速度场的表达式
从推迟势得到的电场速度场（与加速度无关的部分）为： \[ \mathbf{E}_{\text{vel}}(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \left[ \frac{(\mathbf{n} - \bm{\beta})(1 - \beta^2)}{(1 - \mathbf{n} \cdot \bm{\beta})^3 R^2} \right]_{\text{ret}} \] 其中：
- \(\bm{\beta} = \frac{\mathbf{v}}{c}\)（无量纲速度），
- \(\mathbf{n}\) 是观测方向单位矢量（从推迟时刻电荷位置指向场点），
- \(R\) 是推迟时刻的距离，
- 下标 “ret” 表示所有量在推迟时间 \(t’ = t - R/c\) 计算。
速度场差值计算
设两种情况的速度分别为 \(\mathbf{v}_1\) 和 \(\mathbf{v}_2\)，对应的无量纲速度为 \(\bm{\beta}_1 = \frac{\mathbf{v}_1}{c}\) 和 \(\bm{\beta}_2 = \frac{\mathbf{v}_2}{c}\)。速度场之差为： \[ \Delta \mathbf{E}_{\text{vel}} = \mathbf{E}_{\text{vel}}(\mathbf{v}_2) - \mathbf{E}_{\text{vel}}(\mathbf{v}_1) \] 即： \[ \Delta \mathbf{E}_{\text{vel}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \left[ \frac{(\mathbf{n} - \bm{\beta}_2)(1 - \beta_2^2)}{(1 - \mathbf{n} \cdot \bm{\beta}_2)^3 R^2} - \frac{(\mathbf{n} - \bm{\beta}_1)(1 - \beta_1^2)}{(1 - \mathbf{n} \cdot \bm{\beta}_1)^3 R^2} \right]_{\text{ret}} \]
简化假设
为简化分析，假设以下条件成立：
- 推迟效应相同：即两种情况下的推迟时间 \(t’\) 和距离 \(R\) 相同（适用于 \(\mathbf{v}_1\) 和 \(\mathbf{v}_2\) 差别不大的情况）。
- 观测方向固定：\(\mathbf{n}\) 为常矢量（例如远场近似或特定几何配置）。
此时差值公式简化为： \[ \Delta \mathbf{E}_{\text{vel}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R^2} \left[ \frac{(\mathbf{n} - \bm{\beta}_2)(1 - \beta_2^2)}{(1 - \mathbf{n} \cdot \bm{\beta}_2)^3} - \frac{(\mathbf{n} - \bm{\beta}_1)(1 - \beta_1^2)}{(1 - \mathbf{n} \cdot \bm{\beta}_1)^3} \right] \]
特殊情况讨论
1. 低速情况（\(\beta \ll 1\)）
若 \(\mathbf{v}_1\) 和 \(\mathbf{v}_2\) 远小于光速（\(\beta_1, \beta_2 \ll 1\)），可对分母和分子进行泰勒展开：
- \((1 - \mathbf{n} \cdot \bm{\beta})^{-3} \approx 1 + 3 \mathbf{n} \cdot \bm{\beta} + \mathcal{O}(\beta^2)\),
- \((1 - \beta^2) \approx 1 - \beta^2\).
