参考：

贝尔不等式 纠缠和非纠缠光子

贝尔不等式的详细推导过程 好的，我们来详细推导贝尔不等式（特指CHSH不等式，这是最著名和实验上最常用的一种形式）。这个推导旨在说明，任何遵循定域性和实在性（即“局域实在论”）的隐变量理论，其预测结果都必须满足一个特定的数学约束。而量子力学则可以违反这个约束。

1. 思想实验场景

想象一个源同时向两个相反的方向发射两个纠缠粒子（例如，光子），分别飞向两个观察者：Alice (A) 和 Bob (B)。

  • Alice 可以选择两个方向（设置 a 或 a'）来测量她的粒子，测量结果记为 A。A 的取值只能是 +1 或 -1。
  • Bob 同样可以选择两个方向（设置 b 或 b'）来测量他的粒子，测量结果记为 B。B 的取值也只能是 +1 或 -1。
  • 关键假设：两个测量事件是类空间隔的，即一个测量完成时，另一个测量的信息还无法以光速传递过来。这就保证了定域性——Alice的测量选择不会瞬间影响Bob的结果，反之亦然。
  • 实在性假设：我们假设粒子的行为在测量之前就具有确定的属性（由隐变量 λ 决定），测量只是揭示这个预先存在的属性，而不是创造它。

2. 引入隐变量

根据局域实在论，测量结果 A 和 B 是由两个因素共同决定的：

  1. 各自的测量设置（a, a', b, b'）。
  2. 一个共同的“隐变量” λ。这个 λ 在粒子对产生时就被确定了，并随着粒子一起传播。它代表了任何我们尚未知晓的、决定粒子行为的物理参数。

因此，我们可以将测量结果写为函数形式：

  • Alice 的结果： A(a, λ) 或 A(a', λ)，其值为 ±1
  • Bob 的结果： B(b, λ) 或 B(b', λ)，其值为 ±1

λ 有一个概率分布函数 ρ(λ)，满足 ∫ ρ(λ) dλ = 1。

3. 构造关键表达式

现在我们来构造一个关联函数 S，它将是贝尔不等式的核心：

S = A(a,λ)B(b,λ) + A(a,λ)B(b',λ) + A(a',λ)B(b,λ) - A(a',λ)B(b',λ)

我们的目标是求出 S 在 λ 的概率分布下的期望值 <S>。

<S> = ∫ ρ(λ) [ A(a,λ)B(b,λ) + A(a,λ)B(b',λ) + A(a',λ)B(b,λ) - A(a',λ)B(b',λ) ] dλ

4. 推导 S 的绝对值边界

让我们仔细观察括号内的表达式。因为 A 和 B 的值只能是 ±1，所以对于任何一个给定的 λ，A(a,λ) 和 A(a',λ) 都是固定的 ±1，B(b,λ) 和 B(b',λ) 也是固定的 ±1。

我们将这个表达式重新分组： S(λ) = A(a,λ) [ B(b,λ) + B(b',λ) ] + A(a',λ) [ B(b,λ) - B(b',λ) ]

现在分析 [ B(b,λ) + B(b',λ) ] 和 [ B(b,λ) - B(b',λ) ] 的可能取值：

由于 B(b,λ) 和 B(b',λ) 都是 ±1，它们的和与差只有四种可能：

Case B(b,λ) B(b’,λ) B(b,λ)+B(b’,λ) B(b,λ)-B(b’,λ)
1 +1 +1 +2 0
2 +1 -1 0 +2
3 -1 +1 0 -2
4 -1 -1 -2 0

观察发现，[B(b,λ)+B(b',λ)] 和 [B(b,λ)-B(b',λ)] 这两个值永远不会同时不为零。一个为 ±2 时，另一个必为 0；反之亦然。

现在回看 S(λ)： S(λ) = A(a,λ) * [B(b)+B(b')] + A(a',λ) * [B(b)-B(b')]

