为什么电场线“扭结”会变成能量传输出去？
要理解加速电荷产生的电场线“扭结”如何导致电磁波辐射（即能量传输），我们需要从以下几个方面分析：
1. 电场线“扭结”的本质
当电荷加速时，其电场线会局部变形，形成“扭结”（kink）。这种扭结的物理意义是：
- 近场区（靠近电荷）：电场线仍主要受库仑力支配，但开始扭曲。
- 远场区（远离电荷）：电场线“扭结”演变为横电磁波（TEM波），即电场 \( \mathbf{E} \) 和磁场 \( \mathbf{B} \) 均垂直于传播方向 \( \mathbf{n} \)。
关键点：
- 这种“扭结”不是静态的，而是以光速 \( c \) 向外传播。
- 传播的扭结 = 电磁波，而电磁波携带能量。
2. 能量如何通过“扭结”传输？
电磁场的能量由坡印廷矢量 \( \mathbf{S} \) 描述： \[ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}, \] 它代表电磁能的流动方向和功率密度（单位面积上的能量传输速率）。
(1) 静态/匀速电荷
- 电场 \( \mathbf{E} \) 是径向的（库仑场），磁场 \( \mathbf{B} = 0 \)（无电流或匀速运动时磁场抵消）。
- 坡印廷矢量 \( \mathbf{S} = 0 \)，无能量辐射。
(2) 加速电荷
- 电场线扭结导致 \( \mathbf{E} \) 出现横向分量（\( \mathbf{E}_{\text{rad}} \)）。
- 变化的 \( \mathbf{E} \) 产生变化的 \( \mathbf{B} \)（法拉第定律），且 \( \mathbf{B} \) 也垂直于 \( \mathbf{n} \)。
- 因此，\( \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E}_{\text{rad}} \times \mathbf{B} \neq 0 \)，且方向沿 \( \mathbf{n} \) 向外。
结论：
“扭结”的传播就是电磁能量的传输，坡印廷矢量 \( \mathbf{S} \) 量化了辐射功率。
3. 定量计算：辐射功率
对于加速电荷，辐射场的能流密度（坡印廷矢量大小）为： \[ |\mathbf{S}| = \frac{1}{\mu_0 c} E_{\text{rad}}^2 = \epsilon_0 c E_{\text{rad}}^2. \] 代入李纳-维谢尔势的辐射场表达式： \[ E_{\text{rad}} \propto \frac{q a \sin \theta}{4\pi \epsilon_0 c^2 R}, \] 其中 \( a \) 是加速度，\( \theta \) 是观测方向与加速度方向的夹角。
总辐射功率由拉莫尔公式给出： \[ P = \frac{\mu_0 q^2 a^2}{6\pi c}. \] 物理意义：
- 加速度 \( a \) 越大，辐射越强。
- 能量来自电荷的动能（减速辐射）或外力做功（如天线驱动）。
4. 物理图像：能量如何离开电荷
-
能量源头：
- 电荷加速需要外力做功（如天线中的交变电压）。
- 这部分功转化为电磁场能，而非仅增加电荷动能。
-
能量传输：
- 电场线“扭结”以光速 \( c \) 传播，携带电磁能。
- 在远场，扭结演变为平面电磁波，能量无限传播（\( \propto 1/R \) 衰减，但总通量守恒）。
-
实验验证：
- 天线辐射、同步辐射、X射线管等实验均观测到加速电荷的能量损失与理论一致。
5. 总结
- “扭结”是电磁波的雏形：
加速电荷的电场线变形形成扭结，其传播就是电磁波的传播。 - 能量传输机制：
- 坡印廷矢量 \( \mathbf{S} \) 描述能流，正比于 \( \mathbf{E} \times \mathbf{B} \)。
- 辐射功率 \( P \propto a^2 \)，由拉莫尔公式定量计算。
- 物理本质：
能量来自电荷的动能或外力做功，通过“扭结”以光速 \( c \) 传输到远方。
最终答案
电场线“扭结”之所以变成能量传输出去，是因为：
- 加速度导致电场线扭曲，形成传播的电磁扰动（扭结）。
- 扭结的传播就是横电磁波，其 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 场垂直并携带能量。
- 坡印廷矢量 \( \mathbf{S} \) 量化了能流，证明能量以光速 \( c \) 辐射到空间。
- 实验和理论（如拉莫尔公式） 完全支持这一机制。
这就是加速电荷辐射能量的根本原因！
为什么 \( \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 变化就会产生辐射？
要理解这个问题，我们需要从电磁场的能量传输机制和麦克斯韦方程组的波动性出发。以下是关键步骤的详细解释：
1. 坡印廷矢量 \( \mathbf{S} \) 与能量传输
电磁场的能量流动由**坡印廷矢量（Poynting Vector）**描述： \[ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}, \] 其中：
- \( \mathbf{E} \) 是电场，
- \( \mathbf{B} \) 是磁场，
- \( \mu_0 \) 是真空磁导率。
物理意义：
- \( \mathbf{S} \) 的方向代表电磁能流动的方向，
- \( |\mathbf{S}| \) 的大小代表单位面积上的功率（单位：W/m²）。
2. 静态场 vs. 时变场
(1) 静态场（无辐射）
- 静电场（\( \mathbf{E} \) 恒定）：由静止电荷产生，\( \mathbf{B} = 0 \)，因此 \( \mathbf{S} = 0 \)（无能量流动）。
- 静磁场（\( \mathbf{B} \) 恒定）：由稳恒电流产生，\( \mathbf{E} \) 可能是静电场（如恒定电压），但 \( \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 不随时间变化，因此无净能量辐射（\( \nabla \cdot \mathbf{S} = 0 \)）。
(2) 时变场（产生辐射）
当 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 随时间变化时：
- 变化的 \( \mathbf{E} \) 会产生 \( \mathbf{B} \)（法拉第定律：\( \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \)），
