坐标系O’相对于O匀速v运动，当走到O上的点\(x_0\)时，O’用时\(\Delta t’_0\)，O用时\(\Delta t_0=x_0/v=\gamma \Delta t’_0 \)，然后O’停住，再反向以相同的速度v运动，此时相当于O坐标系相对O’坐标系以速度v运动，当O’走完\(x_0\)长度时，用时为\(\Delta t_0=x_0/v\)，而O坐标系则用时为\(\Delta t’_0\)，所以两者的总用时都是\(\Delta t_0 + \Delta t’_0 \)，相遇时看上去一样大。
我们也可以这样计算： 使用\(t=\gamma(t’-vx’/c^2)\)，\(x=\gamma(x’-vt’)\)，\(\Delta x’ =v*\Delta t’\), 求\(\Delta t\) 与 \(\Delta t’\)的关系：
从 \( O’ \) 到 \( O \) 的时间变换为： \[ \Delta t = \gamma \left( \Delta t’ - \frac{v \Delta x’}{c^2} \right) \]
2. 代入已知条件 \( \Delta x’ = v \Delta t’ \)
将 \( \Delta x’ = v \Delta t’ \) 代入上式： \[ \Delta t = \gamma \left( \Delta t’ - \frac{v (v \Delta t’)}{c^2} \right) = \gamma \Delta t’ \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) \]
3. 化简表达式
注意到 \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \)，因此： \[ 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{\gamma^2} \] 代入上式： \[ \Delta t = \gamma \Delta t’ \cdot \frac{1}{\gamma^2} = \frac{\Delta t’}{\gamma} \]
4. 最终关系
\[ \Delta t = \frac{\Delta t’}{\gamma} \] 或等价地： \[ \Delta t’ = \gamma \Delta t \]
我们使用\(\Delta t’_1 =x_0/v \)，于是\(\Delta t_1=x_0/(v\gamma) \)，
所以O坐标系走的时间为\( \Delta t_0 + \Delta t_1 =\frac{x_0}{v} + \frac{x_0}{v\gamma}\) ，O’坐标系走的是\( \Delta t’_0+\Delta t’_1 =\frac{x_0}{v\gamma}+ \frac{x_0}{v}\)
只所以使用\(\Delta t’ =x_0/v \)，就是因为它返回时，先是相对于O坐标系静止，静止时到O原点的距离确实是\(x_0\)，不是吗？
其实说白了，就是把\(x\)定为\(vt\)，则\(x’=0\), 把\(x\)定为0，则\(x’=-vt\),根据\((ct)^2-x^2=(ct’)^2-x’^2\),很容易计算两个时间第一个\(t=\gamma t’\),第二个\(t’=\gamma t\)。