  • 如果 [B(b)+B(b')] = ±2，那么 [B(b)-B(b')] = 0，所以 S(λ) = A(a,λ) * (±2) + 0 = ±2。
  • 如果 [B(b)-B(b')] = ±2，那么 [B(b)+B(b')] = 0，所以 S(λ) = 0 + A(a',λ) * (±2) = ±2。

因此，对于任何给定的 λ，S(λ) 的值只能是 +2 或 -2。 即 |S(λ)| = 2。

5. 求期望值并得到贝尔不等式

现在我们来求 S 的期望值 <S>： <S> = ∫ ρ(λ) S(λ) dλ

由于对于每一个 λ，S(λ) 不是 +2 就是 -2，那么整个积分 ∫ ρ(λ) S(λ) dλ 的结果必然介于 -2 和 +2 之间。 |〈S〉| ≤ 2

我们将 <S> 展开： <S> = ∫ ρ(λ) [A(a)B(b)] dλ + ∫ ρ(λ) [A(a)B(b')] dλ + ∫ ρ(λ) [A(a‘)B(b)] dλ - ∫ ρ(λ) [A(a’)B(b')] dλ

这正好是四个关联函数期望值的组合： <S> = E(a, b) + E(a, b') + E(a', b) - E(a', b')

其中，关联函数 E(a, b) 定义为： E(a, b) = ∫ ρ(λ) A(a, λ) B(b, λ) dλ = 〈A(a)B(b)〉

这个值在实验中可以通过大量重复测量，对结果 A*B 求平均来得到。

最终，我们得到了CHSH形式的贝尔不等式： | E(a, b) + E(a, b') + E(a', b) - E(a', b') | ≤ 2

任何满足定域性和实在性的理论，其预测都必须遵守这个不等式。

6. 量子力学的预测

现在，我们看看量子力学对纠缠粒子（如自旋单态）的预测是什么。

对于自旋单态，量子力学计算出的关联函数为： E(a, b) = 〈A(a)B(b)〉 = -a · b = -cos(θ) 其中 θ 是测量方向 a 和 b 之间的夹角。

现在我们选择一个特定的角度组合来最大化对贝尔不等式的违反：

  • 令 Alice 的测量方向 a 和 a’ 相互垂直（夹角 90°）。
  • 令 Bob 的测量方向 b 和 b’ 相互垂直（夹角 90°）。
  • 令 a 和 b 的夹角为 45°。
  • 令 a’ 和 b 的夹角为 45°。
  • 令 a 和 b’ 的夹角为 45°。
  • 令 a’ 和 b’ 的夹角为 135°（即 45° + 90°）。

现在计算量子力学的预测：

  • E(a, b) = -cos(45°) = -√2/2
  • E(a, b’) = -cos(45°) = -√2/2
  • E(a’, b) = -cos(45°) = -√2/2
  • E(a’, b’) = -cos(135°) = -(-√2/2) = +√2/2 (因为 cos(135°)=-cos(45°))

将它们代入贝尔不等式的左边： S = E(a,b) + E(a,b’) + E(a’,b) - E(a’,b’) = (-√2/2) + (-√2/2) + (-√2/2) - (+√2/2) = -4 * (√2/2) = -2√2 ≈ -2.828

其绝对值为 |S| = 2√2 ≈ 2.828。

2.828 > 2

量子力学的明确预测违反了贝尔不等式！

结论：贝尔不等式的意义

贝尔不等式的推导和量子力学对其的违反，具有深远的哲学和科学意义：

  1. 判决性实验：它将一个哲学争论（爱因斯坦-玻尔之争）变成了一个可以通过实验检验的科学问题。后续的大量实验（如Aspect实验等）都支持量子力学的预言，违反了贝尔不等式。
  2. 否定局域实在论：实验结果表明，自然界不可能同时满足定域性和实在性。要么存在超光速的影响（非定域性），要么粒子在测量前并不具有确定的属性（非实在性），或者两者兼有。
  3. 支持量子力学：量子力学的非定域性是其基本特征，贝尔实验强有力地支持了量子力学的正统解释。
  4. 技术应用：对贝尔非定域性的理解直接催生了量子信息科学领域，如量子通信、量子密码学和量子计算。

