论文《Violation of Bell inequality with unentangled photons》的数学推导 好的，我们来详细解析这篇论文中最核心的数学推导。推导的目标是：从实验装置出发，最终得到违背贝尔不等式的关联函数 \( E(\alpha, \beta) = \cos(\alpha + \beta) \)。

整个推导过程可以分为四个关键步骤：

第1步：写出最终的未归一化四光子态

实验通过路径不可区分性使得两种四光子产生过程（源I&II 或 源III&IV）相干叠加。经过后选择（只考虑四个模式各有一个光子的项），系统的末态为：

\[ |\psi_f\rangle_{a_1,a_2,b_1,b_2} = g^2 \left[ e^{i(\alpha + \beta)} |1_{a_1}1_{a_2}1_{b_1}1_{b_2}\rangle + |1_{a_1}1_{a_2}1_{b_1}1_{b_2}\rangle \right] \]

  • \( g \)：SPDC过程的增益（效率），是一个远小于1的实数。
  • \( \alpha, \beta \)：Alice和Bob主动控制的相位。
  • \( |1_{a_1}1_{a_2}1_{b_1}1_{b_2}\rangle \)：表示在模式 \(a_1, a_2, b_1, b_2\) 上各有一个光子的福克态。

这个态的关键在于： 它是两个完全相同的光子数态（都是 \(|1111\rangle\)）的相干叠加，其区别仅体现在一个全局相位 \( e^{i(\alpha+\beta)} \) 上。这个相位来自于两种不同生成路径所积累的相对相位差。

注意：这个态是未纠缠的。它是一个乘积态（四个光子的直积），只是这个乘积态本身是由两个不可区分的过程叠加而来的。

第2步：计算四重符合计数率

四重符合计数率 \( \mathcal{N}(\alpha, \beta) \) 正比于末态在 \(|1111\rangle\) 基上的概率幅的模平方：

\[ \mathcal{N}(\alpha, \beta) \propto | \langle 1111 | \psi_f \rangle |^2 = |g^2 (e^{i(\alpha+\beta)} + 1)|^2 \]

计算这个模平方：

\[ |e^{i(\alpha+\beta)} + 1|^2 = (e^{i(\alpha+\beta)} + 1)(e^{-i(\alpha+\beta)} + 1) = 2 + e^{i(\alpha+\beta)} + e^{-i(\alpha+\beta)} = 2 + 2\cos(\alpha+\beta) \]

因此，符合计数率最终为： \[ \mathcal{N}(\alpha, \beta) = g^4 N_0 [2 + 2\cos(\alpha + \beta)] = 2g^4 N_0 [1 + \cos(\alpha + \beta)] \] (其中 \(N_0\) 是泵浦光的重复率)

这个公式是实验的核心观测结果：四光子计数率随 Alice 和 Bob 的相位和 \( (\alpha + \beta) \) 以 \( 2\pi \) 为周期振荡。

第3步：构建联合概率（关键转换）

在标准贝尔实验中，对于一个给定的测量基 \((\alpha, \beta)\)，我们可以直接得到四个结果：(+1,+1), (+1,-1), (-1,+1), (-1,-1)。

但在本实验中，没有直接的“-1”结果。实验装置每次只产生一个结果：在基 \((\alpha, \beta)\) 上是否同时探测到两个光子（即+1结果）。

作者的巧妙构思是： 将在正交基上的“+1”结果，定义为在原基上的“-1”结果。这类似于在偏振贝尔实验中，将90°方向上的“通过”（+1）视为0°方向上的“拒绝”（-1）。

基于观测到的 \( 2\pi \) 周期余弦关系，他们做出了以下核心定义： \[ \begin{aligned} N(+1, +1 | \alpha, \beta) &= \mathcal{N}(\alpha, \beta) \\ N(-1, +1 | \alpha, \beta) &\equiv N(+1, +1 | \alpha + \pi, \beta) = \mathcal{N}(\alpha + \pi, \beta) \\ N(+1, -1 | \alpha, \beta) &\equiv N(+1, +1 | \alpha, \beta + \pi) = \mathcal{N}(\alpha, \beta + \pi) \\ N(-1, -1 | \alpha, \beta) &\equiv N(+1, +1 | \alpha + \pi, \beta + \pi) = \mathcal{N}(\alpha + \pi, \beta + \pi) \end{aligned} \]

根据第二步的公式，有： \[ \mathcal{N}(\theta) = 2g^4 N_0 [1 + \cos(\theta)] \] 所以： \[ \begin{aligned} \mathcal{N}(\alpha, \beta) &= 2g^4 N_0 [1 + \cos(\alpha+\beta)] \\ \mathcal{N}(\alpha + \pi, \beta) &= 2g^4 N_0 [1 + \cos(\alpha+\beta+\pi)] = 2g^4 N_0 [1 - \cos(\alpha+\beta)] \\ \mathcal{N}(\alpha, \beta + \pi) &= 2g^4 N_0 [1 - \cos(\alpha+\beta)] \\ \mathcal{N}(\alpha + \pi, \beta + \pi) &= 2g^4 N_0 [1 + \cos(\alpha+\beta+2\pi)] = 2g^4 N_0 [1 + \cos(\alpha+\beta)] \end{aligned} \]