- 变化的 \( \mathbf{B} \) 会产生 \( \mathbf{E} \)（安培-麦克斯韦定律：\( \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \)）。
这种相互激发的机制使得电磁扰动可以自维持传播，形成电磁波。
3. 为什么 \( \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 变化会导致辐射？
关键点 1：能量守恒要求 \( \mathbf{S} \) 变化
电磁场的能量守恒由坡印廷定理描述： \[ \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S} = -\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}, \] 其中：
- \( u = \frac{1}{2} (\epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0}) \) 是电磁能密度，
- \( \nabla \cdot \mathbf{S} \) 代表能量流出某区域的速率。
如果 \( \mathbf{S} \) 不变化（静态场），则 \( \nabla \cdot \mathbf{S} = 0 \)，能量不向外传播。
但如果 \( \mathbf{S} \) 变化（时变场），则 \( \nabla \cdot \mathbf{S} \neq 0 \)，意味着能量在流动，即辐射。
关键点 2：电磁波的横波性质
在电磁波中：
- \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 互相垂直，且均垂直于传播方向 \( \mathbf{k} \)（横波），
- \( \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 沿 \( \mathbf{k} \) 方向，代表能量向外传播。
举例（平面电磁波）： \[ \mathbf{E} = E_0 \cos(\omega t - k z) \hat{x}, \quad \mathbf{B} = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - k z) \hat{y}, \] 则坡印廷矢量： \[ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} = \frac{E_0^2}{\mu_0 c} \cos^2(\omega t - k z) \hat{z}, \] 这是一个非零的、随时间变化的能流，代表电磁波携带能量辐射出去。
4. 加速电荷如何产生辐射？
当电荷加速时：
- 其电场线发生扭曲（“扭结”），
- 变化的 \( \mathbf{E} \) 产生变化的 \( \mathbf{B} \)，
- \( \mathbf{E} \times \mathbf{B} \neq 0 \)，形成向外传播的电磁波。
定量计算（偶极辐射）： 对于振荡电偶极子 \( \mathbf{p}(t) = p_0 \cos(\omega t) \hat{z} \)，远区辐射场为： \[ \mathbf{E}_{\text{rad}} \propto \frac{\omega^2 p_0 \sin \theta}{r} \cos(\omega t - k r) \hat{\theta}, \quad \mathbf{B}_{\text{rad}} \propto \frac{\omega^2 p_0 \sin \theta}{c r} \cos(\omega t - k r) \hat{\phi}, \] 因此： \[ \mathbf{S} \propto \frac{\omega^4 p_0^2 \sin^2 \theta}{r^2} \cos^2(\omega t - k r) \hat{r}, \] 这是一个向外传播的能流，代表能量以光速 \( c \) 辐射。
5. 总结
- 静态场（\( \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 恒定）：无能量辐射（\( \nabla \cdot \mathbf{S} = 0 \)）。
- 时变场（\( \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 变化）：
- 变化的 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 相互激发，形成电磁波，
- 坡印廷矢量 \( \mathbf{S} \) 非零且变化，代表能量向外辐射。
- 加速电荷：通过扭曲电场线，产生变化的 \( \mathbf{E} \times \mathbf{B} \)，导致电磁辐射。
最终结论：
\( \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 的变化意味着电磁场能量在流动，而这种流动的能流就是辐射。
如果 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 相位相差 90°，\( \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 的行为分析
1. 假设 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 的表达式
设电磁波沿 \( z \) 方向传播，且 \( \mathbf{E} \) 沿 \( x \) 方向，\( \mathbf{B} \) 沿 \( y \) 方向，但二者相位差 \( \phi = 90^\circ \)： \[ \mathbf{E} = E_0 \cos(\omega t - k z) , \hat{x}, \] \[ \mathbf{B} = B_0 \sin(\omega t - k z) , \hat{y}, \] 其中 \( B_0 = \frac{E_0}{c} \)（自由空间电磁波的关系）。
2. 计算坡印廷矢量 \( \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} \)
