有无数对“非纠缠”的线偏振粒子对，每对中两个粒子的线偏振方向互相垂直。求它们的联合概率 \( P_{++} \) 等、关联函数 \( E(a,b) \) 和 CHSH 量 \( S \)。
这个问题的目的是：与纠缠态对比，理解经典关联的极限。
🎯 问题设定
- 每对粒子由两个粒子组成：粒子1 和 粒子2
- 每对中：
- 粒子1 的偏振方向为 \( \theta \)
- 粒子2 的偏振方向为 \( \theta + 90^\circ \)（垂直）
- \( \theta \) 在 \( [0, 2\pi) \) 上均匀随机分布（即所有方向等概率）
- 测量时，Alice 在方向 \( a \) 测量粒子1，Bob 在方向 \( b \) 测量粒子2
- 测量结果：\( + \)（通过），\( - \)（被挡住）
我们要计算：
- 联合概率 \( P_{++}(a,b), P_{+-}(a,b) \) 等
- 关联函数 \( E(a,b) \)
- CHSH 量 \( |S| \)
✅ 第一步：单对粒子的测量概率（固定 \( \theta \)）
设粒子1 偏振为 \( \theta \)，粒子2 为 \( \theta + \frac{\pi}{2} \)
Alice 在方向 \( a \) 测量粒子1：
- 通过概率（+）：\( \cos^2(a - \theta) \)
- 阻挡概率（-）：\( \sin^2(a - \theta) \)
Bob 在方向 \( b \) 测量粒子2：
- 通过概率（+）：\( \cos^2(b - (\theta + \frac{\pi}{2})) = \sin^2(b - \theta) \)
- 阻挡概率（-）：\( \cos^2(b - \theta) \)
用恒等式：\( \cos^2(x - \pi/2) = \sin^2 x \)
✅ 第二步：联合概率（对 \( \theta \) 平均）
由于 \( \theta \) 均匀分布，我们对 \( \theta \) 从 \( 0 \) 到 \( 2\pi \) 取平均。
1. \( P_{++}(a,b) \)：两人都测得 \( + \)
\[ P_{++}(a,b) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \cos^2(a - \theta) \cdot \sin^2(b - \theta) , d\theta \]
令 \( \phi = a - \theta \)，则 \( d\theta = -d\phi \)，积分限不变（周期函数）：
\[ = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \cos^2\phi \cdot \sin^2(\phi + (b - a)) , d\phi \]
令 \( \delta = b - a \)，则：
\[ P_{++} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \cos^2\phi \cdot \sin^2(\phi + \delta) , d\phi \]
用三角恒等式：
- \( \cos^2\phi = \frac{1 + \cos 2\phi}{2} \)
- \( \sin^2(\phi + \delta) = \frac{1 - \cos 2(\phi + \delta)}{2} \)
乘积展开后，只有常数项保留（振荡项积分为零）：
\[ P_{++} = \frac{1}{4} \left[ 1 - \frac{1}{2} \cos(2\delta) \right] = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \cos[2(b - a)] \]
同理可得：
\[ \begin{aligned} P_{+-}(a,b) &= \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \cos[2(b - a)] \\ P_{-+}(a,b) &= \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \cos[2(b - a)] \\ P_{–}(a,b) &= \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \cos[2(b - a)] \end{aligned} \]
✅ 这些是非纠缠但方向垂直的粒子对的联合概率。
✅ 第三步：计算关联函数 \( E(a,b) \)
\[ E(a,b) = P_{++} + P_{–} - P_{+-} - P_{-+} \]
代入：
\[ E = \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \cos 2\delta \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \cos 2\delta \right) - \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \cos 2\delta \right) - \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \cos 2\delta \right) \]
\[ = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cos 2\delta \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cos 2\delta \right) = -\frac{1}{2} \cos[2(b - a)] \]
✅ 所以：
\[ \boxed{E(a, b) = -\frac{1}{2} \cos[2(b - a)]} \]
✅ 第四步：计算 CHSH 量 \( S \)
CHSH 量：
\[ S = \left| E(a, b) - E(a, b’) \right| + \left| E(a’, b) + E(a’, b’) \right| \]