保留到一阶小量时，差值为： \[ \Delta \mathbf{E}_{\text{vel}} \approx \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R^2} \left[ (\mathbf{n} - \bm{\beta}_2)(1 + 3 \mathbf{n} \cdot \bm{\beta}_2) - (\mathbf{n} - \bm{\beta}_1)(1 + 3 \mathbf{n} \cdot \bm{\beta}_1) \right] \] 进一步化简： \[ \Delta \mathbf{E}_{\text{vel}} \approx \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R^2} \left[ (\bm{\beta}_1 - \bm{\beta}_2) + 3 \mathbf{n} (\mathbf{n} \cdot (\bm{\beta}_2 - \bm{\beta}_1)) \right] \] 这表明低速时，电场差值主要与速度变化 \(\Delta \bm{\beta} = \bm{\beta}_2 - \bm{\beta}_1\) 及其在 \(\mathbf{n}\) 方向的投影有关。
2. 横向运动（\(\mathbf{n} \perp \bm{\beta}\)）
若观测方向与速度垂直（\(\mathbf{n} \cdot \bm{\beta} = 0\)），公式简化为： \[ \Delta \mathbf{E}_{\text{vel}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R^2} \left[ (\mathbf{n} - \bm{\beta}_2)(1 - \beta_2^2) - (\mathbf{n} - \bm{\beta}_1)(1 - \beta_1^2) \right] \] 若进一步假设 \(\beta_1 = 0\)（从静止加速到 \(\mathbf{v}_2\)），则： \[ \Delta \mathbf{E}_{\text{vel}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R^2} \left[ \mathbf{n} (1 - \beta_2^2) - \bm{\beta}_2 (1 - \beta_2^2) - \mathbf{n} \right] = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R^2} \left[ -\mathbf{n} \beta_2^2 - \bm{\beta}_2 (1 - \beta_2^2) \right] \]
一般情况的数值计算
对于任意速度，需直接计算： \[ \Delta \mathbf{E}_{\text{vel}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R^2} \left( \frac{(\mathbf{n} - \bm{\beta}_2)(1 - \beta_2^2)}{(1 - \mathbf{n} \cdot \bm{\beta}_2)^3} - \frac{(\mathbf{n} - \bm{\beta}_1)(1 - \beta_1^2)}{(1 - \mathbf{n} \cdot \bm{\beta}_1)^3} \right) \] 此表达式需针对具体 \(\mathbf{v}_1\)、\(\mathbf{v}_2\) 和 \(\mathbf{n}\) 进行数值或符号运算。
关键结论
速度场差值 \(\Delta \mathbf{E}_{\text{vel}}\) 的显式表达式依赖于：
- 速度变化 \(\Delta \bm{\beta} = \bm{\beta}_2 - \bm{\beta}_1\)，
- 观测方向 \(\mathbf{n}\) 与速度的相对取向，
- 速度大小（通过 \(\beta^2\) 和分母的 \((1 - \mathbf{n} \cdot \bm{\beta})^3\) 体现相对论效应）。
在低速或特定几何条件下可进一步简化，但一般情况下需保留完整形式。
1. 速度场差值（\(\Delta \mathbf{E}_{\text{vel}}\)）
从之前的推导，两个速度 \(\mathbf{v}_1\) 和 \(\mathbf{v}_2\) 对应的速度场之差为： \[ \Delta \mathbf{E}_{\text{vel}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R^2} \left[ \frac{(\mathbf{n} - \bm{\beta}_2)(1 - \beta_2^2)}{(1 - \mathbf{n} \cdot \bm{\beta}_2)^3} - \frac{(\mathbf{n} - \bm{\beta}_1)(1 - \beta_1^2)}{(1 - \mathbf{n} \cdot \bm{\beta}_1)^3} \right] \] 其中 \(\bm{\beta}_i = \mathbf{v}_i / c\)。
