假设在静止坐标系内，光源相对于静止坐标系静止，光源在原点，一个观察点在(x_0,y,z)处，光源向观察点发射光子，发射时观察点以速度v沿着x方向运动，求推迟势关系式 我们考虑以下场景：

  • 静止坐标系 \(S\)：光源固定在原点 \(O(0,0,0)\)。
  • 观察点 \(P\) 在 \(t=0\) 时刻位于 \((x_0, y, z)\)，并以速度 \(v\) 沿 \(x\) 轴正方向运动（因此其位置随时间变化：\(x_p(t) = x_0 + v t\)）。
  • 光源在时间 \(t’\) 发射一个光子，该光子于时间 \(t\) 被观察点 \(P\) 接收。

我们需要找到推迟势关系，即光子发射时间 \(t’\) 与接收时间 \(t\) 之间的关系，以及光程表达式。

1. 光程方程（光子传播条件）

光子从原点（发射点）传播到接收点 \(P\) 的位置。但注意：\(P\) 是运动的，因此接收时刻 \(t\) 时 \(P\) 的位置为： \[ \vec{r}_p(t) = (x_0 + v t,\ y,\ z) \] 光子从原点于 \(t’\) 时刻发射，以光速 \(c\) 传播，在 \(t\) 时刻到达 \(P\)，因此光程满足： \[ c (t - t’) = \left| \vec{r}_p(t) \right| = \sqrt{ (x_0 + v t)^2 + y^2 + z^2 } \] 这就是推迟势关系式，它隐含定义了 \(t’\) 与 \(t\) 的关系。

2. 求解推迟时间 \(t’\)

我们需要从方程中解出 \(t’\)（作为 \(t\) 的函数）： \[ c(t - t’) = \sqrt{ (x_0 + v t)^2 + y^2 + z^2 } \] 令 \(R(t) = \sqrt{ (x_0 + v t)^2 + y^2 + z^2 }\)，则： \[ t’ = t - \frac{R(t)}{c} \] 这就是推迟时间表达式。注意：\(R(t)\) 是接收时刻 \(t\) 时观察点 \(P\) 到原点的距离。

3. 推迟势的物理意义

在电动力学中，推迟势用于计算运动电荷产生的电磁场。对于固定光源（静止于原点）发射光子，而接收者运动的情况，推迟势关系表明：

  • 接收者于 \(t\) 时刻接收到的光子，是在更早的 \(t’ = t - R(t)/c\) 时刻发射的。
  • 由于接收者运动，\(R(t)\) 随时间变化，因此推迟时间 \(t’\) 与 \(t\) 的关系是非线性的。

4. 进一步讨论：接收频率（多普勒效应）

若光源发射的是周期信号（如单色光），可计算接收频率。假设光源发射频率为 \(f_0\)，接收者测得的频率为 \(f\)。

对推迟关系求微分： \[ t’ = t - \frac{R(t)}{c} \] 两边对 \(t\) 求导： \[ \frac{dt’}{dt} = 1 - \frac{1}{c} \frac{dR}{dt} \] 其中 \(\frac{dR}{dt}\) 是接收者与光源之间距离的变化率（径向速度）。

计算 \(\frac{dR}{dt}\)： \[ R(t) = \sqrt{ (x_0 + v t)^2 + y^2 + z^2 } \] \[ \frac{dR}{dt} = \frac{1}{2R} \cdot 2(x_0 + v t) \cdot v = \frac{v (x_0 + v t)}{R} \] 因此： \[ \frac{dt’}{dt} = 1 - \frac{v (x_0 + v t)}{c R} \] 接收频率 \(f\) 与发射频率 \(f_0\) 的关系为： \[ f = \frac{f_0}{dt’/dt} = \frac{f_0}{1 - \frac{v (x_0 + v t)}{c R}} \] 这就是多普勒效应公式（对于运动接收者、固定光源）。

5. 总结：推迟势关系式

对于静止光源（原点）和沿 \(x\) 轴以 \(v\) 运动的观察点：

  • 光程方程： \[ c(t - t’) = \sqrt{ (x_0 + v t)^2 + y^2 + z^2 } \]
  • 推迟时间： \[ t’ = t - \frac{1}{c} \sqrt{ (x_0 + v t)^2 + y^2 + z^2 } \]
  • 多普勒因子： \[ \frac{dt’}{dt} = 1 - \frac{v (x_0 + v t)}{c \sqrt{ (x_0 + v t)^2 + y^2 + z^2 }} \]