现在可以计算联合概率，例如： \[ p(+1, +1 | \alpha, \beta) = \frac{N(+1, +1 | \alpha, \beta)}{\text{所有可能结果的总和}} \] \[ = \frac{\mathcal{N}(\alpha, \beta)}{\mathcal{N}(\alpha, \beta) + \mathcal{N}(\alpha+\pi, \beta) + \mathcal{N}(\alpha, \beta+\pi) + \mathcal{N}(\alpha+\pi, \beta+\pi)} \]

将上面的四个表达式代入分母： \[ \text{分母} = 2g^4 N_0 \left\{ [1+\cos(\theta)] + [1-\cos(\theta)] + [1-\cos(\theta)] + [1+\cos(\theta)] \right\} = 2g^4 N_0 \times 4 = 8g^4 N_0 \] 其中 \(\theta = \alpha + \beta\)。

分子为： \[ \mathcal{N}(\alpha, \beta) = 2g^4 N_0 [1 + \cos(\theta)] \]

所以： \[ p(+1, +1 | \alpha, \beta) = \frac{2g^4 N_0 [1 + \cos(\theta)]}{8g^4 N_0} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos(\alpha + \beta) \]

同理，可以求出其他三个概率： \[ \begin{aligned} p(-1, +1 | \alpha, \beta) &= \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos(\alpha + \beta) \\ p(+1, -1 | \alpha, \beta) &= \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos(\alpha + \beta) \\ p(-1, -1 | \alpha, \beta) &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos(\alpha + \beta) \end{aligned} \]

第4步：计算关联函数并得到CHSH值

关联函数 \(E(\alpha, \beta)\) 的定义是： \[ E(\alpha, \beta) = \langle ab \rangle = \sum_{a,b} ab \cdot p(a, b | \alpha, \beta) \] 将四个概率和其结果（+1或-1）代入： \[ \begin{aligned} E(\alpha, \beta) &= (+1)(+1) \cdot p(++|\alpha\beta) + (+1)(-1) \cdot p(+-|\alpha\beta) \\ &\quad + (-1)(+1) \cdot p(-+|\alpha\beta) + (-1)(-1) \cdot p(–|\alpha\beta) \\ &= (1)\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos\theta\right) + (-1)\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\cos\theta\right) \\ &\quad + (-1)\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\cos\theta\right) + (1)\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos\theta\right) \\ &= \frac{1}{4}(1 -1 -1 +1) + \frac{1}{4}\cos\theta (1 +1 +1 +1) \\ &= 0 + \cos(\alpha + \beta) \end{aligned} \]

最终得到： \[ E(\alpha, \beta) = \cos(\alpha + \beta) \]

CHSH贝尔参数S 是特定测量基组合下关联函数的线性组合： \[ S = | -E(\alpha_1, \beta_1) + E(\alpha_1, \beta_2) + E(\alpha_2, \beta_1) + E(\alpha_2, \beta_2) | \]

选择使S最大化的标准角度： \[ \alpha_1 = 0, \quad \alpha_2 = \pi/2, \quad \beta_1 = \pi/4, \quad \beta_2 = 3\pi/4 \]

代入 \(E(\alpha, \beta) = \cos(\alpha+\beta)\) 计算： \[ \begin{aligned} E(\alpha_1, \beta_1) &= \cos(0 + \pi/4) = \cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2 \\ E(\alpha_1, \beta_2) &= \cos(0 + 3\pi/4) = \cos(3\pi/4) = -\sqrt{2}/2 \\ E(\alpha_2, \beta_1) &= \cos(\pi/2 + \pi/4) = \cos(3\pi/4) = -\sqrt{2}/2 \\ E(\alpha_2, \beta_2) &= \cos(\pi/2 + 3\pi/4) = \cos(5\pi/4) = -\sqrt{2}/2 \\ \end{aligned} \]

代入S的表达式： \[ S = | -(\sqrt{2}/2) + (-\sqrt{2}/2) + (-\sqrt{2}/2) + (-\sqrt{2}/2) | = | -2\sqrt{2} | = 2\sqrt{2} \approx 2.828 \]

量子力学预言的最大值 \(S = 2\sqrt{2} > 2\)，违背了贝尔不等式（经典极限为2）。实验中测得 \(S = 2.275 \pm 0.057\)，虽然由于实验损耗和噪声未能达到理论极限，但仍以超过4个标准差的置信度违背了经典界限。

总结

这个数学推导的精髓在于：

  1. 路径不可区分性导致了两种四光子生成过程的相干叠加。
  2. 这种叠加表现为四重符合计数率随 \((\alpha+\beta)\) 的余弦变化。
  3. 通过将正交测量基上的结果重新解释为负结果，成功地将干涉现象映射到了贝尔实验的概率框架中。
  4. 最终得到的关联函数 \(E(\alpha, \beta) = \cos(\alpha+\beta)\) 其形式与基于最大纠缠态的贝尔测试完全相同，从而在没有使用纠缠态的情况下，实现了对贝尔不等式的违背。

