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好的，这是一份关于您提供的论文《利用非纠缠光子违反贝尔不等式》（Violation of Bell inequality with unentangled photons）的详细解读。

这篇发表于2025年8月1日《科学进展》（Science Advances）的论文，报告了一项颠覆性的量子物理实验。其核心发现是：研究人员首次在完全没有使用纠缠光子对的情况下，成功地违反了贝尔不等式。这一结果挑战了“贝尔不等式违反必然意味着量子纠缠”的传统观念，揭示了量子非局域性的另一个根本来源——量子不可区分性（quantum indistinguishability）。

以下是该研究的全面解析：

1. 背景与核心挑战

  • 贝尔不等式与纠缠：自约翰·贝尔（John Bell）提出以来，违反贝尔不等式被视为量子力学非局域性和非实在性（即“局域实在论”失效）的决定性证据。在过去的五十年里，几乎所有违反贝尔不等式的实验都依赖于量子纠缠态（如纠缠的光子对）。因此，纠缠被认为是产生这种强关联的必要条件。
  • 本研究的突破：本文作者提出并证明，即使没有纠缠，仅凭光子产生过程的“量子不可区分性”，也能产生足以违反贝尔不等式的量子关联。这为理解量子力学的“诡异”特性提供了全新的视角。

2. 实验原理：多光子受挫干涉 (Multiphoton Frustrated Interference, FI)

实验的核心是“受挫干涉”（Frustrated Interference）现象，这是一种源于量子不可区分性的干涉，而非粒子间的纠缠。

  • 实验装置：实验使用了四个独立的、由经典激光泵浦的非线性晶体（即双光子源I, II, III, IV）。每个源可以产生一对信号光子和闲频光子。
  • 路径设计：通过精巧的光路设计，使得最终在四个特定输出端口（a1, a2, b1, b2）同时探测到四个光子的事件，可以由两组完全不同的过程导致：
    1. 光子对来自源I和II。
    2. 光子对来自源III和IV。
  • 量子不可区分性：由于这两组过程产生的光子在所有自由度（路径、偏振、频率、时间等）上都完全无法区分，因此这两个过程的量子概率幅会发生干涉。
  • 干涉结果：这种干涉会增强或抑制四光子符合计数（coincidence counts）的速率，其结果依赖于由Alice和Bob分别控制的两个相位（α和β）之和。论文中的公式(2)给出了符合计数率：N(α, β) = g⁴N₀[2 + 2cos(α+β)]。这个余弦依赖关系是进行贝尔测试的关键。

3. 关键创新：非纠缠系统

这是该实验与传统贝尔实验最根本的区别。

  • 破坏纠缠：实验中产生的光子对在动量和频率上原本是纠缠的。但研究人员通过使用单模光纤和窄带滤波器，对光子的动量和频率进行了强投影测量，从而彻底破坏了光子对内部的纠缠。
  • 结论：因此，最终用于贝尔测试的光子是非纠缠的。违反贝尔不等式的根源不是粒子间的纠缠，而是产生过程的路径同一性（path identity）和量子不可区分性。

4. 如何进行贝尔测试：构建联合概率

由于系统中没有纠缠，传统的测量方法不适用。研究人员采用了一种巧妙的方法来构建贝尔不等式检验所需的联合概率。

  • 定义结果：
    • +1结果：Alice和Bob各自在其两个端口（a1,a2 或 b1,b2）上同时探测到光子。
    • -1结果：为了得到“-1”结果，他们利用干涉的互补性。当相位为α时，符合计数高（+1）；当相位变为α+π时，符合计数最低。他们假设在相位α+π下测到的“+1”结果，等效于在相位α下的“-1”结果。
  • 核心等式：基于这一假设，他们用可测量的“+1”结果计数来推断所有结果的概率。论文中的**等式(14)**是构建联合概率的核心： p(a, b | α, β) = N(+1,+1 | α + (1-a)/2 * π, β + (1-b)/2 * π) / [所有四种结果的总和] 这个等式通过相位偏移π，将“-1”结果的计数映射为在正交相位下可测量的“+1”结果计数。
  • 计算关联函数：利用上述概率，他们计算出关联函数 E(α, β) = cos(α+β)（等式7），并最终计算出CHSH贝尔参数 S。