简而言之，贝尔不等式为“宇宙在基本层面上是否是局域且实在的”这个问题提供了一个清晰的、可检验的答案，而迄今为止的所有实验都给出了否定的回答。

贝尔不等式中，两个线偏振纠缠光子，计算联合概率和期望值E(a,b)和S值，不要使用张量和算符的方法 很好！我们来详细推导两个线偏振纠缠光子的贝尔不等式（特别是 CHSH 形式）中的联合概率、关联函数 \( E(\vec{a}, \vec{b}) \) 和 S 值，完全避免使用张量积和算符语言，只用概率、经典测量结果和几何角度来解释，适合初学者理解。

一、物理系统：纠缠光子对

考虑一对处于偏振纠缠态的光子，发射自一个共同源，分别飞向 Alice 和 Bob。

它们的量子态是所谓的“贝尔态”：

\[ |\Psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|H\rangle_A |V\rangle_B - |V\rangle_A |H\rangle_B) \]

但我们不使用这个表达式。我们只关心它的实验行为：

  • 如果 Alice 和 Bob 用相同方向测量偏振，他们总是得到相反结果（一个水平 H，一个垂直 V）。
  • 单独看，每个光子的测量结果是随机的（50% H，50% V）。
  • 但它们的结果是强关联的。

我们将用角度来描述测量方向。

二、测量设置

  • Alice 选择一个偏振测量方向，记作角度 \( a \)（相对于某个参考轴，比如水平方向）。
  • Bob 选择方向 \( b \)。
  • 在每个方向上，测量结果为：
    • \( +1 \)：光子通过偏振片（偏振方向与测量方向一致）
    • \( -1 \)：光子被挡住（偏振方向垂直）

注：实际实验中，使用偏振分束器（PBS），结果记为 +1 或 -1。

三、量子力学预测的联合概率（不使用算符）

对于纠缠光子对，量子力学给出以下联合概率：

1. 联合概率：Alice 得到 \( +1 \)，Bob 得到 \( +1 \)，在方向 \( a, b \)

\[ P_{++}(a,b) = \frac{1}{2} \sin^2(a - b) \]

2. Alice \( +1 \)，Bob \( -1 \)

\[ P_{+-}(a,b) = \frac{1}{2} \cos^2(a - b) \]

3. Alice \( -1 \)，Bob \( +1 \)

\[ P_{-+}(a,b) = \frac{1}{2} \cos^2(a - b) \]

4. Alice \( -1 \)，Bob \( -1 \)

\[ P_{–}(a,b) = \frac{1}{2} \sin^2(a - b) \]

✅ 这些公式可以从量子力学推导，但这里我们当作实验事实接受。它们满足：

  • 总概率为 1
  • 当 \( a = b \)，\( P_{++} = P_{–} = 0 \)，即结果相反
  • 当 \( a - b = 45^\circ \)，\( P_{++} = P_{–} = 0.25 \)，\( P_{+-} = P_{-+} = 0.25 \)，完全随机但仍有相关性

四、关联函数 \( E(a,b) \) 的定义和计算

关联函数是测量结果的期望值乘积：

\[ E(a,b) = (+1)(+1) P_{++} + (+1)(-1) P_{+-} + (-1)(+1) P_{-+} + (-1)(-1) P_{–} \]

代入：

\[ E(a,b) = P_{++} - P_{+-} - P_{-+} + P_{–} \]

代入上面的概率表达式：

\[ E(a,b) = \frac{1}{2}\sin^2(a{-}b) - \frac{1}{2}\cos^2(a{-}b) - \frac{1}{2}\cos^2(a{-}b) + \frac{1}{2}\sin^2(a{-}b) \]

\[ = \left( \frac{1}{2}\sin^2\theta + \frac{1}{2}\sin^2\theta \right) - \left( \frac{1}{2}\cos^2\theta + \frac{1}{2}\cos^2\theta \right) \quad (\text{令 } \theta = a - b) \]

\[ = \sin^2\theta - \cos^2\theta = -\cos(2\theta) \]