这个推导清晰地表明，量子非定域性的根源可以追溯到更基本的量子特性——不可区分性（Indistinguishability）。

求无数对非纠缠线偏振粒子对，线偏振方向互相垂直，它们的P值和E(a,b)：P_{+-}(a,b) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \cos[2(b - a)] ,,, E=-\frac{1}{2} \cos[2(b - a)]}，为什么他的方式中，却能组合出P++=\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos[(b - a)]的形式 你提出了一个非常好的问题，它触及了量子力学中不同关联机制的核心区别。你给出的例子和论文中的例子虽然都产生了余弦形式的关联，但它们的物理来源、数学结构和强度完全不同。

让我们来详细分析为什么论文能组合出更强的 \( P_{++} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos(\alpha + \beta) \) 形式。

1. 物理来源的根本不同

特性 你的例子（经典/混合态关联） 论文例子（量子路径不可区分性）
物理系统 无数对独立的、未纠缠的光子对。每个光子有确定的偏振。 一个相干叠加的四光子生成过程。光子本身是未纠缠的，但生成路径是纠缠的。
关联来源 筛选（Filtering）。测量基从具有特定偏振分布的系综中筛选出符合 Malus 定律的结果。这是一种经典的、概率性的关联。 量子干涉。两种无法区分的四光子产生过程的概率振幅发生了叠加。这是一种非经典的、相干性的关联。
数学描述 混合态。系统由许多确定的态以某种概率混合而成，用密度矩阵描述。 纯态。系统处于一个确定的相干叠加态，用态矢量描述。
相位依赖 依赖于测量基的相对角度差 \(\delta = b - a\)。 依赖于测量基的角度和 \(\theta = \alpha + \beta\)。

2. 数学推导与强度对比

你的例子结果： \[ E_{\text{your}}(a, b) = -\frac{1}{2} \cos[2(b - a)] \] 论文中的结果： \[ E_{\text{paper}}(\alpha, \beta) = \cos(\alpha + \beta) \]

为什么论文的关联更强？

  1. 幅度的区别：

    • 你的例子中，关联函数 \(E\) 的幅度是 1/2。
    • 论文的例子中，关联函数 \(E\) 的幅度是 1。
    • 幅度越大，意味着关联性越强。论文的关联强度是你例子的两倍。

  2. 概率项的区别（回答你的核心问题）：

    • 在你的例子中，联合概率项是 \(\frac{1}{8} \cos 2\delta\)。这个系数 \(1/8\) 较小。
    • 在论文中，联合概率项是 \(\frac{1}{4} \cos \theta\)。这个系数 \(1/4\) 是你的两倍。
    • 这个系数直接决定了关联的强度。系数越大，概率随相位的变化越剧烈，意味着两个测量结果之间的关联越紧密。

为什么论文的系数能更大？

因为论文的机制是相干的振幅叠加，而不是经典的统计混合。

  • 在你的经典混合态例子中，概率来自于大量独立事件的统计平均。这种平均效应会“稀释”掉强烈的关联，导致概率项的系数较小（\(1/8\)）。
  • 在论文的量子干涉例子中，概率来自于单个量子过程其概率幅的叠加 \(|\text{Amplitude}_1 + \text{Amplitude}_2|^2\)。这种叠加可以产生完全相长或完全相消的极端结果（Visibility=100%），从而使得概率项的系数更大（\(1/4\)）。

3. 最关键的区别：CHSH值的上限

这是判断一个系统是否拥有非经典关联的黄金标准。

CHSH参数 \(S\) 的经典上限是 2。任何基于局域隐变量理论（经典理论）的系统，其 \(S\) 值都不可能超过 2。

  1. 计算你的例子的 \(S\) 值： 我们使用标准的最优角度来测试：\(a=0, a’=\pi/4, b=\pi/8, b’=3\pi/8\) \[ \begin{aligned} E(a, b) &= -\frac{1}{2} \cos[2(\pi/8 - 0)] = -\frac{1}{2} \cos(\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{4} \\ E(a, b’) &= -\frac{1}{2} \cos[2(3\pi/8 - 0)] = -\frac{1}{2} \cos(3\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{4} \\ E(a’, b) &= -\frac{1}{2} \cos[2(\pi/8 - \pi/4)] = -\frac{1}{2} \cos(-\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{4} \\ E(a’, b’) &= -\frac{1}{2} \cos[2(3\pi/8 - \pi/4)] = -\frac{1}{2} \cos(\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{4} \\ S &= | -E(a,b) + E(a,b’) + E(a’,b) + E(a’,b’) | \\ &= | -(-\frac{\sqrt{2}}{4}) + (\frac{\sqrt{2}}{4}) + (-\frac{\sqrt{2}}{4}) + (-\frac{\sqrt{2}}{4}) | \\ &= | \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} | = 0 \end{aligned} \] 你的例子的 \(S = 0\)，远低于经典上限 2。这说明你的系统完全没有非经典的关联，其行为完全可以用经典理论解释。