5. 实验结果与结论

  • 数据：实验测量了不同相位设置下的四光子符合计数（图2），并计算了关联函数 E(α, β)（图3A）。
  • 贝尔参数：通过选择特定的相位设置（α₁=0, α₂=π/2, β₁=π/4, β₂=3π/4），他们计算出贝尔参数 S = 2.275 ± 0.057。
  • 显著违反：经典理论的极限是 S ≤ 2，而 2.275 > 2，且超出了4个标准差（4 SDs），因此明确违反了贝尔不等式。
  • 非局域性验证：图3B显示，Alice和Bob各自的局部双光子计数不显示任何干涉，只有他们的联合测量结果才显示出强烈的相位依赖性。这证明了关联是非局域的，与纠缠系统的特征相似。

6. 深远意义与讨论

  • 重新定义量子关联的来源：这项工作确立了量子关联与量子不可区分性之间的直接联系。它表明，非局域性可以源于产生过程的“同一性”，而不仅仅是粒子间的“纠缠”。
  • “创造”而非“测量”：作者强调，他们不是在测量一个预先存在的纠缠态，而是在光子的产生过程中，通过操纵相位来主动“创造”出量子关联。
  • 对量子基础的启示：这挑战了我们对“量子态”和“实在性”的朴素理解。正确的诠释是，在测量之前，我们不能说光子“已经”从某个特定源产生；而是存在一个产生光子的可能性，这个可能性的干涉导致了最终的测量结果。
  • 未来展望：虽然实验中存在抽样漏洞（postselection）和定域性漏洞（loophole），但作者认为这些可以通过技术改进来关闭。这项工作为量子信息科学开辟了新的道路，可能催生新的量子协议。

总结：这篇论文是一项里程碑式的工作。它证明了量子力学的非经典特性——违反贝尔不等式——可以在一个完全非纠缠的系统中实现，其根源是量子世界中更基本的“不可区分性”。这不仅深化了我们对量子力学基础的理解，也为未来的量子技术提供了新的范式。

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这篇发表于 Science Advances 的论文《Violation of Bell inequality with unentangled photons》（使用非纠缠光子违反贝尔不等式）是一项具有开创性意义的实验研究，它挑战了“贝尔不等式违反必须依赖量子纠缠”的传统认知。以下是该文的核心内容与科学价值分析：

一、研究背景与动机

  • 贝尔不等式违反是量子力学与局域实在论冲突的关键实验证据，传统上认为必须使用纠缠粒子（如纠缠光子对）才能实现。
  • 本文提出并实验验证：即使不使用纠缠粒子，仅通过路径不可区分性（path identity） 和多光子干涉，也可以实现贝尔不等式的违反。

二、核心实验设计：四光子受挫干涉仪（Four-Photon Frustrated Interferometer, FI）

实验装置（Fig. 1）：

  • 使用四个非线性晶体（I–IV）作为双光子源，每个源产生偏振乘积态 \(|HV\rangle\)。
  • 通过精密光路设计，使得来自不同源的光子在空间模式上完全不可区分。
  • Alice 和 Bob 分别控制相位 \(\alpha\) 和 \(\beta\)，并通过后选择（post-selection）四光子符合计数（four-fold coincidence）来构建联合概率。

关键状态（Eq. 1）：

后选择的四光子态为： \[ |\psi_f\rangle = g^2 \left[ e^{i(\alpha+\beta)} |1111\rangle + |1111\rangle \right] \] 这是一个非纠缠态，但其干涉行为却表现出非经典关联。

三、贝尔不等式违反的构建与验证

概率构建（Eqs. 3–6）：

通过相位平移（如 \(\alpha \to \alpha + \pi\)）将“+1”结果映射为“-1”，构建出完整的联合概率分布。

CHSH 不等式（Eq. 8）：

\[ S = | -E(\alpha_1, \beta_1) + E(\alpha_1, \beta_2) + E(\alpha_2, \beta_1) + E(\alpha_2, \beta_2) | \] 理论最大值为 \(2\sqrt{2}\)，经典上限为 2。