所以：

\[ \boxed{E(a,b) = -\cos[2(a - b)]} \]

⚠️ 注意：这里是 \( 2(a - b) \)，因为光子是矢量粒子（自旋1），偏振每 180° 重复，而不是 360°。

五、构造 CHSH 量 \( S \)

CHSH 不等式使用四个方向：

  • Alice 选 \( a \) 或 \( a’ \)
  • Bob 选 \( b \) 或 \( b’ \)

定义：

\[ S = E(a,b) - E(a,b’) + E(a’,b) + E(a’,b’) \]

贝尔不等式说：在局域隐变量理论中，\( |S| \leq 2 \)

我们来计算量子力学下的 \( S \)，看是否违反。

六、选择最佳角度使 \( S \) 最大

选择：

  • \( a = 0^\circ \)
  • \( a’ = 45^\circ \)
  • \( b = 22.5^\circ \)
  • \( b’ = 67.5^\circ \)

则：

  1. \( a-b = -22.5^\circ \Rightarrow 2\theta = -45^\circ \Rightarrow E = -\cos(-45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
  2. \( a-b’ = -67.5^\circ \Rightarrow 2\theta = -135^\circ \Rightarrow E = -\cos(-135^\circ) = -(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = +\frac{\sqrt{2}}{2} \)
  3. \( a’-b = 22.5^\circ \Rightarrow 2\theta = 45^\circ \Rightarrow E = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
  4. \( a’-b’ = -22.5^\circ \Rightarrow 2\theta = -45^\circ \Rightarrow E = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

现在：

\[ S = E(a,b) - E(a,b’) + E(a’,b) + E(a’,b’) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(+\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2} \]

所以：

\[ |S| = 2\sqrt{2} \approx 2.828 > 2 \]

✅ 违反贝尔不等式！

总结

项目 值
关联函数 \( E(a,b) \) \( -\cos[2(a - b)] \)
CHSH 量 \( S \) \( E(a,b) - E(a,b’) + E(a’,b) + E(a’,b’) \)
局域隐变量理论限制 \(
量子力学最大预测 \(
实验结果 支持量子力学，违反贝尔不等式

结论

即使不使用算符和张量积，我们也可以通过：

  • 实验测量结果（+1/-1）
  • 联合概率（来自量子实验）
  • 角度依赖的关联函数 \( E(a,b) = -\cos[2(a-b)] \)
  • 构造 \( S \)

得出：量子纠缠光子的关联强于任何局域实在理论所能解释的范围。

贝尔不等式的违反，表明自然界的某些关联无法用“预先决定 + 局域影响”来解释，这是量子非局域性的直接证据。

如需我用具体数值表格展示所有联合概率和期望值，也可以进一步展开。

非纠缠偏振光子对的期望值\(E(a,b)=-cos(2a)cos(2b)\)

纠缠偏振光子对的期望值\(E(a,b)=-cos(2(a-b))\)

纠缠自旋光子对的期望值\(E(a,b)=-cos(a-b)\)

光子A和B的状态独立（非纠缠），联合概率为单个概率的乘积：

\[ P(+,+) = \cos^2 a \cdot \sin^2 b, \] \[ P(+,-) = \cos^2 a \cdot \cos^2 b, \] \[ P(-,+) = \sin^2 a \cdot \sin^2 b, \] \[ P(-,-) = \sin^2 a \cdot \cos^2 b. \]

关联函数为：

\[ E(a,b) = (+1 \cdot +1)P(+,+) + (+1 \cdot -1)P(+,-) + (-1 \cdot +1)P(-,+) + (-1 \cdot -1)P(-,-). \]

代入后化简：

\[ E(a,b) = \cos^2 a \sin^2 b - \cos^2 a \cos^2 b - \sin^2 a \sin^2 b + \sin^2 a \cos^2 b = -\cos(2a) \cos(2b). \]

