-v/c)}=c\),
而\(1-v/c\)正是一维情况下的接收时间对发射时间的导数：
\(\frac{dt_r}{dt_e}=1-\frac{v}{c}\),此导数由\( x-v t_r=(c-v)(t_r-t_e)\)即可得到,
说明测量者观察到的是接收时间间隔，反映了在观测位置，光源因运动导致了不同时刻发出的光的距离的压缩情况，接收时间间隔和发射时间间隔不同造成了观测效应的不同。比如，你在t1时刻发射了一束光，你的速度也是光速，那你沿着光束一样的方向前进，那么发射的光束永远和你并排前进，你在任意时刻t2发出第二束光，它们之间的距离和时间间隔永远是0，
所以在x轴看，O’坐标到x位置走了\((c\cos\theta-v)(t_r-t_e)\)的距离，
再除以接收时间间隔\((t_r-t_e)\frac{dt_r}{dt_e}=(t_r-t_e)(1-\frac{v}{c}\cos\theta)\)，就是在O’中的速度\(\frac{c \cos\theta-v}{1-v\cos\theta/c}\)，即 \(c’=\frac{\Delta x’}{\Delta t’}=\frac{(c\frac{dt_r}{dt_e}) \Delta t}{\Delta t \frac{dt_r}{dt_e}}=c\)，
在观察者看来，光源和光不仅存在x轴的相对速度的变化\(c \cos\theta-v\)，还存在光线方向的接收时间的变化，这两个变化成正相关关系，静止系内看相对速度变小(\(c’_x=c\cos\theta-v\))，结果造成接收端距离变小，同时相对接收时间间隔变小(\(t’=t(1-v\cos\theta/c)\))，组合在一起则形成了光速不变(还要和y轴一起)。也就是，观测者是以接收到的事件的时间和距离间隔为准，以接收端的信息为准
之所以消去了\(vsin(\theta)\)项得到了\(csin(\theta)/\gamma\)，是因为从光源做垂线到光轴，垂足的位置，就是减去了v和vsin的结果。减去后，就从O’P这个伽利略变换的O’到观察点的即时位置，变换回了R这个洛伦兹变换的推迟位置。
而之所以不使用\(c\cos\theta(1-vcos\theta/c)\)和\(c\sin\theta(1-vcos\theta/c)\)来作为O’系的速度分量，是因为观察时测量的是光源的瞬时位置，这时候x方向的速度就应该使用\(c\cos\theta-v\)，y方向的相对速度计算可得为\(\sin\theta/\gamma\)，再除以(1-v\cos\theta)就可以得到速度修正。这也是伽利略变换和洛伦兹变换的区别：我们进行速度变换时，伽利略变换使用的是光的延迟发射位置，洛伦兹变换使用的是当前的真实位置(时间不确定时至少角度是真实的)。
也就是，计算距离时，我们用的是相对速度*发射时间间隔=光速*接收时间间隔，计算时间时我们用的时接收时间间隔，所以距离/时间仍然是光速
这也说明了，x和y方向的变换是独立的，y方向遵从\(y,vy/c,y/\gamma\)三角变换。
令\(\cos\theta=v/c\),则：
\(\tan\frac{\theta’}{2} \tan\frac{a}{2} = \tan\frac{\theta}{2}\)
即\(\frac{1-\cos\theta’}{1+\cos\theta’}\frac{1-v/c}{1+v/c}\frac{1-\cos\theta}={1+\cos\theta}\)
由于x和y方向变化率的不同，观测者观察到的光的方向，和粒子发射的光的方向，是不同的，导致了和折射一样的效果，即从O’到观察点的位置，到R这个虚拟位置，水平方向和垂直方向减去了v的影响后得到了R’。
也就是，假设水中的光速，x方向降低了v变成了\(ccos-v\), y方向降低了vsin变成\(csin/\gamma\)，那么外部观察到的鱼的角度是\(\theta\)，其实鱼的真实角度是在\(\theta’\)