实验结果：

  • 测得 \(S = 2.275 \pm 0.057\)，超过经典极限 4 个标准差。
  • 四光子干涉可见度（visibility）始终高于贝尔违反阈值 \(1/\sqrt{2}\)。
  • 局部测量（Alice 或 Bob 单独）无干涉，说明关联是非局部的。

四、理论与解释的创新

1. 非纠缠性：

  • 实验中的四光子态是乘积态，并非纠缠态。
  • 违反贝尔不等式的根源是路径不可区分性，而非纠缠。

2. 与量子擦除实验的区别：

  • 本文强调：路径信息从未存在，因此不需要“擦除”。
  • 这与量子擦除（quantum eraser）实验有本质区别。

3. 高阶项与因果性：

  • 理论分析表明，若考虑高阶项（如六光子项），局部测量 visibility 趋近于零，不存在超光速信号，符合因果性。

五、存在的漏洞与未来方向

  • 后选择漏洞（fair-sampling）：目前依赖四光子符合计数，未来需提高探测效率。
  • 局域性漏洞：当前实验中 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 设置并非类空间隔，局域性条件未完全闭合。
  • 作者展望未来可通过技术改进（如高效光子源、远距离设置）闭合这些漏洞。

六、科学意义与影响

  1. 拓展了贝尔非局域性的物理根源：不仅纠缠可导致非局域性，路径不可区分性也可产生非经典关联。
  2. 为量子信息处理提供新资源：非纠缠光子也可用于构建量子协议。
  3. 深化对量子干涉与测量的理解：强调“which-path information never exists”是量子干涉的本质。

七、总结

这项研究通过精巧的光路设计与后选择技术，首次实现了使用非纠缠光子违反贝尔不等式，打破了“纠缠是贝尔违反必要条件”的传统观念，为量子基础理论与量子技术开辟了新的研究方向。

如果想要我进一步提取图表、数据或撰写中文解读/PPT，请随时告诉我。

他们构建了什么联合概率等式 好的，这是一个非常关键的问题。这篇论文的核心创新之一就是如何从一个没有直接输出“-1”结果的实验中，构建出用于检验贝尔不等式的联合概率分布。

他们构建的联合概率等式基于一个关键的假设（assumption） 和类比（analogy）。

核心假设：相位平移等价于结果翻转

实验观察到的四光子符合计数率 $\mathcal{N}(\alpha, \beta)$ 遵循一个简洁的余弦函数： $$\mathcal{N}(\alpha, \beta) = g^4 N_0 [2 + 2\cos(\alpha + \beta)]$$

他们注意到，当Alice将自己的相位移动 $\pi$ 时，计数率变为： $$\mathcal{N}(\alpha + \pi, \beta) = g^4 N_0 [2 + 2\cos(\alpha + \pi + \beta)] = g^4 N_0 [2 - 2\cos(\alpha + \beta)]$$

这个结果 $\mathcal{N}(\alpha + \pi, \beta)$ 与原始结果 $\mathcal{N}(\alpha, \beta)$ 是互补的。因此，他们做出了一个根本性的假设：

将相位设置从 $\alpha$ 改为 $\alpha+\pi$ 所得到的 (+1, +1) 计数，等价于在原始相位设置 $\alpha$ 下得到 (-1, +1) 结果的计数。

用数学公式表达，就是这个最重要的关系式（论文中的公式9）： $$ N(-1, +1 | \alpha, \beta) = N(+1, +1 | \alpha + \pi, \beta) $$

同理，他们构建了所有四种结果组合的等式：

想要的结果 (a, b) 如何通过测量得到 数学等式 (来自论文)
(+1, +1) 直接在设置 $(\alpha, \beta)$ 下测量 $N(+1,+1 \mid \alpha, \beta) = N(+1,+1 \mid \alpha, \beta)$
(-1, +1) 将Alice的相位移动 $\pi$，然后在设置 $(\alpha+\pi, \beta)$ 下测量，记录为 (+1, +1)，并将其赋给 $(-1, +1) \mid \alpha, \beta)$ $N(-1,+1 \mid \alpha, \beta) = N(+1,+1 \mid \alpha+\pi, \beta)$
(+1, -1) 将Bob的相位移动 $\pi$，然后在设置 $(\alpha, \beta+\pi)$ 下测量，记录为 (+1, +1)，并将其赋给 $(+1, -1) \mid \alpha, \beta)$ $N(+1,-1 \mid \alpha, \beta) = N(+1,+1 \mid \alpha, \beta+\pi)$
(-1, -1) 将Alice和Bob的相位都移动 $\pi$，然后在设置 $(\alpha+\pi, \beta+\pi)$ 下测量，记录为 (+1, +1) $N(-1,-1 \mid \alpha, \beta) = N(+1,+1 \mid \alpha+\pi, \beta+\pi)$