偏振光子对的两个贝尔态 您提出了一个非常好的问题！两个主要的贝尔态确实有重要的区别，这些区别体现在它们的量子关联性质上。让我详细解释：

两个主要贝尔态

1. \(|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|HH\rangle + |VV\rangle)\)

关联特性：两个光子总是处于相同的偏振状态

2. \(|\Psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|HV\rangle - |VH\rangle)\)

关联特性：两个光子总是处于相反的偏振状态

关键区别

1. 联合概率不同

对于 \(|\Phi^+\rangle\)： \[ P_{++} = P_{–} = \frac{1}{2}\cos^2(\theta_a - \theta_b) \] \[ P_{+-} = P_{-+} = \frac{1}{2}\sin^2(\theta_a - \theta_b) \]

对于 \(|\Psi^-\rangle\)： \[ P_{++} = P_{–} = \frac{1}{2}\sin^2(\theta_a - \theta_b) \] \[ P_{+-} = P_{-+} = \frac{1}{2}\cos^2(\theta_a - \theta_b) \]

2. 关联函数不同

\(|\Phi^+\rangle\)： \[ E(\theta_a, \theta_b) = \cos[2(\theta_a - \theta_b)] \]

\(|\Psi^-\rangle\)： \[ E(\theta_a, \theta_b) = -\cos[2(\theta_a - \theta_b)] \]

3. 物理意义不同

| 特性 | \(|\Phi^+\rangle\) | \(|\Psi^-\rangle\) | |——|——————-|——————-| | 关联类型 | 相同偏振关联 | 相反偏振关联 | | 在相同基矢测量 | 总是得到相同结果 | 总是得到相反结果 | | 空间对称性 | 对称 | 反对称 | | 自旋表象 | 三重态之一 | 单态 |

4. 实验实现的不同

\(|\Phi^+\rangle\) 通常通过：

  • type-I 参量下转换
  • 需要额外的波片来调整相位

\(|\Psi^-\rangle\) 通常通过：

  • type-II 参量下转换（自然产生）
  • 具有更好的稳定性

5. CHSH实验的角度选择

由于关联函数符号相反，最优测量角度需要调整：

对于 \(|\Phi^+\rangle\)（E为正）：

  • Alice: 0°, 45°
  • Bob: 22.5°, -22.5°

对于 \(|\Psi^-\rangle\)（E为负）：

  • Alice: 0°, 45°
  • Bob: 22.5°, 67.5°（或其他使S最大化的组合）

6. 实际应用中的选择

为什么 \(|\Psi^-\rangle\) 更常用：

  1. 自然产生：type-II SPDC 直接产生 \(|\Psi^-\rangle\)
  2. 更好的稳定性：对实验扰动不太敏感
  3. 更容易验证：在H/V基矢测量总是得到相反结果

\(|\Phi^+\rangle\) 的应用：

  • 需要相同偏振关联的特定实验
  • 量子通信中的某些协议

总结

虽然两个贝尔态都是最大纠缠态，但它们的关联性质根本不同：

  • \(|\Phi^+\rangle\)：相同关联（HH或VV）
  • \(|\Psi^-\rangle\)：相反关联（HV或VH）

这导致了不同的联合概率分布、关联函数符号，以及在实验实现和应用中的不同选择。在CHSH实验中，两者都能达到 \(S = 2\sqrt{2}\)，但需要适当调整测量角度。

为什么S>2则是违反了贝尔不等式 这是一个非常好的问题！我们来深入、清晰地解释：

为什么当 \( S > 2 \) 时，就说明“违反了贝尔不等式”？

一、贝尔不等式（CHSH 形式）的结论

在局域隐变量理论（local hidden variable theories）的框架下，可以严格推导出：

\[ |S| = \left| E(a,b) - E(a,b’) + E(a’,b) + E(a’,b’) \right| \leq 2 \]

这个不等式被称为 CHSH 不等式（以 Clauser, Horne, Shimony, Holt 命名）。

所以：

  • 如果实验或理论计算得到 \( |S| \leq 2 \) → 符合局域实在论
  • 如果 \( |S| > 2 \) → 违反贝尔不等式，说明局域隐变量理论无法解释该现象

