能量量子化的原因，
是因为在一个禁锢系统中动量守恒的缘故。
对自由粒子，任意时刻的动量是守恒的
对旋转系统，角动量\(mvr\)是守恒的，或者说动量在一周的长度上的总和\(mv2\pi r\)是守恒的
对禁锢的粒子，动量在禁锢的空间内的总和是守恒的，
也就是\(\langle xp \rangle\)或\(\langle r p_r \rangle\)的定态波函数时的期望值是守恒的，是\(\frac{i\hbar}{2}\)
在经典禁锢系统下，我们也可以求出
\(\int_0^\infty x \frac{dp}{dx} \ dx\)的值也是守恒的，等价于\(\frac{h}{2}\)
当然能量量子化的根本原因，在于固定空间长度L内波数是有限的：\(L=n\lambda\)，又\(\lambda=h/mv\)，有\(v=nh/mL\)，速度的量子化导致了能量的量子化。
波函数的本质
薛定谔方程，本质上是一个经典的亥姆霍兹方程，只是是\(E<V\)情况下的解，
也就是\(\omega^2<0\)或\(k^2<0\)时的解，
此时的解是一个衰减或增长解，一般取衰减解，以便在端点处有限
同时在0点处也是可积的，或自身有限的，以消除0点无穷大的问题
它可以得到一个收敛的的势能V修正函数，修正了势能函数外部边界无穷大，或0点无穷大的问题
根据前面的动量空间内守恒，说明波函数不是概率分布，而是动能的分布，因为\(\langle r p_r \rangle\)或\(\langle x p \rangle\)的期望值是\(\frac{ih}{2}\)，即：
\(\langle x p \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_n(x) \cdot (x \hat{p} \psi_n(x)) dx =-i\hbar \int_{-\infty}^{\infty} \psi_n(x) \cdot x \frac{d\psi_n}{dx} dx=\frac{i\hbar}{2}\)
对经典一维谐振子，我们也可以得出：
\(\int_{-A}^{A} \left| x \frac{dp}{dx} \right| dx = \dfrac{\pi}{2} m\omega A^2 =\dfrac{\pi E}{\omega} = \dfrac{\pi \hbar \omega}{\omega}=\dfrac{h}{2}\)
除以\(2 \pi\)就是\(\dfrac{\hbar}{2}\)
所以，薛定谔定态波函数的本质就是动能的分布函数，用算符\(\hat{p}\)对应\(\dfrac{d}{dx}\)实际上就表示算符\(\hat{p}\)对应了动能在空间上的分布。
参考：