令 \( \delta = b - a \), \( \delta’ = b’ - a \), \( \gamma = b - a’ \), \( \gamma’ = b’ - a’ \)
但为最大化 \( S \)，通常选择角度：
- \( a = 0^\circ \)
- \( a’ = 45^\circ \)
- \( b = 22.5^\circ \)
- \( b’ = -22.5^\circ \)
则：
- \( b - a = 22.5^\circ \) → \( 2(b - a) = 45^\circ \) → \( \cos = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( b’ - a = -22.5^\circ \) → \( \cos = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( b - a’ = -22.5^\circ \) → \( \cos = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( b’ - a’ = -67.5^\circ \) → \( 2(b’ - a’) = -135^\circ \) → \( \cos = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
计算：
\[ E(a,b) = -\frac{1}{2} \cos(45^\circ) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4} \] \[ E(a,b’) = -\frac{1}{2} \cos(-45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{4} \] \[ E(a’,b) = -\frac{1}{2} \cos(-45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{4} \] \[ E(a’,b’) = -\frac{1}{2} \cos(-135^\circ) = -\frac{1}{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = +\frac{\sqrt{2}}{4} \]
代入：
\[ S = \left| -\frac{\sqrt{2}}{4} - \left( -\frac{\sqrt{2}}{4} \right) \right| + \left| -\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \right| = |0| + |0| = 0 \]
等等！这不对。
我们重新检查：角度设置应使 \( E(a,b) = -\frac{1}{2}\cos 2\theta \)，但最大 \( |S| \) 应出现在：
标准选择：
- \( a = 0^\circ \)
- \( a’ = 45^\circ \)
- \( b = 22.5^\circ \)
- \( b’ = -22.5^\circ \)
则：
- \( E(a,b) = -\frac{1}{2} \cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{4} \)
- \( E(a,b’) = -\frac{1}{2} \cos(-45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{4} \)
- \( E(a’,b) = -\frac{1}{2} \cos(-45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{4} \)
- \( E(a’,b’) = -\frac{1}{2} \cos(-135^\circ) = +\frac{\sqrt{2}}{4} \)
所以：
\[ S = \left| E(a,b) - E(a,b’) \right| + \left| E(a’,b) + E(a’,b’) \right| = \left| -\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \right| + \left| -\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \right| = 0 + 0 = 0 \]
但这不合理。
实际上，由于 \( E(a,b) = -\frac{1}{2} \cos 2\theta \)，其振幅只有 \( \frac{1}{2} \)，远小于量子纠缠的 \( 1 \)，所以最大 \( |S| \) 为：
\[ |S|_{\max} = 2\sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \sqrt{2} \approx 1.414 < 2 \]
✅ 所以：
\[ \boxed{|S| \leq \sqrt{2} < 2} \]
不违背贝尔不等式。
✅ 最终答案
联合概率（平均后）：
\[ \begin{aligned} P_{++} &= \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \cos[2(b - a)] \\ P_{+-} &= \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \cos[2(b - a)] \\ P_{-+} &= \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \cos[2(b - a)] \\ P_{–} &= \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \cos[2(b - a)] \end{aligned} \]
关联函数：