二、为什么局域隐变量理论要求 \( |S| \leq 2 \)？

我们用一个不涉及量子力学、不使用算符的直观方式来理解。

假设：世界是“局域 + 实在”的

这意味着：

  1. 实在性：每个光子在发射时就已经“决定”了在任何方向上的测量结果（+1 或 -1），即使我们还没测。
  2. 局域性：Alice 的选择不会瞬间影响 Bob 的结果（反之亦然）。

我们引入一个隐变量 \( \lambda \) —— 它代表所有预先决定的因素（比如光子内部的“设置”）。在 \( \lambda \) 下：

  • Alice 在方向 \( a \) 的结果：\( A(a, \lambda) = +1 \) 或 \( -1 \)
  • Alice 在 \( a’ \) 的结果：\( A(a’, \lambda) = \pm 1 \)
  • Bob 在 \( b \) 的结果：\( B(b, \lambda) = \pm 1 \)
  • Bob 在 \( b’ \) 的结果：\( B(b’, \lambda) = \pm 1 \)

这些值在光子发射时就已确定。

关联函数的期望值

实验中的关联函数是统计平均：

\[ E(a,b) = \text{平均值}[A(a,\lambda) B(b,\lambda)] \]

对所有 \( \lambda \) 按概率加权平均。

构造 \( S \)

\[ S = E(a,b) - E(a,b’) + E(a’,b) + E(a’,b’) \]

在每个 \( \lambda \) 下，考虑这个量：

\[ S(\lambda) = A(a,\lambda)B(b,\lambda) - A(a,\lambda)B(b’,\lambda) + A(a’,\lambda)B(b,\lambda) + A(a’,\lambda)B(b’,\lambda) \]

我们可以提取公因式：

\[ S(\lambda) = A(a,\lambda)[B(b,\lambda) - B(b’,\lambda)] + A(a’,\lambda)[B(b,\lambda) + B(b’,\lambda)] \]

现在关键来了：因为每个 \( A, B = \pm 1 \)，所以：

  • \( B(b) - B(b’) \) 的可能值：0 或 \( \pm 2 \)
  • \( B(b) + B(b’) \) 的可能值：0 或 \( \pm 2 \)

而且注意：\( B(b) \) 和 \( B(b’) \) 要么相同，要么相反。

情况 1：\( B(b) = B(b’) \)

  • \( B(b) - B(b’) = 0 \)
  • \( B(b) + B(b’) = \pm 2 \)
  • 所以 \( S(\lambda) = A(a’) \cdot (\pm 2) = \pm 2 \)

情况 2：\( B(b) = -B(b’) \)

  • \( B(b) - B(b’) = \pm 2 \)
  • \( B(b) + B(b’) = 0 \)
  • 所以 \( S(\lambda) = A(a) \cdot (\pm 2) = \pm 2 \)

👉 无论哪种情况，\( S(\lambda) = \pm 2 \)

因此，在每个隐变量 \( \lambda \) 下，\( |S(\lambda)| = 2 \)

于是，整体平均值（即实验测量的 \( S \)）是这些 \( \pm 2 \) 的加权平均：

\[ S = \int S(\lambda) \rho(\lambda) d\lambda \quad \Rightarrow \quad |S| \leq 2 \]

✅ 这是局域隐变量理论的硬性限制：\( |S| \leq 2 \)

三、量子力学可以做到 \( |S| = 2\sqrt{2} \approx 2.828 > 2 \)

如前面推导，量子力学预测：

\[ E(a,b) = -\cos[2(a - b)] \]

选择最优角度（如 \( a=0^\circ, a’=45^\circ, b=22.5^\circ, b’=67.5^\circ \)），可得：

\[ |S| = 2\sqrt{2} \approx 2.828 > 2 \]

