Sturm-Liouville 问题（斯特姆-刘维尔问题）是数学物理中一类非常重要的常微分方程本征值问题，它在量子力学、经典力学、电磁学、热传导、振动理论等领域中广泛出现。它是理解离散谱、正交函数系、级数展开（如傅里叶级数） 的核心工具。
一、Sturm-Liouville 问题的标准形式
一个正则 Sturm-Liouville 问题具有如下形式：
\[ \frac{d}{dx}\left[ p(x) \frac{dy}{dx} \right] + \left[ q(x) + \lambda w(x) \right] y = 0, \quad x \in [a, b] \]
并配合边界条件（通常为齐次线性边界条件），例如：
\[ \alpha_1 y(a) + \alpha_2 y’(a) = 0, \quad \beta_1 y(b) + \beta_2 y’(b) = 0 \]
其中：
- \( p(x), p’(x), q(x), w(x) \) 在区间 \([a,b]\) 上连续；
- \( p(x) > 0 \), \( w(x) > 0 \)（称为权函数或密度函数）；
- \( \lambda \) 是待求的本征值（eigenvalue）；
- \( y(x) \) 是对应的本征函数（eigenfunction）。
二、核心特点与性质
Sturm-Liouville 问题之所以重要，是因为它具有一系列非常优美的数学性质：
1. 本征值是实的、离散的、可数无穷多个，且趋于无穷
- 存在无穷多个本征值：\( \lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3 < \cdots \)
- \( \lambda_n \to \infty \) 当 \( n \to \infty \)
- 每个本征值对应一个（或有限个）本征函数
2. 本征函数关于权函数 \( w(x) \) 正交
若 \( y_n(x) \) 和 \( y_m(x) \) 是对应不同本征值的解，则：
\[ \int_a^b y_n(x) y_m(x) w(x) , dx = 0 \quad (n \ne m) \]
这类似于向量的正交性，\( w(x) \) 起到“加权内积”的作用。
3. 本征函数构成完备函数系
任意在 \([a,b]\) 上“足够好”（如分段光滑）的函数 \( f(x) \)，都可以展开为本征函数的广义傅里叶级数：
\[ f(x) = \sum_{n=1}^\infty c_n y_n(x) \]
其中系数：
\[ c_n = \frac{\int_a^b f(x) y_n(x) w(x) dx}{\int_a^b y_n^2(x) w(x) dx} \]
这推广了标准傅里叶级数的概念。
4. 第 \( n \) 个本征函数有 \( n-1 \) 个节点（零点）
- \( y_1(x) \) 无零点（基模）；
- \( y_2(x) \) 有 1 个零点；
- \( y_3(x) \) 有 2 个零点；
- ……
这与物理中的“振动模式”一一对应。
三、经典例子
1. 傅里叶正弦级数（无限深势阱 / 弦振动）
方程： \[ \frac{d^2 y}{dx^2} + \lambda y = 0, \quad y(0) = y(L) = 0 \]
可写成 Sturm-Liouville 形式：
- \( p(x) = 1 \)
- \( q(x) = 0 \)
- \( w(x) = 1 \)
- \( \lambda \) 是本征值
解：
- \( \lambda_n = \left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 \)
- \( y_n(x) = \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \)
这就是标准的傅里叶正弦展开。
2. 勒让德方程（球对称问题）
在球坐标下解拉普拉斯方程时出现：
\[ \frac{d}{dx}\left[ (1 - x^2) \frac{dy}{dx} \right] + \left[ \ell(\ell+1) - \frac{m^2}{1 - x^2} \right] y = 0 \]
这是广义 Sturm-Liouville 问题，本征值为 \( \ell(\ell+1) \)，解为连带勒让德函数。
3. 贝塞尔方程（柱对称问题）
\[ x^2 y’’ + x y’ + (\lambda^2 x^2 - \nu^2) y = 0 \]
可化为： \[ \frac{d}{dx}\left[ x \frac{dy}{dx} \right] + \left( \lambda^2 x - \frac{\nu^2}{x} \right) y = 0 \]
对应 \( p(x)=x \), \( q(x)=-\nu^2/x \), \( w(x)=x \)
本征值 \( \lambda \) 由边界条件（如 \( y(R)=0 \)）决定，解为贝塞尔函数 \( J_\nu(\lambda x) \)
四、与量子力学的联系
时间无关薛定谔方程：
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi \]
整理得：
\[ \frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{2m}{\hbar^2}(E - V(x))\psi = 0 \]