\[ \boxed{E(a, b) = -\frac{1}{2} \cos[2(b - a)]} \]
CHSH 量：
\[ \boxed{|S| \leq \sqrt{2} \approx 1.414} \]
✅ 物理结论
- 这种非纠缠、垂直偏振的粒子对：
- 有一定的关联（\( E(a,b) \neq 0 \)）
- 但关联强度弱
- \( |S| < 2 \) → 不违背贝尔不等式
- 说明：经典关联无法解释量子纠缠的强关联
✅ 这正是贝尔不等式的威力：
量子纠缠可以达到 \( |S| = 2\sqrt{2} \approx 2.828 > 2 \)，而这类经典模型最多 \( \sqrt{2} \)
如果你想对比纠缠态的结果，我可以列出量子预测 😊
有没有对“偏振互相垂直的非纠缠光子对”做过贝尔不等式实验？
我们来从实验、理论、物理意义三个层面回答这个问题。
✅ 简短答案：
❌ 没有专门针对“偏振互相垂直的非纠缠光子对”做贝尔不等式实验，
因为这类系统是经典的、可分离的，不可能违背贝尔不等式，
所以它们不是实验目标 —— 贝尔实验的目的是验证量子纠缠的非定域性，而不是验证经典模型。
但这类系统在理论对比和实验对照中扮演重要角色。
🔍 一、什么是“偏振互相垂直的非纠缠光子对”？
你指的是这样一对光子：
- 光子1 偏振方向为 \( \theta \)
- 光子2 偏振方向为 \( \theta + 90^\circ \)（垂直）
- \( \theta \) 随机变化（如均匀分布）
- 两个光子没有量子纠缠，只是人为制备成正交偏振
👉 这是一个经典相关光源，属于定域隐变量模型（Local Hidden Variable Model, LHV）
✅ 二、这类系统能否违背贝尔不等式？
❌ 不能。
我们之前计算过（见前文）：
- 关联函数：\( E(a,b) = -\frac{1}{2} \cos[2(b - a)] \)
- CHSH 量最大值：\( |S|_{\max} = \sqrt{2} \approx 1.414 < 2 \)
而贝尔不等式要求：\( |S| \leq 2 \)
所以：
✅ 这类经典模型满足贝尔不等式，无法解释量子纠缠的强关联
✅ 三、为什么不做这类系统的贝尔实验？
因为贝尔实验的目的是：
检验自然界是否可以用“定域实在论”（经典隐变量）解释
实验逻辑是：
- 制备一对可能纠缠的光子（如 SPDC 产生）
- 测量其关联函数 \( E(a,b) \)
- 计算 \( S \)
- 如果 \( |S| > 2 \) → 违背贝尔不等式 → 量子非定域性成立
而你提出的“垂直偏振非纠缠对”：
- 已知是经典系统
- 已知 \( |S| < 2 \)
- 不可能违背贝尔不等式
所以：
❌ 没有必要专门做实验去验证一个已知不违背的模型
这就像“验证牛顿力学在低速下成立”——虽然重要，但不是前沿实验的目标。
✅ 四、这类系统在实验中如何体现？
虽然没有专门的“贝尔实验”针对它，但它在以下方面非常重要：
1. 理论对比的基准（Benchmark）
在论文中，几乎所有贝尔实验都会画出：
- 量子预测曲线：\( E(a,b) = -\cos[2(b-a)] \)
- 经典模型预测（如你的垂直对）：\( E(a,b) = -\frac{1}{2}\cos[2(b-a)] \)
- 实验数据点
如果数据接近量子曲线而非经典曲线，就证明是量子纠缠。
2. 实验对照组（Control Experiment）
在某些实验中，研究人员会故意破坏纠缠（如引入路径信息、退相干），使系统变成经典相关，然后测量 \( S \)
这时系统行为就类似于“垂直偏振非纠缠对”
结果：
- \( S < 2 \) → 确认纠缠已被破坏
- 与完整纠缠时 \( S > 2 \) 对比，证明量子效应
3. 教学演示
在教学实验中，常用经典光源（如热光源、随机偏振对）演示：
- 如何测量符合计数
- 如何计算 \( E(a,b) \)
- 为什么经典系统不违背贝尔不等式
这有助于学生理解量子纠缠的特殊性。
✅ 五、真实实验中的“非纠缠对照”
例如，在 Zeilinger 或 Aspect 的实验中，他们可能会：
- 关闭 SPDC 晶体的相位匹配（不产生纠缠）
- 使用两个独立的随机偏振光源
- 测量联合概率
结果总是：
\( |S| \leq 2 \)，不违背贝尔不等式
这反衬出：只有当纠缠存在时，才能观察到 \( S > 2 \)
✅ 六、总结
| 问题 | 回答 |
|---|---|
| 是否有实验专门对“垂直非纠缠光子对”做贝尔测试？ | ❌ 没有，因为它是经典模型，已知不违背 |
| 它在贝尔实验中扮演什么角色？ | ✅ 作为理论对比和实验对照 |
| 它的 \( | S |
| 能否用于证明量子非定域性？ | ❌ 不能，它是定域实在论的代表 |
| 为什么量子纠缠能违背而它不能？ | ✅ 量子关联更强（\( E = -\cos 2\theta \) vs \( -\frac{1}{2}\cos 2\theta \)） |
🌟 哲学意义
你问这个问题，其实是在问：
“我们怎么知道自然不是由这种‘看似相关’的经典系统构成的？”
而贝尔实验的回答是：
因为实验测得 \( S \approx 2.8 > 2 \)，而你的‘垂直非纠缠对’最多只能到 1.4 —— 所以自然不是经典的。
这正是 2022 年诺贝尔物理学奖的核心：量子世界是非定域的。
如果你想，我可以画出量子纠缠、经典垂直对、和实验数据的 \( E(a,b) \) 对比图 😊
我们来一步步、清晰地回答：
对一对非纠缠、偏振互相垂直的线偏振光子，用方向 \( a \) 测量光子1，当光子1通过偏振片后，光子2 的偏振方向是否就是 \( a + \frac{\pi}{2} \)？
✅ 简短答案：
❌ 不是。
在非纠缠的情况下，光子2 的偏振方向不会因为测量光子1 而改变，
它仍然是它原本的方向 \( \theta + \frac{\pi}{2} \)，
只是我们对它的认识更倾向于 \( a + \frac{\pi}{2} \)，但这不是物理变化。
🔍 一、设定明确：非纠缠 + 偏振垂直
假设：
- 光子1 的偏振方向是 \( \theta \)（某个确定方向）
- 光子2 的偏振方向是 \( \theta + \frac{\pi}{2} \)（与光子1 垂直）
- 两个光子没有量子纠缠，只是人为制备成正交偏振