这超过了局域隐变量理论的最大可能值。

四、类比理解：为什么 \( S > 2 \) 是“不可能”的？

想象你和朋友玩一个游戏：

  • 你们被分开，不能通信。
  • 每人收到一个问题（a 或 a’，b 或 b’）
  • 你们各自回答 +1 或 -1
  • 评分规则是：\( S = AB - AB’ + A’B + A’B’ \)

在经典世界（局域 + 预先约定），你们最多能“协调”到平均得分 \( |S| \leq 2 \)

但量子纠缠就像一种“超协调”：即使不通信，你们的回答组合能系统性地偏向高分，使得 \( |S| = 2.828 \)

👉 这在经典规则下不可能，说明你们之间有某种非局域的关联。

五、实验验证

自 1970 年代以来，多个实验（如 Aspect 实验、2015 年无漏洞实验）测量了 \( S \)，结果：

\[ |S| \approx 2.4 \sim 2.8 > 2 \]

✅ 明确违反贝尔不等式

✅ 证伪了所有局域隐变量理论

六、总结：为什么 \( S > 2 \) 就是“违反”？

| 条件 | \( |S| \leq 2 \) | \( |S| > 2 \) | |——|—————-|————–| | 是否符合局域实在论 | ✅ 是 | ❌ 否 | | 是否可用经典“预先决定 + 局域影响”解释 | ✅ 可以 | ❌ 不可以 | | 是否与量子力学一致 | 可能不一致 | ✅ 一致 | | 实验结果支持哪种？ | 不支持 | ✅ 支持 |

🔴 所以：只要 \( |S| > 2 \)，就说明自然现象无法用“局域 + 实在”的理论描述，这就是“违反贝尔不等式”的物理意义。

附加：\( S \) 的最大可能值

  • 经典（局域实在）最大：\( |S| = 2 \)
  • 量子力学最大：\( |S| = 2\sqrt{2} \approx 2.828 \)（称为 Tsirelson 上界）
  • 理论最大（超量子）：\( |S| = 4 \)（PR-box），但自然界达不到

这说明量子纠缠是“非经典”的，但也不是完全“超关联”的。

✅ 结论重申：

\( S > 2 \) 违反贝尔不等式，因为它超出了所有局域隐变量理论所能解释的极限，证明了量子非局域性的存在。

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好的，我们来详细推导贝尔不等式的证明过程。这里我们使用最经典且直观的CHSH不等式进行推导。

贝尔不等式（CHSH形式）的证明

目标：证明在任何局域实在论理论中，S值必须满足 |S| ≤ 2。 其中 \( S = E(a,b) + E(a,b’) + E(a’,b) - E(a’,b’) \)

第一步：局域实在论的基本假设

局域实在论包含两个核心思想：

  1. 实在性：一个物理系统在测量前就拥有确定的属性（例如光子的偏振方向）。这些属性由一组隐藏变量λ描述。λ的概率分布为ρ(λ)，满足∫ρ(λ)dλ = 1。
  2. 局域性：对A的测量结果不会因为遥远B的测量设置而瞬间改变，反之亦然。

基于此，我们可以将测量结果表示为仅依赖于本地设置和隐藏变量的函数：

  • Alice的测量结果：\( A(a, λ) = ±1 \)
  • Bob的测量结果：\( B(b, λ) = ±1 \)

第二步：定义关联函数

在局域实在论框架下，关联函数是测量结果乘积的平均值（对隐藏变量λ求平均）： \[ E(a, b) = \int A(a, λ) B(b, λ) ρ(λ) dλ \]

第三步：构造S值并推导

我们现在构造S值： \[ S = E(a,b) + E(a,b’) + E(a’,b) - E(a’,b’) \] 将积分形式代入： \[ S = \int [A(a,λ)B(b,λ) + A(a,λ)B(b’,λ) + A(a’,λ)B(b,λ) - A(a’,λ)B(b’,λ)] ρ(λ) dλ \]

