洛伦兹变换:
\(x=\gamma(x’+vt’)\),
\(t=\gamma(t’+vx’/c^2)\),
\(y=y’\)
\((ct)^2-x^2=(ct’)^2-x’^2\)
等价的伽利略变换:
\(x=x’+vt’\),
\(t=t’+vx’/c^2\),
\(y=y’/\gamma\)
\(\gamma^2((ct)^2-x^2)=(ct’)^2-x’^2\)
== 在O’坐标系垂直发射一束光时,x’=0, y’=ct’,
洛伦兹变换:
\(x=\gamma(x’+vt’)=\gamma vt’\)
\(t=\gamma(t’+vx’/c^2) =\gamma t’\)
\(y=y’=ct’=ct/\gamma\)
\(y/x =\frac{c}{\gamma v}\)
\( (ct)^2 = x^2 +y^2\)
\( (ct)^2 -x^2 =(ct’)^2 -x’^2\)
等价的伽利略变换:
\(x=x’+vt’=vt’\)
\(t=t’+vx’/c^2 =t’\)
\(y=y’/\gamma =ct’/\gamma=ct/\gamma\)
\(y/x =\frac{c}{\gamma v}\)
\( (ct)^2 = x^2 +y^2\)
\( (ct)^2 -x^2 =\gamma^2((ct’)^2 -x’^2)\)
到底哪个符合实际情况:
使用y方向发射光子的情况验证:
在前面的例子里,
\(ct=\gamma y’\),\(t=\gamma t’\),
ct有两种理解,
一种是在静止坐标系里测到的光线路径是ct,光速扩大了\(\gamma\)倍,时间不变t=t'
另一种理解是在静止坐标系里要测相同的y’位置,需要发射光线路径为ct,扩大了\(\gamma\)倍,时间也延长为\(t=\gamma t’\),
所以第二种理解是符合实际的。
事实上,如果在移动坐标系O’里垂直发射一个光子,那么这个光子的方向在O看来就是斜的,那么在O看来,垂直方向的光速分量变成了\(c^2-v^2\),相同时间的话,光垂直方向走的距离为\(y=ct/\gamma\), 所以两个坐标系必须使用不同的时间,才能达到\(y=ct/\gamma =y’=ct’\),如果使用相同的时间,则\(y=y’/\gamma\),所以要想准确获得O’上的y’值,使用y=y’的洛伦兹变换是合适的,而对应x’=\gamma(x-vt)的值,则是个历史位置,不是t时刻相对于当前移动坐标系原点的位置。
洛伦兹变换下:
\(c(t-t’)=\sqrt{\gamma^2(x_0-vt)^2+{y_0}^2}\),
\(\frac{dt}{dt’}=1+\frac{\gamma v}{c} \frac{\gamma(x_0-vt)}{\sqrt{\gamma^2(x_0-vt)^2+y_0^2}}\)
\(y_0=0\),则:
\(\frac{dt}{dt’}=1+\frac{\gamma v}{c}\)
v/c扩大了\(\gamma\)倍,代表着x方向v扩大了\(\gamma\)倍,或者y方向上c缩小了\(\gamma\)倍
让我们理清您的设定和目标:
-
真实情况:光源以速度 \(v\) 运动。我们在 \(t\) 时刻于 \(x\) 点接收到一个光子。这个光子是在更早的推迟时间 \(t_r\) 从推迟位置 \(x_r = v t_r\) 发射出来的。推迟条件为: \[ c(t - t_r) = |x - v t_r| \] 在 \(x > v t\) 的情况下,\(c(t - t_r) = x - v t_r\)。
-
您的等效模型:您希望光子从一个不同的假设发射点 \(x_{\text{emit}} = x - \gamma (x - v t)\) 发射出来。并且,您希望当光子到达 \(x\) 时,光源的当前位置正好是 \(x_{\text{now}} = x - v t\)。
-
您的问题:在这个等效模型中,为了实现上述效果,光速需要变成多少?或者光源的速度需要变成多少?
