推迟势逆变换中:

x轴方向:

\(\frac{dt}{dt’}=\frac{c}{c-v}\),

y轴方向:

\(\frac{dt}{dt’}=\gamma^2\),

在迈克尔逊莫雷实验中,x方向一个来回,时间差dt为:

\(dt=\frac{c}{c-v}dt’+\frac{c}{c+v}dt’=2\gamma^2 dt’\)

y方向一个来回:

\(dt=\gamma^2 dt’ + \gamma^2 dt’ =2 \gamma^2 dt’\)

所以x和y方向在分离后再回到分离的地方,用的时间相同。

我们可以这么理解:

使用任意一个光源,不属于移动坐标系,在和移动坐标系原点重合时时间为t’,发射两束光,水平方向在时刻t,与移动坐标系的原点距离为:

\(x’=x-vt=x-vt_1-v(t_2-t_1)=c(t_2-t_1)-v(t_2-t_1)=(c-v)(t_2-t_1)\),

而y方向,则需要斜着射出光线,光走的距离为c(t_2-t_1),y方向坐标:

\(y’=c(t_2-t_1)/\gamma\)

所以,实际上在静止坐标系中观察移动坐标系,y方向的光速变成了:

\(c’_y=c/\gamma=\sqrt{c^2-v^2}\),

在静止坐标系内观察,要想让y方向到达某个y’,必须使用更多的时间\(\gamma (t_2-t_1)\),位置变成了y, 但x方向距离就变成了\(\gamma(x-vt)\),时间也是\(\gamma(t_2-t_1)\),光速仍然为c,

也就是坐标由\((x-vt, y/\gamma)\),相对光速由\((c-v, c/\gamma)\),

移动坐标系内自己测的时间,以接收时间差为准,则x方向为:

x方向我们有 \(\frac{dt}{dt’}=\frac{c-v}{c}\)

\(\Delta t_x=\frac{dt}{dt’}(t_2-t_1)=(t_2-t_1)\frac{c-v}{c}\)

光的速度为\(((x-vt)/\Delta t_x=(c-v)(t_2-t_1)/\Delta t_x=c\)

y方向\(cos(\theta)=\frac{v}{c}\):

\(\frac{dt}{dt’}=1-\frac{v}{c} cos(\theta)=1/\gamma^2\)

接收到的时间为:

\(\Delta t_y=\frac{t_2-t_1}{\gamma^2}\)

测到的光速为:

\(\frac{c(t_2-t_1)/\gamma}{(t_2-t_1)/\gamma^2}=c/\gamma\),竟然不是c?

也许正确的表述应该是,移动坐标系里y轴上的测量者,测得光在自己的y轴上走了\(\Delta t/\gamma^2\)秒,同时它也知道光实际走的距离为\(c\Delta t\), 是斜线,所以它就认为光在y轴上只走了\(c\Delta t/ \gamma^2=c\Delta t/\gamma /\gamma=y/\gamma\)

那么迈克尔逊莫雷实验:有来自宇宙的两束垂直的光进入水平和垂直通道,水平通道时间为\(c/(c-v) *L/c+c/(c+v) * L/c=2\gamma^2 L/c\), 垂直通道的来回时间为\(2*\gamma^2 L/c\),这里我们采用了水平方向\(dt/dt’=1-v/c和1+v/c\), 垂直方向\(dt/dt’=1/\gamma^2\), 而dt为L/c,则水平方向我们计算的是dt'

这有点诡异。但我们是否可以假设,改变的其实不是时间,而是光子的频率,两个方向的光子频率改变的恰到好处导致了光的干涉:

光源的频率:

\(f’ = f_0 \frac{\sqrt{1 - v^2/c^2}}{1 - (v/c)\cos\theta}\)

  • \(f_0\):静止系中的频率

  • \(f’\):移动系中测量到的频率

  • \(\theta\):运动方向与光传播方向的夹角

干涉取决于光程差:

\(\Delta \phi = 2\pi f \Delta t\)

而\(\Delta t\)正好对应\((1 - (v/c)\cos\theta)L/c\),所以:

\(\Delta \phi=f \Delta t=f_0 \frac{\sqrt{1 - v^2/c^2}}{1 - (v/c)\cos\theta} *(1 - (v/c)\cos\theta)L/c=f_0 \sqrt{1 - v^2/c^2}L/c\)

为常数。