构建联合概率等式

在贝尔检验中，联合概率 $P(a, b \mid \alpha, \beta)$ 是指在给定测量设置 $(\alpha, \beta)$ 下，得到特定结果组合 $(a, b)$ 的概率。它由归一化后的计数给出：

$$ P(a, b \mid \alpha, \beta) = \frac{N(a, b \mid \alpha, \beta)}{\sum_{a’, b’} N(a’, b’ \mid \alpha, \beta)} $$

分母是所有可能结果的总和，确保概率加起来为1。

现在，运用上面的假设，他们将无法直接测量的 $N(a, b \mid \alpha, \beta)$ 全部用可以测量的 $N(+1,+1 \mid \alpha’, \beta’)$ 来表示。最终代入上式，就得到了论文中的联合概率等式（3-6）：

$$ \begin{align*} P(+1,+1 \mid \alpha, \beta) &= \frac{\mathcal{N}(\alpha, \beta)}{\mathcal{N}(\alpha, \beta) + \mathcal{N}(\alpha+\pi, \beta) + \mathcal{N}(\alpha, \beta+\pi) + \mathcal{N}(\alpha+\pi, \beta+\pi)} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos(\alpha+\beta) \\ P(-1,+1 \mid \alpha, \beta) &= \frac{\mathcal{N}(\alpha+\pi, \beta)}{\mathcal{N}(\alpha, \beta) + …} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\cos(\alpha+\beta) \\ P(+1,-1 \mid \alpha, \beta) &= \frac{\mathcal{N}(\alpha, \beta+\pi)}{\mathcal{N}(\alpha, \beta) + …} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\cos(\alpha+\beta) \\ P(-1,-1 \mid \alpha, \beta) &= \frac{\mathcal{N}(\alpha+\pi, \beta+\pi)}{\mathcal{N}(\alpha, \beta) + …} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos(\alpha+\beta) \\ \end{align*} $$

与传统贝尔实验的类比

作者将其与使用偏振片的双光子贝尔实验进行类比，以证明这种方法的合理性：

  • 在偏振实验中，设置角度 $\theta$ 测量得到结果 +1（例如透射）。
  • 要得到结果 -1（例如反射），不需要直接测量反射光（通常被阻挡或丢弃），而是将偏振片旋转 $90^\circ$ ($\pi/2$) 后再测量透射光，并将其定义为结果 -1。
  • 本文中的 $\pi$ 相位移动就类似于偏振片的 $90^\circ$ 旋转。

总结

他们构建的联合概率等式的逻辑链条如下：

  1. 实验事实：四光子符合计数 $\mathcal{N}(\alpha, \beta) \propto 1 + \cos(\alpha+\beta)$。
  2. 核心假设：相位移动 $\pi$ 等价于结果翻转，即 $N(-1, +1 \mid \alpha, \beta) = N(+1, +1 \mid \alpha+\pi, \beta)$。
  3. 概率构建：利用该假设，将所有结果的出现次数用可测量的 $N(+1,+1)$ 表示，并进行归一化，得到联合概率 $P(a, b \mid \alpha, \beta)$。
  4. 验证合理性：通过与成熟的偏振贝尔实验类比，证明这种“通过改变设置来定义结果”的方法是物理上合理的。

正是基于这些构建出来的概率，他们才计算出了关联函数 $E(\alpha, \beta) = \cos(\alpha+\beta)$，并最终得到了违反贝尔不等式的结果 $S = 2.275 > 2$。

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根据您提供的论文内容，研究人员为了在非纠缠光子系统中进行贝尔不等式检验，需要构建一个联合概率分布。由于他们的实验设置（基于多光子受挫干涉）与传统的基于纠缠光子对的贝尔实验不同，他们无法直接测量所有四种结果组合（+1,+1）、（+1,-1）、（-1,+1）、（-1,-1）。因此，他们采用了一种巧妙的方法，利用干涉的互补性来推断“-1”结果的计数。