  2. 论文例子的 \(S\) 值： 如前所述，论文的关联函数 \(E = \cos(\alpha+\beta)\) 在最优角度下可以给出 \(S = 2\sqrt{2} \approx 2.828 > 2\)。 实验上他们测得了 \(S = 2.275 > 2\)，明确地违背了贝尔不等式，证明了其关联是非经典的。

结论

你的例子和论文中的例子虽然数学形式相似，但有天壤之别：

  • 你的例子描述的是一个经典的、无趣的关联系统。它的关联很弱（系数小），并且其CHSH值 \(S=0\)，完全符合经典物理的预测。
  • 论文的例子描述的是一个神奇的、量子力学的关联系统。它的关联很强（系数大），并且其CHSH值 \(S>2\)，违背了贝尔不等式，揭示了世界非经典、非局域的一面。

论文能组合出 \(P_{++}=\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos(\theta)\) 这种更强形式的原因，归根结底是它利用了“路径不可区分性”这一量子力学特有的相干叠加特性，而不是经典的统计混合。 前者是“概率幅的叠加”，后者是“概率的混合”，前者可以产生后者无法产生的强烈关联。

相干叠加是指什么 太好了！你问到了量子力学最核心、最神奇的概念。相干叠加（Coherent Superposition） 是量子力学区别于经典物理的基石。

让我用一个经典的比喻和严格的量子语言来解释它。

1. 经典 vs 量子：从“概率”到“概率幅”

想象一个开关，它随机地控制两盏灯：红灯 或 绿灯。每次你打开开关，只有一盏灯会亮。

  • 经典情况（非相干混合）：开关有50%的概率接通红灯电路，50%的概率接通绿灯电路。你记录很多次实验后会发现：

    • P(红) = 1/2
    • P(绿) = 1/2
    • 这叫做概率的混合（Mixture）。系统在每一个瞬间都只处于一个确定的状态（要么红，要么绿），只是我们不知道是哪一个，所以用概率来描述我们的无知。

  • 量子情况（相干叠加）：现在，开关连接的是一个神奇的“量子灯”。当你打开它时，这盏灯既不是红的，也不是绿的，而是处于一种**“红+绿”** 的状态。

    • 它不是50%红和50%绿，而是同时是红和绿。
    • 这种状态被称为 “红”态和“绿”态的相干叠加态。
    • 我们用数学表示为：\( |\text{量子灯}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}| \text{红} \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}| \text{绿} \rangle \)
    • 这里的系数 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) 不再是经典概率，而是概率幅（Probability Amplitude）。

核心区别：

  • 经典：概率 → 描述不确定性 (OR)
  • 量子：概率幅 → 描述系统同时处于多个状态 (AND)

2. 相干叠加的数学：概率幅的叠加

在量子力学中，一个系统状态由波函数（Wavefunction） 描述，它是各种可能基态（如 |红>, |绿>）的线性组合（即叠加）。

  • 概率 = |概率幅|²
  • 当一个事件有多种不可区分的方式发生时，总的概率幅是每种方式对应的概率幅之和。
  • 总概率 = |概率幅之和|²

这就是量子干涉的根源！

让我们计算“量子灯”是红色的概率：

  • 从叠加态 \( |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}| \text{红} \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}| \text{绿} \rangle \) 中测得“红”的概率是： \( P(\text{红}) = |\langle \text{红} | \psi \rangle|^2 = |\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 = \frac{1}{2} \)

看起来和经典情况一样？别急，神奇的在后面。

3. 相干性的体现：干涉（Interference）

现在我们让这盏“量子灯”的光通过一个特殊滤镜，它只让“红+绿”的光通过（对应一个测量基）。

  • 概率幅可以包含相位信息，比如 \( |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}| \text{红} \rangle + \frac{e^{i\phi}}{\sqrt{2}}| \text{绿} \rangle \)，其中 ϕ 是相对相位。
  • 现在我们计算通过滤镜的概率。这需要将态 \( |\psi\rangle \) 投影到新的基上，比如 \( |\text{通过}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(| \text{红} \rangle + | \text{绿} \rangle) \)。

通过的概率幅是： \[ \langle \text{通过} | \psi \rangle = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}}(\langle \text{红} | + \langle \text{绿} |) \right] \left[ \frac{1}{\sqrt{2}}| \text{红} \rangle + \frac{e^{i\phi}}{\sqrt{2}}| \text{绿} \rangle \right] = \frac{1}{2}(1 + e^{i\phi}) \]

通过的概率是概率幅的模平方： \[ P(\text{通过}) = |\frac{1}{2}(1 + e^{i\phi})|^2 = \frac{1}{4} |1 + e^{i\phi}|^2 = \frac{1}{4} (1 + e^{i\phi})(1 + e^{-i\phi}) = \frac{1}{4}(2 + e^{i\phi} + e^{-i\phi}) = \frac{1}{2}[1 + \cos(\phi)] \]