6. 注释

  • 如果观察点运动速度 \(v\) 不是沿 \(x\) 轴，只需将 \(v t\) 替换为 \(\vec{v} t\) 并计算 \(R(t) = | \vec{r}_0 + \vec{v} t |\)。
  • 此推迟势关系可用于计算运动接收者测得的电磁势（如李纳-维谢尔势）。

求t= 我们需要从光程方程中求解接收时间 \(t\)（或发射时间 \(t’\)），但方程是隐式的。给定光源静止在原点，观察点初始位于 \((x_0, y, z)\) 并以速度 \(v\) 沿 \(x\) 轴运动，光程方程为： \[ c(t - t’) = \sqrt{(x_0 + v t)^2 + y^2 + z^2} \] 通常，我们已知发射时间 \(t’\)，求接收时间 \(t\)；或者已知接收时间 \(t\)，求发射时间 \(t’\)。这里我们假设已知发射时间 \(t’\)，求解接收时间 \(t\)。

已知 \(t’\)，求接收时间 \(t\)

方程： \[ c(t - t’) = \sqrt{(x_0 + v t)^2 + y^2 + z^2} \] 令 \(R(t) = \sqrt{(x_0 + v t)^2 + y^2 + z^2}\)，则： \[ c(t - t’) = R(t) \] 这是一个关于 \(t\) 的方程。两边平方： \[ c^2 (t - t’)^2 = (x_0 + v t)^2 + y^2 + z^2 \] 展开： \[ c^2 (t^2 - 2 t t’ + t’^2) = x_0^2 + 2 x_0 v t + v^2 t^2 + y^2 + z^2 \] 令 \(D^2 = x_0^2 + y^2 + z^2\)（即 \(t=0\) 时观察点到原点的距离），整理： \[ c^2 t^2 - 2 c^2 t t’ + c^2 t’^2 = v^2 t^2 + 2 x_0 v t + D^2 \] 将所有项移到一边： \[ c^2 t^2 - 2 c^2 t t’ + c^2 t’^2 - v^2 t^2 - 2 x_0 v t - D^2 = 0 \] 合并 \(t^2\) 和 \(t\) 项： \[ (c^2 - v^2) t^2 - 2 (c^2 t’ + x_0 v) t + (c^2 t’^2 - D^2) = 0 \] 这是关于 \(t\) 的二次方程： \[ A t^2 + B t + C = 0 \] 其中：

  • \(A = c^2 - v^2\)
  • \(B = -2 (c^2 t’ + x_0 v)\)
  • \(C = c^2 t’^2 - D^2\)

解二次方程： \[ t = \frac{ -B \pm \sqrt{B^2 - 4 A C} }{2 A} \] 代入： \[ t = \frac{ 2(c^2 t’ + x_0 v) \pm \sqrt{ [ -2(c^2 t’ + x_0 v) ]^2 - 4 (c^2 - v^2) (c^2 t’^2 - D^2) } }{2 (c^2 - v^2)} \] 简化根号内： \[ B^2 - 4 A C = 4 (c^2 t’ + x_0 v)^2 - 4 (c^2 - v^2) (c^2 t’^2 - D^2) \] \[ = 4 \left[ (c^2 t’ + x_0 v)^2 - (c^2 - v^2)(c^2 t’^2 - D^2) \right] \] 展开： \[ (c^2 t’ + x_0 v)^2 = c^4 t’^2 + 2 c^2 t’ x_0 v + x_0^2 v^2 \] \[ (c^2 - v^2)(c^2 t’^2 - D^2) = c^2 (c^2 t’^2 - D^2) - v^2 (c^2 t’^2 - D^2) = c^4 t’^2 - c^2 D^2 - v^2 c^2 t’^2 + v^2 D^2 \] 相减： \[ (c^4 t’^2 + 2 c^2 t’ x_0 v + x_0^2 v^2) - (c^4 t’^2 - c^2 D^2 - v^2 c^2 t’^2 + v^2 D^2) \] \[ = 2 c^2 t’ x_0 v + x_0^2 v^2 + c^2 D^2 + v^2 c^2 t’^2 - v^2 D^2 \] 注意 \(D^2 = x_0^2 + y^2 + z^2\)，所以 \(c^2 D^2 - v^2 D^2 = c^2 (x_0^2 + y^2 + z^2) - v^2 (x_0^2 + y^2 + z^2)\)，但保留形式。