他们构建联合概率的核心等式是等式(14)，该等式将实验中可测量的“+1”结果的计数与所有可能结果的总和联系起来，从而推导出完整的联合概率。

以下是他们构建联合概率的详细步骤和关键等式：

1. 核心假设：利用干涉的互补性

实验的核心是四光子符合计数率对相位和 (α+β) 呈现出 2 + 2cos(α+β) 的依赖关系，这是一个周期为 2π 的余弦函数。

  • 当相位为 α 时，符合计数率 N(+1,+1|α, β) 较高（对应结果 +1）。
  • 当相位增加 π（即 α+π）时，符合计数率 N(+1,+1|α+π, β) 会降至最低，与前者互补。

研究人员据此做出关键假设：在相位 α+π 下测量到的“+1”结果，可以被解释为在原始相位 α 下的“-1”结果。这与传统偏振贝尔实验中，通过旋转偏振片90°来探测正交偏振态（即“-1”结果）的逻辑类似。

这些假设由论文中的 等式(9)至(12) 表达：

N(+1,+1 | α, β) = N(+1, -1 | α, β+π) = N(-1,+1 | α+π, β) = N(-1, -1 | α+π, β+π)  (Eq. 9)
N(+1, -1 | α, β) = N(+1,+1 | α, β+π)  (Eq. 10)
N(-1,+1 | α, β) = N(+1,+1 | α+π, β)  (Eq. 11)
N(-1, -1 | α, β) = N(+1,+1 | α+π, β+π)  (Eq. 12)

2. 构建联合概率：核心等式

基于以上假设，他们构建了完整的联合概率 p(a, b|α, β)。由于实验中无法直接测量 N(-1, ...)，他们将所有结果都用可测量的 N(+1,+1|...) 来表示。

核心等式是论文中的等式(14)：

p(a, b | α, β) = 
    N(+1,+1 | α + (1-a)/2 * π, β + (1-b)/2 * π)
    ---------------------------------------------------------------------------------------
    N(+1,+1 | α, β) + N(+1,+1 | α, β+π) + N(+1,+1 | α+π, β) + N(+1,+1 | α+π, β+π)

(Eq. 14)

解释：

  • 分子 (Numerator): 这是推断出的、在设定 (α, β) 下得到特定结果 (a, b) 的计数。
    • 当 a=+1 时，(1-a)/2 = 0，所以相位偏移为 0，使用 N(+1,+1 | α, β)。
    • 当 a=-1 时，(1-a)/2 = 1，所以相位偏移为 π，使用 N(+1,+1 | α+π, β)。
    • 对 b 的处理同理。
    • 因此，分子通过相位偏移 π，将“-1”结果的计数映射为在正交相位下可测量的“+1”结果计数。
  • 分母 (Denominator): 这是一个归一化因子，代表了在设定 (α, β) 下所有四种可能结果的总概率幅的平方和。它确保了 p(+1,+1) + p(+1,-1) + p(-1,+1) + p(-1,-1) = 1。

3. 具体概率的计算

利用等式(14)和实验测量的 N(+1,+1|α, β)（即论文中的 N(α, β)），他们得出了具体的概率表达式，即论文中的 等式(3)至(6)：

p(+1,+1 | α, β) = 1/4 + 1/4 * cos(α+β)  (Eq. 3)
p(-1,+1 | α, β) = 1/4 - 1/4 * cos(α+β)  (Eq. 4)
p(+1, -1 | α, β) = 1/4 - 1/4 * cos(α+β)  (Eq. 5)
p(-1, -1 | α, β) = 1/4 + 1/4 * cos(α+β)  (Eq. 6)

4. 计算关联函数和贝尔参数

有了联合概率，就可以计算关联函数 E(α, β)（等式7）和最终的贝尔参数 S（等式8）：

E(α, β) = p(+1,+1) - p(-1,+1) - p(+1,-1) + p(-1,-1) = cos(α+β)  (Eq. 7)
S = | -E(α1,β1) + E(α1,β2) + E(α2,β1) + E(α2,β2) |  (Eq. 8)