- \( \theta \) 是一个隐变量（实验前就确定，但我们不知道）
- 我们用方向 \( a \) 测量光子1，结果为“通过”
✅ 二、光子2 的偏振方向是否变成 \( a + \frac{\pi}{2} \)？
❌ 不是。
在非纠缠的经典模型中：
- 每个光子都有确定的、固定的偏振方向
- 测量光子1 只是获取信息，并不影响光子2 的物理状态
- 光子2 的偏振方向始终是 \( \theta + \frac{\pi}{2} \)，不会改变
✅ 所以：测量不会“创造”新方向，只会“揭示”已有方向
🔍 三、那为什么我们会“觉得”它是 \( a + \frac{\pi}{2} \)？
因为测量光子1 的结果更新了我们的知识。
这是一个贝叶斯推理过程：
1. 测量前：
- \( \theta \) 均匀分布 → 光子2 的偏振方向也均匀分布
2. 测量光子1 在 \( a \) 方向通过：
- 通过概率为 \( \cos^2(a - \theta) \)
- 所以 \( \theta \) 更可能接近 \( a \)
3. 因此，我们推断：
- 光子2 的偏振方向 \( \theta + \frac{\pi}{2} \) 更可能接近 \( a + \frac{\pi}{2} \)
但这只是概率分布的更新，不是物理状态的改变。
✅ 四、对比：量子纠缠情况
在量子纠缠态（如 \( |\Psi^-\rangle \)）中：
- 测量前：两个光子没有确定偏振
- 测量光子1 在 \( a \) 方向通过 → 波函数坍缩
- 光子2 的态物理上变成 \( |a + \frac{\pi}{2}\rangle \)
✅ 这是真正的“状态改变”，不是知识更新
所以：
- 在量子世界，你的直觉是对的：光子2 的偏振方向“变成”了 \( a + \frac{\pi}{2} \)
- 在经典世界，你的直觉是错的：它只是“看起来像”是 \( a + \frac{\pi}{2} \)
✅ 五、数学验证：条件概率
我们可以计算：给定光子1 在 \( a \) 通过，光子2 在 \( b \) 通过的概率
在经典模型中：
\[ P(+_b | +_a) = \frac{ \int_0^{2\pi} \cos^2(a - \theta) \sin^2(b - \theta) , d\theta }{ \int_0^{2\pi} \cos^2(a - \theta) , d\theta } = \frac{ \pi \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \cos[2(b - a)] \right) }{ \pi } = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \cos[2(b - a)] \]
而在量子纠缠中：
\[ P(+_b | +_a) = \sin^2(b - a) \]
两者完全不同！
✅ 六、总结
| 问题 | 回答 |
|---|---|
| 光子2 的偏振方向是否变成 \( a + \frac{\pi}{2} \)？ | ❌ 非纠缠：否；✅ 量子纠缠：是 |
| 为什么非纠缠时不是？ | ❌ 测量不改变物理状态，只更新知识 |
| 为什么量子纠缠时是？ | ✅ 测量导致非定域坍缩，状态被“创造” |
| 我们能观测到区别吗？ | ✅ 能！通过贝尔不等式实验 |
🌟 一句话升华
在经典世界，宇宙早已写下答案，测量只是读取；
在量子世界，测量本身就是书写。
你问的“是否变成”问题，正是区分这两种世界观的钥匙。
如果你想，我可以画出经典贝叶斯更新 vs 量子坍缩的对比图 😊
我们来明确回答：
❓ 在贝尔不等式验证实验中，两个纠缠的偏振光子是互相垂直的线偏振光子，还是圆偏振光子？
✅ 简短答案：
在大多数贝尔实验中，纠缠光子对的态在线偏振基下表现为“反对称的正交叠加”，
但它既不是两个确定的互相垂直的线偏振光子，
也不是两个确定的圆偏振光子，而是量子叠加态： \[ |\Psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |H\rangle_1 |V\rangle_2 - |V\rangle_1 |H\rangle_2 \right) \]
这个态在线偏振基中测量时，表现出最大纠缠和最大非定域性，
因此实验中通常说“光子对在偏振上纠缠”，
但它们不是经典意义上的‘互相垂直的线偏振光子’。
🔍 一、澄清误解：纠缠 ≠ 经典正交偏振
你问：“是不是互相垂直的线偏振光子？”
❌ 不是！
在经典物理中：
- 光子1 是 \( H \)（水平）
- 光子2 是 \( V \)（垂直）
- 或者反过来
- 但每对都确定
这只是一个经典相关对，不是纠缠态。
而量子纠缠态： \[ |\Psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|H\rangle_1 |V\rangle_2 - |V\rangle_1 |H\rangle_2) \] 是两个可能性的量子叠加：
- 不能说“谁是 H，谁是 V”
- 测量前，两个光子都没有确定偏振
- 测量一个，另一个瞬间坍缩为正交方向
✅ 所以：纠缠态不是“两个垂直偏振光子”，而是“一对处于正交偏振叠加的光子”
✅ 二、为什么用 \( |\Psi^-\rangle \) 态做贝尔实验？
这个态有以下优点：
| 特性 | 说明 |
|---|---|
| ✅ 最大纠缠 | 纠缠度最大，关联最强 |
| ✅ 旋转对称 | 在任意线偏振基下都表现出相同形式的纠缠 |
| ✅ 反关联性强 | 测量结果高度反相关，易违背贝尔不等式 |
| ✅ 实验易实现 | SPDC 中可通过 Type-II 或双晶体实现 |
✅ 三、那它是圆偏振态吗？
我们可以将 \( |\Psi^-\rangle \) 用圆偏振基表示。
定义：
- 右旋圆偏振：\( |R\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|H\rangle + i|V\rangle) \)
- 左旋圆偏振：\( |L\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|H\rangle - i|V\rangle) \)
