当然可以！我们来详细写出匀加速带电粒子的世界线（world line），也就是它在闵可夫斯基时空中的轨迹。

一、物理背景

在狭义相对论中，一个匀加速运动的粒子（即在自身瞬时静止参考系中加速度恒定），其运动轨迹称为双曲运动（hyperbolic motion）。这种运动的特点是：

  • 瞬时固有加速度（proper acceleration）恒定；
  • 在惯性系中，轨迹是一条双曲线；
  • 不会超光速，渐近趋于光速。

二、世界线的参数化形式

设粒子沿 \( x \)-轴运动，固有加速度为 \( \alpha \)（常数，即在瞬时静止系中测得的加速度），从静止开始，在 \( t = 0 \) 时位于 \( x = \frac{c^2}{\alpha} \)。则其世界线在二维时空（\( t, x \)）中为：

\[ ct(\tau) = \frac{c^2}{\alpha} \sinh\left( \frac{\alpha \tau}{c} \right) \]

\[ x(\tau) = \frac{c^2}{\alpha} \cosh\left( \frac{\alpha \tau}{c} \right) \]

\[ y(\tau) = 0, \quad z(\tau) = 0 \]

其中：

  • \( \tau \) 是粒子的固有时（proper time）
  • \( \alpha \) 是固有加速度（单位：m/s²）
  • \( c \) 是光速

三、消去 \( \tau \) 得到轨迹方程

将上面两个式子代入双曲恒等式 \( \cosh^2 u - \sinh^2 u = 1 \)，可得：

\[ x^2 - (ct)^2 = \left( \frac{c^2}{\alpha} \right)^2 \]

这是一个双曲线方程，所以称为“双曲运动”。

✅ 这就是匀加速粒子在闵可夫斯基时空中的世界线：以 \( (0,0) \) 为中心，渐近于光锥的双曲线。

四、物理图像

  • 粒子从 \( t \to -\infty \) 开始，从 \( x \to \infty \) 向原点方向减速靠近，在 \( t = 0 \) 时到达最接近点 \( x = c^2/\alpha \)，然后被“推开”，加速远离。
  • 它永远不会穿过 \( x = ct \) 或 \( x = -ct \) 的光锥边界。
  • 这种运动可以看作是一个在恒定电场中运动的带电粒子的相对论性匀加速（忽略辐射反作用）。

五、坐标变换视角：伦德勒坐标（Rindler coordinates）

在伦德勒坐标系中，匀加速观测者的静止线是坐标线，其时空被划分为类似于黑洞外部的区域。双曲运动的世界线正好对应伦德勒坐标中的“静止”世界线。

在伦德勒坐标中，一个固定空间坐标的点，对应惯性系中的双曲运动。

六、速度与加速度行为

从世界线可求出：

  • 速度： \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{ \sinh(\alpha\tau/c) }{ \cosh(\alpha\tau/c) } c = c \tanh\left( \frac{\alpha \tau}{c} \right) \] 所以速度始终小于 \( c \)，当 \( \tau \to \pm\infty \)，\( v \to \pm c \)。

  • 坐标加速度 \( dv/dt \to 0 \)（在实验室系中加速度趋于零），但固有加速度 \( \alpha \) 恒定。

七、推广到任意初始位置和方向

若粒子不是从 \( x = c^2/\alpha \) 开始，或初始速度不为零，世界线可平移或洛伦兹变换得到。但标准形式通常取上述对称形式。

总结：匀加速粒子的世界线

在惯性系中，固有加速度为 \( \alpha \) 的匀加速粒子（从静止开始，沿 \( x \)-轴）的世界线为：

\[ \boxed{ \begin{aligned} ct(\tau) &= \frac{c^2}{\alpha} \sinh\left( \frac{\alpha \tau}{c} \right) \\ x(\tau) &= \frac{c^2}{\alpha} \cosh\left( \frac{\alpha \tau}{c} \right) \\ y(\tau) &= 0 \\ z(\tau) &= 0 \end{aligned} } \]

其轨迹满足：

\[ \boxed{ x^2 - (ct)^2 = \left( \frac{c^2}{\alpha} \right)^2 } \]

延伸思考

有趣的是，尽管这个粒子在做加速运动，但在其自身参考系中，它始终处于“静止”状态（在伦德勒坐标中），并感受到一个类似引力的均匀场。这也与等效原理相关。

此外，关于这种粒子是否辐射电磁波，是理论物理中的一个经典争议问题（如：Bondi & Gold, Fulton & Rohrlich 等人的讨论），结论通常是：从惯性观者看，它辐射；但从共动观者看，看不到辐射，这涉及广义相对论和探测器响应（如 Unruh 效应）的深层问题。

如果你感兴趣，我可以继续讲辐射问题或推迟势的具体计算。