我们来求解这个等效模型。
等效模型设定
- 假设的发射点: \(x_{\text{emit}} = x - \gamma (x - v t)\)
- 观测点: \(x_{\text{obs}} = x\)
- 光子到达观测点的时刻: \(t_{\text{arrival}} = t\)
- 光源的当前住置: \(x_{\text{now}} = x - v t\)
- 假设的光速: \(c_{\text{eff}}\) (待求)
- 假设的光源速度: \(v_{\text{eff}}\) (待求)
在等效模型中,光子从 \(x_{\text{emit}}\) 传播到 \(x_{\text{obs}}}\) 所需的时间为 \(\Delta t\)。根据定义,在这个时间 \(\Delta t\) 内,光源从它的发射位置移动到了它的当前位置。
我们可以建立两个方程:
方程一:光子传播 \[ c_{\text{eff}} \cdot \Delta t = x_{\text{obs}} - x_{\text{emit}} = x - [x - \gamma (x - v t)] = \gamma (x - v t) \tag{1} \]
方程二:光源运动 光源在时间 \(\Delta t\) 内从 \(x_{\text{emit}}\) 运动到 \(x_{\text{now}}}\)。 \[ x_{\text{now}} = x_{\text{emit}} + v_{\text{eff}} \cdot \Delta t \] 代入 \(x_{\text{now}}}\) 和 \(x_{\text{emit}}}\): \[ x - v t = [x - \gamma (x - v t)] + v_{\text{eff}} \cdot \Delta t \] \[ x - v t - x + \gamma (x - v t) = v_{\text{eff}} \cdot \Delta t \] \[ (\gamma - 1)(x - v t) = v_{\text{eff}} \cdot \Delta t \tag{2} \]
现在我们从方程(1)解出 \(\Delta t\): \[ \Delta t = \frac{\gamma (x - v t)}{c_{\text{eff}}} \tag{1a} \]
将(1a)代入方程(2): \[ (\gamma - 1)(x - v t) = v_{\text{eff}} \cdot \frac{\gamma (x - v t)}{c_{\text{eff}}} \] 假设 \(x - v t \ne 0\),两边可以消去: \[ \gamma - 1 = \frac{\gamma v_{\text{eff}}}{c_{\text{eff}}} \] \[ c_{\text{eff}} (\gamma - 1) = \gamma v_{\text{eff}} \] \[ v_{\text{eff}} = \frac{c_{\text{eff}} (\gamma - 1)}{\gamma} \tag{3} \]
方程(3)就是等效光源速度 \(v_{\text{eff}}\) 和等效光速 \(c_{\text{eff}}\) 必须满足的关系。 您可以选择一个,另一个就确定了。
最自然的选择:保持光速不变
最物理的选择是保持光速不变,即 \(c_{\text{eff}} = c\)。我们来看看这时等效光源的速度是多少。
代入 \(c_{\text{eff}} = c\) 到方程(3): \[ v_{\text{eff}} = \frac{c (\gamma - 1)}{\gamma} \]
recall that \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}\) where \(\beta = v/c\). This is the velocity of the effective source in your model if you want to keep the speed of light as \(c\).
这意味着,在您的等效模型中:
- 光速仍然是 \(c\)。
- 但光源的速度不再是真实的 \(v\),而必须是一个更慢的“等效速度” \(v_{\text{eff}} = \frac{c (\gamma - 1)}{\gamma}\)。
例如,如果真实速度 \(v = 0\) (\(\gamma=1\)),则 \(v_{\text{eff}} = 0\)。 如果 \(v \to c\) (\(\gamma \to \infty\)),则 \(v_{\text{eff}} \to c \frac{\gamma}{\gamma} = c\)。
另一种选择:保持光源速度不变
如果我们坚持等效模型中的光源速度就是真实速度,即 \(v_{\text{eff}} = v\),那么我们需要解出等效光速 \(c_{\text{eff}}\)。
从方程(3): \[ v = \frac{c_{\text{eff}} (\gamma - 1)}{\gamma} \] \[ c_{\text{eff}} = \frac{v \gamma}{\gamma - 1} \tag{4} \]
这意味着,在您的等效模型中:
- 光源的速度仍然是真实的 \(v\)。
- 但光速必须变成一个更快的“等效光速” \(c_{\text{eff}} = \frac{v \gamma}{\gamma - 1}\)。
例如,如果 \(v = 0\),公式似乎发散,但实际上意味着不需要等效模型。 如果 \(v \to c\) (\(\gamma \to \infty\)),则 \(c_{\text{eff}} \to \frac{c \gamma}{\gamma} = c\)。
总结与答案
您的问题 “相当于光速变成了多少,或者v变成了多少” 的答案是:
为了实现您描述的等效模型(光子从 \(x - \gamma(x-vt)\) 发射,到达 \(x\) 时光源正好在 \(x - vt\)),“光速”和“光源速度”不能同时保持为真实的 \(c\) 和 \(v\)。您必须修改其中一个:
-
如果保持光速不变 (\(c_{\text{eff}} = c\)),则光源的等效速度必须变为: \[ \boxed{v_{\text{eff}} = \frac{c(\gamma - 1)}{\gamma}} \]
-
如果保持光源速度不变 (\(v_{\text{eff}} = v\)),则等效光速必须变为: \[ \boxed{c_{\text{eff}} = \frac{v \gamma}{\gamma - 1}} \]
您的思想实验深刻地揭示了相对论中推迟效应、光速不变和运动学之间紧密的耦合关系。无法简单地通过调整一个参数而保持其他所有参数不变来完全模拟这种效应。这正是光速不变原理 profound 含义的体现。