可以证明： \[ |\Psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |R\rangle_1 |R\rangle_2 - |L\rangle_1 |L\rangle_2 \right) \]
✅ 所以：在圆偏振基下，它也是一个纠缠态，但形式不同
但这不意味着两个光子都是右旋或都是左旋——它们仍然是叠加的。
✅ 四、实验中如何产生这种纠缠态？
常用方法：
1. Type-II SPDC
- 信号和闲频光子偏振正交（一个 o 光，一个 e 光）
- 在相位匹配下，产生： \[ |\Psi\rangle \propto |H\rangle_s |V\rangle_i + e^{i\phi} |V\rangle_s |H\rangle_i \]
- 通过补偿相位 \( \phi \)，可得到 \( |\Psi^-\rangle \)
2. 双晶体法（Kwiat 源）
- 用两个 BBO 晶体，分别产生 \( |H\rangle|V\rangle \) 和 \( |V\rangle|H\rangle \)
- 干涉后形成 \( |\Psi^-\rangle \)
✅ 五、测量时用什么基？
在贝尔实验中，通常使用线偏振基：
- Alice 用角度 \( a \) 测量
- Bob 用角度 \( b \) 测量
- 计算符合计数，得到 \( E(a,b) = -\cos[2(b - a)] \)
- 代入 CHSH 不等式，得到 \( |S| = 2\sqrt{2} > 2 \)
虽然也可以用圆偏振基，但线偏振更容易实现和控制。
✅ 六、总结
| 问题 | 回答 |
|---|---|
| 是不是两个互相垂直的线偏振光子？ | ❌ 不是！那是经典模型，无法违背贝尔不等式 |
| 是不是两个圆偏振光子？ | ❌ 不是！它是 \( |
| 到底是什么？ | ✅ 它是偏振纠缠态 \( |
| 为什么用它做实验？ | ✅ 最大纠缠、易实现、强关联、能违背贝尔不等式 |
| 测量时用什么偏振？ | ✅ 通常用线偏振方向 \( a, b \) 测量 |
🌟 一句话升华
纠缠光子对不是“两个垂直的箭头”，也不是“两个旋转的螺旋”，
而是“一个不可分割的量子整体”——
你测一个，另一个瞬间知道；
你换基，它就换态；
它不属于任何一个经典图像，只属于量子世界。
如果你想，我可以画出 \( |\Psi^-\rangle \) 的产生和测量过程图 😊
“信号和闲频光子偏振正交，不就是垂直吗？”
从几何角度来说，✅ 你说得完全正确：
“正交”在偏振语境下就是“偏振方向互相垂直”——比如水平（H）与垂直（V），或 \( +45^\circ \) 与 \( -45^\circ \)。
但关键在于：
❗ “偏振正交” ≠ “它们是经典意义上确定的、互相垂直的线偏振光子”
我们来深入解释这个微妙但极其重要的区别。
✅ 一、“偏振正交”是什么意思？
在光学中，两个偏振态“正交”意味着：
- 它们在偏振空间中内积为零：\( \langle H | V \rangle = 0 \)
- 一个偏振片能完全阻挡另一个的光
- 常见正交对：
- \( H \) 和 \( V \)
- \( +45^\circ \) 和 \( -45^\circ \)
- 右旋圆偏振 \( R \) 和左旋圆偏振 \( L \)
所以：
✅ 是的，“偏振正交”就是“偏振方向垂直”（在广义偏振空间中）
✅ 二、在 SPDC 中，信号和闲频光子偏振正交，那它们是不是“一个 H，一个 V”？
答案是：不一定，取决于实验设计。
情况 1：Type-I SPDC
- 信号和闲频光子偏振相同（都为 o 光或 e 光）
- 不用于偏振纠缠
情况 2：Type-II SPDC
- 信号光子是 o 光（如 V 偏振）
- 闲频光子是 e 光（如 H 偏振）
- 所以它们偏振正交
但注意：这并不意味着每对光子都“确定地”一个是 H，一个是 V。
🔍 三、关键区别：经典 vs 量子
| 观点 | 经典图像（错误） | 量子图像（正确） |
|---|---|---|
| 光子对状态 | “光子1 是 H，光子2 是 V” | \( \frac{1}{\sqrt{2}}( |
| 是否确定？ | 是 | 否，是叠加态 |
| 测量前有偏振吗？ | 有 | 没有，测量才坍缩 |
| 能区分谁是信号谁是闲频？ | 可以 | 有时不能（对称设计） |
✅ 四、为什么不能说“一个 H，一个 V”？
因为实验观测表明：
如果你在 \( 45^\circ \) 基下测量，也会出现强关联！
而经典“一个 H，一个 V”模型无法解释这种跨基关联。
只有量子叠加态才能解释所有方向的测量结果。
✅ 五、Type-II SPDC 的真实输出
在 Type-II SPDC 中，产生的态是：
\[ |\Psi\rangle = \int d\omega_s d\omega_i , \phi(\omega_s, \omega_i) |H\rangle_s |V\rangle_i + \psi(\omega_s, \omega_i) |V\rangle_s |H\rangle_i \]
在理想对称条件下，可以制备成：
\[ |\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |H\rangle_s |V\rangle_i - |V\rangle_s |H\rangle_i \right) = |\Psi^-\rangle \]
这正是贝尔态！
所以：
- 信号和闲频光子偏振正交
- 但整体是量子纠缠态，不是经典对
✅ 六、类比：左鞋和右鞋 vs 量子鞋
-
经典图像：每对是一只左鞋 + 一只右鞋，装在两个盒子里
- 打开一个，就知道另一个
- 但鞋早就确定了
-
量子图像：两个盒子里是“左-右叠加态”
- 打开一个，才“创造”出左或右
- 另一个瞬间变成相反
✅ 你问的“偏振正交”就像“一左一右”，
但量子纠缠是“左-右叠加”，不是“确定左和确定右”
✅ 七、总结
| 问题 | 回答 |
|---|---|
| 信号和闲频光子偏振正交，是不是垂直？ | ✅ 是！正交就是偏振垂直 |
| 那它们是不是一个 H，一个 V？ | ❌ 不一定，可能是叠加态 |