物理意义：
- 描述由于电荷速度变化引起的 近场修正（非辐射场）。
- 随距离按 \(1/R^2\) 衰减，与静电场同量级。
- 若 \(\mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_1 + \Delta \mathbf{v}\)（\(\Delta \mathbf{v}\) 较小），则 \(\Delta \mathbf{E}_{\text{vel}}\) 与 \(\Delta \mathbf{v}\) 相关。
2. 辐射场（\(\mathbf{E}_{\text{rad}}\)）
加速度产生的辐射场（远场区主导）为： \[ \mathbf{E}_{\text{rad}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c^2} \frac{\mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \dot{\bm{\beta}})}{R} \] 其中 \(\dot{\bm{\beta}} = \mathbf{a}/c\)（\(\mathbf{a}\) 为加速度）。
物理意义：
- 由电荷加速度引起，代表 电磁辐射（横波，能流向外传播）。
- 随距离按 \(1/R\) 衰减，在远场区主导。
- 方向垂直于 \(\mathbf{n}\)（横向场），正比于加速度 \(\mathbf{a}\)。
3. 对比分析
| 特性 | 速度场差值 \(\Delta \mathbf{E}_{\text{vel}}\) | 辐射场 \(\mathbf{E}_{\text{rad}}\) |
|---|---|---|
| 依赖物理量 | 速度变化 \(\Delta \mathbf{v}\) | 加速度 \(\mathbf{a}\) |
| 距离衰减 | \(\propto 1/R^2\)（近场主导） | \(\propto 1/R\)（远场辐射） |
| 方向特性 | 沿 \(\mathbf{n}\) 和 \(\Delta \mathbf{v}\) 方向混合 | 横向场 \(\perp \mathbf{n}\) |
| 相对论效应 | 显含 \(\beta\) 和 \(\gamma = (1-\beta^2)^{-1/2}\) | 显含 \(\dot{\beta} = a/c\) |
| 典型量级 | \(\sim \frac{q \Delta v}{4\pi \epsilon_0 R^2 c}\) | \(\sim \frac{q a}{4\pi \epsilon_0 c^2 R}\) |
4. 量级比较
假设速度变化时间尺度为 \(\Delta t\)，则加速度量级为 \(a \sim \Delta v / \Delta t\)。两场之比为： \[ \frac{|\mathbf{E}_{\text{rad}}|}{|\Delta \mathbf{E}_{\text{vel}}|} \sim \frac{\frac{q a}{c^2 R}}{\frac{q \Delta v}{c R^2}} = \frac{a R}{c \Delta v} \sim \frac{R}{c \Delta t} \]
- 近场区（\(R \ll c \Delta t\)）：速度场差值占优。
- 远场区（\(R \gg c \Delta t\)）：辐射场占优。
5. 物理场景示例
(1) 低速匀加速电荷
- 设 \(\mathbf{v}_1 = 0\)，\(\mathbf{v}_2 = \mathbf{a} \Delta t\)（\(\Delta t\) 很小），则：
- 速度场差值：\(\Delta \mathbf{E}_{\text{vel}} \sim \frac{q a \Delta t}{4\pi \epsilon_0 c R^2}\)，
- 辐射场：\(\mathbf{E}_{\text{rad}} \sim \frac{q a}{4\pi \epsilon_0 c^2 R}\)。
- 比值：\(\frac{|\mathbf{E}_{\text{rad}}|}{|\Delta \mathbf{E}_{\text{vel}}|} \sim \frac{R}{c \Delta t}\)。
- 若观测时间远大于 \(\Delta t\)（即 \(R \gg c \Delta t\)），辐射场主导。
(2) 高频振荡电荷
- 例如偶极辐射，\(a \sim \omega v\)，\(\Delta t \sim 1/\omega\)：
- 辐射场：\(\mathbf{E}_{\text{rad}} \propto \frac{q \omega v}{c^2 R}\)，
- 速度场差值：\(\Delta \mathbf{E}_{\text{vel}} \propto \frac{q v}{c R^2}\)，
- 比值：\(\frac{|\mathbf{E}_{\text{rad}}|}{|\Delta \mathbf{E}_{\text{vel}}|} \sim \frac{\omega R}{c} = \frac{2\pi R}{\lambda}\)（\(\lambda\) 为波长）。