实际上，可以组合成完全平方。注意到： \[ B^2 - 4 A C = 4 \left[ c^2 (x_0 + v t’)^2 + (c^2 - v^2)(y^2 + z^2) \right] \] 因为： \[ (x_0 + v t’)^2 = x_0^2 + 2 x_0 v t’ + v^2 t’^2 \] 而 \(y^2 + z^2 = D^2 - x_0^2\)，代入可验证。

更直接：根号内应为正，且物理解为 \(t > t’\)，因此取正根： \[ t = \frac{ c^2 t’ + x_0 v + \sqrt{ c^2 (x_0 + v t’)^2 + (c^2 - v^2)(y^2 + z^2) } }{c^2 - v^2} \] 但通常写成： \[ t = \frac{ c^2 t’ + x_0 v + c \sqrt{ (x_0 + v t’)^2 + (1 - v^2/c^2)(y^2 + z^2) } }{c^2 - v^2} \] 令 \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}\)，可简化。

已知接收时间 \(t\)，求发射时间 \(t’\)

这更简单： \[ t’ = t - \frac{1}{c} \sqrt{ (x_0 + v t)^2 + y^2 + z^2 } \] 直接得出。

最终答案

如果已知发射时间 \(t’\)，求接收时间 \(t\)：

\[ t = \frac{ c^2 t’ + x_0 v + c \sqrt{ (x_0 + v t’)^2 + (1 - \frac{v^2}{c^2})(y^2 + z^2) } }{c^2 - v^2} \]

如果已知接收时间 \(t\)，求发射时间 \(t’\)：

\[ t’ = t - \frac{1}{c} \sqrt{ (x_0 + v t)^2 + y^2 + z^2 } \]

说明

  • 第一个表达式（求 \(t\)）较复杂，因为需要解二次方程，但物理上通常已知 \(t\) 求 \(t’\)（推迟时间）。
  • 在电动力学中，推迟势通常表示为 \(t’ = t - \frac{R}{c}\)，其中 \(R\) 是发射时刻的距离，但这里接收者运动，所以 \(R\) 与 \(t\) 有关。
  • 对于运动接收者，使用 \(t’ = t - \frac{1}{c} \sqrt{ (x_0 + v t)^2 + y^2 + z^2 }\) 即可。

根据得到的t=等式，求dt/dt’ 根据前面得到的 \(t\) 关于 \(t’\) 的表达式：

\[ t = \frac{ c^2 t’ + x_0 v + c \sqrt{ (x_0 + v t’)^2 + (1 - \frac{v^2}{c^2})(y^2 + z^2) } }{c^2 - v^2} \]

我们需要求 \(\frac{dt}{dt’}\)。这个表达式比较复杂，直接求导会很繁琐。但我们可以利用之前隐函数求导的结果来验证。

实际上，我们之前已经通过隐函数求导得到了：

\[ \frac{dt}{dt’} = \frac{c R}{c R - v (x_0 + v t)} \] 其中 \(R = \sqrt{(x_0 + v t)^2 + y^2 + z^2}\)。

这个结果更简洁且物理意义明确。因此，我们通常直接使用这个表达式。

如果你想从 \(t(t’)\) 的表达式直接求导：

令： \[ t = \frac{ c^2 t’ + x_0 v + c S }{c^2 - v^2} \] 其中 \(S = \sqrt{ (x_0 + v t’)^2 + (1 - \frac{v^2}{c^2})(y^2 + z^2) }\).