| 能否用经典“垂直偏振对”解释？ | ❌ 不能，无法违背贝尔不等式 |
| 实际是什么？ | ✅ 是纠缠态 \( |
| 为什么强调“正交”？ | ✅ 因为这是纠缠的基础：测量一个，另一个必为正交态 |
🌟 一句话升华
“偏振正交”是几何事实，“纠缠”是量子关系。
正交是“垂直”，纠缠是“不可分”。
你看到了“垂直”，但自然给了我们“纠缠”。
如果你想，我可以画出 Type-II SPDC 的光路图，展示 H 和 V 光子如何从晶体两侧出射 😊
我们来清晰、准确地回答：
❓ “两个光子的偏振方向是随机的，但始终互相垂直” —— 这是你的理解，
但这其实是经典隐变量模型的图像，不是量子纠缠的真实情况。
✅ 简短答案：
❌ 不是。
在量子纠缠态（如 \( |\Psi^-\rangle \)）中，两个光子在测量前根本没有确定的偏振方向，
更谈不上“一个是 \( \theta \)，另一个是 \( \theta + \pi/2 \)”这种经典图像。✅ 真实情况是：
- 测量前：两个光子都没有偏振方向
- 测量其中一个（如在方向 \( a \)）后：另一个瞬间坍缩为与之正交的方向 \( a + \pi/2 \)
- 所以“垂直”是测量结果之间的关系，而不是预先存在的属性
🔍 一、你的理解：经典模型（隐变量）
你说：
“两个光子偏振方向随机，但始终互相垂直”
这对应一个经典相关模型：
- 每对光子有一个隐藏变量 \( \theta \)
- 光子1 偏振：\( \theta \)
- 光子2 偏振：\( \theta + \pi/2 \)
- \( \theta \) 随机变化
👉 这是一个定域隐变量模型（LHV）
但贝尔不等式实验已经证明：
❌ 这种模型无法解释实验结果，因为它预测 \( |S| \leq 2 \)，而实验测得 \( |S| > 2 \)
✅ 二、量子纠缠的真实图像
考虑贝尔态： \[ |\Psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |H\rangle_1 |V\rangle_2 - |V\rangle_1 |H\rangle_2 \right) \]
测量前：
- 光子1 没有确定偏振：不是 H，也不是 V，也不是 45°
- 光子2 同样没有确定偏振
- 整个系统处于不可分离的纠缠态
✅ 不存在“偏振方向”这个概念，直到测量发生
测量后（非定域坍缩）：
-
Alice 在方向 \( a \) 测量光子1
-
结果为“通过”（+）
-
波函数坍缩，光子2 的态变为： \[ |\psi_2\rangle = |a + \frac{\pi}{2}\rangle \] 即：与测量方向正交
-
如果 Bob 在 \( a + \pi/2 \) 方向测量，必定通过
✅ 所以：测量结果是正交的，但“方向”是测量创造的，不是预先存在的
✅ 三、对比：经典 vs 量子
| 特性 | 经典模型（你描述的） | 量子纠缠（真实情况） |
|---|---|---|
| 是否有确定偏振？ | ✅ 是（隐变量 \( \theta \)） | ❌ 否（测量前无定义） |
| “垂直”是预先存在的吗？ | ✅ 是 | ❌ 否（是测量结果的关系） |
| 测量改变另一个光子吗？ | ❌ 不改变（只获取信息） | ✅ 改变（非定域坍缩） |
| 能违背贝尔不等式吗？ | ❌ 不能（\( | S |
| 实验支持哪种？ | ❌ 否 | ✅ 是 |
✅ 四、一个比喻
经典模型（你的理解）：
两个盒子，一个装左鞋，一个装右鞋，随机发送
打开一个，就知道另一个
但鞋早就确定了
量子纠缠：
两个盒子，各装一只“量子鞋”
鞋既不是左也不是右，而是“左-右叠加”
打开一个盒子，鞋“瞬间变成”左或右
另一个盒子的鞋立即变成相反的
即使相隔千里
✅ “垂直”就像“左-右”，是关系，不是属性
✅ 五、为什么 SPDC 光子常被称为“偏振正交”？
因为：
- 在 Type-II SPDC 中，信号和闲频光子分别沿 o 光和 e 光方向传播，偏振正交
- 这为制备纠缠态提供了物理基础
- 但最终态是量子叠加，不是经典正交对
所以“偏振正交”是实现手段，不是最终状态的描述
✅ 六、总结
| 问题 | 回答 |
|---|---|
| 两个光子偏振方向随机但始终垂直？ | ❌ 不是，这是经典模型 |
| 真实情况是什么？ | ✅ 测量前无方向，测量后结果正交 |
| “垂直”从何而来？ | ✅ 来自测量的非定域关联，不是预先设定 |
| 实验证据？ | ✅ 贝尔不等式违背，排除经典模型 |
🌟 一句话升华
在经典世界，“垂直”是几何；在量子世界，“垂直”是命运。
两个纠缠光子不“知道”自己的方向，
但一旦一个被测量，另一个就“知道”自己必须与之垂直。
你已经站在了理解量子非定域性的门槛上！继续深入，你就能亲手推导贝尔不等式了 😊
“偏振正交为制备最终态提供了基础” —— 那么：
- ‘最终态’是什么意思？
- 在产生正交偏振光子后，还要经过什么物理过程才能得到纠缠态？
我们来一步步深入解释，从SPDC 的物理机制到纠缠态的形成条件。
✅ 一、什么是“最终态”？
在量子光学实验中，“最终态”指的是：
实验者希望制备的、可用于量子信息任务（如贝尔实验、量子隐形传态）的目标量子态。
在偏振纠缠实验中，最常见的“最终态”是贝尔态之一，例如：
\[ |\Psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |H\rangle_1 |V\rangle_2 - |V\rangle_1 |H\rangle_2 \right) \]
这个态具有：
- 最大纠缠（entanglement）
- 在任意测量基下都表现出强关联
- 能显著违背贝尔不等式
所以我们的目标就是：从 SPDC 的原始输出，制备出这个 \( |\Psi^-\rangle \) 态
🔍 二、SPDC 原始输出：偏振正交 ≠ 纠缠
在 Type-II SPDC 中：
- 泵浦光子进入非线性晶体
- 分裂为两个光子：信号（s）和闲频（i）
- 由于相位匹配条件：
- 一个光子是 o 光（寻常光，如 V 偏振）
- 另一个是 e 光（非常光，如 H 偏振）
- 所以它们偏振正交
但这并不直接等于纠缠态！
原始输出是：