总结：研究人员通过**等式(14)**构建了联合概率，其核心思想是利用受挫干涉现象中 N(+1,+1|α, β) 和 N(+1,+1|α+π, β) 的互补性，将无法直接测量的“-1”结果计数，等效地用在正交相位下测量到的“+1”结果计数来代替，从而完整地重建了贝尔测试所需的联合概率分布。

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量子力学区别于经典物理的关键现象之一——贝尔不等式的违反，传统上需要依赖量子纠缠态实现。近日，南京大学马小松教授、祝世宁院士团队联合德国马克思·普朗克研究所、奥地利科学院等合作机构人员，在《Science Advances》期刊发表了题为“Violation of Bell inequality with unentangled photons”的研究论文[Sci. Adv. 11, eadr1794 (2025)]。该研究首次在不依赖量子纠缠的前提下，利用光子的路径全同性，观测到贝尔不等式的违反，为量子信息处理提供了新路径。

研究团队构建了四光子阻挫干涉装置（图1），并通过后选择机制获得四光子直积态。实验中，研究者分别调控两组相位参数（α，β），对应标准贝尔实验中Alice与Bob两侧的测量设定。团队测得关联函数（图2）所对应的CHSH不等式参数S超出经典上限，统计置信度超过4σ。

值得注意的是，实验使用的光子经单模光纤耦合和滤波后已消除潜在纠缠特性，证明观测到的违反现象并非源自纠缠，而是基于光子路径全同性的量子干涉效应，与传统基于纠缠态的贝尔实验方案在物理机理上存在本质区别。高效光子频率非线性转换和单光子探测技术的快速发展，将为未来实现基于本研究原理的无漏洞贝尔测试提供重要的技术支撑。

南京大学王凯副研究员与侯兆华博士为该论文共同第一作者，通讯作者包括南京大学马小松教授、祝世宁院士，德国马克思·普朗克研究所的 Mario Krenn 教授、2022年诺贝尔物理学奖获得者Anton Zeilinger 教授以及维也纳大学的Markus Aspelmeyer 教授。本项工作是马小松教授、祝世宁院士团队在量子物理基础实验领域的又一重要突破。团队此前已在量子延迟选择实验中观测到光量子波动性与粒子性的相干叠加 [Nat. Photonics 13, 872-877 (2019)]、实现非局域多光子量子干涉 [Nat. Commun. 14, 1480 (2023)]，以及利用路径全同性在独立粒子间建立纠缠 [Phys. Rev. Lett. 133, 233601 (2024)]等方面取得系列成果。该研究得到了国家重点研发计划、国家自然科学基金、江苏省自然科学基金前沿技术计划、中央高校基础研究基金和量子科学技术创新计划等项目的资助。同时这项工作得到了南京大学物理学院、固体微结构物理全国重点实验室、人工微结构科学与技术协同创新中心、江苏省物理研究中心和合肥国家实验室的支持。

原文链接： https://www.science.org/doi/10.1126/sciadv.adr1794

课题组主页链接：https://qoqi.nju.edu.cn

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本研究围绕多光子受挫干涉展开，核心是通过构建合适的概率模型和关联函数，来分析四光子系统中贝尔不等式的违反情况。

在概率定义方面，由于实验中四光子受挫干涉的符合计数呈现出2π周期的余弦相位依赖性，基于此建立了不同结果计数之间的关系。例如，π相位偏移下的符合计数与原始设置下的符合计数互补，借此可推导出其他结果的概率。通过这些关系，将可观测的（+1，+1）结果计数与其他不可直接观测的结果计数关联起来，进而构建联合条件概率。

对于关联函数，利用构建的概率模型推导出爱丽丝和鲍勃测量结果的归一化期望值E（α，β）=cos（α+β）。基于此，进一步构建了CHSH形式的贝尔不等式 S=|-E（α₁，β₁）+E（α₁，β₂）+E（α₂，β₁）+E（α₂，β₂）|，并确定当 α₁=0、α₂=π/2、β₁=π/4、β₂=3π/4 时，贝尔参数S的最大值为2√2，而经典界限为2。