由于 \( \mathbf{E} \times \mathbf{B} = E_x B_y , \hat{z} \)，代入表达式： \[ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} E_0 B_0 \cos(\omega t - k z) \sin(\omega t - k z) , \hat{z}. \] 利用三角恒等式 \( \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta \)，得： \[ \mathbf{S} = \frac{E_0 B_0}{2 \mu_0} \sin \left[ 2(\omega t - k z) \right] , \hat{z}. \]
3. 物理意义
- 瞬时坡印廷矢量：
\( \mathbf{S} \) 以 频率 \( 2\omega \) 振荡，方向沿 \( \hat{z} \)（传播方向）。 - 时间平均能流：
由于 \( \langle \sin(2\omega t) \rangle = 0 \)，平均能流 \( \langle \mathbf{S} \rangle = 0 \)。 - 物理解释：
能量在传播方向上交替来回流动，但无净能量传输（类似驻波）。
4. 对比同相位情况（\( \phi = 0 \)）
若 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 同相位（标准电磁波）： \[ \mathbf{E} = E_0 \cos(\omega t - k z) , \hat{x}, \quad \mathbf{B} = B_0 \cos(\omega t - k z) , \hat{y}, \] 则： \[ \mathbf{S} = \frac{E_0 B_0}{\mu_0} \cos^2(\omega t - k z) , \hat{z}, \] 其时间平均 \( \langle \mathbf{S} \rangle = \frac{E_0 B_0}{2 \mu_0} \hat{z} \neq 0 \)，代表持续的能量辐射。
5. 结论
- \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 相位差 90°：
\( \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 振荡但平均为零，无净能量辐射（如驻波或近场储能）。 - \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 同相位：
\( \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 非零平均，存在能量辐射（如行波）。
6. 应用场景
- 无辐射系统（如电感器、电容器中的近场）：
\( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 可能相位差 90°，能量在电场和磁场间交换，但不向外传播。 - 辐射系统（如天线）：
\( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 同相位，确保 \( \langle \mathbf{S} \rangle \neq 0 \)，实现有效辐射。
7. 数学补充
更一般地，若 \( \mathbf{E} = E_0 e^{i(\omega t - k z)} \hat{x} \)，\( \mathbf{B} = B_0 e^{i(\omega t - k z + \phi)} \hat{y} \)，则： \[ \langle \mathbf{S} \rangle = \frac{1}{2 \mu_0} \text{Re}(\mathbf{E} \times \mathbf{B}^*) = \frac{E_0 B_0}{2 \mu_0} \cos \phi , \hat{z}. \] 当 \( \phi = 90^\circ \)，\( \cos \phi = 0 \)，再次验证平均能流为零。
电荷加速时，如何实现 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 的相位同步？
当电荷加速时，其产生的电磁场会从近场（非辐射区）逐渐过渡到远场（辐射区）。在这个过程中，电场 \( \mathbf{E} \) 和磁场 \( \mathbf{B} \) 的相位关系会发生变化，最终在远场达到完全同步（同相位），从而形成有效的电磁辐射。以下是详细机制：
1. 近场区（Non-Radiative Zone）
在靠近加速电荷的区域（\( r \ll \lambda \)，即距离远小于波长），电磁场主要由静态场和感应场主导：
- 电场 \( \mathbf{E} \)：由电荷的库仑场和加速度引起的感应电场组成，相位可能领先或滞后。
- 磁场 \( \mathbf{B} \)：由变化的电场（位移电流 \( \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \)）产生，相位通常比 \( \mathbf{E} \) 滞后 90°。
近场特点：
- \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 相位差接近 90°，
- 坡印廷矢量 \( \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 时间平均为零（无净能量辐射），
- 能量在电场和磁场之间来回振荡（类似LC电路）。
2. 过渡区（Intermediate Zone）
在距离 \( r \sim \lambda \)（波长量级）的区域，电磁场开始从近场向远场过渡：
- 辐射场成分逐渐增强，
- 感应场成分逐渐减弱，
- \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 的相位差开始减小。
物理机制：
- 变化的 \( \mathbf{E} \) 通过法拉第定律（\( \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \)）驱动 \( \mathbf{B} \)，
- 变化的 \( \mathbf{B} \) 通过安培-麦克斯韦定律（\( \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \)）反馈影响 \( \mathbf{E} \)，