看！结果依赖于相位ϕ！

  • 当 ϕ = 0，P(通过) = 1/2[1+1] = 1 → 完全相长干涉
  • 当 ϕ = π，P(通过) = 1/2[1-1] = 0 → 完全相消干涉

这种概率依赖于相位的现象，就是干涉，它是相干叠加最直接的证据。在经典概率中，绝不会出现“概率为0”的情况。

4. 回到论文：什么是“路径的相干叠加”？

在论文的实验中：

  1. 有两种不可区分的方式产生四个光子：
    • 方式一：来源于晶体 I 和 II
    • 方式二：来源于晶体 III 和 IV
  2. 因为路径完全一样，我们无法区分光子来自哪种方式。系统不是“50%概率是方式一，50%概率是方式二”（那是混合态）。
  3. 系统是处于一种相干叠加态：“方式一 AND 方式二”。 \[ |\Psi\rangle \propto |\text{方式一}\rangle + e^{i\theta}|\text{方式二}\rangle \] 其中相位 θ 来源于实验中的相位控制器 α 和 β。
  4. 测量到四个光子的概率，是两个概率幅之和的模平方： \[ P \propto |1 + e^{i\theta}|^2 = 2 + 2\cos\theta \] 这就得到了论文中那个关键的、依赖于相位的计数率公式 N(α, β) ∝ [1 + cos(α+β)]。

正是因为这两种生成路径是相干叠加的，而不是经典混合的，它们的概率幅才能发生干涉，最终产生强烈的、非经典的关联，从而违背贝尔不等式。

总结

  • 相干叠加：系统同时处于多个基态，由概率幅（含相位）描述。(AND)
  • 非相干混合：系统每次只处于一个基态，但我们对是哪一个不确定，由概率描述。(OR)
  • 关键证据：相干叠加会导致干涉效应，即观测结果的概率依赖于不同路径间的相对相位。这是经典理论无法解释的。
  • 在论文中：“路径不可区分性”保证了两种四光子产生过程形成了相干叠加，而非经典混合，从而产生了强大的量子关联。

具体说明一下这个实验过程，包括制作出什么光子，然后怎么模糊路径，然后使用什么角度测量，联合概率的计算 好的，让我们彻底解析这个实验的整个过程，从光子的产生到最终违背贝尔不等式的计算。我会用清晰的步骤来说明。

第一步：制作光子（确定的偏振对）

实验使用四个独立的非线性晶体（标记为源 I, II, III, IV）作为双光子源。

  • 每个源的行为：当一个泵浦激光照射一个晶体时，它会以很小的概率发生自发参量下转换（SPDC），产生一对光子（信号光子和闲置光子）。
  • 偏振状态：每一对光子都处于一个偏振乘积态。具体来说，是 |H, V⟩。这意味着：
    • 一个光子是绝对的水平偏振（H）。
    • 另一个光子是绝对的垂直偏振（V）。
    • 例如，源I产生 |H₁, V₁⟩，源II产生 |H₂, V₂⟩，以此类推。

至此，每个光子对内部的偏振是确定的、经典的关联。

第二步：模糊路径（创造不可区分性）

这是实验最精巧的部分。通过光路设计，让来自不同源的光子变得完全不可区分。

  1. 空间模式对齐：

    • 将源I和源III发出的H偏振光子精确地引导到同一条路径上，最终进入模式 a₁。
    • 将源II和源IV发出的H偏振光子精确地引导到同一条路径上，最终进入模式 b₂。
    • 将源I和源IV发出的V偏振光子引导到同一条路径（模式 b₁）。
    • 将源II和源III发出的V偏振光子引导到同一条路径（模式 a₂）。
    • （注：论文中通过反射泵浦光等方式实现，细节见Fig. 1B）

  2. 确保不可区分性：

    • 使用单模光纤耦合光子，破坏任何空间模式（动量）的差异。
    • 使用窄带滤波片，破坏任何频率（能量）的差异。
    • 最终，在所有自由度（偏振、空间、频率、时间） 上，走在同一条路径上的光子都是完全相同的。你无法区分模式 a₁ 上的一个光子到底是来自源I还是源III。

效果：当我们最终在 a₁, a₂, b₁, b₂ 四个模式上各探测到一个光子时，我们无法判断这四光子事件是来自源I和II的组合，还是来自源III和IV的组合。这两种可能性变成了不可区分的。

第三步：测量（设置角度与获取结果）

  1. 测量装置：

    • Alice持有模式 a₁ 和 a₂。她通过移动镜子 M₁ 来引入一个相位 α。
    • Bob持有模式 b₁ 和 b₂。他通过移动镜子 M₂ 来引入一个相位 β。
    • 这些相位改变等价于旋转了测量基。
    • 最终，每个模式上的光子被单光子探测器探测。

  2. 定义结果：

    • 实验的原始结果是四重符合计数：即在 a₁, a₂, b₁, b₂ 上同时各探测到一个光子。
    • 这个事件被定义为Alice和Bob都得到了结果 +1。即 N(+1, +1 | α, β)。
    • 没有直接的“-1”结果。“-1”是通过改变测量基来定义的（见下步）。