此外，研究对四光子受挫干涉的输出态进行了理论分析，考虑自发参量下转换过程的效率参数g，给出了输出态的近似表达式，其中包含不同光子数状态的叠加。同时，通过理论推导证实，爱丽丝进行符合探测时的二阶关联与相位β无关，避免了超光速信号传递的悖论。

研究通过四光子受挫干涉实验，成功实现了贝尔不等式的违反，贝尔参数S达到2.275±0.057，违反幅度超过四个标准差。

实验结果显示，在不同相位设置下，四光子符合计数呈现出互补的变化规律，如α=0和α=π时的符合计数曲线互补，α=π/2和α=3π/2时亦是如此，且相关函数的最大值均高于违反CHSH不等式所需的阈值（v=1/√2）。

同时，实验证实这种贝尔不等式的违反并非由纠缠引起，无论是在结果中还是实验装置的任何地方，纠缠都不足以解释观察到的现象，而是源于路径一致性的量子不可区分性。

这一成果建立了量子关联与量子不可区分性之间的联系，为理解量子物理中反直觉特性的根本起源提供了新视角，对量子信息科学的基础研究具有重要意义，也为贝尔实验的发展开辟了新方向。

Mario Krenn，马克思·普朗克光科学研究所“人工科学家实验室”研究组负责人，图宾根大学“科学机器学习”讲席教授。致力于探索人工智能启发与增强科学研究的潜力，已开发了多个用于量子实验与硬件设计和量子技术创新启发的AI系统。

Markus Aspelmeyer，奥地利科学院维也纳量子光学与量子信息研究所（IQOQI-Vienna）科学主任，维也纳大学物理学院教授。致力于新型量子技术开发与基础量子实验的交叉创新，研究方向包括悬浮固态物体的量子光学操控、量子特性研究等。

Anton Zeilinger，2022年诺贝尔物理学奖共同获得者，知名物理学家，奥地利科学院院士，中国科学院外籍院士。他在理论和实验上对量子物理基础检验做出了贡献，他和同事系统性地发展了多光子干涉度量学并应用于量子信息处理，其中1997年实现量子隐形传态的工作被公认为量子信息实验研究的开山之作。

祝世宁，南京大学物理学院教授、博士生导师，美国光学学会会士，中国科学院院士。长期从事微结构功能材料和物理、非线性光学、激光物理与量子光学方面的研究，与合作者一起完成的研究成果三次获中国基础研究年度十大新闻，二次被评为中国高校年度科技十大进展。

马小松，南京大学物理学院教授，主要研究领域为量子光学实验、量子通信与量子模拟等，获2019年“中国光学十大进展—基础研究类”，2020年Springer-Nature出版社发表的中国作者年度高影响力研究等荣誉。

多光子干涉 好的，这是一个非常深刻的问题。这篇论文的核心物理机制正是多光子干涉（Multiphoton Interference），但它是一种特殊的形式，源于路径不可区分性（Path Indistinguishability）。

下面我将详细解释在这个实验中多光子干涉是如何工作的，以及为什么它如此特别。

1. 什么是多光子干涉？

  • 单光子干涉：一个光子有两条或多条路径，由于不知道它走了哪条路（路径不可区分），其概率幅叠加，产生干涉图样（如杨氏双缝）。
  • 多光子干涉：多个光子作为一个整体，存在多种不同的方式（路径组合）可以产生相同的测量结果。如果无法区分是哪种方式产生的，这些整个过程的概率幅就会发生干涉。

这篇论文中的四光子受挫干涉（Four-Photon Frustrated Interference） 就是多光子干涉的一个完美例子。

2. 本实验中的多光子干涉机制

关键：两种不可区分的四光子产生方式

实验装置被精心设计，使得当你在输出端 $a_1, a_2, b_1, b_2$ 各探测到一个光子时，你完全无法判断这四个光子来自哪里。具体来说，存在两种不可区分的产生方式：

  1. 方式 A：光子对来自 Source I 和 Source II。

    • Source I 产生 $(s_1, i_1)$
    • Source II 产生 $(s_2, i_2)$
    • 经过路径交换和对齐后，这四个光子分别进入模式 $a_1, b_1, a_2, b_2$。