- 在辐射区（\(R \gg \lambda\)），辐射场远强于速度场修正。
6. 关键结论
- 主导区域：
- 近场区：速度场差值（\(\propto 1/R^2\)）可能显著，尤其是速度突变时。
- 远场区：辐射场（\(\propto 1/R\)）绝对主导。
- 产生机制：
- 速度场差值反映电荷运动状态的调整，不辐射能量。
- 辐射场由加速度引起，携带电磁波能量。
- 相对论效应：
- 高速运动时（\(\beta \to 1\)），速度场需考虑洛伦兹因子 \(\gamma\) 的增强，而辐射场直接依赖 \(\dot{\beta}\)。
数学形式对比总结
- 速度场差值： \[ \Delta \mathbf{E}_{\text{vel}} \propto \frac{\text{速度变化}}{\text{距离}^2}, \quad \text{方向复杂} \]
- 辐射场： \[ \mathbf{E}_{\text{rad}} \propto \frac{\text{加速度}}{\text{距离}}, \quad \text{横向波} \] 两者分别对应电磁场中 非辐射近场 和 辐射远场 的物理行为。
1. 推迟时间 \( t’ \) 与距离 \( R \) 的关系
推迟势的核心思想是：观测点 \( \mathbf{r} \) 在时间 \( t \) 感受到的场，由电荷在 推迟时间 \( t’ = t - \frac{R}{c} \) 的状态决定，其中：
- \( R = |\mathbf{r} - \mathbf{r}’(t’)| \) 是推迟时刻 \( t’ \) 时电荷位置 \( \mathbf{r}’(t’) \) 到观测点 \( \mathbf{r} \) 的距离。
- 因此，\( R \) 是 \( t’ \) 的隐式函数，满足 推迟条件： \[ R = c(t - t’) \] 这表示电磁作用以光速 \( c \) 传播，延迟时间为 \( \Delta t = t - t’ = R/c \)。
2. 辐射场中的 \( R \) 是否为 \( c(t - t’) \)？
答案：是，但需注意动态场景的复杂性。
在辐射场公式中：
\[
\mathbf{E}_{\text{rad}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 c^2} \left[ \frac{\mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \dot{\bm{\beta}})}{R} \right]_{\text{ret}}
\]
- \( R \) 显式出现在分母中，而分子中的加速度 \( \dot{\bm{\beta}} \) 也是在推迟时间 \( t’ = t - R/c \) 计算的。
- 关键点：
\( R \) 必须严格满足 \( R = c(t - t’) \)，这是推迟势的自洽条件。但对于运动电荷，\( \mathbf{r}’(t’) \) 随时间变化，因此 \( R \) 和 \( t’ \) 需通过隐式方程耦合求解。
3. 动态运动中的 \( R \) 计算
若电荷运动，其位置 \( \mathbf{r}’(t’) \) 是时变的，此时 \( R \) 的求解需结合运动轨迹。例如：
-
匀速直线运动：
设 \( \mathbf{r}’(t’) = \mathbf{r}’_0 + \mathbf{v} t’ \)，则推迟条件变为： \[ |\mathbf{r} - (\mathbf{r}’_0 + \mathbf{v} t’)| = c(t - t’) \] 这是一个关于 \( t’ \) 的非线性方程，需数值或解析求解。 -
圆周运动（如同步辐射）：
轨迹更复杂，\( R \) 和 \( t’ \) 的关系需结合参数方程。
4. 物理意义
-
光速传播的体现：
\( R = c(t - t’) \) 直接反映了电磁场以光速传播的因果性。观测点的场由电荷过去的状态决定，延迟时间为 \( R/c \)。 -
辐射场的横向性：
辐射场的 \( 1/R \) 依赖性是电磁波（横波）的典型特征，而速度场的 \( 1/R^2 \) 反映近场非辐射特性。
5. 对比静态与动态情况
-
静止电荷：
\( t’ = t - R/c \) 是显式的，因为 \( \mathbf{r}’ \) 固定，\( R \) 可直接计算。 -
运动电荷：
\( R \) 和 \( t’ \) 需自洽求解，可能需迭代或近似（如低速时 \( \beta \ll 1 \)，可忽略推迟效应的高阶修正）。
6. 结论
在辐射场公式中： \[ R \equiv c(t - t’) \] 这是推迟势的基本要求，但实际计算中需注意：
- 对于运动电荷，\( R \) 和 \( t’ \) 通过推迟条件耦合。
- 辐射场的 \( 1/R \) 依赖性源于电磁波的球面波传播特性，与速度场的 \( 1/R^2 \) 有本质区别。
- 在数值计算或理论分析中，需严格保证 \( R \) 与 \( t’ \) 的自洽性。