这可以写成 Sturm-Liouville 形式：
- \( p(x) = 1 \)
- \( q(x) = -V(x) \)
- \( w(x) = 1 \)
- \( \lambda = E \)（能量是本征值）
➡️ 所以，量子力学中的能量本征值问题本质上是一个 Sturm-Liouville 问题！
其离散谱的出现，正是由于：
- \( \psi \in L^2 \)（平方可积）；
- \( V(x) \) 在无穷远处趋于无穷（如谐振子、无限深势阱）；
- 边界条件强制波函数趋于零。
五、正则 vs 奇异 Sturm-Liouville 问题
| 类型 | 特点 | 例子 |
|---|---|---|
| 正则 | \( p(x)>0 \), \( w(x)>0 \), 区间有限，边界条件明确 | 弦振动、无限深势阱 |
| 奇异 | 区间无限，或 \( p(x)/w(x) \) 在端点奇异 | 氢原子（\( r \in [0,\infty) \)），谐振子 |
奇异问题可能同时具有离散谱（束缚态）和连续谱（散射态）。
六、物理意义总结
Sturm-Liouville 理论告诉我们：
任何满足一定光滑性和正定性条件的二阶线性波动系统，在边界约束下，其振动模式（或状态）必然是离散的、正交的、可叠加的。
这解释了：
- 为什么吉他弦有固定音高（离散频率）；
- 为什么原子能级是量子化的（离散能量）；
- 为什么可以用傅里叶级数展开任意函数。
七、一句话总结
Sturm-Liouville 问题是描述物理系统中波动或量子态的本征模式的统一数学框架，它揭示了：边界条件 + 波动性 + 线性 → 离散谱、正交基、可展开性，是连接数学与物理的桥梁。
如果你想深入，可以研究：
- 自伴算符理论（Hilbert 空间中的推广）
- 谱理论（Spectral Theory）
- 广义傅里叶分析
这些是现代数学物理的核心内容。
我们来从数学物理的角度，结合泛函分析和常微分方程理论，逐步解释并给出一个直观而严谨的证明思路。
一、问题设定（正则 Sturm-Liouville 问题）
考虑如下正则 Sturm-Liouville 问题：
\[ \frac{d}{dx}\left[ p(x) \frac{dy}{dx} \right] + [q(x) + \lambda w(x)] y = 0, \quad x \in [a,b] \]
边界条件为齐次线性条件，例如： \[ \alpha_1 y(a) + \alpha_2 y’(a) = 0, \quad \beta_1 y(b) + \beta_2 y’(b) = 0 \]
其中：
- \( p(x) > 0 \), \( w(x) > 0 \) 在 \([a,b]\) 上连续；
- \( p, p’, q, w \) 连续；
- 区间 \([a,b]\) 是有限闭区间。
我们要证明：本征值 \(\lambda\) 是离散的、实的、可数无穷多个，且趋于无穷。
二、关键思想：转化为自伴算符的谱问题
我们将微分方程重写为算符形式：
\[ \mathcal{L} y = -\frac{1}{w(x)} \left[ \frac{d}{dx}\left( p(x) \frac{dy}{dx} \right) + q(x) y \right] = \lambda y \]
定义算符： \[ \mathcal{L} y := -\frac{1}{w(x)} \left( (p y’)’ + q y \right) \]
这个算符 \(\mathcal{L}\) 在加权内积空间 \(L^2_w[a,b]\) 中是自伴算符（Hermitian / self-adjoint），其内积定义为：
\[ \langle f, g \rangle = \int_a^b f(x) g(x) w(x) dx \]
为什么自伴性重要？
- 自伴算符的本征值必为实数；
- 不同本征值对应的本征函数正交；
- 更重要的是：在紧致空间或正则条件下，其谱是纯离散的（点谱）。
三、核心定理：正则 Sturm-Liouville 问题的谱是离散的
定理：在正则条件下（有限区间，\(p>0\), \(w>0\)，系数连续，齐次边界条件），Sturm-Liouville 问题的本征值满足：
- 存在无穷多个实本征值：\(\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3 < \cdots\)
- \(\lambda_n \to +\infty\) 当 \(n \to \infty\)
- 每个本征值是单重或有限重的；
- 本征函数系在 \(L^2_w[a,b]\) 中构成完备正交基。
这些性质共同说明：谱是离散的（即没有连续谱，只有孤立的本征值）。
四、证明思路（分步说明）
我们不给出完整严格证明（那需要泛函分析），但提供逻辑清晰的证明框架。
✅ 第一步：解的存在唯一性（ODE 理论）
对任意 \(\lambda\)，初值问题： \[ \begin{cases} (p y’)’ + (q + \lambda w) y = 0 \\ y(a) = y_0, \quad y’(a) = y_1 \end{cases} \] 在 \([a,b]\) 上有唯一连续可微解（由常微分方程基本理论保证，因为系数连续）。
✅ 第二步：构造“本征值条件”