则： \[ \frac{dt}{dt’} = \frac{1}{c^2 - v^2} \left( c^2 + c \frac{dS}{dt’} \right) \]

现在求 \(\frac{dS}{dt’}\): \[ S = \left[ (x_0 + v t’)^2 + (1 - \frac{v^2}{c^2})(y^2 + z^2) \right]^{1/2} \] \[ \frac{dS}{dt’} = \frac{1}{2S} \cdot 2 (x_0 + v t’) \cdot v = \frac{v (x_0 + v t’)}{S} \]

所以： \[ \frac{dt}{dt’} = \frac{1}{c^2 - v^2} \left( c^2 + c \cdot \frac{v (x_0 + v t’)}{S} \right) = \frac{ c^2 + \frac{c v (x_0 + v t’)}{S} }{c^2 - v^2} \]

这看起来和之前的结果不同。但注意，这里 \(S\) 是 \(t’\) 的函数，而之前的结果中的 \(R\) 是 \(t\) 的函数。实际上，可以证明两者是等价的。

由原方程： \[ c(t - t’) = R = \sqrt{(x_0 + v t)^2 + y^2 + z^2} \] 和 \[ S = \sqrt{ (x_0 + v t’)^2 + (1 - \frac{v^2}{c^2})(y^2 + z^2) } \]

通过繁琐的代数运算，可以证明： \[ \frac{ c^2 + \frac{c v (x_0 + v t’)}{S} }{c^2 - v^2} = \frac{c R}{c R - v (x_0 + v t)} \]

因此，两种方法得到的结果一致。

最终推荐使用隐函数求导结果

\[ \boxed{ \frac{dt}{dt’} = \frac{c R}{c R - v (x_0 + v t)} } \] 其中 \(R = \sqrt{(x_0 + v t)^2 + y^2 + z^2}\).

这个形式更简洁，便于物理解释（多普勒因子）。

结果中使用S,不要用R 根据已知的 \(t\) 关于 \(t’\) 的表达式：

\[ t = \frac{ c^2 t’ + x_0 v + c S }{c^2 - v^2} \] 其中 \[ S = \sqrt{ (x_0 + v t’)^2 + (1 - \frac{v^2}{c^2})(y^2 + z^2) } \]

我们需要求 \(\frac{dt}{dt’}\)。

步骤1：对 \(t\) 表达式直接求导

\[ t = \frac{ c^2 t’ + x_0 v + c S }{c^2 - v^2} \]

对 \(t’\) 求导： \[ \frac{dt}{dt’} = \frac{1}{c^2 - v^2} \cdot \frac{d}{dt’} \left( c^2 t’ + x_0 v + c S \right) \] \[ = \frac{1}{c^2 - v^2} \left( c^2 + c \frac{dS}{dt’} \right) \]

步骤2：计算 \(\frac{dS}{dt’}\)

\[ S = \left[ (x_0 + v t’)^2 + (1 - \frac{v^2}{c^2})(y^2 + z^2) \right]^{1/2} \]

令 \(K = (1 - \frac{v^2}{c^2})(y^2 + z^2)\)（与 \(t’\) 无关的常数），则： \[ S = \left[ (x_0 + v t’)^2 + K \right]^{1/2} \]

\[ \frac{dS}{dt’} = \frac{1}{2S} \cdot 2 (x_0 + v t’) \cdot v = \frac{v (x_0 + v t’)}{S} \]

步骤3：代入得到最终结果

\[ \frac{dt}{dt’} = \frac{1}{c^2 - v^2} \left( c^2 + c \cdot \frac{v (x_0 + v t’)}{S} \right) \] \[ = \frac{ c^2 + \frac{c v (x_0 + v t’)}{S} }{c^2 - v^2} \]

最终答案

\[ \boxed{ \frac{dt}{dt’} = \frac{ c^2 + \dfrac{c v (x_0 + v t’)}{S} }{c^2 - v^2} } \] 其中 \[ S = \sqrt{ (x_0 + v t’)^2 + \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)(y^2 + z^2) } \]

说明

  • 这个结果完全用 \(t’\) 和初始参数表示，不包含 \(t\)。
  • 分子中的 \(c^2\) 项和 \(\frac{c v (x_0 + v t’)}{S}\) 项分别对应时间膨胀和运动效应。
  • 分母 \(c^2 - v^2\) 反映了相对论因子。

此表达式可用于计算接收时间间隔与发射时间间隔的比值（多普勒因子）。