- 这种自洽耦合使得 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 的相位逐渐对齐。
3. 远场区（Radiative Zone，\( r \gg \lambda \)）
在远场区，电磁场完全由辐射场主导：
- 电场 \( \mathbf{E} \) 和 磁场 \( \mathbf{B} \) 完全同相位，
- 二者均垂直于传播方向 \( \mathbf{r} \)（横电磁波，TEM），
- 坡印廷矢量 \( \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 时间平均非零，代表能量向外辐射。
数学表达（偶极辐射）： 对于振荡电偶极子 \( \mathbf{p}(t) = p_0 e^{i \omega t} \hat{z} \)，远区辐射场为： \[ \mathbf{E}_{\text{rad}} = \frac{\omega^2 p_0}{4 \pi \epsilon_0 c^2} \frac{\sin \theta}{r} e^{i (\omega t - k r)} \hat{\theta}, \] \[ \mathbf{B}_{\text{rad}} = \frac{\omega^2 p_0}{4 \pi \epsilon_0 c^3} \frac{\sin \theta}{r} e^{i (\omega t - k r)} \hat{\phi}, \] 可见 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 完全同相位，且 \( |\mathbf{B}| = \frac{|\mathbf{E}|}{c} \)。
4. 关键机制：相位同步如何实现？
(1) 电磁场的自洽演化
麦克斯韦方程组要求：
- \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 必须相互激发并满足波动方程，
- 在远场，只有满足 \( \mathbf{E} \perp \mathbf{B} \perp \mathbf{k} \) 且同相位的解才能稳定传播（即行波解）。
(2) 能流守恒要求
- 如果 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 不同步，坡印廷矢量的时间平均 \( \langle \mathbf{S} \rangle \) 会为零，无法实现能量辐射，
- 因此，只有同相位的成分能持续向外传输能量，异相成分在近场振荡后被耗散或反射。
(3) 波动方程的筛选作用
波动方程的解中：
- 异相成分（如 \( \mathbf{E} \propto \cos \omega t \)，\( \mathbf{B} \propto \sin \omega t \)）对应驻波，能量不传播，
- 同相成分（如 \( \mathbf{E} \propto \cos(\omega t - k r) \)，\( \mathbf{B} \propto \cos(\omega t - k r) \)）对应行波，可携带能量至远方。
5. 总结
- 近场（\( r \ll \lambda \)）：
- \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 相位差大（近 90°），
- 能量在电场和磁场间振荡，无净辐射。
- 过渡区（\( r \sim \lambda \)）：
- 相位差逐渐减小，辐射场成分增强。
- 远场（\( r \gg \lambda \)）：
- \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 完全同相位，
- 形成横电磁波（TEM），有效辐射能量。
最终结论：
电荷加速时，\( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 的相位同步是由麦克斯韦方程的自洽性和能量守恒共同决定的，只有同相位的电磁场成分才能形成稳定的辐射场。
使用推迟势推导电场变化，验证 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 的相位同步
为了严格证明加速电荷的辐射场中 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 在远场区同相位，我们可以从**李纳-维谢尔推迟势（Liénard-Wiechert Potential）**出发，计算电场和磁场的表达式，并分析它们的相位关系。
1. 推迟势的基本形式
对于一个运动点电荷 \( q \)，其推迟标量势 \( \phi \) 和矢量势 \( \mathbf{A} \) 为： \[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{1}{R (1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})} \right]_{\text{ret}}, \] \[ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0 q}{4 \pi} \left[ \frac{\mathbf{v}}{R (1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})} \right]_{\text{ret}}, \] 其中：
- \( \mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t_{\text{ret}}) \)，\( R = |\mathbf{R}| \)，\( \mathbf{n} = \frac{\mathbf{R}}{R} \)，
- \( \boldsymbol{\beta} = \frac{\mathbf{v}}{c} \)，\( \mathbf{v} = \dot{\mathbf{r}}_s \) 是电荷速度，
- \( t_{\text{ret}} = t - \frac{R}{c} \) 是推迟时间。
2. 计算电场 \( \mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \)
将推迟势代入，电场可分为两部分：
- 速度场（近场，\( \propto 1/R^2 \)）：与电荷速度相关，不辐射能量。