  3. 选择测量角度（Settings）：

    • 为了进行贝尔测试，需要选择特定的角度组合。标准的最优组合是：
      • Alice的角度： α₁ = 0, α₂ = π/2
      • Bob的角度： β₁ = π/4, β₂ = 3π/4
    • 在实验中，他们固定Alice的角度，然后扫描Bob的相位 β 来测量关联函数。

第四步：计算联合概率与关联函数（核心推导）

这是将实验数据转化为贝尔检验的关键。

  1. 获取原始数据：

    • 测量得到四重符合计数率 N(α, β)。实验发现它遵循： N(α, β) ∝ [1 + cos(α + β)] （公式2）

  2. 定义“-1”结果：

    • 由于干涉是 2π 周期的，在相位上增加 π 会得到完全相反（互补）的计数结果。
    • 因此，他们定义： N(-1, +1 | α, β) ≡ N(+1, +1 | α+π, β) N(+1, -1 | α, β) ≡ N(+1, +1 | α, β+π) N(-1, -1 | α, β) ≡ N(+1, +1 | α+π, β+π)

  3. 计算联合概率：

    • 对于给定的设置 (α, β)，得到结果 (a, b) 的联合概率是： P(a, b | α, β) = N(a, b | α, β) / [N(++, αβ) + N(+-, αβ) + N(-+, αβ) + N(--, αβ)]
    • 将上面的定义代入。以 P(+1, +1 | α, β) 为例： P(++ | αβ) = N(α, β) / [N(α, β) + N(α+π, β) + N(α, β+π) + N(α+π, β+π)]
    • 由于 N(θ) ∝ [1 + cos(θ)]，可以计算： N(α, β) ∝ 1 + cos(α+β) N(α+π, β) ∝ 1 + cos(α+β+π) = 1 - cos(α+β) N(α, β+π) ∝ 1 - cos(α+β) N(α+π, β+π) ∝ 1 + cos(α+β+2π) = 1 + cos(α+β)
    • 分母 = [1+cosθ] + [1-cosθ] + [1-cosθ] + [1+cosθ] = 4
    • 分子 = 1 + cos(α+β)
    • 所以： P(++ | αβ) = 1/4 + (1/4) cos(α+β) （公式3）

    同理可得： P(-+ | αβ) = 1/4 - (1/4) cos(α+β) P(+- | αβ) = 1/4 - (1/4) cos(α+β) P(-- | αβ) = 1/4 + (1/4) cos(α+β)

  4. 计算关联函数 E(α, β)：

    • 关联函数是期望值： E(α, β) = Σ (a * b) * P(a,b | α,β)
    • E(α, β) = (+1)(+1)*P(++) + (+1)(-1)*P(+-) + (-1)(+1)*P(-+) + (-1)(-1)*P(--)
    • 代入上面的概率公式： E(α, β) = (1)(1/4 + C/4) + (-1)(1/4 - C/4) + (-1)(1/4 - C/4) + (1)(1/4 + C/4) (其中 C = cos(α+β))
    • 计算： = (1/4 + C/4) - (1/4 - C/4) - (1/4 - C/4) + (1/4 + C/4) = (1/4 -1/4 -1/4 +1/4) + (C/4 + C/4 + C/4 + C/4) = (0) + (C)
    • 所以： E(α, β) = cos(α + β) （公式7）

第五步：验证贝尔不等式

  1. 构造CHSH-Bell参数 S： S = | -E(α₁, β₁) + E(α₁, β₂) + E(α₂, β₁) + E(α₂, β₂) |

  2. 代入最优角度和关联函数：

    • α₁ = 0, α₂ = π/2, β₁ = π/4, β₂ = 3π/4
    • E(α, β) = cos(α + β)
    • E(0, π/4) = cos(π/4) = √2/2
    • E(0, 3π/4) = cos(3π/4) = -√2/2
    • E(π/2, π/4) = cos(3π/4) = -√2/2
    • E(π/2, 3π/4) = cos(5π/4) = -√2/2
    • S = | - (√2/2) + (-√2/2) + (-√2/2) + (-√2/2) | = | - (2√2) | = 2√2 ≈ 2.828

  3. 与经典极限比较：

    • 任何局域实在论（经典理论）的上限是 S ≤ 2。
    • 量子力学预言了 S = 2√2 > 2。
    • 实验测量值 S = 2.275 ± 0.057，虽然由于实验损耗低于理论极值，但仍以超过4个标准差的置信度明确违反了 S ≤ 2 的贝尔不等式。

总结

这个过程清晰地展示了：

  1. 从“经典”出发：制作偏振确定的光子对。
  2. 施加“量子魔法”：通过路径不可区分性，将它们置于一个量子相干叠加态中。
  3. 进行“量子测量”：测量结果依赖于全局相位，而非局部属性。
  4. 得到“非经典结果”：计算出关联函数并违背贝尔不等式，证明了系统的行为无法用“光子具有固定偏振”的经典观念来解释。

