根据知乎： 薛定谔方程诞生的过程
氢原子的电子的能量满足：
\(h\nu=mc^2+\frac{mv^2}{2}+V\), \(V\)是势能
得：
\(mv=\sqrt{2m(h\nu-mc^2-V}\)
相速度u：
\(u=\frac{h\nu}{mv}=\frac{hv}{\sqrt{2m(h\nu-mc^2-V}}\)
\(\omega =2 \pi \nu\), \(u=w/k\)
有:
\( k^2 =(w/u)^2 =\frac{4 \pi^2}{h^2} 2m(h\nu-mc^2-V)=\frac{2m}{\hbar^2}(h\nu-mc^2-V)\)
代入亥姆霍兹方程：
\(\nabla^2 \psi + k^2 \psi = 0\)
得到：
\(\nabla^2 \psi =-\frac{4 \pi^2}{h^2} 2m(h\nu-mc^2-V)\)
即：
\(\nabla^2 \psi =-\frac{2m}{\hbar^2}(h\nu-mc^2-V)\),
令\(E=h\nu-mc^2\)即动能，有：
\(\nabla^2 \psi =-\frac{2m}{\hbar^2}(E-V)\),
在含时情况下：
\(\psi =\psi_0 e^{-iE/\hbar}\)
有 \(\frac{\partial E}{\partial t} =-\frac{E}{\hbar}\psi\)
替换上面不含时的方程，就可以得到含时薛定谔方程。
重点：
根据普朗克等式\(E=h\nu\)，求得了动能对应的波数\(k\)，
将\(k\)代入亥姆霍思方程，得到了势能作用下的波动方程
复数\(i\)，单纯的来自时间演化项，时间演化项说明波动的旋度变化，带i说明波动来自两个垂直分量的互相演化，如电磁波里电场和磁场的互相演化。也就是不仅仅有势能引起的梯度变化导致的平移运动，还有自身的能量转化。