我们来计算表达式：
\[ m v_n a_n \]
其中：
- \( m = m_e \)：电子质量
- \( v_n \)：氢原子中电子在第 \( n \) 能级的特征速度
- \( a_n \)：电子在第 \( n \) 能级的轨道半径（通常指平均半径或玻尔轨道半径）
我们使用玻尔模型或类玻尔量子力学的定义，因为这些量在薛定谔图像中是期望值或特征尺度。
1. 已知公式
（1）速度 \( v_n \)
\[ v_n = \frac{\alpha c}{n} \] 其中 \( \alpha \) 是精细结构常数，\( \alpha \approx \frac{1}{137} \)
或者从玻尔模型： \[ v_n = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar} \cdot \frac{1}{n} = \frac{\hbar}{m_e a_0 n} \quad \text{（因为 } a_0 = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} \text{）} \]
（2）轨道半径 \( a_n \)
\[ a_n = n^2 a_0 \]
2. 代入表达式
\[ m v_n a_n = m_e \cdot v_n \cdot a_n = m_e \cdot \left( \frac{\hbar}{m_e a_0 n} \right) \cdot (n^2 a_0) \]
化简：
\[ = \cancel{m_e} \cdot \frac{\hbar}{\cancel{m_e} \cancel{a_0} n} \cdot n^2 \cancel{a_0} = \frac{\hbar}{n} \cdot n^2 = n \hbar \]
✅ 最终结果：
\[ \boxed{m v_n a_n = n \hbar} \]
物理意义解释：
这个结果非常有意义！
在玻尔模型中，角动量量子化条件正是：
\[ L = m v_n r_n = n \hbar \]
而这里 \( r_n = a_n = n^2 a_0 \)，\( v_n = \frac{\hbar}{m_e a_0 n} \)，所以：
\[ m v_n a_n = m \cdot \frac{\hbar}{m a_0 n} \cdot n^2 a_0 = n \hbar \]
✅ 完全符合玻尔的角动量量子化假设。
注意（量子力学视角）：
在薛定谔波函数描述中：
- 电子没有确定的轨道，因此没有经典角动量 \( mvr \)。
- 但轨道角动量的大小为 \( \sqrt{\ell(\ell+1)}\hbar \)，最大为 \( \sqrt{n(n-1)}\hbar \approx n\hbar \)（当 \( \ell = n-1 \)）。
- 所以 \( m v_n a_n = n\hbar \) 是一种半经典近似，与最高角动量态相符。
✅ 结论：
\[ \boxed{m v_n a_n = n \hbar} \]
这是一个在玻尔模型中精确成立、在量子力学中具有启发意义的结果。