四重符合计数率 N(\alpha,\beta)是什么 好的，我们来彻底解析 四重符合计数率 \( \mathcal{N}(\alpha, \beta) \) 这个概念。它是理解整个实验的钥匙。

一、字面定义

四重符合计数率 \( \mathcal{N}(\alpha, \beta) \) 指的是：

在Alice的相位设置為 \( \alpha \)、Bob的相位设置為 \( \beta \) 的条件下，在单位时间内，四个探测器（分别对应模式 \( a_1, a_2, b_1, b_2 \)）同时各探测到一个光子的事件发生的平均次数。

  • “四重”：强调四个探测器的事件。
  • “符合”：强调这些事件是同时发生的（在一个极短的时间窗内）。
  • “计数率”：是单位时间的计数，而不是总计数，这使其成为一个速率。

二、在实验中的物理意义：量子干涉的直观体现

这个计数率 \( \mathcal{N}(\alpha, \beta) \) 并不是一个常数。它是整个实验的核心观测结果，其数值随着Alice和Bob设置的相位变化而变化。

论文中的公式2给出了它的具体形式： \[ \mathcal{N}(\alpha, \beta) = g^4 N_0 [2 + 2\cos(\alpha + \beta)] \] 其中 \( g \) 是增益，\( N_0 \) 是泵浦速率。

这个公式意味着什么？

  1. 它证明发生了量子干涉：计数率依赖于相位差 \( \cos(\alpha + \beta) \)。只有波的叠加才会产生这种依赖于相位的干涉图案。如果光子是经典的、独立的粒子，它们的计数率应该是一个常数，不会随 \( \alpha + \beta \) 变化。

  2. 它是“受挫”的体现：

    • 当 \( \alpha + \beta = 0, 2\pi, 4\pi, … \) 时，\( \cos(0) = 1 \)，计数率达到最大值 \( \mathcal{N}_{\text{max}} \propto 2 + 2 = 4 \)。此时两种产生路径相长干涉，四光子 generation 被“促进”。
    • 当 \( \alpha + \beta = \pi, 3\pi, … \) 时，\( \cos(\pi) = -1 \)，计数率达到最小值 \( \mathcal{N}_{\text{min}} \propto 2 - 2 = 0 \)。此时两种产生路径相消干涉，四光子 generation 被“抑制”或“受挫”（Frustrated）。

  3. 它是连接现象与贝尔不等式的桥梁：所有后续的联合概率 \( P(a, b | \alpha, \beta) \) 和关联函数 \( E(\alpha, \beta) \) 都是通过这个原始的、可测量的计数率 \( \mathcal{N}(\alpha, \beta) \) 计算和定义出来的。没有这个 oscillating 的计数率，就不会有违背贝尔不等式的强关联。

三、如何测量它？

在实验上，测量 \( \mathcal{N}(\alpha, \beta) \) 的流程如下：

  1. 设置相位：Alice将她的相位控制器设置为 \( \alpha \)，Bob将他的设置为 \( \beta \)。
  2. 开始计数：打开泵浦激光和所有探测器，开始一个固定的积分时间（例如论文中是60秒）。
  3. 符合测量：电子学系统（符合电路或时间标签器）会实时监测四个探测器的信号。只有当四个探测器在同一个时间窗（通常是几纳秒）内都产生一个电脉冲时，才被记录为一次有效的“四重符合事件”。
  4. 记录结果：在积分时间结束后，记录下总的三重符合计数次数。计数率 \( \mathcal{N}(\alpha, \beta) \) 就是这个总计数除以积分时间（例如 计数/秒）。
  5. 改变相位，重复测量：改变 \( \alpha \) 或 \( \beta \) 的值，重复步骤1-4。最终得到一条计数率随 \( (\alpha + \beta) \) 变化的、类似余弦曲线的图像（正如论文中的图2所示）。

四、为什么它如此重要？——与贝尔检验的关系

贝尔不等式检验的是联合概率分布 \( P(a, b | \alpha, \beta) \)。但在本实验中，并没有直接给出四种结果（++, +-, -+, –）的计数。实验只能直接测量到一种结果：(+,+)，即四重符合。

那么如何得到完整的概率分布呢？

答案就是利用 \( \mathcal{N}(\alpha, \beta) \) 的相位依赖关系。研究者们巧妙地定义：

  • \( N(+, + | \alpha, \beta) = \mathcal{N}(\alpha, \beta) \) （直接测量值）
  • \( N(-, + | \alpha, \beta) \equiv N(+, + | \alpha+\pi, \beta) = \mathcal{N}(\alpha+\pi, \beta) \) （通过改变相位间接得到）
  • \( N(+, - | \alpha, \beta) \equiv N(+, + | \alpha, \beta+\pi) = \mathcal{N}(\alpha, \beta+\pi) \)
  • \( N(-, - | \alpha, \beta) \equiv N(+, + | \alpha+\pi, \beta+\pi) = \mathcal{N}(\alpha+\pi, \beta+\pi) \)