- 加速度场（远场辐射，\( \propto 1/R \)）：由电荷加速度 \( \mathbf{a} = \dot{\mathbf{v}}} \) 驱动。
我们重点关注辐射场（远场，\( R \gg \lambda \)）： \[ \mathbf{E}_{\text{rad}} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 c^2} \left[ \frac{\mathbf{n} \times ((\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}})}{R (1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})^3} \right]_{\text{ret}}. \] 在非相对论极限（\( \beta \ll 1 \)）且远场近似下： \[ \mathbf{E}_{\text{rad}} \approx \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 c^2} \frac{\mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \mathbf{a})}{R}, \] 其中 \( \mathbf{a} = \dot{\mathbf{v}}} \) 是加速度。
3. 计算磁场 \( \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \)
同样地，磁场的辐射部分为： \[ \mathbf{B}_{\text{rad}} = \frac{\mu_0 q}{4 \pi c} \left[ \frac{\dot{\boldsymbol{\beta}} \times \mathbf{n}}{R (1 - \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n})^2} \right]_{\text{ret}}. \] 在非相对论远场近似下： \[ \mathbf{B}_{\text{rad}} \approx \frac{\mu_0 q}{4 \pi c} \frac{\mathbf{a} \times \mathbf{n}}{R}. \]
4. 分析 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 的相位关系
假设电荷做简谐振荡 \( \mathbf{r}_s(t) = \mathbf{r}_0 \sin(\omega t) \)，则加速度为： \[ \mathbf{a}(t_{\text{ret}}) = -\omega^2 \mathbf{r}_0 \sin(\omega t_{\text{ret}}}). \] 代入远场表达式： \[ \mathbf{E}_{\text{rad}} \propto \frac{\mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \mathbf{a})}{R} \propto \sin(\omega t_{\text{ret}}}), \] \[ \mathbf{B}_{\text{rad}} \propto \frac{\mathbf{a} \times \mathbf{n}}{R} \propto \sin(\omega t_{\text{ret}}}). \] 由于 \( t_{\text{ret}} = t - R/c \)，二者均依赖于 \( \sin[\omega(t - R/c)] \)，因此：
- \( \mathbf{E}_{\text{rad}} \) 和 \( \mathbf{B}_{\text{rad}} \) 完全同相位，
- 且 \( \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 沿 \( \mathbf{n} \) 方向，代表能量向外辐射。
5. 对比近场和远场的相位差异
(1) 近场区（\( R \ll \lambda \)）
- 电场主要由库仑项主导： \[ \mathbf{E}_{\text{near}} \approx \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{R}}{R^3}. \]
- 磁场由 Biot-Savart 定律给出： \[ \mathbf{B}_{\text{near}} \approx \frac{\mu_0 q}{4 \pi} \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{R}}{R^3}. \] 由于 \( \mathbf{v} = \dot{\mathbf{r}}_s \propto \cos(\omega t) \)，而 \( \mathbf{E} \propto \mathbf{R} \)（静态部分），二者相位差 90°。
(2) 远场区（\( R \gg \lambda \)）
- 辐射场的 \( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 均正比于 \( \mathbf{a}(t_{\text{ret}}) \)，因此严格同相位，
- 坡印廷矢量 \( \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} \) 时间平均非零，代表净能量辐射。
6. 结论
通过推迟势的严格推导，我们验证了：
- 在远场区（辐射区），\( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 完全同相位，形成横电磁波（TEM）。
- 在近场区，\( \mathbf{E} \) 和 \( \mathbf{B} \) 相位差 90°，能量在电场和磁场间振荡，无净辐射。
- 相位同步的机制：
- 由麦克斯韦方程的自洽耦合（\( \nabla \times \mathbf{E} = -\partial \mathbf{B}/\partial t \)，\( \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \partial \mathbf{E}/\partial t \)）驱动，
- 只有同相成分能形成行波解，实现能量辐射。
这一结果与经典电动力学（如偶极辐射）和实验观测（天线辐射）完全一致。