我们固定一组边界条件，例如： \[ y(a) = 0, \quad y’(a) = 1 \quad \text{（归一化）} \]
对每个 \(\lambda\)，解出 \(y(x; \lambda)\)。然后要求它满足另一端的边界条件，例如 \(y(b; \lambda) = 0\) 或 \(\beta_1 y(b) + \beta_2 y’(b) = 0\)。
定义函数： \[ F(\lambda) = \beta_1 y(b; \lambda) + \beta_2 y’(b; \lambda) \]
则 \(\lambda\) 是本征值 ⟺ \(F(\lambda) = 0\)
✅ 第三步：\(F(\lambda)\) 是关于 \(\lambda\) 的整函数（Entire Function）
可以证明（通过格陵函数或逐次逼近法）：
- \(y(x; \lambda)\) 对 \(\lambda\) 是解析的；
- 所以 \(F(\lambda)\) 是 \(\lambda\) 的整函数（在整个复平面上解析）。
✅ 第四步：使用振荡定理（Oscillation Theorem）
这是关键一步。
振荡定理（Sturm’s Oscillation Theorem）表明：
- 第 \(n\) 个本征函数 \(y_n(x)\) 在 \((a,b)\) 内恰好有 \(n-1\) 个零点；
- 本征值 \(\lambda_n\) 随 \(n\) 单调递增；
- \(\lambda_n \to \infty\) 当 \(n \to \infty\)。
这说明本征值是可数无穷多个、无聚点、趋于无穷——这正是“离散谱”的定义。
离散谱 = 所有谱点都是孤立的本征值，且没有有限极限点。
✅ 第五步：紧性论证（泛函分析视角）
更高级的证明使用紧自伴算符理论：
- 将 Sturm-Liouville 算符 \(\mathcal{L}\) 的逆算符 \(\mathcal{L}^{-1}\) 映射到 \(L^2_w[a,b]\) 上；
- 由于区间 \([a,b]\) 有限且系数光滑，\(\mathcal{L}^{-1}\) 是一个紧算符（compact operator）；
- 紧自伴算符的谱是：
- 实的；
- 要么是 0，要么是可数多个趋于 0 的非零本征值；
- 每个非零本征值是有限重的。
因此，\(\mathcal{L}^{-1}\) 的本征值 \(\mu_n = 1/\lambda_n \to 0\)，所以 \(\lambda_n \to \infty\)，且 \(\lambda_n\) 是离散的。
五、为什么“正则”条件这么重要？
| 条件 | 作用 |
|---|---|
| 区间有限 \([a,b]\) | 避免无限远处的连续谱（如自由粒子） |
| \(p(x) > 0\), \(w(x) > 0\) | 保证算符正定、内积良好 |
| 系数连续 | 保证解的光滑性和解析性 |
| 齐次边界条件 | 保证自伴性 |
如果这些条件不满足（如区间无限、\(p(x)=0\) 在端点），就变成奇异 Sturm-Liouville 问题，可能出现连续谱（如氢原子的散射态）。
六、简单例子：无限深势阱（验证离散性）
方程： \[ -\psi’’(x) = \lambda \psi(x), \quad \psi(0) = \psi(L) = 0 \]
解得： \[ \psi_n(x) = \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right), \quad \lambda_n = \left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 \]
显然：
- \(\lambda_n\) 是离散的；
- \(\lambda_n \to \infty\)；
- 无连续谱。
这正是正则 Sturm-Liouville 问题的典型表现。
七、总结：如何证明本征值离散？
| 步骤 | 方法 |
|---|---|
| 1 | 将方程写成 Sturm-Liouville 形式，确认正则条件 |
| 2 | 利用 ODE 理论，解对 \(\lambda\) 解析依赖 |
| 3 | 构造“本征值方程” \(F(\lambda) = 0\)，其解为本征值 |
| 4 | 证明 \(F(\lambda)\) 是整函数，且有无穷多个孤立零点 |
| 5 | 使用振荡定理：\(\lambda_n \to \infty\)，每个 \(\lambda_n\) 孤立 |
| 6 | 或用泛函分析：\(\mathcal{L}^{-1}\) 是紧算符 ⇒ 谱离散 |
一句话总结：
在正则 Sturm-Liouville 问题中，由于区间有限、系数良好、边界条件自伴，其本征值构成一个趋于无穷的离散序列——这可通过振荡定理或紧算符谱理论严格证明，反映了物理系统在受限空间中只能支持离散的驻波模式。
如果你想深入，推荐阅读：
- 《Mathematical Methods for Physicists》 by Arfken & Weber
- 《Ordinary Differential Equations》 by Tenenbaum & Pollard
- 《Partial Differential Equations》 by Strauss（第5章讲 Sturm-Liouville）
这些书都给出了不同程度的证明与解释。