然后，联合概率就可以通过归一化这些计数来计算出： \[ P(a, b | \alpha, \beta) = \frac{N(a, b | \alpha, \beta)}{N(++, \alpha\beta) + N(+-, \alpha\beta) + N(-+, \alpha\beta) + N(–, \alpha\beta)} \]

因此，整个贝尔不等式检验的大厦，都建立在 \( \mathcal{N}(\alpha, \beta) \) 这一可观测的、 oscillating 的计数率的基础之上。 它是实验现象最直接的体现，也是所有理论推导的出发点。

两个量子发生了量子干涉，那么测量其中一个，会影响另一个的状态吗 这是一个极其深刻的问题，它触及了量子力学中“纠缠”与“关联”的核心区别。

答案是：在这个特定的实验中，不会。 测量其中一个光子，不会以某种超距作用的方式瞬间影响另一个光子的状态。

然而，这背后有更微妙和有趣的物理。让我们分情况详细解释：

情况一：如果系统是纠缠的（例如EPR对）

在标准的贝尔实验中，两个光子处于纠缠态，例如 \( |\Psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|H\rangle_A|V\rangle_B - |V\rangle_A|H\rangle_B) \)。

  • 在这种状态下，两个光子共享一个单一的、不可分割的量子态。
  • 测量其中一个光子（比如A）的偏振，会立即使整个联合波函数坍缩。
  • 结果是，无论另一个光子（B）相距多远，它的状态也会在瞬间被决定。如果A测得了H，B就必定是V，反之亦然。
  • 这种“一个测量影响另一个”的现象，就是爱因斯坦所说的“鬼魅般的超距作用”，是量子非定域性的最直接体现。

情况二：在这个“路径不可区分性”实验中

这个实验的关键在于，四个光子本身并不处于一个偏振纠缠态。它们之间的强关联来源于它们被产生的方式（即路径）是纠缠的。

  1. 整体的态是什么？ 系统的态是两种产生路径的相干叠加： \[ |\Psi\rangle \propto |\text{源I和II产生四光子}\rangle + e^{i\theta}|\text{源III和IV产生四光子}\rangle \] 这个态描述的是 “哪个源对产生了光子” 这件事情是模糊的、不确定的。

  2. 测量一个光子会怎样？

    • 假设我们只测量模式 \(a_1\) 上的一个光子，而不管其他三个。
    • 这个测量行为会获取“which-path”信息。例如，如果我们测量这个光子并发现它的某个属性（尽管实验已极力避免），我们就有可能推断出它更可能来自源I还是源III。
    • 一旦which-path信息被获取，即使只是潜在的，叠加态就会被破坏。相干性（干涉能力）会消失。
    • 结果是，整个奇特的量子叠加态 \(|\Psi\rangle\) 会坍缩到两个分支中的某一个。它要么坍缩到 \(|\text{源I和II}\rangle\)，要么坍缩到 \(|\text{源III和IV}\rangle\)。

  3. 对另一个光子的影响是什么？

    • 如果态坍缩到了 \(|\text{源I和II}\rangle\)，那么剩下的三个光子就确定地是来自源I和II的那三个光子。它们的偏振状态就变回了我们第一步所说的那种经典的、确定的关联：一个H，一个V。
    • 同理，如果坍缩到另一个分支，剩下的光子也是经典的关联。
    • 这种“影响”不是超距作用。它更像是：测量一个光子，揭露了整个系统的“历史”，从而也揭示了其他光子的“身份”。一旦身份被揭露，它们之间那种神奇的、非经典的关联就消失了。

一个比喻：抽签作弊

想象一个作弊的抽签箱，里面只有两张票：一张是（Alice中奖, Bob不中），另一张是（Alice不中, Bob中）。你现在从中抽一张票。

  • 测量前：系统是叠加态 |中奖,不中⟩ + |不中,中奖⟩。Alice和Bob的中奖状态是强关联的，但不确定。
  • 你只看Alice的票：这个行为本身立即决定了整个系统的状态。
    • 如果Alice中奖，你就知道抽到的是第一张票，因此你也瞬间知道了Bob肯定没中奖。
    • 这种“瞬间知道”并不是你的观看动作超距地改变了Bob的票面结果。Bob的票从一开始就是“不中奖”。你的观看只是揭露了这个事实，同时也破坏了系统最初的不确定性。

在这个实验中，“测量一个光子”就类似于“查看Alice的票”。它揭露了信息，从而破坏了导致量子干涉的叠加态，使得剩下的光子退化为经典的关联。

结论

  • 在纠缠系统中：测量一个粒子，会主动地、非本地地改变另一个粒子的状态。
  • 在此路径identity实验中：测量一个粒子，会被动地、本地地揭露关于整个系统生成过程的信息。这种信息的获取破坏了导致非经典关联的叠加态，使其余粒子退化为经典的关联状态。

所以，回答你的问题：测量其中一个，不会以超距作用的方式影响另一个的状态，但会通过获取信息的方式，破坏它们之间赖以产生非经典关联的量子相干性。 这种区别使得路径不可区分性成为一种不同于纠缠、却同样能产生非经典效应的量子资源。