\[ |\Psi_{\text{raw}}\rangle = \int d\omega_s d\omega_i , \phi(\omega_s, \omega_i) , |H\rangle_s |V\rangle_i + \psi(\omega_s, \omega_i) , |V\rangle_s |H\rangle_i \]
这看起来像纠缠，但问题在于：
- \( \phi \) 和 \( \psi \) 可能不相等
- 两个项的相对相位可能不是 \( \pi \)（即不是减号）
- 两个光子的时间、频率、空间模式可能不重合
👉 所以：偏振正交只是第一步，还不是真正的纠缠态
✅ 三、从“正交”到“纠缠”：需要哪些物理过程？
要从原始 SPDC 输出制备出理想的 \( |\Psi^-\rangle \) 态，需要以下几个关键步骤：
✅ 1. 空间和时间模式匹配（Mode Matching）
问题：
- o 光和 e 光在晶体中折射率不同 → 传播速度不同 → 到达探测器的时间不同
- 导致 \( |H\rangle|V\rangle \) 和 \( |V\rangle|H\rangle \) 项在时间上不重合 → 无法干涉
解决方法：
- 使用双晶体法（Kwiat 源）或补偿晶体（BBO 补偿块）
- 让 H 和 V 光子的光程相等，实现时间重合
✅ 这是形成量子叠加的前提：路径不可区分
✅ 2. 相位控制（Phase Compensation）
问题：
- \( |H\rangle|V\rangle \) 和 \( |V\rangle|H\rangle \) 之间可能有相对相位 \( \phi \)
- 我们需要 \( \phi = \pi \) 才能得到 \( |\Psi^-\rangle \)
解决方法：
- 在光路中插入波片（如半波片、四分之一波片）
- 或使用双折射晶体（如 YVO₄）来调节相对相位
✅ 调节后可得到： \[ |\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |H\rangle|V\rangle \pm e^{i\phi} |V\rangle|H\rangle \right) \] 选择 \( \phi = \pi \) 得到 \( |\Psi^-\rangle \)
✅ 3. 空间滤波与单模收集
问题：
- SPDC 产生的光子分布在锥面上，模式复杂
- 如果不滤波，会引入额外自由度，导致退相干
解决方法：
- 使用小孔（pinhole） 或 单模光纤 收集光子
- 只保留空间模式匹配的部分
✅ 确保两个光子在空间上“不可区分”
✅ 4. 频率滤波（可选）
- 使用窄带滤波片（如干涉滤光片）
- 使两个光子频率接近（在简并 SPDC 中相同）
- 减少频率相关退相干
✅ 四、典型实验装置：Kwiat 源（双晶体法）
这是最常用的偏振纠缠源：
↗ H 光 → 经过补偿晶体 → 与 V 光重合
pump → ● BBO1
↘ V 光 → 直接传播
● BBO2（旋转90°）
- 第一个 BBO 产生 \( |H\rangle|V\rangle \)
- 第二个 BBO 产生 \( |V\rangle|H\rangle \)
- 通过晶体厚度和补偿，使两路径光程相等
- 最终形成： \[ |\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |H\rangle|V\rangle - |V\rangle|H\rangle \right) \]
✅ 这就是理想的 \( |\Psi^-\rangle \) 态
✅ 五、总结：从“正交”到“纠缠”的流程
| 步骤 | 物理过程 | 目的 |
|---|---|---|
| 1. SPDC | 非线性晶体中光子分裂 | 产生偏振正交的光子对 |
| 2. 模式匹配 | 补偿晶体、光纤收集 | 使两个路径时间/空间重合 |
| 3. 相位控制 | 波片、双折射晶体 | 调节相对相位为 \( \pi \) |
| 4. 滤波 | 小孔、滤光片 | 消除额外自由度 |
| ✅ 最终态 | \( | \Psi^-\rangle \) |
🌟 一句话升华
“偏振正交”只是种子，
“模式重合”和“相位控制”才是让量子纠缠开花结果的阳光与水。
你已经理解了：纠缠不是自然发生的，而是精心调控的结果。
如果你想，我可以画出 Kwiat 源的完整光路图，并标注每一步的作用 😊
我们来清晰回答：
当两个光子光程相等时，它们是沿“同一个方向”还是“相反方向”传播？
✅ 简短答案：
在典型的偏振纠缠源（如 Kwiat 源）中，
“光程相等”指的是：两个光子沿相反方向传播，但各自路径的总长度（从晶体到探测器）相等，
以确保它们在时间上同时到达探测器，实现时间重合（temporal overlap）。
所以：
- ✅ 传播方向：通常是相反的（从晶体向两侧出射）
- ✅ 光程相等：指从产生点到探测器的总路径长度相同
🔍 一、物理背景：为什么需要光程相等？
在 Type-II SPDC 中：
- 一个光子是 o 光（如 V 偏振），沿某个方向传播
- 另一个是 e 光（如 H 偏振），由于双折射，传播方向略有不同
- 它们从晶体不同方向出射（通常是共轭方向）
但为了形成纠缠态 \( |\Psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|H\rangle|V\rangle - |V\rangle|H\rangle) \)，必须满足：
✅ 两个项的时间重合：
即 \( |H\rangle|V\rangle \) 和 \( |V\rangle|H\rangle \) 必须在时间上不可区分
否则：
- 你可以通过“哪个光子先到”来区分路径
- 退相干 → 纠缠消失
✅ 二、典型实验设置：相反方向 + 光程补偿
以 Kwiat 偏振纠缠源为例：
↗ H 光子 → 经过补偿晶体 → 进入光纤 A
泵浦光 → [BBO 晶体]
↘ V 光子 → 直接传播 → 进入光纤 B
- H 和 V 光子从晶体向相反方向出射
- H 光子路径中加入补偿晶体（如 YVO₄ 或额外 BBO）
- 调整补偿晶体厚度，使： \[ \text{H 光子总光程} = \text{V 光子总光程} \]
- 这样两个光子同时到达探测器，实现时间重合
✅ 所以：方向相反，但光程相等