  2. 方式 B：光子对来自 Source III 和 Source IV。

    • Source III 产生 $(s_3, i_3)$
    • Source IV 产生 $(s_4, i_4)$
    • 经过路径对齐后，这四个光子也分别进入完全相同的模式 $a_1, b_1, a_2, b_2$。

由于所有光子在其所有属性（偏振、频率、空间模式、到达时间）上都完全一致，探测器无法判断探测到的事件是源于方式A还是方式B。这两种历史是不可区分的。

概率幅的干涉

量子力学告诉我们，一个事件的总体概率是其所有可能方式对应的概率幅之和的模平方。

  • 方式 A 的概率幅：$\langle \text{Det} | \text{Source I & II} \rangle = g^2 \cdot e^{i(\alpha + \beta)}$。
    • 因子 $g^2$ 来自两个源的双光子产生效率（很小）。
    • 因子 $e^{i(\alpha + \beta)}$ 是因为光子 $s_1$ 和 $s_2$ 分别累积了相位 $\alpha$ 和 $\beta$。
  • 方式 B 的概率幅：$\langle \text{Det} | \text{Source III & IV} \rangle = g^2 \cdot e^{i(0 + 0)} = g^2$。
    • 这两个源产生的光子没有经过相位控制器，所以相位因子为 $e^{i0}=1$。

因此，探测到四光子符合事件的总概率幅为： $$\text{Amplitude}_{\text{total}} = \text{Amplitude}_A + \text{Amplitude}_B = g^2 e^{i(\alpha+\beta)} + g^2$$

最终的探测概率（正比于计数率 $\mathcal{N}$）就是模平方： $$\mathcal{N} \propto |g^2 e^{i(\alpha+\beta)} + g^2|^2 = |g^2|^2 \cdot |e^{i(\alpha+\beta)} + 1|^2 = g^4 \cdot [2 + 2\cos(\alpha+\beta)]$$

这就得到了论文中的公式(2)。这个余弦函数就是多光子干涉最直接的证据。

3. “受挫”（Frustrated）一词的由来

“受挫干涉”这个名字非常形象地描述了这一现象：

  • 当 $\alpha + \beta = \pi, 3\pi, …$ 时，$\cos(\alpha+\beta) = -1$。
  • 代入公式：$\mathcal{N} \propto 2 + 2(-1) = 0$。
  • 这意味着两种产生方式的概率幅相位相反，完全相消干涉。
  • 尽管每个非线性晶体都在随机地产生光子对，但两种方式相互“挫败”了对方，导致最终的四光子计数率降为零。就好像某种“守恒定律”禁止了这种特定的四光子输出模式。

反之，当 $\alpha + \beta = 0, 2\pi, …$ 时，概率幅相位相同，相长干涉，计数率达到最大值。

4. 与纠缠态干涉的区别（本工作的核心创新）

这是一个至关重要的概念：

  • 传统贝尔实验：使用一个预先存在的纠缠态（如 $|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|HH\rangle + |VV\rangle)$）。干涉发生在测量过程中，不同的测量基会导致不同的关联结果。
  • 本实验：没有预先存在的纠缠态。四个光子一开始是独立的乘积态。干涉发生在态的产生过程（State Creation） 中。实验者通过设置相位 $\alpha$ 和 $\beta$，主动地控制着两种产生方式的干涉，从而“塑造”出了最终的关联结果。

换句话说，这里的非经典关联（贝尔 violation）并非来自于对一个现有纠缠态的测量，而是来自于对光子产生过程本身进行相干操控所引发的多光子干涉。

总结

在这个实验中，多光子干涉指的是：

  1. 两种不可区分的四光子产生历史（Source I&II vs. Source III&IV）的概率幅发生干涉。
  2. 这种干涉体现在四光子符合计数率随相位 $(\alpha + \beta)$ 变化的余弦关系上。
  3. 干涉的结果可以是相长的（最大计数）或相消的（“受挫”，零计数）。
  4. 最关键的是，这种干涉是非经典关联的起源，它替代了“纠缠”的角色，成为了违反贝尔不等式的引擎。

这项工作因此揭示了量子关联的一个全新来源：即使没有纠缠，只要系统存在足够复杂和不可区分的多粒子演化路径，同样可以产生无法用经典理论解释的非局域关联。这极大地拓宽了我们对量子力学基础的理解。