我们考虑的是，在地球内测量太阳发射出的光线。假设太阳是静止坐标系，地球相对于太阳匀速运动。问题演化为：
假设在静止坐标系内，光源相对于静止坐标系静止，位于静止坐标系原点，一个观察点在移动坐标系的(x_0,y,z)处，观察点以速度v沿着x方向运动，相对于移动坐标系静止。移动坐标系的原点与光源重合时，t’=t=0，在时刻t’光源向观察点发射光子，到了时间t，相对于原点的坐标为\((x_0+vt,y,z)\)
那么推迟势关系为：
\(c (t - t’) = \sqrt{ (x_0 + v t)^2 + y^2 + z^2 }\)
表示光子从静止坐标系内于 \(t’\) 时刻发射，在 \(t\) 时刻到达观察点 \((x_0+vt,y,z)\)
有：
\(t’ = t - \frac{R(t)}{c}\)
\(R(t) = \sqrt{ (x_0 + v t)^2 + y^2 + z^2 }\)
\(\frac{dR}{dt} = \frac{v (x_0 + v t)}{R}\)
\(\frac{dt’}{dt} = 1 - \frac{v (x_0 + v t)}{c R}\)
\(t = \frac{ c^2 t’ + x_0 v + c \sqrt{ (x_0 + v t’)^2 + (1 - v^2/c^2)(y^2 + z^2) } }{c^2 - v^2}\)
\(\frac{dt}{dt’} = \frac{c R}{c R - v (x_0 + v t)}\)
\(\frac{dt}{dt’} = \gamma^2(1+\dfrac{v (x_0 + v t’)}{cR’} )\)
\(R’ = R \frac{dt’}{dt}=\sqrt{ (x_0 + v t’)^2 + \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)(y^2 + z^2) }\)
结果正好和传统推迟势的方程呈逆变换
其中\(\frac{dR}{dt} = \frac{v (x_0 + v t)}{R}\)，表示的是速度v在R上的投影速度，可以这样理解：
\(\frac{dR}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{dR}{dx}=vcos(\theta)\)
说明了在有速度v的情况下，造成了R方向的光的传播，增加了\(vcos(\theta)\)的速度，
使得R方向的相对光速变成了\(c-vcos(\theta)\)，
时间差变成了\(1-\frac{v}{c}cos(\theta)\)，
x方向距离差：\(x-vt’ = x-vt + \frac{vR}{c}\)
逆变换里，运动坐标系的人认为光的接收时间间隔和发射时间间隔应该相等，
即：\(\frac{dt’_{R’}}{dt_{R’}}=1\)，静止坐标系下\(\frac{dt’}{dt}=1-\frac{v}{c}cos(\theta)\)
所以在两个坐标系相同的发射时间下，运动坐标系的接收时间差和静止坐标系的时间差的比例为\(1-\frac{v}{c}cos(\theta)\)
\(\frac{R’}{dt’_{R’}}=\frac{R’}{dt_{R’}}=\frac{R’}{dt(1-v/c cos(\theta)}=\frac{R}{dt}\)
静止坐标系内认为dt=t-t’时，则就得到R’，如果扩大R’到\(\gamma R’\)，就得到了两个坐标系内相同的y,z
在\(x_0=0,y=z=0\)时，即只有x方向，有：
\(\frac{dt}{dt’}=\frac{c}{c-v}\)
在\(x_0=0, t’=0\)时，即在移动坐标系内光线垂直，有：
\(\frac{dt}{dt’}=\gamma^2\)
泰勒展开\(\sqrt{(x_0 + v t)^2 + y^2}\):
\(\sqrt{(x_0 + v t)^2 + y^2} =\sqrt{(x_0 + v t_0)^2 + y^2}+ \frac{v (x_0 + v t_0)}{\sqrt{(x_0 + vt_0)^2 + y^2}} (t - t_0)+ \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2 y^2}{\left[(x_0 + v t_0)^2 + y^2\right]^{3/2}} (t - t_0)^2 + \mathcal{O}((t - t_0)^3)\)
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我们考虑一般情况下的推导，在关系式：
\(c(t-t’)=\sqrt{(x(t)-vt’)^2+y^2(t)}\),
有：
\(\frac{dt’}{dt} = \frac{ (x - v t’) \dot{x} + y \dot{y} - c \sqrt{(x - v t’)^2 + y^2} }{ v (x - v t’) - c \sqrt{(x - v t’)^2 + y^2} }\)
\(t’ = \frac{c^2 t - x v - c \sqrt{(x - v t)^2 + (1 - v^2/c^2)(y^2 + z^2)}}{c^2 - v^2}=\gamma^2 (t - \frac{x v}{c^2} - \frac{1}{c} R’)\)
\(R’ = \sqrt{ (x - v t)^2 + y^2/\gamma^2 }\)
\(\frac{dt’}{dt} = \gamma^2 \left[ 1 - \frac{v}{c^2} \dot{x} - \frac{1}{c} \cdot \frac{ (x - v t)(\dot{x} - v) + \beta y \dot{y} }{ R’ } \right]\)
== 光源相对于静止坐标系静止时,\(\dot{x}=\dot{y}=0\)：
\(\frac{dt’}{dt}=\gamma^2(1+\frac{v(x-vt)}{cR’})\)
== 在x也以速度v沿x运动，即\(\dot{x}=v\)，有：
\(\frac{dt’}{dt} = 1 - \frac{ y \dot{y} }{ c R’ }\)
== 如果同时y也是固定的，那么：
\(\frac{dt’}{dt} = 1\)
也就是在本坐标系内固定点接收本坐标系内光源的光，发射和接收时间的变化率相同。