观察被积函数，我们可以对其进行因式分解。注意到对于任意的λ，函数A和B的值只能是+1或-1。我们专注于被积函数： \[ A(a,λ)B(b,λ) + A(a,λ)B(b’,λ) + A(a’,λ)B(b,λ) - A(a’,λ)B(b’,λ) \] 提出公因子 \(A(a,λ)\) 和 \(A(a’,λ)\)： \[ = A(a,λ)[B(b,λ) + B(b’,λ)] + A(a’,λ)[B(b,λ) - B(b’,λ)] \]

第四步：关键洞察——分析括号内的值

由于 \( B(b,λ) = ±1 \) 和 \( B(b’,λ) = ±1 \)，项 \( [B(b,λ) + B(b’,λ)] \) 和 \( [B(b,λ) - B(b’,λ)] \) 只能取特定的值：

  • 情况1：如果 \( B(b,λ) = B(b’,λ) \)，则：

    • \( B(b,λ) + B(b’,λ) = ±2 \)
    • \( B(b,λ) - B(b’,λ) = 0 \)

  • 情况2：如果 \( B(b,λ) = -B(b’,λ) \)，则：

    • \( B(b,λ) + B(b’,λ) = 0 \)
    • \( B(b,λ) - B(b’,λ) = ±2 \)

这意味着，对于任何一个给定的λ，两个括号[B(b,λ) + B(b',λ)]和[B(b,λ) - B(b',λ)]中总有一个为0，另一个为±2。

第五步：计算被积函数的极值

现在我们将这个洞察代入整个表达式： \[ A(a,λ)[B(b,λ) + B(b’,λ)] + A(a’,λ)[B(b,λ) - B(b’,λ)] \]

  • 在情况1下（B相同），第二项为0，整个表达式变为： \( A(a,λ) × (±2) \) 由于 \( A(a,λ) = ±1 \)，所以该表达式的值为 +2 或 -2。其绝对值为 2。

  • 在情况2下（B相反），第一项为0，整个表达式变为： \( A(a’,λ) × (±2) \) 同样，其值为 +2 或 -2。其绝对值为 2。

结论：对于任何可能的隐藏变量λ，被积函数的值只能是 +2 或 -2。 \[ |A(a,λ)[B(b,λ) + B(b’,λ)] + A(a’,λ)[B(b,λ) - B(b’,λ)]| = 2 \]

第六步：完成证明——对λ积分

S是这个被积函数关于概率分布ρ(λ)的平均值： \[ S = \int (\text{一个始终为} ±2 \text{的函数}) ρ(λ) dλ \]

一个始终在-2和+2之间取值的函数的平均值，其绝对值不可能大于2。 \[ |S| = \left| \int [\ldots] ρ(λ) dλ \right| \leq \int |[\ldots]| ρ(λ) dλ = \int 2 ρ(λ) dλ = 2 \]

因此，我们证明了在任何满足局域实在论的理论中： \[ |S| \leq 2 \] 这就是CHSH形式的贝尔不等式。

量子力学如何违反该不等式

量子力学对于贝尔态（如 \( |\Psi^-\rangle \)）的预言是： \[ E(a, b) = -\cos(2\theta_a - 2\theta_b) \]

选择一组特定的角度（例如 a=0°, a’=45°, b=22.5°, b’=67.5°）： \[ \begin{align*} E(a,b) &= -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ E(a,b’) &= -\cos(-135^\circ) = -\cos(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ E(a’,b) &= -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ E(a’,b’) &= -\cos(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{align*} \]

计算S值： \[ S = E(a,b) + E(a,b’) + E(a’,b) - E(a’,b’) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + (\frac{\sqrt{2}}{2}) + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2}) = -2\sqrt{2} \] \[ |S| = 2\sqrt{2} \approx 2.828 > 2 \]

结论

贝尔不等式的证明过程表明，任何局域实在论理论都必须遵守 |S| ≤ 2。 而量子力学的预言 |S| = 2√2 > 2，并且被实验反复证实。 因此，量子力学与局域实在论是不相容的。我们必须放弃“物理属性在测量前就确定”和“不存在超光速影响”这两个经典直觉中的至少一个。这个世界本质上是非局域的。