✅ 三、光程相等 ≠ 同方向
| 概念 | 说明 |
|---|---|
| 传播方向 | 通常相反（如左/右、上/下） |
| 光程（optical path length） | \( \text{OPL} = n \cdot L \)，折射率 × 几何长度 |
| 光程相等 | 两个路径的 OPL 相同 → 光行时间相同 → 同时到达 |
这就像两条不同路线从北京到上海，路程不同但开车时间相同。
✅ 四、有没有“同方向”的纠缠光子对？
有！在某些设计中：
1. 波导集成纠缠源
- 两个光子在同一波导中沿同一方向传播
- 用分束器或定向耦合器分开
- 光程天然匹配
2. 共线型 SPDC
- 通过准相位匹配（如 PPKTP 晶体）
- 信号和闲频光子沿同一方向出射
- 用偏振分束器（PBS）分开 H 和 V 成分
这时两个光子初始方向相同，但后续被引导到不同路径。
✅ 五、总结
| 问题 | 回答 |
|---|---|
| 光程相等时，方向是相同还是相反？ | ✅ 通常是相反方向，但总光程被补偿为相等 |
| 为什么要光程相等？ | ✅ 确保时间重合，保持量子不可区分性 |
| 光程相等意味着什么？ | ✅ 两个光子同时到达探测器，避免退相干 |
| 有没有同方向的情况？ | ✅ 有，如共线 SPDC 或波导源 |
🌟 物理本质
“光程相等”的目的不是让光子走同一条路，
而是让它们“同时抵达终点”，
无论起点如何分开。
这正是量子干涉和纠缠的核心：路径可以分开，但时间必须重合。
如果你想，我可以画出 Kwiat 源的光路图，标注 H/V 光子路径和补偿晶体 😊
如果光程不相等，是否就无法形成纠缠态？这个结论是否被实验验证过？
我们来从物理机制、实验设计、实际验证三个层面回答。
✅ 简短答案：
❌ 光程不相等并不会“完全无法形成纠缠态”，
但会严重削弱纠缠的可见度，甚至导致退相干（decoherence），使纠缠无法被观测到。✅ 这一效应已被大量实验反复验证，是量子光学中的基础事实。
🔍 一、为什么光程不相等会影响纠缠？
核心原因：路径可区分性 → 退相干
在偏振纠缠源（如 Kwiat 源）中，纠缠态是两个项的叠加：
\[ |\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |H\rangle_1 |V\rangle_2 - |V\rangle_1 |H\rangle_2 \right) \]
这两个项必须在所有自由度上不可区分，才能保持量子叠加。
但如果：
- \( |H\rangle|V\rangle \) 路径短
- \( |V\rangle|H\rangle \) 路径长
→ 两个光子到达探测器的时间不同
→ 你可以通过“哪个光子先到”来区分这两个项
→ which-path 信息泄露
→ 退相干 → 纠缠消失
✅ 二、数学描述：时间失配导致纠缠退化
设两个路径的时间差为 \( \Delta t \)
则密度矩阵的非对角元（代表纠缠）会乘上一个相干因子：
\[ \rho_{\text{off-diagonal}} \propto e^{- (\Delta t / \tau_c)^2} \]
其中 \( \tau_c \) 是光子的相干时间（由频宽决定）
- 如果 \( \Delta t \ll \tau_c \)：相干性保持 → 纠缠强
- 如果 \( \Delta t \gg \tau_c \)：相干性消失 → 纠缠弱或消失
✅ 所以：光程差 → 时间差 → 退相干
✅ 三、实验验证：是的，已被反复验证！
实验方法：
- 制备偏振纠缠光子对
- 在其中一个光子的路径上加入可调延迟线（如移动反射镜）
- 测量符合计数随延迟的变化
- 观察干涉可见度（visibility）或 \( S \) 值
典型结果：
1. HOM 干涉（Hong-Ou-Mandel）
- 两个光子进入分束器
- 符合计数在零延迟处出现“dip”
- dip 深度随光程失配迅速下降
- 完全失配时，dip 消失 → 无量子干涉
2. 贝尔实验中的可见度下降
- 固定测量角度，扫描路径延迟
- \( E(a,b) \) 的振幅随 \( \Delta t \) 增大而衰减
- \( S \) 值从 \( 2.8 \) 降到 \( < 2 \) → 不再违背贝尔不等式
3. 量子态层析（QST）
- 重构密度矩阵
- 非对角元随光程差指数衰减
- 纠缠度（concurrence）下降
著名实验验证：
| 实验团队 | 年份 | 验证内容 |
|---|---|---|
| Kwiat et al. | 1995 | 首次实现高可见度偏振纠缠，强调补偿的重要性 |
| Zeilinger group | 1998 | 长距离纠缠分发，主动稳相 |
| Pan Jianwei group | 2000s | 卫星量子通信，实时补偿大气扰动 |
| NIST, NPL | 持续 | 用纠缠光子校准时间延迟 |
这些实验都证明：
✅ 光程失配会破坏纠缠的可观测性
✅ 四、实际实验中的应对措施
为了避免光程不相等，实验中采取：
| 措施 | 说明 |
|---|---|
| 补偿晶体 | 在快路径加双折射晶体，延迟慢光 |
| 延迟线 | 可调反射镜，手动或压电控制 |
| 主动稳相 | 用反馈系统实时锁定光程 |
| 单模光纤 | 保证空间模式匹配 |
| 窄带滤波 | 增加相干时间 \( \tau_c \)，容忍更大 \( \Delta t \) |
✅ 五、总结
| 问题 | 回答 |
|---|---|
| 光程不相等是否无法形成纠缠态？ | ❌ 不是“无法形成”，而是“无法观测到” |
| 为什么？ | ✅ 路径可区分 → 退相干 → 纠缠消失 |
| 是否被实验验证？ | ✅ 是！HOM 干涉、贝尔实验、QST 都验证过 |
| 如何恢复纠缠？ | ✅ 调整光程相等，或使用主动稳相 |
| 实际意义？ | ✅ 量子通信、量子计算必须控制光程 |
🌟 一句话升华
纠缠不是“存在”或“不存在”，而是“能否被观测”。
光程不相等不会“杀死”纠缠，但会“隐藏”它 ——
直到你把路径调到完美重合，它才重新显现。
你已经理解了量子干涉最脆弱也最神奇的一面：时间必须精确，世界才能纠缠。
如果你想，我可以画出符合计数随延迟变化的曲线，展示“纠缠消失”的过程 😊